上册 2.2 一元二次方程的应用-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（北师大版·河南专版）

动轨迹是射线CG,根据垂线段最短可知，当GH⊥CG 时，GH的值最小。DH=2CD=2,CH=CD-DH=3 3 -2=1,最小值=2 29 12.证明：.四边形ABCD是矩形，∴.∠DAB=∠B=90°。. DE⊥AF,.∠DAB=∠AGD=90°，.∠BAF+∠DAF= 90°，∠ADE+∠DAF=90°，∴.∠BAF=∠ADE,(4分) .:AF=DE,∴.△ABF≌△DAE(AAS),∴.AB=AD,.四边 形ABCD是正方形。 (8分) 13.证明：如图，.四边形ABCD为正方 形，∴.DC=CB,∠DCB=90°，∠DCF=D下 62》 ∠BCF=45°，在△DFC与△BFC中 (DC=CB ∠DCF=∠BCF, CF=CF ∴.△DFC≌△BFC(SAS),.∠1=∠6。BH为中线， BH=GH,.∠3=∠4。L4=L5,∠5+∠6=90°，.∠1+ ∠3=90°，即BF⊥BH。 (9分) 14.(1)证明：DE⊥BC,.∠DFB=90°，∠ACB=90°，∴. ∠ACB=∠DFB,∴.AC∥DE,.·MN∥AB,即CE∥AD,∴.四 边形ADEC是平行四边形，：.CE=AD: (3分) (2)解：四边形BECD是菱形， (4分) 理由是：D为AB中点，∴.AD=BD,·CE=AD,∴.BD= CE,:BD∥CE,四边形BECD是平行四边形，： ∠ACB=90°，D为AB中点，∴.CD=BD,∴.四边形BECD 是菱形： (7分) (3)解：当∠A=45时，四边形BECD是正方形，(8分) 理由：∠ACB=90°，∠A=45°，∴.∠ABC=45°，由(2) 可知，四边形BECD是菱形，∴.LABC=∠CBE=45°，∴ ∠DBE=90°，∴.四边形BECD是正方形。 (10分) 第二章一元二次方程 一元二次方程及其解法、根与系数的关系 1.D 2.D【解析】整理，得x2-mx+1=0,一次项的系数为-2， ∴.-m=-2,解得m=2。故选D。 3.D4.D 5.B【解析】设原来的方程为ax2+bx+c=0(a≠0)，由题 知，6 =6+1=7,。=-2×(-5)=10,所以6=-7a,c= 10a,所以原来的方程为ax2-7ax+10a=0,当a=1时，x2 7x+10=0。故选B。 6.B 7.A 【易错提醒】本题主要考查三角形三边关系、等腰三角形 的定义及解一元二次方程，在解出方程后，分类讨论，然 后要根据三角形的三边关系判断三角形是否存在，最后 得出结论。 8.B 9.010.202811.3x-4-5=012.第二象限 13.解：(1)直接开平方，得x-3=±5。 (2分) x1=8或x2=-2; (4分) (2)移项，得x2+3x=1。 (5分) 配方，得(x+2) (6分) 3 直接开平方，得x+ 2或3-3 名-3 2； (8分) (3)移项，得5x2-9x-18=0。 a=5,b=-9,c=-18,△=b2-4ac=441。 (10分) x=-bt√6-4ac_9±V49±21 2a 2x5 2x5 追梦之旅铺路卷·九年 即x1=3或x=5 6 (12分) (4)a=3,b=-9,c=1,4=b2-4ac=69。 (14分) x=-bt-4ae_9±v6丽 2a 2x3,即￥，=9+V6丽 或x2= 6 9-/69 (16分) 6 由题意，得4=3-4×1X(-2)≥0，解 (4分) (2):方程x2+3x+k-2=0的两个实数根分别为x1,x2, .x1+x2=-3,x1x2=k-2。（x1+1)(x2+1)=-1,.x1x2 +(x1+x2)+1=-1,.k-2+(-3)+1=-1,解得k=3。 (9分) 15.解：(1)x2+2x-3=(x+3)(x-1)； (2分) (2)x2-4x+3=0,(x-3)(x-1)=0,x-3=0或x-1=0,所 以x1=3,x2=1； （5分) (3)5x2+7x-6=0,(5x-3)(x+2)=0,5x-3=0或x+2= 0,所以x=5为=二2。 (9分) 一元二次方程的应用 1.C 【方法点拔】列一元二次方程解决平均增长（降低）率问 题：a(1±x)2=b,其中a为原有基础量，x为两次平均增 长（降低）率，b为增长（降低）后的现有量。 2.D 3.C【解析】设劳动基地中的道路宽为x米，由题意得， （34-2x)(18-x)=480,解得x1=2,x2=33(不符合题意， 舍去)。故选C。 4.C【解析】设涨价t元，根据题意列方程得：(10+t-8) (20-10x0与)=700(2+0(10-)=35，解得4=3,4 =5,.10+3=13(元)或10+5=15（元），即售价为13或 15元时，每天的利润可得到700元。故选C。 5.C 6.C【解析】设四个数中最小数为x,则其他三个数为x+ 1,x+7,x+8,由题意，得x(x+8)=153,解得x1=-17(舍 去)，x2=9,∴.x+1=10,x+7=16,x+8=17,9+10+16+17 =52,∴.这四个数的和为52。故选C。 路 7.(40-x)(20+2x)=1200 8.1【解析】设AB长为xm,则BC长为(5+1-2x)m。依题 意得x(5+1-2x)=4,整理得x2-3x+2=0,解方程得x1= 手 1,x2=2。当x=1时，6-2x=4;当x=2时，6-2x=2(舍 去)。∴.AB的长为1m。 案 9.14【解析】设A组共有x个班，依题意得 2x(x-1)= 21,解得x1=7,x2=-6(舍去)，∴.2×7=14（个）。 10.解：设剪掉的正方形纸片的边长为xcm。由题意，得 (30-2x)(20-2x)=264。整理，得x2-25x+84=0。解方 程，得x1=4,x2=21(不符合题意，舍去)。答：剪掉的正 方形的边长为4cm。 (9分) 11.解：(1)设x秒后，PQ=2√10，BP2+BQ2=PQ2,∴(5- x)2+(2x)2=(2√10)2，解得x1=3,x2=-1(舍去)， （4分) .3秒后，PQ的长度等于2√/10cm; (5分) (2)△PQB的面积不能等于7cm, (6分) 原因如下：设t秒后，△PQB的面积等于7cm2,则PB=5 -t,QB=2L,又SAB=7×BPXQB=7,2×(5-t)×2t= 7,∴.t2-5t+7=0, (7分) 4=(-5)2-4×1×7=-3<0,.方程没有实数根， △PQB的面积不能等于7cm2。 (9分) 及·BS·数学第32页 12.解：(1)(500-10x) (3分) (2)根据题意得：(30+x-20)(500-10x)=8000,解得：x1 =10,x2=30, (7分) 又.要尽可能让顾客得到实惠，.x=10。答：该木雕的 售价上涨10元/件。 (10分) 第三章图形的相似 相似多边形 1.D2.D3.B 4.B【解析】对折两次后得到的小长方形纸片的长为b, 1 a b 宽为40，：小长方形与原长方形相似，心6=1心a =2b(负值已舍去)。故选B。 5.116.9 7.解：(1)设 =6=C=k,则a=5k,b=4k,c=6k, 2b+c =4=6 Aa =2×4k+6k1467 4×5k20k109 (3分) (2)△ABC的周长为60，.a+b+c=60,.5k+4k+6k= 60,∴.k=4, (5分) ∴.a=5k=20,b=4k=16,c=6k=24,.三角形的各边的长 分别为20,16,24。 (7分) 相似三角形的判定 1.A2.C3.C4.D5.A 6.∠B=∠E(答案不唯一)7.6 88 9 【解折BP=BC=2,BC=6CP=4,AB= AC=9,.∠B=∠C,∴.∠BAP+∠APB=180°-∠B, ∠APD=∠B,∴.∠APB+∠DPC=180°-∠APD=180° ∠B,LDPC=∠BMP,△ABP△PCD,g-Pg PC DC .CD 9.3或5【解析】分两种情况：①若△EFP∽△ABB,则 6 铺 ∠PEF=LEAB,.PE∥AB,.四边形ABEP为矩形，. PA=EB=3;②若△PFE△ABE,则∠PEF=∠AEB。 AD∥BC,.∠PAF=LAEB,.∠PEF=∠PAF,.PE= 答案 PA。PF⊥AE,.点F为AE的中点，Rt△ABE中，AB= 4,BE=3,.AE=5,.EF=2AE=5 2。:△PEF △AEB, AE BE PE=PA=25 PE EF 。满足条件的PA的 值为3或25 9 10.解：由题意可知：DF=AD-AF=5-3=2,FE/CD,∴DF AF 器点w (4分) AD AE AF AE (2)证明：DE/BC,DB-EC FE/GD,FDEC 0 (9分) 11.解：(1)△BCD∽△BAC。 (1分) 4 理由如下：~BD-3_2BC-2.BDBC BC2=3'BA=3,BCBA,而 追梦之旅铺路卷·九年 ∠DBC=LCBA,∴.△BCD∽△BAC; (5分) (2:△BCD△BAC,C0-BC AC-BA CD=5 3,BA=3, BC=2,AC=CD·BA 2 (9分) BC 12.解：(1)依题意可得BP=20-4x,CQ=3x,当BP=CQ时， 20 20-4x=3x,解得x= 70 (4分) (2)能。 (5分) ①当△A△c08时布品器.即费-帮得 或=0（含去： x=- (7分) ②当△APQ∽△CBQ时，有 品品货“解得 203x =5或x=-10(合去)。放当-号秒或=5秒时， △APO与△COB相似。 (10分) 相似三角形的性质 1.B 2.B【解析】.四边形ABCD是平行四边形，.DCAB,. △DFEM△BFA。S△DEr:S△ABr=4:25,.EF:FA=2:5, SADEF:S△Dr=2:5。故选B。 3.C 4.B【解析】：EH∥FG∥BC,∴.△AEH△AFG∽△ABC, 又：AB被藏成三等份，小SAe :@-(45=a- AB =9’SAABC (0-号52m5e8om别5au=5 -S△ABm=6cm2。故选B。 5. 6.B【解析】设像CD的长度变为原来的1.5倍时小孔0 到人AB的距离为x米。AB∥CD,∴.△OAB△ODC, 品级解得=4，人向晴空前连2术，故 选B。 7.1568.4 9.50【解析】过，点C作MN平行于水平线，过A作AM1 MN,过点B作BN⊥MN,∴.AM∥BN,.△ACM∽△BCV, ACW即AM=5BN。当BN≥10cm时，AMP 50cm。故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端，点A向 下压50cmc CE AC 4 10.解：(1)AC∥BD,.△ACE△DBE,BEDB6 2 .SAcEr=2 CE_CF=2 3SAnE3CBCD (2分) 又：LECF=LBCD,.△ECF∽△BCD,BDCD EF CF 子Bn-号6 12 (4分) 5 59 (2):△ECFM△BCD,SAm（ ScE=()2、4】 -25° (6分) SAC=25,心S4cr=25×4=4-△CEF的面积为4 (9分) 11.解：二、三 (2分) 选方案一：∠ECD=∠ACB,∠EDC=∠ABC,∴.△ABC AB BC △EDC,.=,.AB三CD二·5U。（6分) 级·BS·数学第33页一元二次) 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.科技情境·AI模型DeepSeek-AI模型的 能力与其训练数据量密切相关。假设在某 个研发阶段，DeepSeek模型的初始训练数 据量为500万亿个标记(tokens)。研发团 队计划通过两次数据扩容，使最终的训练 数据量达到720万亿个标记，求每次数据扩 容的平均增长率。设每次数据扩容的平均 增长率为x,则可列方程() A.500(1+2x)=720B.500(1+x2)=720 C.500(1+x)2=720D.500(1+x)=720 2.新年里，一个小组有若干人，若每人给小组 的其他成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡 共90张，此小组人数为( A.7 B.8 C.9 D.10 3.如图，在一块矩形的劳 34米 动实践基地上有三条 18米 同宽的道路，横向有一 条，纵向有两条，除道 路外，剩下的是种植面积。已知该矩形基地 的长为34米，宽为18米，种植面积为480 平方米，则劳动基地中的道路宽为() A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米 4.某商店将进货价为8元/件的商品按10元/ 件售出，每天可售200件。通过调查发现， 该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10 件。售价为( )元时，每天的利润可得 到700元。 A.13 B.15 C.13或15 D.10 5.文化情境·数学文化《田亩比类乘除捷法》 追梦之旅铺路卷·铺路帮手 方程的应用 测试分数：55分 是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个 数学问题：“直田积八百步，一只云长阔共 六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形 田地的面积为800平方步，只知道它的长与 宽共60步，问它的长比宽多()步？ A.15B.12 C.20 D.6 6.如表是一张月历表，在此月历表上用一个长 方形任意圈出2×2个数（如17,18,24,25）， 如果圈出的四个数中最小数与最大数的积 为153，那么这四个数的和为( 1 2 3 5 6 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A.40 B.48 C.52 D.56 二、填空题（每小题3分，共9分） 7.生活情境·商场促销某商场平均每天可售 出20件童装，每件盈利40元。为了迎接 “六一”儿童节，商场决定采取适当的降价 措施。经调查，如果每件童装降价1元，那 么平均每天就可多售出2件。要想平均每 天销售这种童装盈利1200元，则每件童装 应降价多少元？设每件童装应降价x元，可 列方程为 .0 8.如图，邻边不等的矩形花圃 围墙 A ABCD,它的一边AD利用已 B EF 有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是 5m。EF处开一门，宽度为1m,若长方形 ABCD的面积为4m2,则AB的长度是 m(可利用的围墙长度不少于4m)。 九年级·BS·数学第9页 9.九年级举行班级足球赛，先把所有班通过抽 签平均分成A,B两组，在每一组中进行单 循环的小组赛（每两个班之间比赛一场）， 再从每组中选出前4名进行比赛，最后进行 决赛得出名次。若A组共进行了21场小组 赛，则九年级共有 个班。 三、解答题（共28分） 10.（9分)一张长为30cm,宽20cm的矩形纸 片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪 去一个边长相同的正方形后，把剩余部分 折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示， 如果折成的长方体纸盒的底面积为 264cm2,求剪掉的正方形纸片的边长。 图1 图2 11.(9分)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB= 5cm,BC=7cm,点P从点A开始沿AB边 向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B 开始沿BC边向点C以2cm/s的速度 移动。 (1)如果P,Q分别从A,B同时出发，那么 几秒后，PQ的长度等于2√10cm? 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·九 (2)△PQB的面积能否等于7cm2?请说 明理由。 12.(10分)根据以下素材，探索完成任务。 微州木雕是我国一种独特的民间 艺术，经过选材、放样、打坯、精 背景 雕、打磨、上漆、抛光等多道工序 制成，作品精巧典雅，气韵生动， 表现出浓郁的徽州特色。 某种木雕的制作成本为20元/件， 某商店销售一段时间后发现，当 该木雕售价为30元/件时，月销售 素材 量为500件。若在此基础上每件 木雕的售价每上涨1元，则该木雕 月销售量将减少10件，设该木雕 的售价上涨x元/件。 问题解决 任务 (1)该木雕月销售量为 1 件；（用含x的代数式表示） (2)该商店为使月销售利润达到 任务 8000元，且尽可能让顾客得到实 2 惠，则该木雕的售价需上涨多少 元/件？ 年级·BS·数学第10页