3.1.3 用代数式表示数量与数量之间的关系 同步练习 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 本同步练习通过“过基础”“过能力”分层设计，以单一知识点巩固到综合问题解决为进阶路径，培养抽象能力与模型意识，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |过基础|增长/变化率、行程工程、几何利润等单一知识点|选择/填空/解答题结合，聚焦公式直接应用，如增长率问题直接套用“增长后=原来×(1+增长率)”| |过能力|分段计费、方案比较、规律探究等综合应用|情境复杂问题，需建立多量关系模型，如套餐费用比较需分段讨论，发展推理能力与应用意识|

3.1.3 用代数式表示数量与数量之间的关系 学习目标、知识点总结与练习题设计（含详情解析） （建议作答时间：45分钟） 第一部分 学习目标与知识点总结 学习目标 1. 能根据具体问题中的数量关系，用代数式表示其中的数量关系； 2. 能分析实际问题中各种量之间的相互关系，建立代数模型； 3. 掌握增长率、行程、工程、利润、几何等常见数量关系的代数表示； 4. 培养从实际问题中抽象出数量关系的能力，为列方程奠定基础。 知识点一：常见数量关系的代数表示 数量关系类型 基本公式 用字母表示 行程问题 路程 = 速度 × 时间 工程问题 工作量 = 工作效率 × 时间 总价问题 总价 = 单价 × 数量 利润问题 利润 = 售价 − 进价 增长率 增长后 = 原来 × (1 + 增长率) 降低率 降低后 = 原来 × (1 − 降低率) 打折问题 实际售价 = 标价 × 折扣 （ 为折扣率） 平均数 平均数 = 总和 ÷ 个数 几何周长 长方形周长 = 2 × (长 + 宽) 几何面积 长方形面积 = 长 × 宽 知识点二：用代数式表示数量关系的步骤 第一步：审题——明确已知量和未知量，确定它们之间的关系； 第二步：设字母——用字母表示未知量（或关键量）； 第三步：找关系——根据题意，找出已知量与未知量之间的等量关系； 第四步：列式——将等量关系用代数式表示出来； 第五步：化简——按代数式书写规范整理结果。 口诀： 先审题找等量，后设字母代进去；关系找到再列式，规范书写要牢记。 知识点三：数量关系的图形表示（表格法、图示法） 在复杂数量关系中，画表格或示意图可以帮助理清关系： 表格法： 适用于多个对象、多个量的比较问题 对象 量① 量② 量③ A ... ... ... B ... ... ... 图示法： 适用于行程问题、几何问题等 甲 →——— vt ———→ 乙 方法点睛： 表格能使数量关系一目了然，图示能使抽象关系具体化，是解决复杂应用题的“万能钥匙”。 知识点四：数量关系中的“变与不变” · 不变量： 在问题中始终保持不变的量（如总路程、总量等）； · 变量： 随条件变化而变化的量（如速度、时间、人数等）。 解题关键：抓住不变量，用代数式表示变量，建立它们之间的联系。 第二部分 练习题巩固（过基础） 知识点一：增长/变化率与倍数关系的表示 1. [2025·广东广州·越秀区期末]（选择题） 某种商品原价为  元，若提价  后的售价为（ ） A.  元  B.  元  C.  元  D.  元 2. [2025·四川成都·青羊区期中]（选择题） 某工厂去年产量为  吨，今年比去年增产 ，则今年的产量为（ ） A.  吨   B.  吨   C.  吨   D.  吨 3. [2026·湖北武汉·江岸区月考]（选择题） 某公司今年利润比去年减少 ，若去年利润为  万元，则今年利润为（ ） A.  万元  B.  万元  C.  万元  D.  万元 4. [2025·江苏南京·玄武区期末]（填空题） 某农场小麦产量每年增长 ，若今年产量为  吨，则去年产量为 ________ 吨。 5. [2026·浙江杭州·西湖区期中]（填空题） 某药品在两年内连续降价，第一次降价 ，第二次降价 ，若原价为  元，则现价为 ________ 元。 6. [2025·山东济南·历下区期末]（解答题） 某林场原有林木  m³，每年增长率为 。 （1） 年后林木量为多少 m³？ （2） 年后林木量为多少 m³？ （3） 年后林木量为多少 m³？（用含  的代数式表示） 知识点二：行程与工程问题中的数量关系 7. [2026·陕西西安·碑林区期中]（选择题） 一辆汽车行驶的速度为  km/h，行驶  小时后行驶的路程为  km，则三者之间的关系为（ ） A.   B.   C.   D.  8. [2025·湖南长沙·岳麓区期末]（选择题） 甲、乙两地相距  km，一辆汽车以  km/h 的速度从甲地开往乙地，需行驶  小时。若速度提高 ，则行驶时间变为（ ） A.  小时  B.  小时  C.  小时  D.  小时 9. [2026·福建福州·鼓楼区模拟]（选择题） 一项工程，甲队单独完成需要  天，乙队单独完成需要  天，甲乙两队合作一天完成的工作量为（ ） A.   B.   C.   D.  10. [2025·安徽合肥·包河区期中]（填空题） 一条公路全长  km，一辆汽车已经行驶了  km，还剩下 ________ km。 11. [2026·辽宁沈阳·和平区期末]（填空题） 一份稿件，甲单独打  小时完成，乙单独打  小时完成，两人合作 ________ 小时完成。 12. [2025·江西南昌·东湖区期末]（解答题） 甲乙两人从相距  km 的两地同时相向而行，甲的速度为  km/h，乙的速度为  km/h。 （1） 小时后，两人相距多少千米？ （2） 小时后，甲走的路程是多少千米？乙呢？ （3）两人经过多少小时相遇？ 知识点三：几何与利润等实际问题中的数量关系 13. [2026·广东深圳·南山区期末]（选择题） 一个长方形的长为 ，宽为 ，若长增加 ，宽减少 ，则面积变为（ ） A.   B.   C.   D.  14. [2025·河南郑州·金水区期中]（选择题） 某种商品进价为每件  元，售价为每件  元，每天售出  件，则每天的利润为（ ） A.  元  B.  元  C.  元  D.  元 15. [2026·山东青岛·市南区期末]（选择题） 某商场促销，一件上衣标价为  元，先打  折，再降价  元，则实际售价为（ ） A.  元  B.  元  C.  元  D.  元 16. [2025·吉林长春·朝阳区期末]（填空题） 一个圆的半径为 ，则其周长为 ________，面积为 ________。 17. [2026·贵州贵阳·南明区期中]（填空题） 某商品的进价为  元，售价为  元，则利润率（利润 ÷ 进价）为 ________。 18. [2025·广西南宁·青秀区期末]（解答题） 某运动场有一个长方形跑道，长为  m，宽为  m。 （1）跑道的周长是多少米？ （2）跑道的面积是多少平方米？ （3）若沿跑道外围修一条宽  m 的环形道路，则环形道路的面积是多少平方米？（用含 、 的代数式表示） 第三部分 过能力（ 选 +  填 +  解答） 1. [2025·北京·海淀区期末]（选择题） 某品牌手机原价为  元，先降价 ，再提价 ，则最终售价与原价相比（ ） A. 升高了   B. 降低了   C. 保持不变  D. 无法确定 2. [2026·上海·黄浦区期中]（选择题） 甲、乙两人同时从  地出发前往  地，甲的速度为 ，乙的速度为 （）， 小时后，甲比乙多走了（ ） A.  千米   B.  千米   C.  千米   D.  千米 3. [2025·天津·和平区期末]（选择题） 某工程甲单独做  天完成，乙单独做  天完成，甲乙合作  天后，剩余工程量为（ ） A.   B.   C.   D.  4. [2026·重庆·沙坪坝区期末]（选择题） 如图，用  个边长为  的正方形拼成一个长方形，若长方形的长为 ，宽为 ，则这个长方形的周长为（ ） A.   B.   C.   D.  5. [2025·江苏苏州·工业园区期中]（选择题） 某班级有  名学生，其中男生占 ，后来转来  名男生和  名女生，则现在男生人数为（ ） A.  人  B.  人   C.  人  D.  人 6. [2026·广东佛山·南海区期末]（选择题） 某商店以每件  元的价格购进一批商品，又以每件  元的价格出售，每天可售出  件。若每件售价降低  元，则每天可多售出  件。降价后每天的利润为（ ） A.  元  B.  元   C.  元  D.  元 7. [2025·浙江宁波·海曙区模拟]（选择题） 某市出租车收费标准为：起步价  元（ km 以内），超过  km 的部分每千米收费  元。小明乘坐  km（）应付车费（ ） A.  元  B.  元   C.  元  D.  元 8. [2026·四川成都·高新区期中]（选择题） 第  个图形有  个点，第  个图形有  个点，第  个图形有  个点，第  个图形有  个点…第  个图形有  个点。若第  个图形比第  个图形多  个点，则  的值为（ ） A.   B.   C.   D.  9. [2025·湖北武汉·武昌区期末]（填空题） 某工厂有煤  吨，原计划每天烧  吨，现改为每天少烧  吨，则改进后可以多烧 ________ 天。 10. [2026·湖南长沙·开福区期中]（填空题） 一个两位数，十位数字是 ，个位数字是 ，若将十位数字与个位数字对调，得到的新两位数与原两位数的差为 ________（用含 、 的代数式表示）。 11. [2025·福建厦门·思明区期末]（填空题） 甲、乙两家商场销售同一种商品，甲商场标价为  元，打  折；乙商场标价为  元，打  折。若甲商场的实际售价比乙商场低，则  与  满足的关系为 ________。 12. [2026·山东济南·槐荫区期中]（填空题） 某商品进价为  元，按进价提高  后标价，再打  折出售，则每件商品的利润为 ________ 元（用含  的代数式表示）。 13. [2025·陕西西安·雁塔区期末]（填空题） 按如图所示的程序计算，若开始输入的值为 ，则最后输出的结果为 ________（用含  的代数式表示）。 text 输入x → 乘以3 → 加上2 → 平方 → 输出 14. [2026·广东广州·天河区期末]（解答题） 某地通信公司推出两种手机套餐： 套餐 A：月租费  元，包含  分钟通话，超出部分每分钟  元； 套餐 B：无月租费，每分钟通话  元。 （1）若某月通话  分钟（），套餐 A 的费用是多少元？套餐 B 呢？ （2）若某月通话  分钟（），套餐 A 的费用是多少元？套餐 B 呢？ （3）通话多少分钟时，两种套餐费用相同？ 15. [2025·江苏南京·建邺区期末]（解答题） 某旅游景点门票价格如下： · 成人票：每张  元； · 儿童票：每张  元； · 团体票（ 人及以上）：成人  元/张，儿童  元/张。 （1） 若  个成人和  个儿童购票，需要多少元？ （2）若  个成人和  个儿童购票（），需要多少元？ （3）若  个成人和  个儿童购票（），需要多少元？ （4）若  个成人和  个儿童购票，哪种购票方式更省钱？（提示：可分开买，也可买团体票） 16. [2026·浙江杭州·上城区期末]（解答题） 观察下列等式： 第  个等式： 第  个等式： 第  个等式： 第  个等式： 第  个等式： （1）第  个等式的结果为多少？（用含  的代数式表示）； （2）若第  个等式的结果为 ，求  的值； （3） 的结果为多少？ 参考答案（含详细分析解析） 一、过基础 知识点一：增长/变化率与倍数关系的表示 1.【答案】 B 【考点】增长率问题的代数表示 【分析】提价  后的价格  原价 。 【解析】原价为  元，提价  后售价为  元。故选 B。 【方法点睛】增长类问题公式：。，可写作 。 2.【答案】 B 【解析】今年产量  去年产量  吨。故选 B。 【方法点睛】“增产 ”表示在去年的基础上增加了去年的 ，即 。 3.【答案】 A 【解析】今年利润  去年利润 ，即  万元。故选 A。 【方法点睛】降低类问题公式：。注意区分“减少 ”和“减少到 ”。 4.【答案】 （或 ） 【解析】今年产量  吨是去年产量增长  后的结果，设去年产量为 ，则 ，。 【方法点睛】已知增长后的量求增长前的量，用除法。这是易错点，注意不要写成 。 5.【答案】  【解析】第一次降价后为 ，第二次降价后为 。 【方法点睛】连续两次降价，降价率是乘性关系，不是加性关系。 是常见的错误。 6.【答案及解析】 （1） 年后：（m³）； （2） 年后：（m³）； （3） 年后：（m³）。 答：（1） m³；（2） m³；（3） m³。 【方法点睛】增长  次后的总量  原有量 。这是乘方在实际问题中的重要应用。 知识点二：行程与工程问题中的数量关系 7.【答案】 A 【解析】路程  速度  时间，即 。故选 A。 【方法点睛】行程问题的三量关系：，，。知道任意两个可求第三个。 8.【答案】 B 【分析】速度提高  后为  km/h，时间  路程  速度。 【解析】 小时。故选 B。 【方法点睛】速度提高后时间减少，，小于原时间 。 9.【答案】 C 【分析】甲队一天完成 ，乙队一天完成 ，合作一天完成两者的和。 【解析】合作一天完成 。故选 C。 【方法点睛】工程问题的核心：把总工作量看作 ，工作效率  。合作效率  各效率之和。 10.【答案】  【解析】总路程  km，已行驶  km，剩余  km。 11.【答案】  【解析】甲效率 ，乙效率 ，合作效率 ，合作时间  小时。 【方法点睛】两人合作完成时间 （、 分别为各自单独完成时间）。这是工程问题的常用结论。 12.【答案及解析】 （1） 小时后，甲走了  km，乙走了  km，两人共走  km，相距  km； （2）甲走  km，乙走  km； （3）相遇时两人共走  km，， 小时。 答：（1） km；（2）甲  km，乙  km；（3） 小时。 【方法点睛】相向而行相遇问题：相遇时间 。追及问题：追及时间 。 知识点三：几何与利润等实际问题中的数量关系 13.【答案】 A 【解析】长增加  后为 ，宽减少  后为 ，面积为 。故选 A。 【方法点睛】面积变化问题：准确找到变化后的长和宽，用乘法求新面积。 14.【答案】 B 【解析】单件利润 ， 件的总利润  元。故选 B。 15.【答案】 A 【解析】打  折后价格为  元，再降价  元为  元。故选 A。 【方法点睛】先打折后降价与先降价后打折顺序不同。注意“再降价  元”是在打折后的基础上减。 16.【答案】 ； 【解析】圆的周长 ，面积 。 17.【答案】  【解析】利润率 。 【方法点睛】利润率是相对进价而言的，不是相对售价。常见错误是写成 。 18.【答案及解析】 （1）周长 （m）； （2）面积 （m²）； （3）修路后外围长方形的长为  m，宽为  m，总面积  m²，原跑道面积  m²，道路面积  m²。 答：（1） m；（2） m²；（3） m²。 【方法点睛】修路问题中，外围长宽各增加  倍路宽（两边各  m）。面积差法求环形面积。 二、过能力 1.【答案】 B 【解析】降价  后为  元，再提价  后为  元，比原价降低了 。故选 B。 【方法点睛】先降后提（或先提后降）不能回到原价，最终会降低。。 2.【答案】 A 【解析】 小时后，甲走  km，乙走  km，甲比乙多走  km。故选 A。 【方法点睛】速度差 × 时间 = 路程差。这是追及问题的核心公式。 3.【答案】 A 【分析】甲每天完成 ，乙每天完成 ，合作  天完成 。 【解析】剩余工程量为 。故选 A。 【方法点睛】剩余工作量 。已做工作量  效率  时间。 4.【答案】 A 【解析】边长为  的正方形拼成  的长方形，长 ，宽 ，周长 。故选 A。 【方法点睛】几何图形拼接问题：准确找出拼接后图形的长和宽。 5.【答案】 A 【解析】原来男生  人，转来  名男生后为  人。B 是错误地把转来的  人按比例分配。故选 A。 【方法点睛】原有男生 + 转入男生 = 现有男生，女生同理。不要混淆“增加后总人数”与“原来男生数”。 6.【答案】 A 【解析】降价后售价为  元，单件利润  元；每天售出  件，总利润  元。故选 A。 【方法点睛】利润问题：利润 （售价 - 进价） 销量。售价和销量都可能随条件变化。 7.【答案】 B 【解析】 km 内收费  元，超过部分为  km，每千米  元，总费用  元。故选 B。 【方法点睛】分段计费问题：总费用  起步价  超出部分单价  超出里程。注意  是前提条件。 8.【答案】 B 【解析】第  个图形有  个点，第  个图形有  个点，差为 。令 ，。故选 B。 【方法点睛】，这是平方差公式的重要应用。相邻两个平方数的差等于它们的和。 9.【答案】 （） 【解析】原计划可烧  天，改进后每天烧  吨，可烧  天，多烧  天。 【方法点睛】“多烧多少天”  现在可烧天数  原来可烧天数。注意  确保分母为正。 10.【答案】  【解析】原两位数为 ，对调后为 ，差为 。 【方法点睛】两位数对调后与原数的差一定是  的倍数，且等于  倍的两数字差。 11.【答案】  【解析】甲商场实际售价  元，乙商场实际售价  元。甲比乙低，即 。 【方法点睛】列不等式表示数量关系，注意不等号的开口方向。 12.【答案】  【解析】标价  元，打  折后售价  元，利润  元。 【方法点睛】利润  售价  进价。注意“按进价提高 ”是在进价基础上加 。 13.【答案】  【解析】输入 ，乘以  得 ，加上  得 ，平方得 。 【方法点睛】程序计算问题：按顺序逐步列式，注意括号的使用。 14.【答案及解析】 （1） 时，套餐 A： 元（包含  分钟），套餐 B： 元； （2） 时，套餐 A： 元，套餐 B： 元； （3）令 ，，，，。 答：（1）A： 元，B： 元；（2）A： 元，B： 元；（3） 分钟。 【方法点睛】分段计费比较问题：先分别列出两种方案的代数式，再令二者相等求解。注意分段讨论。 15.【答案及解析】 （1） 元； （2）： 元； （3）： 元； （4）分开买： 元；买团体票： 元（或  元？实际上题中说团体票成人  元/张，儿童  元/张，适用于  人及以上，所以  人全买团体票： 元）。 比较：，所以买团体票更省钱，省  元。 答：（1） 元；（2） 元；（3） 元；（4）买团体票更省钱。 【方法点睛】方案比较问题：分别计算不同方案的费用，比较大小。注意团体票的适用条件。 16.【答案及解析】 （1）第  个：；第  个：；第  个：；第  个：；第  个：。 规律：第  个等式的结果 ； （2）令 ，，（因为 ）； （3）。 答：（1）；（2）；（3）。 【方法点睛】 到  的连续整数求和公式：，是等差数列求和的基础，必须熟记。 学科网（北京）股份有限公司 $