精品解析：甘肃兰州市第五十九中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学

兰州市第五十九中学2025~2026学年第二学期期中考试 高一数学试卷 时间：120分钟 分数：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设非零向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对已知的模长相等等式两边同时平方，利用向量数量积的运算性质化简，根据向量垂直的条件即可求得. 【详解】对等式两边平方：， 展开得；，所以，即. 2. 在下列向量组中，可以把向量＝(3，2)表示出来的是(　　) A. ＝(0，0)，＝(1，2) B. ＝(－1，2)，＝(5，－2) C. ＝(3，5)，＝(6，10) D. ＝(2，－3)，＝(－2，3) 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，，计算判别即可． 【详解】根据， 选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则 3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能； 选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能． 选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能． 选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题． 3. 下列各式中不能化简为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】对于A： ，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确； 故选：B 4. 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】 的模为2，根据正六边形的特征， 可以得到在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式， 可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是， 故选：A. 【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目. 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解. 【详解】由题意， . 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 7. 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 8. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为（    ）（） A. 49.25 m B. 50.76 m C. 56.74 m D. 58.60 m 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数及圆的切线的性质可得，利用求解即可. 【详解】如图， 设球的半径为，，， ， ， ，即该球体建筑物的高度约为. 故选：B 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上.则（ ） A. B. 最小值为-2 C. 在上的投影向量为 D. 若的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知是的中点，易得，可判断A；根据投影向量的定义可判断C；以M为原点，直线AC为轴建立直角坐标系，设，则，写出各点坐标，表示各向量的坐标，用向量的坐标运算及三角恒等变形可判断C、D. 【详解】以M为原点，直线AC为轴建立直角坐标系（如图）， 设，则，在中，，，是的中点， 所以， ，则 ，，，， 所以，，， 对于A：因为是的中点，所以，故A正确； 对于B： 因为，所以，当时，取得最小值， 所以最小值为，故B正确； 对于C：在上的投影向量为，故C错误； 对于D：因为所以， 则，当时，取最大值.故D正确. 故选：ABD. 10. 下列选项中，值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A利用二倍角余弦公式结合同角三角函数关系式求解判断；选项B利用两角和的正弦公式求解判断； 选项C利用诱导公式和二倍角的正弦公式求解判断； 选项D利用二倍角的正切公式求解判断. 【详解】选项A：，故选项A不符合题意； 选项B：，故选项B符合题意； 选项C：，故选项C符合题意； 选项D：，故选项C符合题意. 故选：BCD. 11. 的内角的对边分别为，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则符合条件的有两个 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用则，进而利用正弦定理即可判断选项A；利用正弦定理角化边得，利用余弦定理得，即可判断B；利用正弦定理边化角整理得，可得或，即可得出结论判断C；正弦定理求得，可判断D. 【详解】对于A，当时，，根据正弦定理得， 整理得，故A正确； 对于B，因为，由正弦定理得， 所以，因为，所以，即为钝角， 所以是钝角三角形，故B正确； 对于C，由， 由正弦定理可得， 即，所以或， 所以或，所以是直角三角形或等腰三角形，故C错误； 对于D，由正弦定理得，即， 因为，所以，为锐角， 所以存在满足条件的有两个，D正确. 故选：ABD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________． 【答案】或0 【解析】 【分析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解. 【详解】∵三点共线， ∴可设， ∵， ∴，即， 若且，则三点共线， ∴，即， ∵，∴， ∵,,， ∴， 设，，则，. ∴根据余弦定理可得，， ∵， ∴，解得， ∴的长度为. 当时， ，重合，此时的长度为， 当时，，重合，此时，不合题意，舍去. 故答案为：0或. 【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出． 13. 已知，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦的差角公式先求，从而可得，根据角的范围结合同角三角函数的基本关系确定，再利用正切的差角公式计算即可. 【详解】由题意可知，所以， 即， 又，所以， 则， 所以， 所以. 故答案为： 14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理角化边可得，再结合余弦定理可得，根据三角形面积公式即可求解. 【详解】解：因为，由正弦定理可得：，即， 又，所以， 由， 所以， 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 完成下列小题： （1）设为内一点，且，则与的面积比是多少？ （2）已知向量，，，请计算的值. （3）已知正方形ABCD的边长为1，若，其中为实数，求的值；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为多少？ 【答案】（1） （2） （3）；的最小值为 【解析】 【分析】（1）先由已知求得，接着以为邻边作平行四边形，连接交于点，于是有，再结合和三角形同高即可得解. （2）对两边平方展开即可求解. （3）由题意可知，，进而得到的值，从而求解；由平面向量的线性运算得，，再根据数量积的运算可求得，最后结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 即， 所以，即 . 如图所示， 以为邻边作平行四边形，连接交于点， 所以，即， 又在边上的高和在边上的高相等， 所以. 【小问2详解】 因为，所以 ， 即 ， 因为，，所以 ， 即，所以 . 【小问3详解】 以为原点，为轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系， ，则，， 由，所以 ，则， 又， 所以，故. 因为是线段上的动点，设， 所以，， 又为线段的中点，所以，， 所以， 对称轴，由二次函数的性质，可得当时，取得最小值为. 16. 完成下列小题： （1）已知，则的值是多少？ （2）已知为锐角， ，则的值是多少？ （3）已知，，则的值是多少？ 【答案】（1） （2） 或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式与差角的正切公式、二倍角公式化简计算即得； （2）逆用差角的正弦公式，将条件等式化成，展开后结合同角三角函数关系列方程求得，利用二倍角公式结合角的范围即可求得； （3）设，由条件等式，利用切弦互化及二倍角公式求出，再由条件推得，联立求出，即得，运用二倍角的余弦公式计算即可. 【小问1详解】 因， 而，， 故； 【小问2详解】 由可得， 即，展开得，即， 将其代入，整理得，解得. ①当时，则，解得， 因为锐角，则； ②当时，则，解得， 则； 【小问3详解】 设，则 可化为， 即，解得（*）. 由，得， 又由（*）得，联立解得， 于是， 故有， . 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，. （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在正整数，使为钝角三角形 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理把角的关系转化为边的关系，求出三条边长，再借助余弦定理求出角的余弦，进而得到正弦，最后代入面积公式即可求得面积； （2）先根据大边对大角，判断钝角只能是角，再结合钝角的余弦小于0与三角形三边关系得到的取值范围，最后筛选出符合条件的正整数即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得：， 又因为，所以，得，所以，， 所以， 所以在中，， 所以. 【小问2详解】 由已知得，若为钝角三角形，则角为钝角，所以， 即，即，整理得：，解得：， 又因为，所以； 同时还要考虑构成的条件，即，即，解得：， 综上所述，当时，为钝角三角形， 又因为为正整数，所以存在正整数，使为钝角三角形. 18. 已知中，角的对边分别为，且满足. （1）求角； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由代入即可求解； （2）由（1）结合正弦定理可得，再由面积公式即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理可得：，即， ； 【小问2详解】 由正弦定理可得：， 则， 解得 19. 古希腊数学家托勒密对凸四边形凸四边形是指没有角度大于的四边形进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题： 如图，在凸四边形中， （1）若，，(图1)，求线段长度的最大值； （2）若，，，（图2），求四边形面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）；，（其中） 【解析】 【分析】根据“任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立”表示出边长的关系即可求出； 连接，分别在和利用余弦定理，再结合四点共圆后同角三角函数关系解出角A，最后由三角形的面积公式得到四边形的面积． 【小问1详解】 设，则， 由材料可知，， 即，解得， 当且仅当四点共圆时等号成立即,且此时, 所以线段长度的最大值为， 【小问2详解】 由材料可知，当四点共圆时，四边形的面积达到最大． 连接，分别在和利用余弦定理， 可得， 解得，， 所以 记，则上式， 于是四边形的面积为： . 【点睛】思路点睛：多边形问题可分割为若干三角形，利用余弦定理及角的关系消元化简即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市第五十九中学2025~2026学年第二学期期中考试 高一数学试卷 时间：120分钟 分数：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设非零向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 在下列向量组中，可以把向量＝(3，2)表示出来的是(　　) A. ＝(0，0)，＝(1，2) B. ＝(－1，2)，＝(5，－2) C. ＝(3，5)，＝(6，10) D. ＝(2，－3)，＝(－2，3) 3. 下列各式中不能化简为的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. （ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为（    ）（） A. 49.25 m B. 50.76 m C. 56.74 m D. 58.60 m 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上.则（ ） A. B. 最小值为-2 C. 在上的投影向量为 D. 若的最大值为 10. 下列选项中，值为的是（ ） A. B. C. D. 11. 的内角的对边分别为，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则符合条件的有两个 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________． 13. 已知，，，则______. 14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为______. 四、解答题（共77分） 15. 完成下列小题： （1）设为内一点，且，则与的面积比是多少？ （2）已知向量，，，请计算的值. （3）已知正方形ABCD的边长为1，若，其中为实数，求的值；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为多少？ 16. 完成下列小题： （1）已知，则的值是多少？ （2）已知为锐角， ，则的值是多少？ （3）已知，，则的值是多少？ 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，. （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求；若不存在，说明理由. 18. 已知中，角的对边分别为，且满足. （1）求角； （2）若，求的面积. 19. 古希腊数学家托勒密对凸四边形凸四边形是指没有角度大于的四边形进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题： 如图，在凸四边形中， （1）若，，(图1)，求线段长度的最大值； （2）若，，，（图2），求四边形面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $