精品解析：甘肃嘉峪关市第一中学2025-2026学年第二学期阶段性考试（二）高一数学试卷

嘉峪关市第一中学2025-2026学年第二学期阶段性考试（二） 高一数学试卷 考试时间：120分钟；共150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. =（ ） A. B. C. D. 1 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，在中，点在线段上，且，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ） A. B. C. D. 7. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①；②； ③；④． 其中正确命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论中正确的是（ ）. A. . B. 与的夹角余弦值为. C. 与同向共线的单位向量是. D. 向量在向量上的投影向量为. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 C. 在区间上为减函数 D. 为的一个零点 11. 如图所示，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足平面ABC的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小为_____. 13. 函数的图象可由函数的图象至少向右平移_____个单位长度得到． 14. 某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为，则塔高__________m. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，若与的夹角为． （1）求； （2）向量与互相垂直，求实数的值． 16. 已知． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最值及相应的值． 17. 如图，在三棱柱中，底面，，，，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面． 18. 中，． （1）求角C； （2）若角C为锐角，M是BC边上的一点，，，求的面积． 19. 《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉峪关市第一中学2025-2026学年第二学期阶段性考试（二） 高一数学试卷 考试时间：120分钟；共150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. =（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式与两角和的正弦公式化简求值. 【详解】 故选：B 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z即可. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故选：D. 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3. 如图所示，在中，点在线段上，且，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的运算法则，化简得,再由，即可求得 的值，即可求解. 【详解】由向量的运算法则， 可得, 因为，所以，从而求得， 故选:B． 【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题. 4. 在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 5. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 . 6. 在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案. 【详解】在中，，， 根据余弦定理： 可得 ，即 由 故. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 7. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①；②； ③；④． 其中正确命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】根据线、面位置关系结合线、面平行的判定定理分析判断. 【详解】对于①：因为面面平行的判定定理要求相交，若没有，则可能相交，故①错误； 对于②：因为线面平行的判定定理要求，若没有，则可能，故②错误； 对于③：根据线、面位置关系可知：//，或异面，故③错误； 对于④：根据线、面位置关系可知：//，或异面，故④错误； 故选：A. 8. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意可知三点共线，进而得到，利用向量基本定理表示出,进而表示出计算即可. 【详解】因为，所以 所以， 因为，所以， 即， 因为三点共线，所以，解得， 所以， 而, 所以, 即. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论中正确的是（ ）. A. . B. 与的夹角余弦值为. C. 与同向共线的单位向量是. D. 向量在向量上的投影向量为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量模长的求法判断A，由向量夹角公式判断B，根据单位向量的求法判断C，根据向量投影的求法判断D. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； 向量在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 C. 在区间上为减函数 D. 为的一个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据题意得到，再根据正弦函数的图象性质依次判断选项即可. 【详解】 对选项A，的最小正周期为，故A正确； 对选项B，当时，的最大值为，故B错误； 对选项C，因为，， 所以在区间上为减函数，故C正确； 对选项D，， 所以为的一个零点，故D正确. 故选：ACD 【点睛】本题主要考查正弦函数图象的性质，属于简单题. 11. 如图所示，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足平面ABC的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理或面面平行的性质定理，即可得解． 【详解】解：对于A，如图所示，点，为正方体的两个顶点，则， 所以、、、四点共面， 同理可证，即、、、四点共面， 平面，故A错误； 对于B，如图所示，为正方体的一个顶点，则，， 平面，平面，所以平面，同理可证平面 又，、平面， 平面平面， 又平面， 平面，故B正确； 选项C，如图所示，为正方体的一个顶点，则平面平面， 平面， 平面，故C正确； 对于D，连接，则， ，，，四点共面， 平面，与平面相矛盾，故D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线将问题转变为求解与所成角，根据边长关系可求得结果. 【详解】连接， 为中点 则与所成角即为与所成角 在中，，可知为等边三角形 本题正确结果： 【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角的求解，关键是通过平移找到所成角，并将所成角放入三角形中来求解，属于基础题. 13. 函数的图象可由函数的图象至少向右平移_____个单位长度得到． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：,故应至少向右平移个单位. 考点：1、三角恒等变换；2、图象的平移. 14. 某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为，则塔高__________m. 【答案】 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在中，由正切函数的定义即可求得，由此解答即可. 【详解】因为在中，，，， 所以， 由正弦定理得，即，解得， 在中，，所以， 故塔高. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，若与的夹角为． （1）求； （2）向量与互相垂直，求实数的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）首先求出，再根据计算可得； （2）依题意可得，根据平面向量数量积的运算律计算可得； 【详解】（1）因为，，与的夹角为． 所以 所以 （2）因为向量与互相垂直， 所以， 所以 所以， 16. 已知． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最值及相应的值． 【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为，；（2），的最大值为1，，的最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据恒等变换公式可得，根据正弦函数的单调区间可得的单调区间； （2）由，得，根据正弦函数的图象可求得结果. 【详解】（1）， 令，，得，， 故函数的单调递增区间为，； 令，，得，， 故函数的单调递减区间为，． （2）由，得，则， 故当，即，的最大值为1， 当，即，的最小值为． 【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式，考查了降幂公式，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦函数的单调区间，考查了正弦函数的最值，属于中档题. 17. 如图，在三棱柱中，底面，，，，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面． 【答案】（1）证明：因为，，满足，所以， 又因底面，在平面内，所以， 又，且都在平面内，所以平面. 因为在平面内，所以. （2）证明：连接交于点，连接． 因为四边形为矩形，所以点为的中点．又因点为的中点，故． 因为平面，平面，所以平面． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 中，． （1）求角C； （2）若角C为锐角，M是BC边上的一点，，，求的面积． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用和差角的正弦公式化简求解. （2）由（1）的结论，利用正弦定理求出，再利用和角的正弦及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，，得， 整理得，即， 而，解得，又，所以或. 【小问2详解】 由（1）及角C为锐角，得， 在中，由正弦定理得，而， 则，， 因此， 所以的面积为. 19. 《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1） 作的中点，连接， 由得分别为的中点， 所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面 （2） 因为，所以， 因为底面，所以， 又因为平面，且， 所以平面， 所以， 因为，，所以，， 又因为平面， 所以平面； （3） 【解析】 【分析】（1）作的中点，连接，则由三角形中位线定理及平行四边形的性质可证得四边形为平行四边形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论； （2）由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理证得平面，则，由，可得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论； （3）连接交于点，连接，则可得平面，所以与平面所成角为，然后在中求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接交于点，连接， 因为点分别为的中点， 所以， 所以平面， 所以为在平面中的射影， 所以与平面所成角为， 由已知得 所以， 因为为锐角，所以， 所以与平面所成角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $