上册 第3章 综合演练卷-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（北师大版·河南专版）

AD=3.5里，.：四边形ABCD是矩形，EG⊥AB,FH⊥ AD,.∠HFA=∠DAB=∠AEG=90°，.FA∥EG,: LHAF=LG,.△HFA∽△AEC,AE-CE'即45 FH AF 3.5 15FH=1.05里。 16.解：(1)如图，△A,B,C,为所作。 (3分) (2)如图，△A2BC2为所作； (6分) 大卷答案 C..: R: .Q...... (3)△CC,C2的面积为9；A1的坐标为(7,9)；A2的坐标 为(3,5)。 (9分) 【注意】位似中心与位似图形之间的常见位置关系：位似 中心可能位于两个图形的同侧，也可能位于两个图形之 间，还可能位于两个图形的内部或边上，还可以是顶点。 17.(1)证明：.·∠BCE=∠ACD..∠BCE+∠ACE=∠ACD +LACE,∴，∠DCE=∠ACB,又：∠A=LD,∴△ABCM △DEC; (4分) (2)解：△ABC∽△DEC,. CE 9,又 BC=6,.CE=9。 (9分) 18.解：(1)0 (2分) (2):△MBC与△DEP的位似比为？，AC=3, AC DF 1 2DF=2AC=6; (5分) (3)△ABC与△DEF位似，∠E=40°，∠ABC=∠E =40°。：∠0=20°，∴.∠BCF=40°+20°=60°。(9分) 19.解：由题意得：四边形ADEC是矩形，∴.EC=AD=4m,CA =ED=1.6m。 (2分) 又：GF⊥EC,BC⊥EC,.GF∥BC,.∠EGF=∠B, ∠EFG=∠ECB,.∴.△EFG∽△ECB, (5分) GFEF.0.71.4 BC-EC BC=4BC=2m,AB=2+1.6=3.6 (m),答：木杆AB的长为3.6m。 (9分) 20.解：A'C⊥AB,B'D⊥AB,∴.∠OCA'=∠0DB=90°。 ∠COA'=∠DOB',∴.△OCA'∽△ODB'。 (4分) BD_BO,即BD=1 A'C A'O' 9=12B'D=0.825,故短臂端点 垂直下降了0.825米。 (9分) 21.解：(1)：四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB∥ CD,△AEF△CDF,AE:EB=2:3,发=0= △AEF的周长2 △CDF的周长5； (5分) (2:△AEF△CDF,:AE_AE_2.SAMe.2 CFcD5,SACDF5’ (7分) :△CDF的面积为25cm2,.SAMr=10cm2,.SAAc= 35cm2,.S网边形hBcD=2S△McD=70cm2。 (10分) 2解(； (3分) (2)设AP长为x,由题可得EM=PD=4-x,:EF·EM= 6…3(4-=6, (7分) 追梦之旅铺路卷·九年 解得：x=2,即AP=2,∴当AP=2时，AP<AD,点P在 △ABC的内部，满足题意。 （10分) 0C2 23.解：(1)0C=80cm,0D=120cm,0D3,0B OA 2OA-OC,∠A0C=∠BOD,△A0C△BOD, 3,0B0D (3分) ∴.∠A=∠OBD,∴.AC∥BD; (4分) (2)小红的连衣裙会碰到地面， (5分) 理由如下：EF∥BD,.△OEF∽△OBD, OH OE OG OB 20E=EB,0B=30E,0-0B1」 ”0c0B30G=30H= 72cm, (7分) 设点0到AC的距离为h,由(1)可知：△A0C△B0D, h OA 2 0B3,h=30C=48cm,72+48=1正亚 126,.小红的连衣裙会碰到地面。 (10分) 第三章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查CCCC D C D B AD 1.C 2.C【解析DF=12,EF=12-DE。a/%/c,有 器即号阳e0释0E=号选C。 3.C4.C5.D 6.C【解析】四边形ABCD∽四边形A'B'CD,AB AB BC=了，B'C=15,BC=9。故选C。 BC 3 7D【解析正AD=了，A=5,四边形ARCD是平 行四边形，AB=CD,AB/CD,△DEF△ABF,AB DE DF 2 AF了。DE=4,CD=10。故选D。 8.B【解析】小：五边形ABCDE与五边形A'B'CD'E位似， 0A=10cm,0A'=30cm,.0A:0A'=10:30=1:3,.五边 形ABCDE的面积与五边形A'B'CD'E的面积的比为1： 9。:S五边形XBCDE=27cm2,.S五边形Bce=3Cm2。故选B。 9.A【解析】过D作DH⊥AB于H。,:E为此三角形的重 BE 2 心AD=AC=4,BD3。LC=90,AC=8,BC= 2 6,.AB=√AC2+BC2=10。∠AHD=∠ACB=90°， LDAH=LBAC,六△ADH△ABC,招，：DnE 。EF上AB,DH L AB,EF∥DH,&△BE △BDH阳那BF=放选A。 EF BE 10.D【解析】：BC=6,.AB=AD=CD=6,∠A=∠D= 90°。四边形AEFG为正方形，EF=2,∴.AE=EF=AG =2,EF∥AG,∴.BE=4,∴.∠FEB=∠A。:∠EBF= ∠Am△BB△B罗品音M 24 =3,∴.DH=3,在直角三角形CDH中，CH=√CD+D =√32+6=35。故选D。 1∠ABC=LD(答案不唯-)2.}13.} 1 级·BS·数学第7页 14.,石【解标】连接A'B,过C作CDLMN于D,交A'B于 E,则AB∥MN∥A'B',.CE⊥A'B,∠NMC=∠B'A'C, ∠MNC=LABC,.△MNCO△A'B'C,A'B=E,: A'B'=AB=0.8m,CE=5m,DE=3.5m,.'.CD=CE-DE= MN1.5 1.5m,0.85ws6】 25m。 153 5 ,【解析】设∠BAD外角为∠MAD.过点F作FHI AD于点H,FN⊥AM于点N,AF平分∠MAG,FH⊥ AD,FN⊥AM,.∠FAH=45,FN=FH.FH⊥AD, ∠FAH=LAFH=45°，∴.AH=FH,∴AF=√2FH=√2， FH=AH=1,∴.FN=FH=1.点E是边AB上靠近，点B 的四等分点，.BE=1,.EC=√BE2+BC=√1+16= √I7.:将线段EC绕点E旋转，∴EC=EF,在Rt △FE和Rt△BEC中，{NF=BE.Rt ANFE兰Rt △BEC(HL),LBCE=∠NEF.∠BCE+∠BEC= 90°，∴.∠BEC+∠NEF=90°，∴.∠FEC=90°，.CF=√2 EC=√34.∠FHG=∠D=90°，LFGH=∠CGD,∴. AFiG△c6D8c=fc- FH FG 1 5 16解配名 PBC6' (5分) .BC=8,.AC=AB+BC=12。 (9分) 17.(1)解：CD是边AB上的高，.CD⊥AB,.∠CDA= ∠B0c=0,又200△c0ABC.∠A ∠DCB。 (3分) 又∠A+∠ACD=90°，.∠DCB+∠ACD=90°，即 ∠ACB=90°。 (5分) (2)证明：∠B=∠B,∠BCA=∠BDC=90°，△BDC BD BC ∽△BCA。六BC-ABG=BD·AB。 (9分) 【归纳总结】利用相似三角形证明等积式的步骤：(1)将 等积式转化为比例式。(2)观察比例式中的线段是否分 别在两个三角形中，若在两个三角形中，则可证明这两 个三角形相似，若不在两个三角形中，则可利用如下方 法转化：①等线段转化：②中间比转化：③添加辅助线构 造相似三角形转化。(3)根据相似三角形对应边成比例 或中间比转化得到步骤(1)中的比例式，再化为等积式。 18.解：过A作AE∥MW交BD于点H,交BC于点E,过D作 DF/BC交AE于点R,: BM 1 MB2,AB3。MW/ AE.".BMBO BN 1 “AB BH BE3 (3分) CN=3,.BE=CN,BN=CE。DF/CE,D为AC NB 中点，：5401 .==,.DF=。CE=2BN,·BE=。 2 21 DH DF 1 DF/BE,△DFH△BEH,…BBE6,（(7分） .B01 设DH=a,则BH=6a,“8阳3，B0=2a,0H=4a, D05a5 0D=5a,0B2a29 (9分) 19.解：(1)如图所示：△ABC即为所求； (3分) (2)如图所示：△AB,C1即为所求， (6分) 追梦之旅铺路卷·九年 B1(-3,0),C(-3,4)或B(5,4),C1(5,0)。 (9分) B 20.(1)证明：AC平分∠DAB,.∠DAC=∠CAB。AC2 T=AB·AD,.A=A,△ADC△ACB: (4分) (2).·△ADC∽△ACB,∴.∠ACB=∠ADC=90°。.·点E 为AB的中点CB=A极=报了 2 (7分) LEAC=LECA,LDAC=LECA,CE/AD,F CF 卷 CE 3 AC 7 案 AD =4…AF4 (9分) 21.(1)证明：CD⊥AB,∠ADC=90°。E是AC的中 点，∴.DE=EC,.∠EDC=∠ECD。 (2分) :∠ACB=90°，∠BDC=90°，∴.LECD+∠DCB=90°， ∠DCB+∠B=90°，.∠ECD=∠B,.∠FDC=∠B。: ∠F=∠F,.△FBD∽△FDC,FCDC FD BD (5分) (2)解BC-5Sc=5Sar-9 FC4心SAre4Sae 40 (7分) :△FBD△FDC,SAmC S△BDE= B=9BD-3 D =4,DC2 (10分) 22.解：(1)△ABC∽△EDC9.6 (4分) (2)过点A作AG⊥EF于点G,交CD于点H,由题意得 CH/EG,-△ACH~△AEG,EAC。 (7分) 由题意易知四边形ABDH和四边形DHGF都是矩形，. BD=AH,AB=DH,GH=DF,由题意得BD=AH=2,CH=2 -1.7=03,GH=DF=38,则AG=AM+HG=40,03 EG 40BG=6。AB=GF=1.7,EF=6+1.7-1.8=5.9 (米)，答：城楼的高度为5.9米。 (10分) 23.解：(1)AC'=BD',∠AMB=a,证明：在矩形ABCD中，AC =BD,0A=OC=2AC,OB=OD=2BD,0A=OC=0B =0D。.OD=OD',OC=0C',∴.OB=OD'=0A=OC'。 :∠D'0D=∠C'0C,.180°-∠D'0D=180°-∠C'0C, .∠BOD'=∠AOC',.△BOD'≌△AOC(SAS),BD =AC',∠0BD'=∠OAC'。 (2分) 设BD'与OA相交于点N,∴∠BNO=∠ANM,.180°- ∠OAC'-∠ANM=180°-∠OBD'-∠BNO,即∠AMB= ∠AOB=∠COD=a,综上所述，BD'=AC',∠AMB=a。 (4分) (2)AC'=kBD',∠AMB=a,证明：.·在平行四边形ABCD 中，0B=0D,0A=0C,又0D=0D',0C=0C',∴.0C= OA,OD'=0B。.∠D'0D=∠C'0C,∴.180°-∠D'OD= 180°-∠C'OC,.∠B0D'=∠A0C',.△B0D' △AOC',∴.BD':AC'=OB:OA=BD:AC。.AC=kBD,. AC'=kBD'。 (6分) .·△BOD'∽△AOC',.∠OBD'=∠OAC。设BD'与OA 相交于点N,.∠BN0=∠ANM,.180°-∠OAC- ∠ANM=180°-∠OBD'-∠BNO,即∠AMB=∠AOB= ∠COD=a;综上所述，AC'=kBD',∠AMB=Q。(8分) (3)AC'=BD'成立，∠AMB=a不成立。 (10分) 级·BS·数学第8页铺路卷 河南专版·BS· 九年级数学上 为期中、期末铺路炒为中考、未来铺路 第三章追梦综合演乡 测试时间：100分钟 测试分数：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 3 5 6 8 9 10 答案 1.已知线段a,b,c,d为成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c= 6cm,则d是() A.12 cm B.5 cm C.9 cm D.12 cm 电4 2.如图，直线ab∥c,直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、 腳 C和点D、E、F。若AB=3,BC=5,DF=12,则DE的值为( 吹 9 9 15 A. B.4 C. D. 潮 q /D 第2题图 第3题图 第7题图 T 3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是以点0为位似 中心的位似图形。若点A(1,1)的对应点为A'(3,3),当BC=1 时，则线段B'C的长度是( A.√2 B.2 C.3 D.4 4.如果两个相似三角形的相似比是1：√2，那么这两个相似三角形 的面积比是( ) 爵 A.2:1 B.12 C.1:2 D.1:4 数5.下列说法中正确的是( A.位似图形可以通过平移得到 B.位似图形的对应边平行且相等 C.位似图形的位似中心不只有一个 D.位似中心到对应点的距离之比都相等 6.若四边形ABCD∽四边形A'B'CD',且AB:A'B'=3:5,已知B'C 剂 =15,则BC的长是( A.25 B.20 C.9 D.15 7.如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上一点，连接BE并延长 与D的延长线交于点R。已知子，DB=4,则GD的 长为( A.5 B.6 C.9 D.10 8.如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形 A'B'C'D'E',已知0A=10cm,0A'=30cm,若S五边形8cDg= 27cm2,则S五边形ARCDE是() A.2 cm2 B.3 cm2 C.4 cm2 D.6 cm2 ℃ B A 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,点E为此三角 形的重心，连接BE并延长交AC于点D,过点E作EF⊥AB于点 F,则EF的长为() 8 6 A.5 8 D.2 10.如图，正方形AEFG的顶点G、E分别在正方形ABCD的边AD、 AB上，BC=6,EF=2,连接BF并延长交边AD于点H,连接 CH,则CH的长为() A.6 B.42 C.43 D.35 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.新考法·开放性试题如图，在△ABD中，点C在AD边上，只添 加一个 条件，使得△ABC∽△ADB。 B E 第11题图 第13题图 12.已知%=c=e=1 b+d+f 13.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC,AE CD相交于点0，若c4=1:25,则BE的值是 CE 0 14.生活情境·幻灯片为了加强视力保护意识，小明想在书房里挂一 张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3.5m,小亮设 计了一个方案：如图，在相距3.5m的两面墙上分别悬挂视力表 (AB)与平面镜(MW),由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调 整人的位置，使得视力表AB的上、下边沿A、B发出的光线经平面 镜MN的上下边沿反射后射入人眼C处，已知视力表的全长AB为 0.8m,要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，则镜面MW至 少为 mo --A M B -B' 第14题图 第15题图 15.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB上靠近点B 的四等分点，连接EC,将线段EC绕点E旋转，交∠BAD外角 的平分线于点F,若AF=√2，则FG的长为 _女 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(9分)如图，直线l1儿2亿3，直线AC分别交L1、l2、l3于点A、B、 C,直线DF分别交l1、L2、L3于点D、E、F。若DE=3,EF=6,AB =4,求线段AC长。 F THE ROAD TO 17.(9分)如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且0CD 4CDBD° (1)求∠ACB的大小。 (2)求证：BC2=BD·AB。 。13… 18.(9分)如图，在△ABC中，D为AC中点，M、N分别在AB、BC 上.且02.g3w交0于点0，水的位。 OB 19.(9分)如图，△ABC在坐标平面内三个顶点的坐标分别为 A(1,2)、B(3,3)、C(3,1)。 (1)根据题意，请你在图中画出△ABC。 (2)在原图中，以A为位似中心，画出△AB,C1,使它与△ABC 位似且相似比是2：1，并写出顶点B1和C,的坐标。 THE ROAD TO 43234 DREAM +2 20.(9分)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB,AC2=AB· AD,∠ADC=90°，点E为AB的中点。 (1)求证：△ADC∽△ACB; (2)若AD=2,AB=3,求4C的值。 AF 。14… 21.（10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,E 是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F。 (1)求证：FCDC FD BD （2)%-*0 一三 的值。 DC 22.新考法·项目式学习(10分)数学来源于生活，服务于生活。 同学们利用相似三角形相关知识测距： 【活动1】 (1)如图1，在反射现象中，反射角r等于入射角i。如图2所 示，琪琪将镜子放在地面上，后退直到她站直身子刚好能从镜 子里看到旗杆的顶端E,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的 距离是0.5m,镜面中心C距离旗杆底部D的距离为3m,已知 琪琪的身高是1.64m,眼睛位置A距离淇淇头顶的距离是 0.04m,则图中相似三角形为 ,旗杆DE的高度 是 m; 【活动2】 (2)如图3，小明和小亮去游玩，当小明给站在城楼上的小亮照 相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条 直线上（如图，A、C、E三点共线）。已知小明的眼睛离地面1.7 米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离BD为2米，凉亭 离城楼底部的距离DF为38米，小亮身高为1.8米。求城楼 的高度。 法线 入射光线」反射光线 反射面 0光的反射定律 D 图1 图2 图3 23.(10分)在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,设锐角 ∠D0C=a,将△DOC按逆时针方向旋转得到△D'OC'(0°<旋 转角<90)，连接AC'、BD',AC'与BD'相交于点M。 (1)当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC'与BD'的数 量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想。 (2)当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC=kBD, 易错 分析 请猜想此时AC与BD'的数量关系以及∠AMB与a的大小关 系，并证明你的猜想。 (3)当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC,此时(1) 中AC与BD'的数量关系是否成立？∠AMB与α的大小关系 是否成立？不必证明，直接写出结论。 图1 图2 图3 做题 心得 席