下册 第3章 综合演练卷-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（北师大版·河南专版）

⊥AB于点D,E,F,OD=OE=OF, (2分) 3x=5ax+5oe+5sm=8C.00+4C,0B+ )AB·FO=号(BC+AC+AB)·0D (4分) L8c1=90,2b=2(a6+e)rr=b 1 1 a+b+c (5分) (2)按照小丽的思路求出的r的表达式与小亮求出的r 表达式是相等的。 (6分) 理由：在Rt△ABC中，由勾股定理得a2+b2=c2,a2+b2 -c2=0,.a2+2ab+b2-c2=2ab,.(a+b)2-c2=2ab,.(a tb+e)(atb-e)=2ab,.atb-c=_ab 2 a+b+c (10分) 卷 22.解：(1)相切， （1分) 理由如下：连接AD,OD。AB为⊙0的直径，.∠ADB =90°，AD1BC。AB=AC,.CD=BD=BC。 2 (2分) OA=OB,.OD∥AC,.∠ODE=∠CED。DE⊥AC, ∴.∠ODE=∠CED=90° (3分) .OD⊥DE,.DE与⊙O相切： (5分) (2)由(1)知∠ADC=90°，.在Rt△ADC中，由勾股定理 得A0=4c-(802-√52-（宁×6=4。（(7分剂） 8ao=号x43=× 2 XSxDE,.DE=12 (10分) 23.解：(1)4π (2分) (2)图中0，C,0,B,弧BC围成的扇形面积为90ma 360 a(平方米)s=4-4扣-(c-40)=(16 1 m2)平方米，当a=2时，0 -4m-a2+1 A S危瞼区竣=(12-3π)平方米；(6分) 0隐B (3)有危险，理由：如图，连接0102并 延长一定长度过点E,设O,E与弧AD D C E 交于点F,则02E=42-3,02F=4-3=1,.02C= 2」 2 (42-3)=8-32 2 ≈1.885>1.2>1，.有危险。（10分) 第三章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查DB CC A C DDDD 1.D 2.B【解析】因为关于x的方程有实数根，所以△=b2-4ac ≥0，即(-22)2-4×2×(m-1)≥0，解得m≤2，又因为 ⊙0的半径为2，所以直线与圆相切或相交。故选B。 3.C 4.C【解析】过点A作AE⊥BD于点E,连接AD,.AD= AB=5,根据垂径定理，得DE=BE,.CE=BE-BC=DE 2,根据勾股定理，得AD2-DE2=AC2-CE2,.52-DE2=42 -(D6-23,解得DB=只CD=DE+CG=2DE-2 9 20 故选C。 5.A【解析】如图所示：.点A(-4,0)、 B(0,3),△AOB为直角三角形，.AB= 5,设△AOB内切圆的圆心为I,三个切 点为C、D、E,连接IC,ID,得正方形 D ICOD,设IC=r,则AC=AE=4-r,BD= A CO 追梦之旅铺路卷·九年 BE=3-r,∴.4-r+3-r=5,.r=1,∴.△A0B的内切圆的半 径长为1。故选A。 6.C【解析】取点E(2,0),连接EA、EB、EC,由勾股定理 得EA=EB=EC=√5，∴.，点E是过整点A,B,C的圆孤所 在圆的圆心，EB是该圆的半径，取点F(1,3),连接EF, 作直线BF,BE2=BF2=12+22=5,EF2=12+32=10, BE2+BF2=EF2,.△BEF是直角三角形，且∠EBF=90°， BF⊥EB,直线BF与这条圆孤相切于，点B,且经过 点(1,3)。故选C。 7.D 8.D【解析】过B作⊙O的直径BM,连接AM,则有∠MAB =∠CDB=90°，∠M=∠C,∴.∠MBA=∠CBD。过O作 OE⊥AB于点E,在Rt△OEB中，BE= F2AB=4,0B=5。 由句殿定理，得0E=3,tan MBA=E=3, BE=4, tan /CBD=tan /MBA=。故选D。 9.D【解析】如图，设⊙O与DE相 切于点C,连接OC,作OB⊥DF于 点B,交⊙0于点A,此时AB最 小，为OB-OA,当A在N处，B在 F处时，AB最大，就是FN的长。ENO .EF=10,DF=6,DE=8,...EF2=DF2+DE2,OE=OF=5, .∠D=90°。.∠OBF=90°，∴.OBDE。.OE=OF,∴. OB=。DE=4。.OC⊥DE,∠D=90°，∴.OC∥DF。OE 21 =0F,0C=2DF=3,AB的最小值是0B-0A=4-3= 1,AB的最大值是FN=5+3=8,.AB的最大值与最小值 的和是8+1=9。故选D。 10.D【解析】如图所示，.·将△OBC绕 点0逆时针旋转30°得到△OBC1, .∠1=∠2=30°。点0是边长为 43的等边△ABC的内心，.∠OBC =∠B,=∠3=30°，0B=4,.∠1= D ∠3，∠2=∠B1,.0C1∥BC,OB∥ B C,D。OB=OB1=OC=OC1,四边形OBDC1是菱形， .BD=0B=4,.CD=43-4。∠ACB=60°，∠EDC= ∠0BC=30,.LDEC=90°，c0 LEDC=cos300=E0 CD =月06=c0-45-4到=6-25。故速D 2 11.30° 12.216°【解析】连接AB。PA、PB是⊙0的切线，A、B 为切点，.PA=PB,.LPAB=∠PBA。∠APB= 108,∠PBA=∠PAB=7x(180-∠APB)=36。 A、D、C、B四点共圆，∴.∠D+∠CBA=180°，.∠PBC+ ∠D=∠PBA+∠CBA+∠D=36°+180°=216°。 13.36° 14.25【解析】过0作OM1AB于点M,延长OM交⊙0 6 于点V,连接OA,AN,BN,.点M是AB的中点，∠AMW -LAMO=90AB=8AM-BM-AB=4,AN=BN AB-2CD,.AN-BN-CD,AN-BN-CD- 5,.MN=√AW2-AM证=√52-4-3，设⊙0半径为r, 则0M=r-3,0A2=0M2+AM2,.r2=(r-3)2+42,∴.r= 级·BS·数学第23页 25 ，··.这座圆形现景台的半径是二二。 )【解析]当CD/AB时，PM长最大，连接OM CD∥AB,CP⊥AB,∴.CP⊥CD,.·M为CD中点，.OM⊥ CD,.∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，.四边形CPOM 7 是矩形，PM=0C,:AB=7,0C=2,即PM= 2° 16.证明：连接BE。E是△ABC的内心，.∠BAD= ∠CAD,∠ABE=∠CBE。 (3分) 又'LCBD=∠CAD,·∠BED=∠BAD+∠ABE= ∠CAD+∠CBE,∴.∠DBE=∠CBD+∠CBE=∠CAD+ ∠CBE,∴.∠BED=∠DBE,∴.DE=DB。 (9分) 17.解：(1)连接0B。∠0AB=a=40°，.∠0BA=40°， ∠A0B=100°，B=2∠A0B=50°； (4分) (2)结论：a+B=90°。证明：∠A0B=180°-2a,.B= 2∠A0B=90°-a,aB=90。 (9分) 18.解：(1)AB=4,∠ACB=90°，∠B=30°，.0D=0A=AC =B=2,L0AD=∠BAC=60△0AD是等边三 角形， (2分) .∠A0D=60°，∴.S谢形A0n= 60·T×222m (4分) 360 3 (2)CD所在直线与⊙0相切， (5分) 理由：.：△OAD是等边三角形，∴.AD=OA=AC,∠ODA= ∠0=60∠40C=∠4cD=7∠0AD=30,∠0DC =60°+30°=90°，即0D⊥DC。 (8分) :OD为半径，CD是⊙0的切线，CD所在的直线与 ⊙0相切。 (9分) 19.(1)证明：连接0D,AD,:AB是⊙0的直径，.∠ADB= 90°，∴.AD⊥BC。.AB=AC,∴.BD=CD。.OA=OB,∴. OD是△BAC的中位线，.OD∥AC。 (4分) EF⊥AC,.OD⊥EF,.EF是⊙0的切线：(5分) (2)解：AB=AC,AD LBC,∠BAD=2∠BAC=30、 BD=74B=7×10=5,即BD长为5。 (9分) 20.(1)证明：AB为⊙0的直径，.∠AEB=90°，(1分) .∴.∠BAE+∠ABC=90°。AB=AC,∴.∠BAE=∠EAC= 1 2 ∠CAB。BF为⊙O的切线，.∠ABC+∠CBF= 90°，.LBAE=LCBF,∠CBF= 2∠CAB, (5分) (2)解：连接BD,AB为⊙0的直径，.∠ADB=90°。 :∠DBC=∠DAE,∴.LDBC=∠CBF。'tan∠CBF= 1 1 2tan L DBC=2 (6分) ·CD=2,∴.BD=4,设AB=x,则AD=x-2,在Rt△ABD 中，∠ADB=90°，由勾股定理得x=5,.AB=5,AD=3, (7分) 在Rt△ABD和Rt△ABF中，∠ADB=∠ABF=90° ∠BAD=∠BAF,.Rt△ADB∽Rt△ABF,∴.AB=AD· AF,.AF=25 0 。·FC=AF-AC= 3 (9分) 21.解：(1)按照步骤完成作图如下； (3分) 追梦之旅铺路卷·九年 (2)连接OQ。由作图可知：OP为⊙C的直径，： ∠0QP=90°，.0Q1PQ。0Q为⊙0的半径，.直线 PQ为⊙0的切线； (6分) (3)连接OD。.OQ=2,0P=6,在Rt△OPQ中，PQ= √OP2-0Q2=42。由图知AB为OP的垂直平分线， .0D=PD。设QD=x,则0D=PD=42-x。 (8分) 在Rt△00D中，0D2=0Q2+QD2,.(42-x)2=22+x2, 解得：=72.故00的长为7。 (10分) 22.(1)证明：连接OA,AC。CD为⊙0的直径，.∠CAD =90°。AB与⊙0相切于点A,∠0AB=90°， ∠CAD=∠OAB=90°，∴.∠OAD=∠BAC。OD=OA,∴ ∠D=∠OAD,∴.∠D=∠BAC。,·AD∥BC,∴.∠ACB= 大 ∠CAD=90°，.·.∠B+∠BAC=90°，.∠D+∠B=90°： （5分) (2)解：过点C作CH⊥AB,垂足为H,由题意得：CH= 案 18cm,∠D+∠B=90°，∠B=60°，∴.∠D=90°-∠B= 30°，.∠A0C=2∠D=60°。0A=0C,.△A0C是等 边三角形，∴.OA=AC=OC。.·∠ACB=90°，∴.∠CAB= 90°-∠B=30°，∴.AC=2CH=36cm,∴.0C=AC=36cm, CD=20C=72cm,.轮胎的直径为72cm。 （10分) 23.(1)证明：连接0C,CD为⊙0的切线，.0C1CD, ∠OCD=90°，即∠OCB+∠BCD=90°。.OB=OC, ∠OCB=∠OBC。.:PE⊥AB,.∴.∠B+∠BPE=90°，. ∠BPE=∠DPC,.∠OCB+∠DPC=90°，∴.∠DPC= ∠BCD,.DC=DP,.△DCP是等腰三角形；(3分) (2)解：①连接AC。:AB是⊙0的直径，.AB=2A0= 12,∠ACB=90,∠ABC=30AC=24B=6,BC= 63, （4分) 在Rt△PEB中。，OE=BE=3,∠ABC=30°，∴.PE= √3，PB=23,.CP=BC-PB=63-25=43。 ∠DCP=LCPD=∠EPB=60°，.△PCD为等边三角 形，.DC=PC=43。 (7分) ②连接OF,BF,AC,OC。AB是⊙0的直径，.∠ACB =90°。∠CBA=30°，∠A=60°，△0AC为等边三 角形，∴.∠B0C=120°。四边形0CFB是菱形时，∠B0F =∠C0F=60°，OB=OC=CF=BF,∴.△B0F与△C0F 均为等边三角形，B的长为60X6=2m,则当B的长 180 为2π时，以点B,O,C,F为顶点的四边形是菱形。 (10分) 追梦期末达标测试卷 答案12345678910 速查BDBCCBBDAD 1.B2.D 3.B【解析】小：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B= 128°，.∠ADC=180°-128°=52°，.∠A0C=2∠ADC= 104°。故选B。 4.C 5.C【解析】·∠ACB=90°，∴.∠ACD+∠BCD=90°，CD ⊥AB,∴.∠CDB=∠CDA=90°，∴.∠ACD+∠A=90°，∴. 3 ∠A=LBCD,.tan LBCD=tanM=2,在Rt△CDB中， BD 3 tan∠BCD= D2,CD=6,.BD=9。故选C。 6.B【解析】小直线1与⊙0相切于点A,l⊥OA,OB∥ 1,∠A0B=90°，∠APB=∠A0B=45°，故选B。 2 7.B 及·BS·数学第24页铺路卷 河南专版·B$·九年级数学下 炒为期中、期末铺路帅为中考、未来铺路 第三章追梦综合演乡 测试时间：100分钟 测试分数：120分 、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 5 6 8 10 答案 1.若⊙0内有一点P,点P到圆心0的距离为5，则⊙0的半径r 可以是( ) 蜘 A.3 B.4 C.5 D.6 留2.设⊙0的半径为2，圆心0到直线l的距离0P=m,且m使得关 咖 什 于x的方程2x2-2√2x+m-1=0有实数根，则直线1与⊙0的位 蜘 置关系为( ) q A.相离或相切 B.相切或相交 C.相离或相交 D.无法确定 3.跨学科试题·化学图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧瓶 下半部分的平面示意图，若D为AB的中点，∠AOB=100°，则 T ∠AOD=( A.100° B.60° C.50 D.40° Y A D 图 图2 0■ 爵 第3题图 第4题图 第6题图 4.如图，在△ABC中，AB=5,AC=4,BC=2,以A为圆心AB为半径 作圆A,延长BC交圆A于点D,则CD长为( A.5 9 B.4 C.2 D.25 5.0为坐标原点，点A(-4,0),B(0,3)分别在x轴和y轴上， 剂 △AOB的内切圆的半径长为( B 5 A.1 C.2 0.2 6.在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫作整点。如 图，过整点A,B,C有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切 于点B,则这条直线可以经过() A.(4,1) B.(6,1) C.(1,3) D.(1,4) 7.如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该 展板的部分示意图如图2所示，它是以0为圆心，OA,OB长分 别为半径，圆心角∠0=120°形成的扇面，若0A=3m,0B=1.5 m,则阴影部分的面积为( ) A.4.25πm2 B.3.25mm2 C.3πm2 D.2.25πm2 富强民主文明和谐 自由平等公正法治 爱国敬业诚信友善 0 图1 图2 第7题图 第8题图 8.如图，已知⊙0的直径为10，锐角△ABC内接于⊙0，BD1AC于 点D,AB=8,则tan∠CBD的值等于() 1 B号 c 03 9.如图所示，在△DEF中，EF=10,DF=6,DE=8,以EF的中点O 为圆心，作半圆与DE相切，点A、B分别是半圆和边DF上的动 点，连接AB,则AB的最大值与最小值的和是() B.2√13+1 32 A.6 C.3 D.9 第9题图 第10题图 10.如图，点0是边长为43的等边△ABC的内心，将△OBC绕点 0逆时针旋转30°得到△OB1C1,B,C1交BC于点D,B1C1交AC 于点E,则DE=() A.2 B.43-4 C.23-2 D.6-23 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.如图，在⊙0中，AB=CD,∠1=30°，则∠2= 第11题图 第12题图 第13题图 12.如图，PA、PB是⊙0的切线，A、B为切点，点C、D在⊙0上。 若∠P=108°，则∠B+∠D= 13.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,P为DE上的一点（点P不 与点D重合)，则∠CPD的度数为 14.如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了A,B,C,D四 个观景位。已知观景台边缘AB=2CD,观景位A与B之间的直 线距离为8，观景位C与D之间的直线距离为5，则这座圆形观 景台的半径是 D 0 第14题图 第15题图 15.如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与 A、B重合)，在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中 点，过点C作CP⊥AB于点P。若CD=3,AB=7,则PM最大值 是 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（9分)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外 接圆相交于点D。求证：DE=DB。 17.(9分)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，点C是优弧AB上一 点（点C不与点A,B重合），设∠OAB=α，∠C=B。 (1)当α=40时，求B的度数； (2)猜想α与B之间的关系，并给予证明。 。39 18.(9分)如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，AB=4。延 长CA到O,使AO=AC,以O为圆心，OA长为半径作⊙0交BA 延长线于点D,连接OD、CD。 (1)求扇形OAD的面积； (2)判断CD所在直线与⊙0的位置关系，并说明理由。 19.(9分)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙0交BC于 点D。过点D作EF⊥AC,垂足为E,且交AB的延长线于点F。 (1)求证：EF是⊙0的切线： (2)若AB=10,∠A=60°，求BD的长。 。40。 20.(9分)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙0分别交 AC,BC于点D,E,过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F。 (1)求证：∠CBF=∠CAB; 2 (2)若CD=2,am∠CBF=7求FC的长。 21.新考法·尺规作图(10分)在学习完《切线的性质与判定》后，数 学老师布置一题：“已知：如图所示，⊙0及⊙0外一点P。求作： 直线PQ,使PQ与⊙0相切于点Q。”李蕾同学经过探索，给出了 如下的一种作图方法： ①连接0P,分别以0、P为圆心，以大于OP的长为半径作弧， 两弧分别交于A、B两点(A、B分别位于直线OP的上下两侧)； ②作直线AB,AB交OP于点C:③以点C为圆心，C0为半径作 ⊙C,⊙C交⊙0于点Q(点Q位于直线OP的上侧)；④连接PQ, PQ交AB于点D,则直线PQ即为所求。 (1)请按照步骤完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图 痕迹)； (2)结合图形，说明PQ是⊙0切线的理由； (3)若⊙0半径为2，OP=6,依据作图痕迹求QD的长。 0 22.生活情境·停车楔(10分)停车楔（如图1所示），被誉为“防溜 车神器”，是一种固定汽车轮胎的装置，在大型货车于坡道停车 时，放停车楔的作用尤为重要。如图2所示是轮胎和停车楔的 示意图，当车停于水平地面上时，将停车楔B-AC置于轮胎⊙0 后方即可防止车辆倒退，此时AC紧贴轮胎，边AB与地面重合且 易错 与轮胎⊙0相切于点A。为了更好地研究这个停车楔与轮胎 分析 ⊙0的关系，小文在示意图2上，连接C0并延长交⊙0于点D, 连接AD后发现AD∥BC。 (1)求证：∠D+∠B=90°； (2)如果此停车楔的高度为18cm(点C到AB所在直线的距 离)，支撑边BC与底边AB的夹角∠B=60°，求轮胎的直径。 图1 图2 壁 23.(10分)如图，已知AB是⊙0的直径，点P是弦BC上一动点（不 与端点重合)，过点P作PE⊥AB于点E,延长EP交BC于点F, 做题 交过点C的切线于点D。 心得 (1)求证：△DCP是等腰三角形； (2)若0A=6,∠CBA=30°。 ①当OE=EB时，求DC的长； ②当FB的长为多少时，以点B,O,C,F为顶点的四边形是菱形？ 0