精品解析：甘肃兰州第一中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题

兰州一中 2025-2026-2 学期期中考试 高一数学 说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则. 3. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算以及平行向量的坐标表示即可求出值. 【详解】，，则， 由得，解得. 故选：D. 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理变形，再结合余弦函数的性质判断即可. 【详解】在中，由余弦定理得，整理得， 而，函数在上单调递减，因此， 所以是等腰三角形. 故选：C 5. 在中，内角的对边分别为.若，，且则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理表示出，利用条件变换求解即可. 【详解】因为，，且 由余弦定理知， ， 解得， 故选： 6. 如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，在中，，，所以. 在中，，， 所以， 由正弦定理，. 又为等腰直角三角形，所以. 故选项B正确. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据诱导公式计算可得结果. 【详解】因为， 所以由诱导公式得． 故选：A 8. 在锐角中，角的对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解 【详解】由题意，而， 所以，由余弦定理得， 故， 又由正弦定理得， 整理得， 故或（舍去），得， 因为是锐角三角形， 故， 解得，故， . 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是适当结合正弦定理、余弦定理进行边角转换由此即可顺利得解. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知在中，角A，B，所对的边分别为且，，，则下列说法正确的是（ ） A. 或 B. C. D. 该三角形的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用余弦定理求得，利用正弦定理求得，由此求得，进而求得，利用三角形的面积公式求得三角形的面积，从而确定正确选项. 【详解】由余弦定理得，所以， 由正弦定理得，所以， 由于，所以，所以， 三角形的面积为， 故BC选项正确，AD选项错误. 故选：BC. 10. （多选）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则有两解 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理即可求解. 【详解】对于A，，所以，由正弦定理得，故A正确； 对于B，，故边最长，角最大. 设， 则. 所以角为锐角，故是锐角三角形，故B错误； 对于C，，则，则为等腰三角形，故C正确； 对于D，， 因为，故，结合可得， 根据正弦定理 由正弦函数的性质可知有两解， 所以有两解，故D正确. 故选：ACD. 11. 在锐角中，角，，的对边分别为，，为外接圆圆心，已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 周长取值范围为 D. 和面积之差的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：借助正弦定理将角化为边后结合余弦定理计算即可得；对B：结合所给条件与正弦定理计算即可得；对C：借助正弦定理可将边化为角，并用表示出周长，再利用的范围计算周长范围即可得；对D：借助表示出与面积，即可表示出面积之差，从而可结合换元法与二次函数性质得解. 【详解】对A：由与正弦定理可得， 即，，， 又，故，故A正确； 对B：，所以由正弦定理，可得 ， ① 又因为，即，即， ② 将①代入②可得，解得，选项B错误； 对C：由正弦定理，，故： 展开，得：， 周长， 利用三角恒等变换， 结合，得，故：，故选项C正确； 对D：设外接圆半径为，则，且，即， 因为， 所以， ， 所以， 由，则，所以， 则 和面积之差的取值范围为，故选项D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 从小到大依次排列的四个数1，，，9，这四个数的中位数和平均数相等，则这四个数的和是______. 【答案】20 【解析】 【分析】由中位数及平均数定义求得这四个数的中位数和平均数，然后建立方程求得，即可求得答案. 【详解】中位数为，平均数为， 由题意得，则， ∴， 故答案为：20. 13. 在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦定理计算即可. 【详解】因为， 所以由余弦定理可得. 故答案为： 14. 在中，，，为线段上一点，，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由利用面积公式和数量积可得，由利用正弦定理结合三角恒等变换可得，由可得，由三点共线的可得，设，利用辅助角公式结合正弦函数有界性分析求解. 【详解】设角所对的边分别为， 因为，则，可得， 且，所以， 因为，即，可得， 由正弦定理可得， 又因为 且， 可得 ， 则， 因为，则，可得， 且，则，可得，可得， 则，可知为等腰直角三角形， 由，可得， 因为， 且为线段上一点，则，且， 设， 则， 且， 可得，所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤› 15. 某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数； （3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 【答案】（1） （2） （3）15.3125 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率之和为1可求得的值. （2）首先求出该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率，从而求得人数. （3）根据中位数的概念即可求出该单位职工参与志愿服务次数的中位数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，解得． 【小问2详解】 由图可知该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率为， 则该单位参加志愿服务次数不低于15次的人数为． 【小问3详解】 因为， 所以该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值在内． 设该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为，则， 解得，即该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为15.3125． 16. 求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简求值； （2）根据两角和的正弦公式及诱导公式化简即可求值. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． （1）若，，求c； （2）若的面积为，，求a． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出角，结合正弦定理可得答案； （2）先利用面积求出，结合余弦定理可得答案. 【小问1详解】 因为，，所以， 由正弦定理，可得. 【小问2详解】 因为的面积为，所以， 因为，，所以，解得. 由余弦定理可得，即. 18. 已知向量，，，设函数； （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）对，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量的数量积公式和三角函数的化简，可得，再利用正弦函数性质列不等式计算求解； （2）参变分离转化为函数的最值问题. 【小问1详解】 ， ， 由，得， ， 故的递增区间为，； 【小问2详解】 ，恒成立 由，得， 故时，，， 实数的取值范围是. 19. 已知正边形的外接圆的圆心为，半径为. （1）设， （i）若点在半径上运动，半径的中点为，当最大时，求的长； （ii）若点在两边上运动（包括端点），求的范围； （2）若点在圆上运动，证明：为定值，并求此定值（结果用表示）. 【答案】（1）（i）；（ii） （2）证明见解析，定值为 【解析】 【分析】（1）（i）计算，再利用两角和差的正切公式计算，结合基本不等式即可； （ii）过点过，交的延长线于点S，根据求的最值即可； （2）根据求出，再结合即可化简求证. 【小问1详解】 若，在正八边形中，， （i）因，则， 则 ，当且仅当，时，等号成立， 此时最大，的长为. （ii）点为正八边形的中心，，故 取的中点，连接，则， 其中，故， 故， 过点过，交的延长线于点S， 当点在上运动时，因，则，则四点共线， 则， ， 则 ， 此时为最大值， 当点在上运动时，， 当与重合时，取得最小值，最小值为， 所以的范围是. 【小问2详解】 因为， 所以， 对于正边形，其中心角为， 设， 逆时针旋转后得到的新向量作和后得到， 则即为将逆时针旋转后得到，由正多边形的性质可得， 所以， 所以为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州一中 2025-2026-2 学期期中考试 高一数学 说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知，则（　　） A. B. C. D. 2. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 5. 在中，内角的对边分别为.若，，且则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角的对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知在中，角A，B，所对的边分别为且，，，则下列说法正确的是（ ） A. 或 B. C. D. 该三角形的面积为 10. （多选）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则有两解 11. 在锐角中，角，，的对边分别为，，为外接圆圆心，已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 周长取值范围为 D. 和面积之差的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 从小到大依次排列的四个数1，，，9，这四个数的中位数和平均数相等，则这四个数的和是______. 13. 在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为______． 14. 在中，，，为线段上一点，，则的最大值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤› 15. 某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数； （3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 16. 求下列各式的值： （1）； （2）. 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． （1）若，，求c； （2）若的面积为，，求a． 18. 已知向量，，，设函数； （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）对，不等式恒成立，求的取值范围． 19. 已知正边形的外接圆的圆心为，半径为. （1）设， （i）若点在半径上运动，半径的中点为，当最大时，求的长； （ii）若点在两边上运动（包括端点），求的范围； （2）若点在圆上运动，证明：为定值，并求此定值（结果用表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $