下册 第3章 追梦基础训练卷（1）-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（北师大版·河南专版）

铺路卷 河南专版·B$·九年级数学下 +为期中、期末铺路+为中考、未来铺路 第三章追梦基础训练 圆的有关性质 确定圆的条 测试时间：100分钟 测试分数：120分 、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 3 5 6 8 10 答案 1.淘气没有圆规，用如图所示方法成功画出了圆，他画圆 蜘 时( 腳 A.保持圆心位置不变 B.保持圆的半径不变 C.保持圆心位置和半径不变 D.圆心的位置可以改变 吹 驾 0 C 第1题图 第2题图 第3题图 2.已知：如图，⊙0的两条弦AE、BC相交于点D,连接AC、BE,若 ∠ACB=50°，则下列结论中正确的是() 救 A.∠A0B=50° B.∠ADB=50° C.∠AEB=30° D.∠AEB=50° 3.如图，点A,B,C均在⊙0上，若∠A=52°，∠B=65°，则∠B0C LC=( ) A.95° B.91° C.81° D.75° 爵 4.如图，圆0经过五边形OABCD的四个顶，点。若∠AOD=150°，∠A= 75°，∠D=60°，则BC的度数为( ) A.25° B.40° C.50° D.60° E 第4题图 第5题图 第6题图 5.文化情境·传统文化在学校“戏曲进校园”活动中，美术小组为 粤剧展演设计了一个凤冠造型的圆形拱门装饰，如图，该装饰顶 部的截面是圆弧形，测得其跨度（弦AB)为160cm,拱高（弧AB 的中点C到弦AB的垂直距离CD)为40cm。若点0是该圆弧 所在圆的圆心，则该圆弧的半径是( A.80 cm B.100 cm C.120 cm D.140 cm 6.如图，四边形ABCD内接于⊙0，若它的一个外角∠DCE=65°， ∠ABC=68°，则∠A的度数为( ) A.112° B.68° C.65° D.52° 7.如图，AB是半圆0的直径，分别以0，A为圆心，大于2A0的长 为半径作弧，两弧相交于C,D两点，直线CD交半圆O于点E, 连接AE、BE,则∠ABE的大小是() A.20° B.25° C.30° D.35° D 第7题图 第9题图 第10题图 8.在⊙O中，弦AB和CD相交于P,且AB⊥CD,如果AP=4,PB= 4,CP=2,那么⊙0的直径为( A.4 B.5 C.8 D.10 9.如图，点A,B,C,D在⊙0上，连接AB,CD,且AB∥CD,AB=12, CD=6,点F是CD上一点，连接OF并交AB于点E。若OE= EF,则⊙O的半径为( A.35 B.43 C.8 D.62 10.如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2,0)、(0,1)，⊙C的圆心 坐标为(0，-1)，原点(0,0)在⊙C上，E是⊙C上的一动点，则 △ABE面积的最小值为( A.1 B.2⑤ C.13 25√5 D. 2 2 88 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.已知⊙0的半径是2，点P在⊙0内，则0P 2(填“>” 或“<”)。 12.如图，AB是半圆0的直径，点C,D在半圆0上，若∠ABC= 55°，则∠BDC的度数为 第12题图 第13题图 第14题图 13.如图，在⊙E中，弦AB与CD相交于坐标原点O,已知B(0, -3),C(-2,0),D(6,0),则点A的坐标是 0 14.如图，AB是⊙0的直径，BC=CD=DE,∠C0D=35°，则∠A0E= 15.AB是⊙0的直径，AB=4,0C是⊙0的半径，OC⊥AB,点D在 AC上，AD=2CD,点P是半径OC上的一个动点，则AP+PD的 最小值为 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(9分)如图，⊙0的半径为2，点A为⊙0上一点，0D⊥BC于 点D,如果∠BAC=60°，求OD的长和∠OCB度数。 17.(9分)如图，已知A,B,C,D是⊙0上的四点，延长DC,AB相 交于点E,若BC=BE。求证：△ADE是等腰三角形。 18.(9分)如图，在△ACE中，AC=CE,⊙0经过点A,C,且与边 AE,CE分别交于点D,F,点B是劣弧AC上的一点，且BC= DF,连接AB,BC,CD。求证：△CDE≌△ABC。 。35· 19.文化情境·数学文化(9分)《九章算术》是中国古代数学重要 的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的 问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯 道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下：如图，AB是 ⊙0的直径，弦CD⊥AB于点E,EB=1寸，CD=10寸，求直径 AB的长。 儿章算术 BE O D 20.（9分)如图，△ABC内接于⊙0，BD为⊙0的直径，∠BAC= 120°，0A⊥BC,若AB=4。 (1)求证：四边形OACD为菱形； (2)求AD的长。 THE ROAD TO 21.(10分)如图，AB是⊙0的直径，D为AB上一点，C为⊙0上 一点，且AD=AC,延长CD交⊙O于E,连接CB。 (1)求证：∠CAB=2∠BCD; (2)若∠BCE=15°，AB=6,求CE的长。 。36 22.文化情境·数学文化(10分)阅读材料，解答问题： 关于圆的引理 古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余 种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题： 如图1，AB是⊙0的弦，点C在⊙0上，CD⊥AB于点D,在弦AB上 取一点E,使DE=AD,点F是BC上的一点，且CF=CA,连接BF, 则BF=BE。 小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程： 证明：如图2，连接CA,CE,CF,BC, CD LAB于点D,DE=AD,.CA=CE,.∠CAE=∠CEA。 CF=CA,.CF=CA(依据1)，LCBF=∠CBA。 .四边形ABFC内接于⊙0，.∠CAB+∠CFB=180°。（依据2） 图1 图2 (1)上述证明过程中的依据1为 ,依据 2为 (2)将上述证明过程补充完整。 23.(10分)如图1，水车是中国古代利用水力驱动的链轮式提水 机械，作为农耕文化的重要组成部分，其创造体现了中华民族 的智慧结晶，见证了中国农业文明的发展历程。如图2，水车 运行轨道是以轴心0为圆心的圆，已知圆心0在水面上方，若 ⊙O的最低点为点C(即C是弧AB的中点)。在水面的变化 易错 过程中，⊙O被水面截得的弦长为AB,若连接C0并延长分别 分析 交⊙O于点D,交AB于点E,连接BD,AD,延长AO交BD于 点F。 (1)若AB=6m,CE=1m,求⊙0的半径； (2)在水面的变化过程中，若AF⊥BD。 ①求证：△ADB是等边三角形； ②在(1)的条件下，求此时AB的长。 厨 D 士ZB G日 图1 图2 些 做题 心得反比例关系，设反比例关系式为R,=上(k≠0)，k= 20 100x0.2=20,反比例关系式为R,=。B.当R,= 3002时，c= 2<0.1,甲醛检测仪不会报警。故选B。 3 山.60：解析由条件可得：amM-3三0且inG号0 即u4=月，mC=。:△ABC是锐角三商形，∠A =60°，∠C=60°，∴.∠B=180°-60°-60°=60°。 12.y2<y1<y3 13.610【解析】由题意，得AC:BC=1:3。.·AC=6m, BC=18m,由勾股定理，得AB=√AC+BC=6√10 (m)。 14.-8【解析】设AB与y轴交于点C,由条件可知S△0c= k 7,Sane=2。:Sae-Same=5am=4,7 =4, .k1-k2=-8。 15【解折：4 F5,设DE=4x,则AD=5x,AE= 3x。BE=2,∴.AB=3x+2。四边形ABCD是菱形， AB=AD,.3x+2=5x,解得x=1,.DE=4,.BD= DE+BE=2/5.c0s L DBE-BE5 BD 5 16解：(0原武(：3 31-3; (5分) (2)原式=3+2x3+2 +2-3+1=3+3+2-√3+1=6。 2 (10分) 17.解：(1).AD⊥BC,.∠ADC=∠ADB=90°，在Rt△ADC 中，AC=62,AD=6,由勾股定理得CD=√AC2-AD2= 6。a∠AC=g0D=8,AC=B0CD 14: （4分) (2):AE是BC边上的中线，BC=14,BE=2BC=7, ∴.DE=BD-BE=1,在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE= AD'+DB-37,.sin L.DEA=AD637 AE37。(9分) 18.解：(1)设耗电量E(度/小时)与速度v(米/秒)的函数 关系式为E=女（≠0)，将=10，E=2代入，得2=0 2, 解得k=20,.耗电量E(度/小时)与速度v(米/秒)的 函数关系式为E=20, (4分) (②51据得么只格公学术人西数标折 式E=20,得520， 16 ,解得，=3调整后的速度，为 4v0 米秘. (9分) 19.解：延长AB与EC交于点M,由题意，得EM⊥AM。: ∠ABC=145°，∴.∠CBM=180°-∠ABC=35°，在Rt △BCM中，BC=0.84m,.BM=BC·cos35°≈0.84× 0.82=0.69(m)。 (4分) .AB=2.21m,PE=1.05m,PF=0.90m,∴.2.21+0.69+ 1.05-0.9≈3.1(m),.篮框F到水平地面的距离约为 3.1m。 (9分) 追梦之旅铺路卷·九年 20.解：(1)将点B(-2,4)代入反比例函数关系式y=(（G 0),得k=-2x4=-8,双曲线的解析式为y=-8, 双曲线过A(4,a),a=8 =-2,.A(4,-2),将点A (4,-2)、B(-2,4)代入一次函数解析式y=mx+n(m≠ 0),利42-加加每得低2直线每析式为y +2; (4分) (2)令y=0,则-x+2=0,解得x=2,.C(2,0),∴0C= 2Sam=8t5as=0cl,+0Clw=宁2 ×2+2×2x4=6: (7分) 卷 (3)不等式mx+n<的解集为-2<0或父4。(9分) 案 2L解：(1)号 (2分) (2)由题意得：DM=2+22=8,MN2=12+12=2,DN2=12 +32=10,∴DM2+MW2=DN2,∴.△DNM是直角三角形， .∠DMN=90°，在Rt△DMN中，DM=2W2,MN=√2，∴ tan∠DWM=DM-2w2 MN2 =2。∠DNM=∠CPN,∴ tan∠CPN=tan∠DNM=2: (7分) (9分) 22.解：(1)设反比例函数的表达式为p=y(k≠0)，将 《300,20)代人，得300=20，解得k=6000,所以反比例 函数的表达式为p=600, (3分) (2)100 (4分) 如图所示； (7分) p/kPa 500i 400 300 200叶-- 100 0102030405060iMmL （3)当p=50a时，=600-=2为了安全起见，气 体的体积应不少于12mL。 (10分) 23.解：(1)AB⊥CN,.∠AED=90°。在Rt△ADE中， ∠ADN=45°，△ADE是等腰直角三角形，设AE=DE= am。:CD=150m,∴.CE=(150+a)m,在Rt△ACE中. :∠ACN=37,LACN=-1gQ=0.75,解得a CE 150+a =450,.AE=DE=a=450米，答：信号塔顶到山脚平地 的距离AE约为450米； (5分) (2)在△BDE中，∠BDW=42°，DE=450米，tan∠BDN= E0.90,BE≈450x0.90=405(米)，AB=AE-BE BE =45米，答：信号塔AB的高度约为45米。（10分) 第三章追梦基础训练卷（一） 答案12345678910 速查CD BDB CCD AB 1.C2.D 3.B【解析】连接OA,OA=OB,.∠B=∠0AB=65°， .·BS·数学第20页 ∠BAC=52°，∴∠B0C=2LBAC=104°，∠0AC=∠OAB- ∠BAC=13°，0A=0C,.∠OAC=∠C=13°，∴.∠B0C- ∠C=104°-13°=91°。故选B。 4.D5.B6.C 7.C【解析】连接OE,由题意，得CD垂直平分OA。:直 线CD交半圆O于点E,AE=OE。AB是半圆O的直 径，.OA=OE,.OA=AE=OE,.△AOE为等边三角形， ÷LA0B=60,∠ABB=了∠40E=30P。故选C。 8.D【解析】.·AB⊥CD,AP=PB=4,.CD为⊙O的直径 连接0B,在Rt△OBP中，0B2=0P2+BP2,OP=OB-2, OB2=(OB-2)2+4,∴.0B=5,∴.CD=10。故选D。 9.A【解析】过点O作OG⊥AB于点G,并延长OG交CD 大 于点H,连接OA,OC。AB∥CD,.△OEG△OFH,. 0E0G00E=Ef,0G=20H,即20G=0H。0G OF OH 答案 1AB,.0H⊥CD。AB=12,CD=6,AG= 2AB=6, CH=)CD=3,设⊙0的半径为x,则0A=0C=x。0 -AG2=0G2,0C2-Cf=0H,20G=0H,.40A2-4AG2= 0C2-CH,4x2-4×62=x2-32,解得x=35(负值舍去)。 故选A。 10.B【解析】过点C作CD⊥AB,交⊙C于点E,此时 △ABE面积的值最小。A(-2,0),B(0,1),∴.AB= √2+1=5。⊙C的圆心坐标为(0，-1)，原点(0， 0)在⊙C上，心0C=1,心BC=2。)X2x2=了 CD,..CD=4/5 1 51)=2 75x51 2。故选B。 11.<12.145° 13.(0,4)【解析】连接AD,BC。B(0,-3),C(-2,0), D(6,0),∴.0B=3,OC=2,0D=6,由圆周角定理得： ∠DAO=∠BCO。.·∠AOD=∠BOC,∴.△AOD △0B80阳号每得0A=4点A在) 轴正半轴上，.点A的坐标是(0,4)。 14.75 46 【解析】：0C1AB,40=B0,.A和B关于0C对 3 称，连接BD,BD交OC于点P,连接AP,则此时AP+PD 的值最小，此时AP+PD=BP+DP=BD。连接BC,·AB 是⊙0的直径，∴∠ACB=90°。AB是⊙0的直径，AB =4,.B0=C0=2,:0C⊥AB,.BC=√B02+C02= 27.A0=20Dc0=4c=c=2 3。BD= vG0C2a4(写2P-5 APPD的 最小值为45 16.解：.·∠BAC=60°，.∴.∠B0C=2∠BAC=120°。(2分) 0B=00.∠0BG=∠0CB=7×(180-1209)=30. (5分) 0D1BC,∠BD0=90°，.0D=0B=1。(9分) 17.证明：：A,B,C,D是⊙0上的四点，.∠A+∠BCD= 180°。：∠BCD+∠BCE=180°，∴.∠A=∠BCE。 (6分) 追梦之旅铺路卷·九年 BC=BE,.∠E=∠BCE,∴.∠A=∠E,∴.DA=DE,即 △ADE是等腰三角形。 (9分) 18.证明：：四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=∠CDE, BC=DF,.∠BAC=LDCE。 (4分) I∠DCE=∠BAC 在△CDE和△ABC中， ∠CDE=∠ABC,.△CDE≌ CE=AC △ABC(AAS)。 (9分) 19.解：连接OC,设OB=OC=r寸。'AB⊥CD,AB是直径， EC=BD=2CD=5寸。 (4分) 在Rt△CE0中，则有2=(r-1)2+52,解得r=13,.AB= 2r=26寸。 (9分) 20.(1)证明：0A⊥BC,.AB=AC,.AB=AC,∠CDA= ∠ADB-=3LCDB。 (2分) .·∠BAC=120°，.∠BDC=180°-120°=60°，.∠CDA =∠ADB=30° (4分) .·BD为⊙O的直径，..∠BAD=90°。.AC=AB= BD=OD.LCAD=LCAB-LBAD=30AC//OD. 四边形OACD为平行四边形。又：OA=OD,.四边形 OACD为菱形。 (6分) (2)解：由(1)可知BD=2AB=8,在Rt△ABD中，AD= √82-4=43。 (9分) 21.(1)证明：AB是⊙0的直径，.∠ACB=90°，.∠ACD =90°-∠BCD。.·AC=AD,∴.∠ACD=∠ADC,.·∠A+ ∠ACD+∠ADC=180°，∴.∠A+90°-∠BCD+90°-∠BCD =180°，..∠A=2∠BCD; (5分) (2)解：连接0C、0E,由(1)得∠A=2∠BCE=30°， ∠B0E=2∠BCE=30°。0A=0C,∴.∠A=∠AC0, ∠COB=∠A+∠AC0=2∠A=60°。 (7分) :LC0E=LC0B+LB0E=90°，而0C=0B=2AB=3, .CE=√0C+0E2=√32+32=32。 （10分) 22.解：(1)在同圆中相等的弧所对的弦相等 圆内接四边 形的对角互补 (4分) (2)证明：∠CEA+∠CEB=180°，.∠CFB=∠CEB, I∠CFB=∠CEB 在△CFB和△CEB中， {LCBF=LCBA,·.△CFB≌ BC=BC △CEB(AAS),∴.BF=BE。 (10分) 2及.(1)解：C是弧4B的中点0E1AB,AB=BE=24d =3m,设⊙0的半径为xm,则0A=0C=xm,∴.0E=0C- CE=(x-1)m,0E+AE2=0A2,.(x-1)2+32=x2,.x =5,.⊙0的半径为5m。 (3分) (2)①证明：C是弧AB的中点，∴.OE⊥AB,AE=BE= BCD为AB的垂直平分线，∴AD=BD, BD,AF经过圆心O,.BF=DF,.AF为BD的垂直平 分线，AD=AB,.AD=AB=BD,.△ADB是等边三角 形； (6分) ②解：在水面的变化过程中，圆的半径保持不变， OA=5m,:△ADB是等边三角形，.∠DAB=60°，AF 1BD,∠0AB=30°，AE=0A·c0s30°=5x/3_53 `22 (m),∴.AB=2AE=53(m)。 (10分) 及·BS·数学第21页