上册 第5章 追梦基础训练卷（2）-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（北师大版·河南专版）

铺路卷 河南专版·BS· 恋之旅 九年级数学上 ∞ ”为期中、期末铺路艹为中考、未来铺路 第五章追梦基础训练着 二次函数的应用 二次函数与一元 测试时间：100分钟 测试分数：120分 -、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1.设等边三角形的边长为x(x>0),面积为y,则y与x的函数关系 式是( 黑 言腳 A.y B.y D.y=3 吹 2.如图，直线y1=hx+n(k≠0)与抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)分别交于 蜘 A(-1,0),B(2,-3)两点，那么当y>y2时，x的取值范围是() q A.-1<x<2 B.x>2 C.x<-1或x>2D.x≤-1 YA 1(-1,0) T 第2题图 第3题图 第5题图 3.如图，以(1，-4)为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴 负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的范 围是( A.2<x<3 B.3<x<4 C.4<x<5 D.5<x<6 4.二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如 下表所示，根据表中数据判断方程ax2+bx+c=0(a≠0，a,b,c为 爵 常数)的正数解x的取值范围可能是( -4 -3 -2 … 3 如 y=ax2+bx+c 3.25 1 -0.75 -2 -0.75 誓 层 A.-4<x<-3 B.-3<x<-2 C.3<x<4 D.4<x<5 5.某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为y= 25,当水面宽度4B为20m时.水面与桥拱顶的高度w 等于( A.2 m B.4m C.10m D.16m 6.小明以二次函数y=2x2-4x+8的图象为灵感设计了一款杯子， 如图为杯子的设计稿，若AB=4,DE=3,则杯子的高CE 为() A.14 B.11 C.6 D.3 LLZLE11L111L1111111 A 图 图2 第6题图 第7题图 第8题图 7.生活情境·铁栅栏某小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在 学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方 形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个 仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下 一个1米宽的缺口作小门，若设AB=x米，则y关于x的函数关 系式为() A.y=x(18-4x) B.y=x(18-2x) C.y=x(12-4x) D.y=x(12-2x) 8.生活情境·雨伞数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具。 伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线。如图2，以伞 柄所在的直线为y轴，以伞骨OA,OB的交点0为坐标原点建立 平面直角坐标系，点C为抛物线顶点，点A,B在抛物线上，OA, 0B关于y轴对称。已知抛物线的表达式为y=-0.2x2+1,若点 A到x轴的距离是0.6dm,则A,B两点之间的距离是() A.√2dm B.2 dm C.4 dm D.2√2dm 9.生活情境·果冻礼盒超市有一种果冻礼盒，内装两个上下倒置 的果冻，果冻高为4cm,底面是个直径为6cm的圆，如图，横截 面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的 小，这包装盒的长AD至少为( )(不计重合部分，两果冻之 间没有挤压) A.(6+3√2)cm B.(6+23)cm C.(6+2√5)cm D.(6+35)cm 0 4 第9题图 第10题图 10.某农户建设蔬菜大棚，自实施以来，既提高了蔬菜的产能，又增 加了经济收人。如图，这是蔬菜大棚的截面图（近似看成二次 函数的图象—抛物线)，其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨 径OA=12m,顶端C到墙体B0的距离为4m,顶端C到OA的 距离为6m,则大棚与墙的交点B到原点O的距离OB 为( 7 A.3m B.2 C.4m D. 9 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.若抛物线y=x2-6x-a与x轴只有一个交点，则a的 值为 12.一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满 足下面的函数关系式h=-5t2+10t+1,则小球距离地面的最大 高度是 13.生活情境·飞机航行飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于 滑行的时间t(单位：s)的函数解析式是s=40t-0.5t2,飞机着 陆后滑行 秒才能停下来。 14.如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,g) 两，点，则关于x的不等式mx+n<ax+bx+c的解集是 第14题图 第15题图 15.如图，抛物线y=ax2+5ax+4与x轴交于C、D两点，与y轴交于 点B,过点B作平行于x轴的直线，交抛物线于点A,连接AD、 BC,若点A关于直线BD的对称点恰好落在线段DC上，则a= 三、解答题（本大题共8个小题，共75分）》 16.（9分)在数学活动课上，同学们用一根长为1米的细绳围 矩形。 (1)小芳围出了一个面积为600cm的矩形，请你算一算，她围 成的矩形的边长是多少？ (2)小华想用这根细绳围成一个面积尽可能大的矩形，请你用 所学过的知识帮他分析应该怎么围，并求出最大面积。 17.（9分)如图，二次函数y=x2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(1, 0)且与y轴交于点C,点B和点C关于该二次函数图象的对称 轴直线x=2对称，一次函数y=x+n的图象经过点A及点B。 (1)求二次函数与一次函数的解析式。 (2)根据图象，直接写出不等式kx+n≤x2+bx+c的解集。 。21 18.(9分)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两 点，与y轴交于点C,其中A点坐标为(-1,0)，M(2,9)为二次 函数图象的顶点。 （1)求二次函数的表达式。 (2)求△MCB的面积。 AO B 19.(9分)如图，抛物线y=2+br+c过点0(0,0)，B(10,0),矩 形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C,D 在抛物线上，设动点B坐标为(t,0)。 (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标； (2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是 多少？ THE ROAD TO 20.(9分)近年河南文化旅游节期间，某文创店推出两款以河南文 化标志为主题的纪念品：A款为“龙门石窟浮雕纪念牌”，B款 为“唐三彩小马挂件”。已知购进一个A款纪念牌需40元，购 进一个B款挂件需20元。 (1)根据线上预约数据，预计两款纪念品总需求量为400个。 若商家计划用不超过12000元的资金进货，那么至少需要购 进B款“唐三彩小马挂件”多少个？ (2)在销售过程中，商家发现每个A款“龙门石窟浮雕纪念牌” 定价60元时，可售出200个，售价每提高1元，销售量就减少5 个。设每个A款纪念牌售价为a元(60≤a≤100)，W表示商 家销售A款纪念牌所获利润（单位：元），求W关于a的函数表 达式，并求出W的最大值。 。22 21.生活情境·多功能锅(10分)如图1为生活中常见的多功能 锅，锅和锅盖都是抛物线，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛 物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，若某食堂有一口 锅，其锅口直径为6dm,锅深3dm,锅盖高1dm(锅口直径与 锅盖直径视为相同)，建立直角坐标系如图2所示，如果把锅 纵断面的抛物线记为C,把锅盖纵断面的抛物线记为C2。 (1)直接写出C,和C2的解析式； (2)如果烹饪时锅内的水位高度是0.48dm,则此时水面的直 径为 dm; (3)如果将一个底面直径为3.6dm,高度为2.8dm的圆柱形 器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请通过计算说 明理由。 LB(3,0) 实物图 TD0,-3) 图1 22.（10分)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过 A,B,C三点，点A的坐标是(3,0)，点C的坐标是(0，-3)，动 点P在抛物线上。 (1)b= ,C三 ,点B的坐标为 (2)是否存在点P,使得△ACP是以AC边为直角边的直角三 角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在， 说明理由。 23.新考法·项目式学习(10分)问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟 充电1公里”。如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对 该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究。 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，OA是安装充电桩的墙面，AB 易错 是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分， 分析 以点0为原点，表示地面的直线为x轴，OA所在的直线为y 轴，建立如图2所示的平面直角坐标系。已知OA=2.5m,点B 为AB所在抛物线的最高点，其坐标为(4,3.5)。 (1)求AB所在抛物线的函数表达式。 问题解决 如图2，点C是AB上干粉灭火器的安装点，CD是长度为41cm图 的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点。已知干粉喷射点D 距离地面3m时，对地面的保护半径为2m。对空间的保护截 面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域。 安装点C可根据需要在AB所在抛物线上滑动，从D点喷出的 干粉形成的抛物线形状相同。 (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为3m时，灭火器喷射 时能不能覆盖着火点(1,1)？请说明理由。 一B 做题 0 图1 图2 心得作MD⊥x轴于D,又SAACM=SAACO+S四边形oCwD-SAAMD=2 1 1:3a+21:(3a+4o)-2:2:4a=a,.Sa4ew S△McB=1:6 (10分) 第五章追梦基础训练卷（二） 答案12345678910 速查D AC D BBADAD 1.D2.A3.C4.D 5.B【解析】由题意得BC=10m,水面与拱桥顶的高度C0 等于1 25×101=4(m)。故选B。 6.B【解析】小y=2x2-4x+8=2(x-1)2+6,抛物线顶点 D的坐标为(1,6)。AB=4,.B点的横坐标为x=3, 把x=3代入y=2x2-4x+8,得到y=14,∴.CD=14-6=8, ∴.CE=CD+DE=11。故选B。 7.A 8.D【解析】令y=0.6,则-0.2x2+1=0.6,解得x=√2或x =-√2（不符合题意，舍去），点A,B在抛物线上，OA， OB关于y轴对称，∴.AB=2√2dm。故选D。 9.A【解析】设左侧抛物线的表达式为y=ax2(a≠0)，点 A的坐标为(-3,4)，则抛物线的表达式为号，由题 意，得点V的纵坐标为2，将y=2代入抛物线)=g,得 2=号，解得x=3(负佳合去)，则0=2+2x=6 3√2。故选A。 10.D【解析】由题意，设抛物线的解析式为y=α(x-4)2+ 6(a≠0)，点A的坐标为(12,0)，将A(12,0)代入得： (12-4)a+6=0,解得a=2则抛6线的部折式为) 3 32(x-4)2+6,将x=0代入得：y=-号×(0-4)2+6月 号，中B(0,,则0B=,放选D 9 11.-9【解析】由题意，得关于x的方程x2-6x-a=0有两 个相等的实数根，∴.△=36+4a=0,解得a=-9。 12.6米13.4014.-1<x<4 5 一6【解析】抛物线对称轴为x=-2,:B(0,4),…A (-5,4),过A作AE⊥x轴，E为垂足，则AE=4。连接 BD。AB∥x轴，.∠ABD=∠BDO,又点A关于直线 BD的对称点恰好落在线段DC上，∴.∠ADB=LBDO, 即∠ABD=∠ADB,∴.AD=AB=5,则ED=/AD-AE2= √52-42=3，∴.D(-8,0),把D(-8,0)代入y=ax2+5ax +4解得a=- 6 16.解：(1)设她围成的矩形的一边长为xcm,得x(50-x)= 600,解得x1=20,x2=30, (2分) 当x=20时，50-x=30; (3分) 当x=30时，50-x=20,所以小芳围成的矩形的两邻边 分别是20cm,30cm。 (4分)》 (2)设围成矩形的一边长为xcm,面积为ycm2,则有y= x(50-x),即y=-x2+50x=-(x-25)2+625。 (6分) 当x=25时，欧值=625：此时，50-x=25,即用这根细绳 围成一个边长为25cm的正方形时，其面积最大，最大 面积是625cm2。 (9分) 17.解：(1)：二次函数y=x2+bx+c(a≠0)的图象经过点A （1.016+c=0。由题意，得--2，b=-46=3, 追梦之旅铺路卷·九年 .二次函数的解析式为y=x2-4x+3, (3分) ∴C(0,3).点B和点C关于该二次函数图象的对称 轴直线x=2对称，.B(4,3), (4分) 将A(1,0),B(4,3)代入一次函数解析式，得+n=0 4k+n=3' 解得k=1 n=-1一次函数的解析式为y=-1。(6分) (2)由图象可得，不等式x+n≤x2+bx+c的解集为x≤1 或x≥4。 (9分) 18.解：(1)设函数的表达式为y=a(x-2)2+9,将点 A(-1,0)代入得0=a(-1-2)2+9,解得a=-1,故二次 函数的表达式为y=-(x-2)2+9,即y=-x2+4x+5。 (4分) (2)由y=-x+4x+5可知点C(0,5)。 (5分) :A点坐标为(-1,0)，对称轴为直线x=2,∴.B(5,0), 大 .直线BC函数表达式为y=-x+5, (6分) 把x=2代人得y=3,过点M作y轴的平行线交BC于 点H,则点H(2,3),Saa=2MxB0=2×6x5=15。 案 (9分) 12 19.解：(1)：抛物线y=4+x+c过点0(0,0)，B(10, (c=0 0590e=0解得6g抛物线的西数表 2 达式为， 2, (3分) 对称轴= -=5,.当x=5时，抛物线有最小值，最小 一名抛物线顶点坐标为(5,2 2525-25 值y 42 ; (5分) 5 2)5B(亿，0)…AB=10-24,BC=-4P+2,矩形 A0D的周长=2(AB+BC)=2(10-2-r+)= 20. (7分) a= )0,函数有最大值，当1=-。6三 1 -=1 2a 1 2x(-2 41 时，矩形ABCD的周长最大值为：-2+1+20= 20 (9分) 20.解：(1)设需要购进B款“唐三彩小马挂件”x个，则需 要购进A款“龙门石窟浮雕纪念牌”(400-x)个，由题意 得，40(400-x)+20x≤12000，解得x≥200，答：至少需要 购进B款“唐三彩小马挂件”200个； （4分) (2)由题意得，W=(a-40)×[200-5(a-60)]=-5a2+ 700a-20000=-5(a-70)2+4500,.当a=70时，W取最 大值，W的最大值为4500元。 (9分) 2L.解：(1)C1y三3x-3C2:y=9t+1; (4分) (2)2.4 (6分) (3)锅盖不能正常盖上， (7分) 理由：3.6÷2=1.8(dm),当x=1.8时，C:y7×1.8 3=-1.92,C2y=-。×1.82+1=0.64,064-(-1.92)月 2.56<2.8,.∴.锅盖不能正常盖上。 (10分) 22.解：(1)-2-3(-1,0) (3分) (2)存在， (4分) 理由：①当∠ACP是直角时，由点A、C的坐标知，0C= 吸·BS·数学第12页 0A,即∠BAC=45°，则PC与x轴的夹角为45°，∴.直线 PC过点(-3,0)，设PC表达式为y=mx+n(m≠0)，把 点(-3,0)，(0，-3)代入得气3mtn=0,解得{m, n=-3 n=-3 PC表达式为y=-x-3。 (5分) 9金去流 P(1,-4); (7分) ②当∠P'AC为直角时，同理可得点P'的坐标为 (-2,5);综上所述，P的坐标是(1，-4)或(-2,5)。 (10分) 23.解：(1)由题意，AB所在抛物线的顶点坐标为(4,3.5)， .∴.设AB所在抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3.5,将点 大 A(0,2.5)代入得2.5=a(0-4)2+3.5,解得a= 16 豪 AB所在抛物线的解析武为y=16(x-4)'+3.5,即y= 625 (4分) (2)不能覆盖着火点(1,1)， (5分) 理由如下，由题意得，yc=3+0.41=3.41,对于y=16x 1 -4)35,令y=341,则341=（红-4+3.5，解得 x=5.2或x=2.8,5.2>4,.点C(2.8,3.41),.点D (2.8,3)。 (7分) 设此时抛物线的解析式为y=b(x-2.8)2+3,.对地面 的保护半径为2m,∴.此抛物线与x轴的两个交点为 (2.8-2,0)和(2.8+2,0)，即(0.8,0)和(4.8,0)，将 (0.8,0)代入得0=6(0.8-2.8)2+3，解得6=-3 …抛 物线的解析式为7=子(：-28)43， (9分) 令x=1,则y=0.57<1,.点(1,1)在抛物线与x轴形成 的区域的外侧，∴.不能覆盖着火点(1,1)。 (10分) 第五章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查CCAD D CC AAC 1.C2.C3.A 4.D【解析】由题意，得A(1,3)与B(m,3)关于对称轴x= 4对希1=4，解得m=7。故连D 5.D【解析】二次函数y=|alx2+bx+c的图象经过A (m,n)、C(3-m,n),∴开口向上，对称轴为直线x= m+3-m=3 2 =2。B(0,y),D(2,),E(2,y)与对称轴 的距离中B最远，D最近，y2<y3<y1。故选D。 6.C【解析】设每顶头盔降价x元，利润为w元，由题意可 得，w=(80-x-50)(200+20x)=-20(x-10)2+8000,当 x=10时，心取得最大值，此时80-x=70,即该商店每月 获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元。故选C。 7.C 8.A【解析】函数的对称轴为：x=m,当x<-2时，y随x增 大而增大，当x>0时，y随x增大而减小，则-2≤m≤0。 .m-2m-3=0,解得m=3或-1，∴.m=-1,则x=0时，y =-2(x+1)2+4=2。故选A。 9.A【解析】根据题意知，点B的横坐标的最大值为3，即 可知当对称轴过N,点时，点B的横坐标最大，此时的A 点坐标为(-1,0)，当对称轴过M点时，点A的横坐标最 小，此时的B点坐标为(1,0)，此时A点的坐标最小为 （-3,0),故，点A的横坐标的最小值为-3。故选A。 10.C【解析】由题意，得△=b2-4ac>0,即b2>4ac,所以① 追梦之旅铺路卷·九年 b 3 正确：.抛物线的对称轴为直线x= 20-2,6= 3a,.b+2a=5a,而抛物线的开口向下，∴.a<0,∴.b+2a< 0,所以②正确；”抛物线的对称轴为直线x=- 2当 2y随x的增大而增大，所以③正确；“x=-1时， 3 y>0,∴.a-b+c>0,所以④错误。故选C。 【归纳总结】二次项系数a决定抛物线的开口方向和大 小。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口 向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的 位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左侧；当a与b异 号时，对称轴在y轴右侧。常数项c决定抛物线与y轴 交点：抛物线与y轴交于(0，c)。抛物线与x轴交点个数 由判别式确定：△=b-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交 点；4=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；4=b2- 4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。 11.(4,3)12.x1=-3,x2=113.四 14.3【解析】建立如图所示的平面直角 坐标系，根据题意得A(0,6),B(6, A 0),设抛物线解析式为y=ax2+6,把BC x (6,0)代入，得a=- 6,所以抛物线的 0 解折式为y=名46，含=4时y-0,0月 3’33=3,所 以通过隧道车辆的高度限制应为3 15a-1或好≤0<兮【解析小：直线=子+经过 4 3 点M(-1)布点M2,）m=官X(-1)+-2,n 2+写=1，M(-1,2),N(2,1)。抛物线y= 1 = ax2-+2(a≠0)与线段MW有两个不同的交点，心3 1 +号m+24=号号0a<3,当a<0时， 仔452解得a≤-1。当a>0时，仔站2解 得a≥4子≤a行。上所迷：a≤-1或}≤a< 11 1 1 30 16.解：(1)把(2,1)代入y=x2-2x+c得4-4+c=1,解得c= 1, (2分) 所以抛物线解析式为y=x2-2x+1=(x-1)2,所以抛物 线顶点坐标为(1,0)。 (4分) (2)抛物线的对称轴为直线x=1, (7分) 而新抛物线与x轴交于A、B两点，AB=2,所以 A(0,0),B(2,0),所以新抛物线的解析式为y=x(x- 2),即y=x2-2x。 (9分) 4a+2b+c=0 1 17.解：(1)由题意得 -=1 解得2，之，故抛物 2a b=1 (b-1)2-4ac=0 c=0 线的表达式为y=子+ (5分) (2):(m,y1),(m+2,y2)是抛物线y=ax2+bx+c上的两 1 点，则为-y1=-m+2)2+(m+2+)m-m=-2m, (7分) 故当m≥0时，y2y1≤0；当m<0时，y2>0。(9分) 级·BS·数学第13页