第1章 1 认识特殊的平行四边形 课时同步训练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学北师大九年级上册第一章第一课时同步练，以“基础巩固—理解应用—综合拓展”分层递进，构建“回顾—新知—关联”知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|平行四边形性质与判定|选择、填空题回顾基础，如角度计算、对角线性质| |理解应用|特殊平行四边形定义与关系|概念辨析题（如菱形、矩形性质判断）、关系图分析题深化从属关系理解| |综合拓展|边角特征与综合应用|证明题（如判定平行四边形）、折叠问题（矩形折叠求长度）提升空间观念与推理能力|

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第一章 特殊平行四边形 1 认识特殊的平行四边形 ▌课时目标 1. 回顾平行四边形的性质与判定，理解菱形、矩形、正方形的定义，能依据定义判断一个图形是否属于相应的特殊平行四边形。 2. 理清特殊平行四边形与一般平行四边形的从属关系，以及菱形、矩形、正方形三者之间的包含关系，能画出分类关系图。 3. 通过折纸、观察等操作，直观感知特殊平行四边形的边、角特征及轴对称性，体会“一般到特殊”的数学思想。 ▌课时目录 知识点01：平行四边形的性质回顾 知识点02：平行四边形的判定回顾 知识点03：特殊平行四边形的定义 知识点04：特殊平行四边形与一般平行四边形的关系 知识点05：特殊平行四边形之间的关系 知识点06：特殊平行四边形的边角特征的直观感知 ▌知识点01：平行四边形的性质回顾 平行四边形是两组对边分别平行的四边形。其主要性质： 1. 边——两组对边分别平行且相等； 2. 角——两组对角分别相等，邻角互补； 3. 对角线——两条对角线互相平分； 4. 对称性——是中心对称图形，对称中心是对角线交点。这些性质是所有特殊平行四边形共有的基础性质。 1．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在平行四边形中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴． 2．（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，且，，，那么图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】过点作于点，根据含角的直角三角形的性质求出，从而得到的面积，证明，进而可得阴影部分面积等于的面积，即可求解． 【详解】解：过点作于点，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴在中，， ∴． ∵平行四边形的对角线和相交于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在平行四边形中，，，对角线、相交于点，过点作交于点，连接，则的周长为_____． 【答案】7 【分析】由平行四边形的性质得出，，，由垂直平分线的性质得出，然后根据周长定义可得出：的周长． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 4．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，过点A作，垂足为F．若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的对应边相等可证明，得到，根据三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． ▌知识点02：平行四边形的判定回顾 平行四边形的常用判定方法： 1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 判定特殊平行四边形时，通常先判定它是平行四边形，再附加边或角的特殊条件。 5．（25-26八年级下·广东肇庆·期末）如图，中，、分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵、分别是的中点， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形． 【详解】略 6．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形中，，，，对角线与交于点O，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若的周长为12，求线段的长． 【答案】(1)四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ∴均为直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； (2)4 【分析】（1）证明，可得，即可解答； （2）根据平行四边形的性质可得，再由的周长为12，可得，然后由勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为平行四边形，， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 解得：． 7．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，在等腰梯形中，，，平分，延长到点，连接，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）通过平行线以及角平分线证明，再由三角形的外角性质证明，即可得到，再由，即可证明四边形是平行四边形； （2）过点作于点，求出，然后根据含角直角三角形的性质求出，，然后由勾股定理求解，而，再由梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴四边形的面积． 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，且，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，． ， ， ． ， 四边形是平行四边形． (2)3 【分析】（1）要证明四边形是平行四边形，观察图形可知，其对角线和相交于点，如果能够证明对角线互相平分，即，，即可得证． （2）要求的长，首先观察与的关系，由（1）问可知是的中点，即，因此，可以根据条件求出的长，进而得到的长． 【详解】（1）略． （2）解：，， ，． ， ． ． 四边形是平行四边形， ． ▌知识点03：特殊平行四边形的定义 1. 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。几何语言：在▱ABCD中，若AB＝AD，则▱ABCD是菱形。 2. 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。几何语言：在▱ABCD中，若∠A＝90°，则▱ABCD是矩形。 3. 正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。几何语言：在▱ABCD中，若AB＝AD且∠A＝90°，则▱ABCD是正方形。 注意：三种定义的前提都是“平行四边形”，去掉前提说“邻边相等的四边形是菱形”“有一个直角的四边形是矩形”均不成立。 9．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）下列关于菱形的说法正确的是（ ） A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等 C．菱形的四条边都相等 D．菱形的周长和面积一定相等 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质．菱形是四边相等的四边形，因此四条边一定相等；但内角不一定相等，对角线不一定相等，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、菱形的四个内角不一定相等，故该选项不符合题意； B、菱形的对角线不一定相等，故该选项不符合题意； C、菱形的四条边都相等，故该选项符合题意； D、菱形的周长和面积一定相等是不正确的，故该选项不符合题意； 故选：C 10．（25-26八年级下·湖南娄底·期中）关于矩形的性质，下列说法不一定正确的是（    ） A．对角线互相垂直 B．对边相等 C．对角线相等 D．四个角都相等 【答案】A 【详解】解：矩形的对边相等，对角线相等，四个角都相等，但对角线不一定互相垂直． 11．（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．平行四边形具有的性质矩形都具有 【答案】B 【分析】本题考查矩形与平行四边形的区别与联系，矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形． 【详解】解：A选项：矩形是有一个角是直角的平行四边形， 故A选项正确； B选项：平行四边形的内角不一定是直角， 平行四边形不一定是矩形， 故B选项错误； C选项：矩形的定义是：有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故C选项正确； D选项：矩形是特殊的平行四边形， 矩形具有平行四边形的所有性质， 故D选项正确． 故选：B． 12．（25-26八年级上·山东东营·期末）下列说法不正确的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．菱形的对角相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，逐一判断各选项的正误 【详解】解：∵平行四边形的对边相等，∴A选项说法正确 ∵菱形是特殊的平行四边形，平行四边形对角相等，∴菱形的对角相等，B选项说法正确 ∵矩形的对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，∴C选项说法不正确 ∵正方形的四条边均相等，∴D选项说法正确 故选：C． ▌知识点04：特殊平行四边形与一般平行四边形的关系 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们首先具备平行四边形的所有性质。特殊化的路径是： 1. 平行四边形→一组邻边相等→菱形 2. 平行四边形→一个角是直角→矩形 3. 平行四边形→一组邻边相等且一个角是直角→正方形 反过来，平行四边形不一定是菱形、矩形或正方形。特殊平行四边形是平行四边形集合的真子集。 13．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）小杭在复习几种特殊平行四边形关系时整理了如下的思维导图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（     ） A．（1）两边相互垂直 B．（2）有两条边相等 C．（3）对角线平分内角 D．（4）有三个角相等 【答案】B 【分析】根据矩形，菱形，正方形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：A、两边相互垂直可得一个内角为直角，有一个角是直角的平行四边形是矩形， （1）处填两边相互垂直的平行四边形是矩形是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形， （2）处填有两条边相等的矩形是正方形是错误的，故该选项符合题意； C、如图， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （3）处填对角线平分内角的平行四边形是菱形是正确的，故该选项不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形， ∴（4）处填三个角相等的菱形是正方形是正确的，故该选项不符合题意． 14．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）学习了《第五章特殊平行四边形》后，小明同学用图示说明特殊平行四边形之间的关系，则图中的“”表示（     ）    A．正方形 B．平行四边形 C．四边形 D．以上都不正确 【答案】A 【分析】利用正方形的判定定理即可解决问题． 【详解】解：M表示既是矩形又是菱形，从而是正方形． 15．（2024·山西·模拟预测）我们知道，当图形的组成元素及相关元素之间的关系特殊化时，图形也从一般图形变为特殊图形．下图是小颖从“对角线”的角度对平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线垂直且相等 D．对角线互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定方法，根据图形即可得到答案，熟记正方形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由图可得，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形， 故选：． 16．（24-25九年级下·山西长治·期中）我们在学习四边形时．先学习了平行四边形．再通过平行四边形的边角特殊化获得矩形、菱形、正方形，得到了这些特殊四边形的性质定理和判定定理，这种研究方法主要体现的数学思想是（   ） A．转化 B．归纳 C．由一般到特殊 D．数形结合 【答案】C 【分析】本题主要考查的是正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，读懂题意是解题的关键．依据探究过程并结合选项可作出判断． 【详解】解：这种研究方法主要体现的数学思想是由一般到特殊． 故选：C． ▌知识点05：特殊平行四边形之间的关系 正方形既是特殊的矩形（矩形＋一组邻边相等），又是特殊的菱形（菱形＋一个角是直角）。 17．（2024·河北廊坊·一模）如图，在四边形中，，，，，E、F是上的两动点，且，点E从点B出发，当点F移动到点C时，两点停止运动．在四边形形状的变化过程中，依次出现的特殊四边形是（    ）    A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 B．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形 C．平行四边形→菱形→正方形→菱形 D．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，过点分别作，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的范围，再根据相应图形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 过点作，，则四边形为矩形，    ∵， ∴， ∴，， ∴当点与点重合时，此时四边形是平行四边形， 当点运动至时，此时，四边形是菱形， 当点与点重合时，此时四边形是矩形； 当点与点重合时，此时四边形是平行四边形； 故选A． 18．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）从一般到特殊是一种重要的数学思想，如图通过类比的方法展现了认识三角形与平行四边形图形特征的过程，你认为“?”处的图形名称是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形 【答案】C 【分析】根据四边形之间的关系，解答即可． 本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系，熟练掌握关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 故选：C． 19．（24-25八年级下·北京平谷·期末）一个同学整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示，从下列条件， ①②③④中，选择其中一个条件填入（）中，补全关系图，其中所有正确选项的序号是（  ） A．①②③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的判定，菱形的性质与判定等知识，掌握正方形的判定是解答本题的关键．结合图形可知，由菱形变形到正方形所需要的条件，根据菱形的性质以及正方形的判定判断即可作答． 【详解】解：由图可知： 平行四边形中，当时，平行四边形为菱形， 菱形中，， 当时，菱形为正方形，当时，菱形为正方形， ∴所有正确选项的序号是②④． 故选：B． 20．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开不能拼成的特殊四边形是（     ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】C 【详解】解：如图：可知可拼成平行四边形、等腰梯形和矩形三种不同的形状． 可知将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开不能拼成的特殊四边形是菱形． ▌知识点06：特殊平行四边形的边角特征的直观感知 通过操作与观察初步感知： 1. 菱形：四条边相等，对角相等；对折纸片可发现它是轴对称图形，有两条对称轴（两条对角线所在直线）。 2. 矩形：四个角都是直角，对边相等；对折可发现它是轴对称图形，有两条对称轴（过对边中点的直线）。 3. 正方形：四条边相等、四个角都是直角；对折可发现有四条对称轴（两条对角线所在直线、两条过对边中点的直线）。 21．（25-26八年级下·上海青浦·期中）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是中心对称又是轴对称，且对角线相等的是（     ） A．平行四边形与矩形 B．矩形与正方形 C．菱形与正方形 D．矩形与菱形 【答案】B 【分析】根据中心对称图形、轴对称图形的定义，以及特殊四边形对角线的性质，逐一判断图形是否满足三个条件，即可得到答案． 【详解】解：∵平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，且对角线不相等，不符合要求；矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，且对角线相等，符合要求；菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，但对角线不相等，不符合要求；正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，且对角线相等，符合要求； ∴满足所有条件的是矩形与正方形． 22．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）矩形的对称轴的条数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了找轴对称图形的对称轴，矩形的性质，矩形是轴对称图形，其对称轴为对边中点的连线所在的直线，据此可得答案． 【详解】解：矩形的对称轴有两条，是通过对边中点的两条直线， 故选：B． 23．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）下列说法中，错误的是（   ） A．正方形的对称轴一定是其对角线所在的直线 B．可以作无数条直线平分正方形的面积 C．正方形的每一条对称轴都过对角线的交点 D．平分正方形周长的直线必过正方形对称轴的交点 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的含义，正方形的性质，根据正方形的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：A．正方形的对称轴不一定是其对角线所在的直线，符合题意． B．过正方形对角线的交点的直线都平分正方形的面积，则可以作无数条直线平分正方形的面积，正确，不符合题意． C．正方形的每一条对称轴都过对角线的交点，正确，不符合题意． D．平分正方形周长的直线必过正方形对称轴的交点，正确，不符合题意． 故选：A． 24.（24-25八年级下·重庆开州·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．菱形的对角线相等； B．三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半； C．平行四边形关于对角线所在的直线对称； D．矩形的对角线互相垂直平分 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题的真假，菱形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，矩形的性质；由菱形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，矩形的性质逐一判断，即可求解；会判断命题的真假是解题的关键． 【详解】A.菱形的对角线相等是假命题，故不符合题意； B.三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是真命题，故符合题意； C.平行四边形关于对角线所在的直线对称是假命题，故不符合题意； D.矩形的对角线互相垂直平分是假命题，故不符合题意； 故选：B． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·河南平顶山·二模）按如图方式，将矩形木板截去一个直角三角形木板，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点F，利用平行线的性质得，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， 延长交于点F， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在矩形中，，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由长方形的条件可知，，，再根据A，B，C三点的坐标特征，找到点D的坐标即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴轴，轴， ∴轴，轴， ∴点D的横坐标等于点A的横坐标，点D的纵坐标等于点C的纵坐标， ∴． 3．（25-26八年级下·广西河池·期中）如图，在矩形中，若，则间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可知间的距离即为线段的长，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴间的距离即为线段的长， ∵， ∴间的距离为． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形； D、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形． 二、填空题 5．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和轴对称的性质，求出，然后根据等腰三角形的判定，求出，再根据直角三角形的性质求得，所以，，即可得到答案． 【详解】解：矩形纸片沿对角线折叠， ，，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 6．（25-26八年级下·湖北随州·期末）如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】由题意可得，，，由勾股定理可得，从而可得，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，，， 由勾股定理可得， ∵以为圆心，为半径画弧交射线于点， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·江苏泰州·二模）如图，设计师采用正五边形与菱形搭配设计地面镶嵌图案，菱形地砖的锐角为________． 【答案】72 【分析】根据正五边形的一个内角是，进而利用平面图形镶嵌的内角和是解答即可． 【详解】解：∵正五边形的一个内角是，平面图形镶嵌的内角和是， ∴菱形地砖的锐角． 8．（25-26八年级下·四川广元·期中）若正方形的周长为40，则其对角线长为_____． 【答案】 【分析】先根据正方形周长公式求出正方形的边长，再利用勾股定理计算对角线的长度即可． 【详解】解：∵正方形的周长为， ∴正方形的边长为， ∴正方形的对角线长为 ． 三、解答题 9．（2026·陕西西安·三模）如图，四边形是矩形，点、分别是左侧、右侧的点，连接、、、，延长、交于点，，，求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】通过论证来证明结论即可. 【详解】略 10．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意得，，，由互余得，故； （2）由（1）得，，故． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第一章特殊平行四边形 1认识特殊的平行四边形 课时目标 回顾平行四边形的性质与判定，理解菱形、矩形、正方形的定义，能依据定义判断 个图形是否属于相应的特殊平行四边形。 2. 理清特殊平行四边形与一般平行四边形的从属关系，以及菱形、矩形、正方形三者之 间的包含关系，能画出分类关系图。 3.通过折纸、观察等操作，直观感知特殊平行四边形的边、角特征及轴对称性，体会 “一般到特殊”的数学思想。 课时目录 知识点01：平行四边形的性质回顾 知识点02：平行四边形的判定回顾 知识点03：特殊平行四边形的定义 知识点04：特殊平行四边形与一般平行四边形的关系 知识点05：特殊平行四边形之间的关系 1/11 知识点06：特殊平行四边形的边角特征的直观感知 【知识点01：平行四边形的性质回顾 平行四边形是两组对边分别平行的四边形。其主要性质： 边一一两组对边分别平行且相等： 角一一两组对角分别相等，邻角互补： 对角线一一两条对角线互相平分： 对称性一一是中心对称图形，对称中心是对角线交点。这些性质是所有特殊平行四边形共 有的基础性质。 1.(25-26八年级下广东广州期末)如图，在平行四边形ABCD中，若∠A=70°，则C的度数为 () D B A.40° B.70° C.100° D.120° 2.(25-26八年级下·河南平顶山期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O 的直线分别交CD和AB于点E,F,且AB=8,BC=5,∠BCD=30°，那么图中阴影部分的面积为 D B 3.(25-26八年级下湖南衡阳期末)如图，在平行四边形ABCD中，AB=3,BC=4,对角线AC、 BD相交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,连接CE,则△CDE的周长为一 4 B 4.(25-26八年级下河南周口期末)如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD,垂足为E,过 2/11 点A作AF⊥BD,垂足为F.若DC=4,BE=2.5,BD=3,则AF的长为 B 知识点02：平行四边形的判定回顾 平行四边形的常用判定方法： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形： 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 判定特殊平行四边形时，通常先判定它是平行四边形，再附加边或角的特殊条件。 5.(25-26八年级下·广东肇庆期末)如图，口ABCD中，E、F分别是AB,CD的中点，求证：四边形 DEBF是平行四边形. F E 6.(25-26八年级下·内蒙古赤峰期末)如图，四边形ABCD中，AD=BC,CA⊥AB，CA⊥CD,对角 线AC与BD交于点O,AC=6, (I)判断四边形ABCD的形状，并说明理由； (2)若△AB0的周长为12，求线段AB的长。 7.(25-26八年级下·江苏扬州期未)如图，在等腰梯形ABCD中，AB/CD,AD=BC,BD平分∠ABC, 延长AB到点E,连接CE,∠ABC=2∠E. 3/11 B (I)判断四边形BDCE的形状，并说明理由； (2)若∠A=60°，AD=4,求四边形AECD的面积. 8.(25-26八年级下·陕西咸阳·期末)如图，口ABCD的对角线AC,，BD相交于点O,点E在OB上，点F 在OD上，且BE=FD,连接AE、EC、CF、FA. B (I)求证：四边形AECF是平行四边形： ②若4B=25.4B14C,∠ABC=60°，求0C 的长 知识点03：特殊平行四边形的定义 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。几何语言：在·ABCD中，若AB=AD, 则·ABCD是菱形。 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。几何语言：在ABCD 中，若∠A=90°，则ABCD是矩形。 正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。几何语言：在 ABCD中，若AB=AD且∠A=90°，则-ABCD是正方形。 注意：三种定义的前提都是“平行四边形”，去掉前提说“邻边相等的四边形是菱形” “有一个直角的四边形是矩形”均不成立。 9.(25-26九年级上辽宁沈阳·期中)下列关于菱形的说法正确的是（) A.菱形的四个内角一定相等 B.菱形的对角线一定相等 4/11 C.菱形的四条边都相等 D.菱形的周长和面积一定相等 10.(25-26八年级下·湖南娄底·期中)关于矩形的性质，下列说法不一定正确的是() ○A.对角线互相垂直 B.对边相等 C.对角线相等 D.四个角都相等 11.(25-26八年级上·云南昆明期末)下列说法不正确的是() A.矩形是平行四边形 B.平行四边形是矩形 C.有一个角是直角的平行四边形是矩形D.平行四边形具有的性质矩形都具有 12.(25-26八年级上山东东营·期末)下列说法不正确的是() A.平行四边形的对边相等 B.菱形的对角相等 C.矩形的对角线互相垂直 D.正方形的四条边均相等 知识点04：特殊平行四边形与一般平行四边形的送系 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们首先具备平行四边形的所有性质。特殊 化的路径是： 平行四边形一组邻边相等→菱形 平行四边形一个角是直角→矩形 平行四边形→一组邻边相等且一个角是直角→正方形 反过来，平行四边形不一定是菱形、矩形或正方形。特殊平行四边形是平行四边形集合的 真子集。 13.(25-26八年级下·浙江杭州阶段检测)小杭在复习几种特殊平行四边形关系时整理了如下的思维导图， (1)(2)(3)(4)处需要添加条件，则下列条件添加错误的是() A D (1) 矩形 (2) A D D 平行 四边形 正方形 A 菱形 (4) B 宁 A.(1)两边相互垂直 B.(2)有两条边相等 C.(3)对角线平分内角 D.(4)有三个角相等 14.(25-26八年级下·浙江丽水·期末)学习了《第五章特殊平行四边形》后，小明同学用图示说明特殊平 5/11 行四边形之间的关系，则图中的“M”表示() 矩形 M 菱形 A.正方形 B.平行四边形 C.四边形 D.以上都不正确 15.(2024山西模拟预测)我们知道，当图形的组成元素及相关元素之间的关系特殊化时，图形也从一 般图形变为特殊图形.下图是小颖从“对角线”的角度对平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系 的梳理，图中“▲”处应填写的内容是() 对角线相等 矩形 对角线互相垂直 平行四边形 正方形 对角线互相垂直之 菱形 对角线相等 A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线垂直且相等 D,对角线互相垂直 16.(24-25九年级下·山西长治期中)我们在学习四边形时.先学习了平行四边形.再通过平行四边形的 边角特殊化获得矩形、菱形、正方形，得到了这些特殊四边形的性质定理和判定定理，这种研究方法 主要体现的数学思想是() A.转化 B.归纳 C.由一般到特殊 D.数形结合 知识点05：特殊平行四边形之间的关系 正方形既是特殊的矩形（矩形十一组邻边相等），又是特殊的菱形（菱形十一个角是直 角)。 菱形 邻边相等/对角线垂直 有一个直角/对角线相等 平行四边形 正方形 有一个直角/对角线相等 矩形 邻边相等/对角线垂直 17.(2024河北廊坊·一模)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=30°，AB=6,AD=4,E、F 是BC上的两动点，且EF=4,点E从点B出发，当点F移动到点C时，两点停止运动.在四边形 AEFD形状的变化过程中，依次出现的特殊四边形是() 6/11 A,平行四边形菱形一矩形→平行四边形 B.平行四边形菱形→正方形一平行四边形 C.平行四边形→菱形→正方形→菱形 D.平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 18.(24-25八年级下·山西吕梁·期末)从一般到特殊是一种重要的数学思想，如图通过类比的方法展现了 认识三角形与平行四边形图形特征的过程，你认为“？”处的图形名称是(） 类比迁移 A.平行四边形B.菱形 C.正方形 D.矩形 19.(24-25八年级下·北京平谷期末)一个同学整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图 所示，从下列条件， ①AB=AD②AC=BD③AC⊥BD④∠DAB=9O°中，选择其中一个条件填入()中，补全关系图， 其中所有正确选项的序号是() ∠A=90 1B=AD D ∠A=90°且AB=AD AB=AD A.①②③ B.②④ C.①③④ D.②③④ 20.(25-26八年级下·山东临沂·期末)如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开不能拼成的特殊四 边形是() 7/11 A.平行四边形B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 知识点06：特殊平行四边形的边鱼特征的直观感知 通过操作与观察初步感知： 菱形：四条边相等，对角相等：对折纸片可发现它是轴对称图形，有两条对称轴（两条对 角线所在直线)。 矩形：四个角都是直角，对边相等；对折可发现它是轴对称图形，有两条对称轴（过对边 中点的直线)。 正方形：四条边相等、四个角都是直角：对折可发现有四条对称轴（两条对角线所在直 线、两条过对边中点的直线)。 21.(25-26八年级下·上海青浦期中)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是中心对称又是轴对称， 且对角线相等的是() A.平行四边形与矩形 B.矩形与正方形 C.菱形与正方形 D.矩形与菱形 22.(25-26九年级上·安徽宿州阶段检测)矩形的对称轴的条数为()· A.1 B.2 C.3 D.4 23.(25-26九年级上·安徽宿州阶段检测)下列说法中，错误的是() A.正方形的对称轴一定是其对角线所在的直线 B.可以作无数条直线平分正方形的面积 C.正方形的每一条对称轴都过对角线的交点 D.平分正方形周长的直线必过正方形对称轴的交点 24.(24-25八年级下·重庆开州期中)下列命题是真命题的是() A.菱形的对角线相等； B.三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半： C.平行四边形关于对角线所在的直线对称； D.矩形的对角线互相垂直平分 8/11 课时训练 一、选择题 1.(2026河南平顶山二模)按如图方式，将矩形木板截去一个直角三角形木板，若∠1=50°，则∠2的 大小为() A.60° B.50° C.45° D.40° 2。（2026海南省直辖县级单位·一模)如图，在矩形48CD中， A(-3,2)B(3,2)C(3,-1 ,则D的坐 标为() B O A.（-2-) B(4,-), c.(-3,-2) D.（3-) 3.(25-26八年级下·广西河池期中)如图，在矩形ABCD中，若AB=3,AD=5,则AD,BC间的距离 为() D B A.3 B.4 c.5 D.6 4.(25-26八年级下·江苏南京·期中)下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是() D 9/11 二、填空题 5.(25-26八年级下·江苏宿迁·期末)如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使得点B落在点E处， CE交D CE∠ACD AF=3Cm,EF 于点F,若平分 cm ,则的长为 6.(25-26八年级下·湖北随州期末)如图，在矩形ABCD中，连接BD,以B为圆心，BD为半径画弧交 射线BC于点E,连接DE,若AB=6,AD=8,则DE的长为 B 7.(2026江苏泰州·二模)如图，设计师采用正五边形与菱形搭配设计地面镶嵌图案，菱形地砖的锐角为 8.(25-26八年级下·四川广元期中)若正方形的周长为40，则其对角线长为一 三、解答题 9.(2026陕西西安·三模)如图，四边形ABCD是矩形，点M、V分别是AB左侧、CD右侧的点，连接 BM、AM、CN、DN,延长MA、ND交于点E,∠ABM=∠DCN,BM=CN,求证： ∠BAE=∠CDE 10/11 E B 10.(2425九年级上内蒙古包头期末)如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与 B、C不重合)，AE⊥DG于E,CF⊥DG于F A D F B G (I)求证：△AED≌aDFC: (2)求证：AE=FC+EF. 11/11