上册 第5章 追梦基础训练卷（1）-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（北师大版·河南专版）

铺路卷 恋之旅 河南专版·BS·九年级数学上 ”为期中、期末铺路艹为中考、未来铺路 第五章追梦基础训练乵 认识二次函数二次函数的图 测试时间：100分钟 测试分数：120分 、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 1.已知y=(m+2)xm+2是关于x的二次函数，那么m的值为( A.-2 B.2 C.±2 D.0 票图2.函数y=(x+1)2-2的最小值是( 吹 A.1 B.-1 C.2 D.-2 % 3.抛物线y=2x2+c的顶点坐标为(0,1)，则抛物线的解析式 为( A.y=2x2+1 B.y=2x2-1 跟 C.y=2x2+2 D.y=2x2-2 T 怎向4若二次函数y=2-a-a+1的图象的对称轴是y轴，则。的 值是( ) A.0 B.1 C.-1 D.2 5.二次函数y=x2的图象平移后经过点(2,0)，则下列平移方法正 确的是( ) A.先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 爵 B.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C.先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 D.先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 6.抛物线y=2(x-1)2+c过(-2，y),(0,),(3)三点，则1， y2,y3大小关系是( ) A.y2<y3<y1 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1 7.已知二次函数y=a2+bx+的图象经过点(-3,7)和(-1，)，则 当-2≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差是( ) A.4 B.8 C.6 D.10 8.函数y=ax2与y=ax+a,在第一象限内y随x的增大而增大，则 它们在同一直角坐标系中的图象大致位置是() D 9.如图，Rt△AOB中，AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t交OA, OB于点C,D,截此三角形所得阴影部分的面积为S,则S与t之 间的函数关系的图象为下列选项中的( A.5 B.S O D Bx 第9题图 第10题图 10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac<0;② 3a+c=0;③当x>-1时，y随x的增大而减小。其中正确的 有()》 A.0个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.新考法·开放性试题请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次 函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象同时满足下列条件：①开口向 下；②当x<2时，y随x的增大而增大；当x>2时，y随x的增大 而减小。这样的二次函数的解析式可以是 12.把二次函数y=x2-2x+1化为y=a(x-h)2+k的形式，那么h+k 13.已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1,a2,a3,a4的大小 关系是 。(请用“>”连接排序)》 ,1 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2-2x+4上运 动。过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD, 连接BD,则对角线BD的最小值为 15.如图，在平面直角坐标系中，点A(2,4)在抛物线y=ax2上，过 点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B,点C、D在线段AB 上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点。当四 边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 0 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(9分)已知二次函数y=-2x2-4x+1,先用配方法转化成y=a (x-h)2+,再写出函数的顶点坐标、对称轴以及描述该函数的 增减性。 17.(9分)如图，已知二次函数y=方++c的图象经过4(2， 0),B(0,-6)两点。 (1)求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴。 (2)把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移 后抛物线的解析式。 18.新定义(9分)设二次函数y1、y2的图象的顶点坐标分别为 (a,b)、(c,d)。若a=-2c,b=-2d,且开口方向相同，则称y1是 y2的“反倍顶二次函数”。 (1)请写出二次函数y=x2-2x-1的一个“反倍顶二次函数”； (2)已知关于x的二次函数y1=x2+nx和二次函数y2=2x2-nx+ 1。若函数y1恰是y2的“反倍顶二次函数”，求n的值。 19 19学习情镜·过程性学习(9分)有这样一个问题：探究函数了号 +x的图象与性质。 小菲根据学习函数的经验，对函数y=之+x的图象与性质进行 了探究。 下面是小菲的探究过程，请补充完整： (1)函数y=之+x的自变量x的取值范围是 (2)如表是y与x的几组对应值。 2 1 1 2 X -3 -2 -1 1 2 3 32 3 267 19 9 35 9 28 9 m 12 2 4 2 12 4 9 表中m的值为 (3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出补 全后的表中各组对应值所对应的点，并画出 该函数的图象。 4-3-2寸012才 (4)根据画出的函数图象，写出： ①当x=1.5时，对应的函数值y约为 (结果保留一位小数)； ②写出该函数的一条性质： 20.(9分)已知抛物线y=ax2+bx经过点A(-3,-3)和点P(m,0), 且m≠0。 (1)如图，若该抛物线的对称轴经过点A,求此时y的最小值和 m的值。 (2)若m=-2,设此时抛物线的顶点为B,求四边形OAPB的 面积。 。20· 21.(10分)在平面直角坐标系x0y中，P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物 线y=x2-2mx+m2-1上任意两点。 (1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； (2)若x1=m-3,x2=m+2,比较y1与y2的大小，并说明理由； (3)若对于-3≤x1<4,x2=4,都有y1≤y2,写出m的取值范围。 22.（10分)数学活动课上，王老师与同学们用实验的方法探究函 数关系： 【实验操作】如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2)， 在x轴上任取一点M,连接AM,作线段AM的垂直平分线I1,过 点M作x轴的垂线2，记L,L,的交点为P,设点P的坐标为 (x,y),探究y与x的函数关系。 【归纳猜想】在x轴上多次改变点M的位置，测量线段OM与 PM的长度，在表格中记录数据如下： 线段OM长 123 4 线段PM长1.223.35 7.2 如果OM=a,PM=b,在网格坐标系中描出点(a,b),用描点法 画出函数图象； 【总结结论】根据图象猜想线段PM与OM的长之间的函数关 系，由此得出点P的坐标(x,y)满足的函数关系； (1)猜想y关于x的函数解析式，请直接写出结论，并写出x的 取值范围； (2)在图1中利用几何推理证明(1)中的结论。 图1 图2 易错 分析 23.（10分)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax-3a过两点A (-1,0),B(3,0)。 (1)若抛物线与y轴交于点(0，-3)，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负 半轴交于点C,M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面 积比不变，请你求出这个比值。 M 些 做题 心得(2)①解：∠AEF=∠BAD,理由如下：延长AE交BC于 点G,:四边形ABCD是菱形，AD∥BC,AB=BC, ∠ABE=∠CBE,∴.∠DAE=∠EGF。,·BE=BE,∴ △ABE≌△CBE(SAS),∴.LBAE=LBCE,AE=CE。根 据旋转得AE=EF,∴.EF=CE,.∠BCE=∠BFE, ∠AEF=∠BFE+∠FGE=∠BAE+∠EAD=∠BAD; (6分) ②证明：连接AF,AG,·四边形ABCD是菱形，且∠BAD =90°，∴.四边形ABCD是正方形，∴.∠BCD=∠ABC= ∠ADC=90°，AB=AD。由(2)①可知∠AEF=∠BAD= 90°，CE=EF,∴.∠CFE=LECF。·LCFE+∠CGE= LECF+LECG=90°，.LECG=LEGC,.EG=CE, EG=EF,.AE是线段FG的垂直平分线，AF=AG。 AB=AD,∴.Rt△ABF≌Rt△ADG(HL),∴.BF=DG。 (10分) 第四章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查B CBCBDD BCC 1.B2.C3.B4.C 5.B【解析】连接PA、PB并延长分别交x轴于点D,C,线 段CD就是木杆AB在x轴上的投影。过，点P作PM⊥x 轴，垂足为M,交AB于点N,点P(3,6),A(0,2),B(6 2),.AB=6,PN=4,PM=6,AB∥CD,∴.∠PAB= PN AB ∠PDC,∠PBA=∠PCD,△PMB△PDC,PMCD 即4、6 T6CD:CD=9。故木杆AB在x轴上的投影长为 9。故选B。 6.D7.D8.B9.C 10.C【解析】设小明在A处时影长为x,A0长为a,B处 时影长为y。AC∥OP,BD∥OP,.△ACM∽△OPM, AC MA BD BN ,则飞。1.6 △BDN△0PN,OPM0OPON则x+a8,t 1 = 40-3.5,x-y=3.5,故变 短了3.5米。故选C。 人 D 0 BN A M 11.正方体（答案不唯一） 12.DABC13.中心14.T 152头【解析】作DB⊥AB于，点E,设AB=x米，则有 4 0.8 4,树高是15 宁，解得x 15(。 16解c①0g- 即6=2， (5分) .AB=9,故树AB高9米。 (9分) 17.解：(1)如图所示。 D B7777744 (4分) (2).·AC∥DF,∴.∠ACB=∠DFE。.∠ABC=∠DEF= 90°，.△ABC△DEF。 (7分) ·ABBC53 “DE EF DE6DE=10m。 (9分) 追梦之旅铺路卷·九年 18.解：如图所示： 主视图俯视图左视图 (每个图3分，共9分) 19.解：(1)这个几何体是三棱柱； (3分) (2)如图所示： (5分) (3)(68+10)x12+2x2×8×6=36(cm),2×8x6x12 1 =288(cm3),答：这个几何体的表面积为336cm2,体积 为288cm。 (9分) 20.解：如图：依题意知DE=1.2米，FG= 1米，AG=3米，由△DAE△BAC得 BCAC即22=3 DE AF 答案 BC 3,得BC= 1.8(米)， (5分) 故Sm=(}BC)2m=(82m= B 2 2 0.81Tm2。 (9分) 21.解：连接CD,D0⊥BF,.∠D0E=90°。OD= 0.8m,OE=0.8m,∠DEB=45°。AB1BF,∴.∠BAE =45°，.AB=BE,设AB=EB=xm。.AB∥C0,∴.△ABF ∽△COF. (5分) AB CO 1.2+0.8 ·BF0F'x+(3-0.8)3 (8分) 解得x=4.4。经检验：x=4.4是原方程的解。故围墙 AB的高度是4.4m。 (10分) 22.解：(1)正三棱柱72 (2分) (2)如图 (6分) (3)在△EFG中，作EH⊥FG于点H。由条件可知 △EFG是等边三角形FH=HG=)FG=2,班延 √EF2-F=23,.AB=25。 (10分) 23.解：（1)如图所示： 0 (4分) 币BCAp1 (2):BF=AE=2AB=2米，DB=2米，∠D=45°。 AE⊥CP,OP⊥CP,∴.DP=OP,AE∥OP。∴.△CEA △C0P,即C4-BA CP OP' (7分) 设AP=,0P=h,则，1=20，DP=0P=2+4+x=h②， 1+x h 联立①②两式得x=4,h=10,∴.路灯有10米高。 (10分) 第五章追梦基础训练卷（一） 答案12345678910 速查BDAAA DCBDC 1.B2.D3.A4.A 5.A 【归纳总结】由于抛物线平移后的形状不变，故a不变， 所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一 是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系 数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可 求出解析式。 6.D【解析】在二次函数y=2(x-1)2+c中，对称轴x=1, 及·BS·数学第10页 5 在图象上的三点(-2，)，(0，)，（3)，点(-2，） 离对搭轴的距离最送，店(？)离对特轴的距离凝远。 Yy2y1。故选D。 7.C【解析】把，点(-3,7)和(-1,1)代入二次函数解析式， 9a-36+5 3 3 5 得 5 ,解得a= 2,.y= 21 2t+3x+2抛 a-6 b=3 物线对称轴为直线x=-3 =-1。x=-1时，y=1,x= 3 2x- 大 2 1时43+月-7当-2≤51时，画发的爱大 值为7，最小值为1，.7-1=6。故选C。 8.B 9.D【解析】.Rt△AOB中，AB⊥OB,且AB=OB=3,∴. ∠AOB=∠A=45°。.·CD⊥OB,∴.CD∥AB,∴.∠OCD= ∠A,∠A0D=L0CD=45°，.0D=CD=t,Sa0m=2 1 ×0DxCD=2(0≤t≤3)，即S=2(0≤1≤3)。故选 Do 10.C【解析】①：抛物线开口向上，且与y轴交于负半 轴，∴a>0,c<0,.ac<0,结论①正确；②抛物线对称 b 轴为直线x=1,2 =1,∴.b=-2a.抛物线经过点 （-1,0),∴.a-b+c=0,∴.a+2a+c=0,即3a+c=0,结论② 正确；③抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x =1,.当x<1时，y随x的增大而减小，结论③错误。 故选C。 11.y=-x2+4x(答案不唯一) 12.1【解析小：y=x2-2x+1=(x-1)2,.h=1,k=0,∴.h+k =1。 13.a1>a2>a3>a4 14.3【解析】y=x2-2x+4=(x-1)2+3,则抛物线的顶点坐 标为(1,3)，.当点A在抛物线的顶点时，AC最小，最 小值为3。，四边形ABCD是矩形，.AC=BD,∴.对角 线BD的最小值为3。 15.-2+25 16.解：y=-2x2-4x+1=-2(x+1)2+3, (2分) .该函数的图象的顶点坐标是(-1,3)， (4分) 对称轴为x=-1, (6分) 抛物线开口方向向下，∴.当x<-1时，y随x的增大而 增大，当x>-1时，y随x的增大而减小。 (9分) 1 17.解：(1)把A(2,0),B(0,-6)代入y=-2+x+c得 {仁2+26+c=0,解得6=4 (c=-6 86,所以抛物线解析式为y= 6 (4分) 4 抛物线的对称轴为直线x=- -=4。 (7分) 1 2x(-2） (2)平移后的抛物线解析式为y= 26。 (9分) 18.解：(1)：y=x2-2x-1=(x-1)2-2,顶点坐标为(1， -2),∴.二次函数y=x2-2x-1的一个“反倍顶二次函 数”为y=(x+2)2+4; 5分) （2==(+2-⅓=2x2-m+1=2 追梦之旅铺路卷·九年 8 (7分) 由题意 4-2x( n2-8 8 ,解得n=±2。 (9分) 19.解：(1)x≠0 (1分) (2)0 (2分) (3)如图 (5分) S 年3-2人0十之34花 引 (4)①1.9 (7分) ②当x<0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）(9分) 20.解：(1)根据题意，得A是抛物线的顶点，此时y的最 小值-3，对称轴是直线x=-3,.m=-6。 (4分) (2)将(-2,0)、(-3，-3)代入y=ax2+bx中，得 化0g得化2 (6分) .抛物线解析式为y=-x2-2x=-(x+1)2+1,.抛物线 顶点B(-1,1)。 (8分) 入Saag=Saam+5aom=2X2x1+ 1 2×2×3=4。.四 边形OAPB的面积是4。 (9分) 21.解：(1)：y=x2-2mx+m2-1=(x-m)2-1,.抛物线顶点 坐标为(m,-1)。 (2分) (2)将x1=m-3代入y=(x-m)2-1得y1=32-1=8,将 x2=m+2代入y=(x-m)2-1得y2=22-1=3.8>3, y1>y20 (5分) (3)抛物线对称轴为直线x=m,∴点(4，y2)关于对称 轴对称点为(2m-4,y2), (7分) 抛物线开口向上，y1≤y2,.2m-4≤x1<4,.2m-4≤ -3,解得m≤分 (10分) 22.解：【归纳猜想】如下图，用描点法画函数图象；(3分) 【总结结论】 (1)y=2+1,x取全体实数； (5分) (2)过点P作PB⊥y轴于点B,连接PA。L1是AM的 垂直平分线，∴.PA=PM,.PB=x,PA=y,AB=Iy-2I,在 R△ABP中，(y-2)2+=2,即y=子+1。(10分) 23.解：(1)抛物线经过(0，-3)，.-3a=-3,解得a=1, .抛物线的解析式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,抛物线 的顶点坐标为(1，-4)。 (3分) (2)由题意，得y=ax2-2ax-3a,.C(0,-3a), M(1,-4a), (5分) Sa4cs=2×4x1-3a=6lal,而a>0,SAAC=6a。 (7分) 及·BS·数学第11页 作MD⊥x轴于D,又SAACM=SAACO+S四边形oCwD-SAAMD=2 1 1:3a+21:(3a+4o)-2:2:4a=a,.Sa4ew S△McB=1:6 (10分) 第五章追梦基础训练卷（二） 答案12345678910 速查D AC D BBADAD 1.D2.A3.C4.D 5.B【解析】由题意得BC=10m,水面与拱桥顶的高度C0 等于1 25×101=4(m)。故选B。 6.B【解析】小y=2x2-4x+8=2(x-1)2+6,抛物线顶点 D的坐标为(1,6)。AB=4,.B点的横坐标为x=3, 把x=3代入y=2x2-4x+8,得到y=14,∴.CD=14-6=8, ∴.CE=CD+DE=11。故选B。 7.A 8.D【解析】令y=0.6,则-0.2x2+1=0.6,解得x=√2或x =-√2（不符合题意，舍去），点A,B在抛物线上，OA， OB关于y轴对称，∴.AB=2√2dm。故选D。 9.A【解析】设左侧抛物线的表达式为y=ax2(a≠0)，点 A的坐标为(-3,4)，则抛物线的表达式为号，由题 意，得点V的纵坐标为2，将y=2代入抛物线)=g,得 2=号，解得x=3(负佳合去)，则0=2+2x=6 3√2。故选A。 10.D【解析】由题意，设抛物线的解析式为y=α(x-4)2+ 6(a≠0)，点A的坐标为(12,0)，将A(12,0)代入得： (12-4)a+6=0,解得a=2则抛6线的部折式为) 3 32(x-4)2+6,将x=0代入得：y=-号×(0-4)2+6月 号，中B(0,,则0B=,放选D 9 11.-9【解析】由题意，得关于x的方程x2-6x-a=0有两 个相等的实数根，∴.△=36+4a=0,解得a=-9。 12.6米13.4014.-1<x<4 5 一6【解析】抛物线对称轴为x=-2,:B(0,4),…A (-5,4),过A作AE⊥x轴，E为垂足，则AE=4。连接 BD。AB∥x轴，.∠ABD=∠BDO,又点A关于直线 BD的对称点恰好落在线段DC上，∴.∠ADB=LBDO, 即∠ABD=∠ADB,∴.AD=AB=5,则ED=/AD-AE2= √52-42=3，∴.D(-8,0),把D(-8,0)代入y=ax2+5ax +4解得a=- 6 16.解：(1)设她围成的矩形的一边长为xcm,得x(50-x)= 600,解得x1=20,x2=30, (2分) 当x=20时，50-x=30; (3分) 当x=30时，50-x=20,所以小芳围成的矩形的两邻边 分别是20cm,30cm。 (4分)》 (2)设围成矩形的一边长为xcm,面积为ycm2,则有y= x(50-x),即y=-x2+50x=-(x-25)2+625。 (6分) 当x=25时，欧值=625：此时，50-x=25,即用这根细绳 围成一个边长为25cm的正方形时，其面积最大，最大 面积是625cm2。 (9分) 17.解：(1)：二次函数y=x2+bx+c(a≠0)的图象经过点A （1.016+c=0。由题意，得--2，b=-46=3, 追梦之旅铺路卷·九年 .二次函数的解析式为y=x2-4x+3, (3分) ∴C(0,3).点B和点C关于该二次函数图象的对称 轴直线x=2对称，.B(4,3), (4分) 将A(1,0),B(4,3)代入一次函数解析式，得+n=0 4k+n=3' 解得k=1 n=-1一次函数的解析式为y=-1。(6分) (2)由图象可得，不等式x+n≤x2+bx+c的解集为x≤1 或x≥4。 (9分) 18.解：(1)设函数的表达式为y=a(x-2)2+9,将点 A(-1,0)代入得0=a(-1-2)2+9,解得a=-1,故二次 函数的表达式为y=-(x-2)2+9,即y=-x2+4x+5。 (4分) (2)由y=-x+4x+5可知点C(0,5)。 (5分) :A点坐标为(-1,0)，对称轴为直线x=2,∴.B(5,0), 大 .直线BC函数表达式为y=-x+5, (6分) 把x=2代人得y=3,过点M作y轴的平行线交BC于 点H,则点H(2,3),Saa=2MxB0=2×6x5=15。 案 (9分) 12 19.解：(1)：抛物线y=4+x+c过点0(0,0)，B(10, (c=0 0590e=0解得6g抛物线的西数表 2 达式为， 2, (3分) 对称轴= -=5,.当x=5时，抛物线有最小值，最小 一名抛物线顶点坐标为(5,2 2525-25 值y 42 ; (5分) 5 2)5B(亿，0)…AB=10-24,BC=-4P+2,矩形 A0D的周长=2(AB+BC)=2(10-2-r+)= 20. (7分) a= )0,函数有最大值，当1=-。6三 1 -=1 2a 1 2x(-2 41 时，矩形ABCD的周长最大值为：-2+1+20= 20 (9分) 20.解：(1)设需要购进B款“唐三彩小马挂件”x个，则需 要购进A款“龙门石窟浮雕纪念牌”(400-x)个，由题意 得，40(400-x)+20x≤12000，解得x≥200，答：至少需要 购进B款“唐三彩小马挂件”200个； （4分) (2)由题意得，W=(a-40)×[200-5(a-60)]=-5a2+ 700a-20000=-5(a-70)2+4500,.当a=70时，W取最 大值，W的最大值为4500元。 (9分) 2L.解：(1)C1y三3x-3C2:y=9t+1; (4分) (2)2.4 (6分) (3)锅盖不能正常盖上， (7分) 理由：3.6÷2=1.8(dm),当x=1.8时，C:y7×1.8 3=-1.92,C2y=-。×1.82+1=0.64,064-(-1.92)月 2.56<2.8,.∴.锅盖不能正常盖上。 (10分) 22.解：(1)-2-3(-1,0) (3分) (2)存在， (4分) 理由：①当∠ACP是直角时，由点A、C的坐标知，0C= 吸·BS·数学第12页