上册 1.1 认识特殊平行四边形&1.2 菱形的性质与判定-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（北师大版·河南专版）

九」 第一章特彩 认识特殊平行四边形 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共21分） 1.如图，添加下列条件仍然不能使口ABCD成 为菱形的是() A.AB=BC B.AC⊥BD C.∠ABC=90° D.∠1=∠2 B E D 0 第1题图 第2题图 2.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC= 6,将线段AB水平向右平移a个单位长度 得到线段EF,若四边形ECDF为菱形时，则 a的值为()》 A.1 B.2 C.3 D.4 3.在菱形ABCD中，对角线AC=6cm,BD=8 cm,则菱形ABCD的周长为( ) A.10 cm B.20 cm C.12 cm D.24 cm 4.如图，AC为菱形ABCD的对角线，已知 ∠ADC=140°，则∠BCA等于( ) A.40° B.30° C.20° D.15° 第4题图 第5题图 5.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与 BD相交于点O,DH⊥BC于点H。若AC= 8,BD=6,则DH的长度为() .5 D.4 6.如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长 为8，延长AB至点E,BF平分∠CBE,点G是 追梦之旅铺路卷·铺路帮手 味平行四边形 菱形的性质与判定 测试分数：70分 BF上任意一点，则△ACG的面积为() A.6 B.12 C.20 D.24 E 第6题图 第7题图 7.如图，在口ABCD中，以点A为圆心，AB长 为半径作弧交AD于F,分别以点F,B为圆 心，大于2BF长为半径作弧，两弧交于点 G,作射线AG交BC于点E,若BF=6,AB= 5,则AE的长为() A.4 B.6 C.8 D.10 二、填空题（每小题3分，共12分） 8.如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时， 他是这样操作的：分别以点A,B为圆心，大 于2AB长为半径作弧，两弧相交于点CD, 则直线CD即为所求。根据他的作图方法 可知四边形ADBC一定是 D B 第8题图 第9题图 9.如图，用七支长度相同的铅笔，排成一个菱 形ABCD和一个等边△DEF,使得点E,F分 别在AB和BC上，那么∠B的度数 为 10.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为12 和15，P是对角线AC上任一点（点P不与 点A、C重合)且PE∥BC交AB于E,PF∥ CD交AD于点F,那么阴影部分的面积 九年级·BS·数学第1页 是 第10题图 第11题图 11.如图，菱形ABCD的周长为40，面积为80， P是对角线BD上一点，分别作P点到AB、 AD的垂线段PE、PF,则PE+PF的值 为 三、解答题（共37分） 12.(9分)如图，菱形ABCD中，点E在边BC 上，点F在边CD上，且∠DAE=∠BAF。 求证：AE=AF。 13.(9分)如图，△ABC中，∠ACB=90°，EF垂 直平分BC,垂足为D,交AB于点F,CE∥ AB,连接BE、CF。 (1)求证：四边形CFBE是菱形； (2)若AB=10,BC=8,求DF的长。 追梦之旅铺路卷·铺路帮手 14.(9分)如图，在平行四边形ABCD中，点O 是对角线AC中点，过点O作EF⊥AC交 BC于点E,AD于点F,连接AE,CF。 (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若AE=8,AC+EF=20,求四边形AECF 的面积。 15.（10分)已知：如图，Rt△ABC中，∠B= 90°，AB=8,BC=6,D是AB边上一个动 点，连接CD,作CE∥AB,作AE∥CD交CE 于点E,连接DE与AC交于点O。 (1)求证：OD=OE; (2)若四边形ADCE是菱形，求菱形ADCE 的面积。 九年级·BS·数学第2页∠ACE=∠DAE,·BF=BC,.·.∠BCE=∠BFC=∠AFE。 (2分) .AC是⊙O的直径，∴.∠E=90°，.∠ACB=∠ACE+ LBCE=∠DAE+∠AFE=90°，∴.BC⊥OC。OC是⊙0 的半径，且BC⊥OC于点C,.BC是⊙O的切线； (4分) ②》解：人4Cg=06-船子BC=号8， 5 .OA=OC=4,..AC=20A=8,AC=AB2-BC2= h8-(4a)F=号AB=-8AB=10BF=BG=号× 5 10=6,∴.FA=AB-BF=10-6=4。 (6分) AE .·∠FAE=∠ACE,∠E=∠E,∴.△FAE∽△ACE,∴. CE AGAE-CE AC-ARCR FA 4 1 √分cge.5 CE=8,CE=165 ,·CE的长 是16,5 (9分) 19解：（1)：反比例函数y车（>0)的图象经过点C,k 16 =4x4=16,.反比例函数的表达式为y= (3分) (2)由条件可知C02=42+42=32,含45°角的三角板 0AC为等腰直角三角形，∠AC0=90°，∴.AC=C0,A0= /C0+AC2=8。 (5分) △OAB绕点O顺时针旋转90°到△OEF的位置，∴.OE =0A=8,D的对应点G在y=16的图象上，且横坐标 为8，yc=2,.EG=2,由旋转可得：AD=GE=2,.D(- 2,8)。 (9分) 20.解：(1)设每个甲种文创的进价是x元，每个乙种文创 16x+10,=220解得{x=10, 的进价是y元，由题意得：xy=4 (y=6 答：每个甲种文创的进价是10元，每个乙种文创的进 价是6元； (4分) (2)设购进甲种文创a个，则购进乙种文创(400-a)个， 由题意得：10a+6(400-a)≤3000，解得a≤150。(6分) 设总利润为w元，由题意得：w=(13-10)a+(8-6)(400 -a)=a+800,:k=1>0,∴.0随着a的增大而增大，∴.当 a=150时，w有最大值=150+800=950，此时，400-a= 250,答：总利润最大的进货方案为购进甲文创150个 乙文创250个。 (9分) 21.解：(1)根据题意知AB⊥BF,CD⊥BF,BE=2m,DE= 0.5m,.BD=BE-DE=2-0.5=1.5(m),CD∥AB, △FCD∽△FAB. (2分) FD 1 伦0且FB=FD+BD=PD+1.5,F0t5于 解得FD=3,经检验，FD=3是原分式方程的解，∴.FD= 3m,∴.EF=FD-DE=3-0.5=2.5(m); (4分) (2)不能， (5分) 理由如下：过点M作MN⊥FB交AF于点N,.FM=EF -ME=2.5-0.8=1.7(m),FD=3m,MD=ME+DE=0.8+ 0.5=1.3(m),MN∥DC,∴.△FMW△FDC, （7分) MNFM即MN_1.7」 DCFD' 1=3,MN≈0.57,0.57>0.5， 驾驶员不能观察到物体。 (9分) 22.解：(1)(2，-1)3y=(x-2)2-1(每空1分，共3分) (2)如图所示， 追梦之旅铺路卷·九年 124* (5分) (3)①将y=(x-2)2-1向右平移n个单位长度，得y= (x-2-n)2-1,当x=1时，p=(1-2-n)2-1=n2+2n,当x =3时，q=(3-2-n)2-1=n2-2n,p-q=n2+2n-(n2- 2n)=4n,∴.p-g恒为4的倍数； (8分) ②n的值为4。 (10分) 【解析】由①得平移后解析式为y=(x-2-n)2-1, 对称轴为直线x=n+2,:开口向上，，抛物线图象上的 点离对称轴越远则y的值越大，i)当n+2-3>5-(n+2), 即n>2,.当x=3时，函数有最大值y=(3-2-n)2-1= 8,解得：n=4或n=-2(舍去)；i)当n+2-3<5-(n+2), 即0<n<2,.n=1,当x=5时，函数有最大值y=(5-2 -1)2-1=3≠8，不符合题意；综上可得：n的值为4。 23.解：(1)60° (2分) (2)过A作AE⊥BD于点E,:四边形ABCD是正方形， BD是对角线，∴.∠ADE=45°，即△ADE为等腰直角三 角形，AD=√2AE,∠DAE=45°。 (3分) 由旋转可知△APQ是等腰直角三角形，∴.AQ=√2AP, ∠PAQ=45,Ag-A=2,∠PAE=∠QAD=450马 ∠DAP,.△APE∽△AQD,∴.∠ADQ=∠AEP=90°； (5分) ②在Rt△ABE中，BE=AB·cOs45°=√2，∴.PE=BP-BE 2-√2，由①知△APE∽△AQD,.1 =2,…DQ=2 PE=2√2-2： (8分) (3)BP的长为2±√2。 (10分) PQ 【解析】在Rt△APQ中，LAQP=30,AP=3,: ∠ADB=30°，.∠ABD=60°，过A作AL⊥BD于点L,过 Q作QK⊥BD于点K,则QK=√6，在Rt△ABL中，BL= AB·cos60°=2，①当Q在BD上方时，如图1，易证 QK OP AOPKAPAL3L-2BPBL+ 路 PL=2+√2；②当Q在BD下方时，如图2，得PL=√2， 手 BP=BL-PL=2-√2；综上，BP的长为2±V2。 】 案 图1 图2 《铺路帮手》答案 九 第一章特殊平行四边形 认识特殊平行四边形菱形的性质与判定 1.C2.B3.B 4.C【解析】四边形ABCD是菱形，.∠D+∠BCD= 180°，∠DCA=∠BCA,.∠ADC=140°，∴.∠BCD=40°， 1 ∴.∠BCA= ∠BCD=20°，故选C。 2 5.C6.B7.C8.菱形9.100°10.45 11.8【解析】连接AP。:四边形ABCD是菱形，菱形AB CD的周长为40，∴.AB=AD=10。.PE⊥AB,PF⊥AD, .·BS·数学第30页 S菱aam=2SaMn=2(SAARP+SaAP)=2X(2AB·PE+ 2D,PF)）=10(PE+PF)=80,PE+Pp=8。 12.证明：四边形ABCD是菱形，.∠B=∠D,AB=AD, (3分) ·.∠DAE=∠BAF,∴.∠DAE-∠EAF=∠BAF-∠EAF,即 ∠DAF=∠BAE,.△ABE≌△ADF(ASA),.AE=AF。 (9分) 13.(1)证明：.CE∥AB,∴.∠DCE=∠DBF,.·EF垂直平分 BC,.CD=BD,在△CDE和△BDF中， I∠DCE=∠DBF CD=BD ,△CDE≌△BDF(ASA),DE= (∠CDE=∠BDF DF,.四边形CFBE是平行四边形，又：EF⊥BC,.平 行四边形CFBE是菱形； (4分) (2)解：∠ACB=90°，AC=√AB2-BC=√102-82= 6,:AC⊥BC,EF⊥BC,AC∥EF,又CE∥AB,.四边 形ACEF是平行四边形，.EF=AC=6,由(1)可知DF= DE,.DF=2EF=3。 (9分) 14.（1)证明：点0是AC中点，EF⊥AC,∴.EF是AC的垂 直平分线，.AF=CF,AE=CE,OA=OC。:四边形AB- CD是平行四边形，∴.ADBC,∴.LCAF=LACE,∠AFE I∠AFE=∠CEF =∠CEF。在△AOF和△COE中{∠CAF=∠ACE,∴ (OA=OC △AOF≌△COE(AAS)。∴.AF=CE,·.AF=CF=CE= AE,.四边形AECF是菱形： (4分) (2)解：四边形AECF是菱形，AC⊥EF,AO=C0,EO FAE-8.AG+EF-20A0+EAG+EF)= 10,.(A0+E0)2=100,即A02+E02+2A0·E0=100。 在Rt△A0E中，A02+E02=AE2,∴.A02+E02=64, 1 240·E0=100-64=36,S菱形acr=2AC·EF=2A0 ·E0=36。 (9分) 15.（1)证明：CE∥AB,AE∥CD,.四边形ADCE是平行四 边形，∴.OD=OE; (4分) 路 (2)解：四边形ADCE是菱形，.AC⊥DE,AD=CD,设 AD=CD=x,则BD=8-x,在Rt△BCD中，由勾股定理 答案 A0=2 得：62+(8-x)2=2,解得：=25 4S变形Dce= ADXBC=75 (10分) 矩形的性质与判定 1.D2.D 3.A【解析】：四边形ABCD是平行四边形，OA=2,.AC =20A=4,当BD=AC=4时，平行四边形ABCD是矩形， 故选A。 4.C5.B 6.C【解析】连接CE,,·四边形ABCD为矩形，AB=6,BC =8,AD=BC=8,AB=CD=6,∠ADC=90°，OA=0C, OE⊥AC,.AE=CE,设AE=x,则CE=x,DE=8-x,在Rt △DEC中，CE2=DE2+CD2,∴.x2=(8-x)2+62,解得x= AG25 25 ,故选C。 7.B【解析】连接MP。∠BAC=90°，AB=6,AC=8,∴. BC=√6+82=10，PE⊥AB,PF⊥AC,.四边形AFPE 1 是矩形，M为EF的中点，EF=AP,AM=2AP,:当 AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，∴.当AP⊥BC时， 追梦之旅铺路卷·九年 AP=AB·AC_6x824 12 BC—=10=5·AM的最小为2AP= 故选B。 8.90°9.210.124° 11.4【解析】连接DE,四边形ABCD是矩形，.AD∥ BC,∠BCD=90°，CD=AB=3,AD=BC,.∠ADE= ∠DEC,,'DF⊥AE,∴.∠DFE=90°，又，·FE=CE,DE= DE,.Rt△DEF≌Rt△DEC(HL),.DF=DC=3,∠FED =∠CED,∴.∠FED=∠ADE,∴.AE=AD=BC,∴.BE=BC -EC=AE-EC,设AE=BC=x,则BE=x-1,在Rt△ABE 中，由勾股定理可得AB+BE2=AE2,即32+(x-1)2=x2, 解得x=5,即AE=5,∴AF=AE-EF=5-1=4o 22 【解析】：AB=6,BC=8,.矩形ABCD的面积为 48,4C=√AB+BC=10,“A0=D0=2AC=5,:对角 线AC,BD交于点O,.S△AOD= 4×48=12,E01A0, EF⊥D0,∴SA0=SAM0e+SA0e,即12=7A0·E0中 2 D0·EF,÷.5(E0+EF)=24,.E0+EF=50 24 13.解：，四边形ABCD为矩形，AB=6,BC=8,.CD=AB= 6,0B=0D, （4分) .C△Boc-C△oc=OB+OC+BC-(0D+OC+CD)=BC-CD =8-6=2,.△B0C与△D0C的周长差为2。(9分) 14.(1)证明：：A0=C0,B0=D0,.四边形ABCD是平行 四边形，.·∠COD=∠OBC+∠OCB,∠COD=2∠OBC, .∠OBC=∠OCB,..OB=OC,即AC=BD,.四边形 ABCD是矩形； (5分) (2)解：由(1)可知，四边形ABCD是矩形，SAAn= 3 SAco0=2SANc=2X4=2,OD=40E,DE=0D, 2 3 3 3 SAAD=SA40D=X2= 20 (10分) 15.证明：(1)四边形ABCD是矩形，AD∥BC,∠ADG =∠DGC,由旋转可知，AD=AG,.∠ADG=∠AGD,∴. LAGD=LDCC,∴.GD平分LAGC; (5分) (2)过点D作DM⊥AG于点M,连接ME。四边形 ABCD是矩形，∴.AD∥BC,∠B=90°，∴∠AGB=∠DAM, ,·DM⊥AG,∴.∠AMD=∠B=90°，.AG=DA,∴.△ABG ≌△DMA(AAS),∴.DM=AB,由旋转可知，AE=AB, ∠GAE=90°，∴AE=DM,∠GAE=∠DMH=90°，.AE∥ DM,.四边形DMEA为平行四边形，∴.HD=HE,即点H 为DE的中点。 (10分) 正方形的性质与判定 1.D2.D3.D 4.D【解析】连接BE,四边形ABCD是正方形，.AB= BC=11,∠EAF=45°，.·EF⊥AB,∴.EF=AF=AB-BF=11 -4=7,.BE=√BF2+EF=√65，正方形ABCD关于 AC对称，.DE=BE=√J65。故选D。 5.D 6.C【解析】小：四边形ABCD是正方形，.∠ABD=45°，在 Rt△PMWN中，∠MPN=90°，O为MN的中，点，∴.OP= 2MN=0M,∠PMNe30°，÷.LMP0=30°，∠AM证 ∠MPO+∠MBP=75°。故选C。 7.AC=BD且AC⊥BD 8.(-1,0)9.(3W2-1)10.a 1Ⅱ.2【解析】连接CG.四边形ABCD是正方形，四边 2 形DEFG是正方形，.DA=DC,DE=DG,∠ADC= ∠EDG=90°，∠DAC=45°，∴.∠ADE=∠CDG,∴.△ADE ≌△CDG(SAS),∴.∠DCG=∠DAE=45°，∴.点G的运 及·BS·数学第31页