上册 第1章 追梦基础训练卷（2）-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（北师大版·河南专版）

LB0C=90°，L0CB=30°，.0B=2BC=3,0C= √BC-0B=√6-3=33，矩形0BEC的周长=2x (3√3+3)=63+6。 (10分) 22.(1)解：结论：点Q在线段PC的垂直平分线上。 (1分) 理由：连接QC,:四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD 相交于点O,∴.BD⊥AC,OA=OC,∴.QA=QC。QA= QP,.QC=QP,∴.点Q在线段PC的垂直平分线上； (4分) (2)证明：.·四边形ABCD是菱形，.AB=BC=CD=DA, ∠ABD=∠ADB,∠CBD=∠CDB。BD⊥AC,∴ ∠AD0=∠CDO,∴.∠ABD=∠CBD=∠ADO。(7分) ∠BAP=∠ADB,∴.∠BAP=∠ABD=∠CBD,.AE= BE,∠APB=90°，∠BAP+∠ABP=90°，∠BAP= ∠ABD=∠CBD=30°，.∠ABC=60°。：AB=BC, △ABC是等边三角形，：∠APB=90°，.BP=CP。 (10分) 23.(1)证明：四边形ABCD是矩形，EG⊥OA于点G,EF ⊥OB于点F,BH⊥OA于点H,连接OE,.OA=OB,: 5ae+aw=Sam=oA·6c+oB·EP=0A: BH,..EG+EF=BH: (3分) （2)解：EG=BH+EF: （4分) 理由如下：：四边形ABCD是矩形，EG⊥OA于点G,EF ⊥OB于点F,BH⊥OA于点H,连接OE,.OA=OB,: Se=5am+5ane心20A,Bc=0A·Bm+708. 1 EF,∴.EG=BH+EF; (8分) (3)EG+EF+EH=√3。 (10分) 【解析】连接AE,BE,CE,·四边形ABCD是菱形，.BC =AB=AD=2,AC=2A0=2,AC⊥BD,.B0=√AB2-A0 =3。:EG⊥AB,EF⊥BC,EH⊥OA,.S△ABc=S△ABs+ 5a+ae2x2x5=日×28c+7×238r+7x 1 2x2(EGEFE)EG+EF EH=√3。 第一章追梦基础训练卷（二） 答案12345678910 速查B CAB B CC DBD 1.B2.C 3.A【解析】四边形ABCD是正方形，.∠BAD=90° AB=AD,又△ADE是等边三角形，.AE=AD,∠DAE= 60°，.△ABE是等腰三角形，∠BAE=90+60=150°， ∠ABE=∠AEB=×(180°-150°)=15°。故选A。 2 4.B 5.B【解析】.'由旋转，得∠BCE=∠DCG。.△EFC≌ △GFC,∴.∠ECF=∠GCF。.·∠GCF=∠DCG+∠DCF= ∠BCE+∠DCF,.∠BCE+∠DCF=∠ECF,.∠ECF= 2 ∠BCD。.·∠BCD=90°，∴.∠ECF= 2×90°=45°。故选 B。 6.C7.C 8.D【解析】.四边形ABCD是正方形，.AB=CB,∠ABD =∠CBD=45°。·∠BAE=53°，∴.∠AEB=180°-45°- (AB=CB 53°=82°，在△ABE和△CBE中， ∠ABE=∠CBE,∴. BE=BE 追梦之旅铺路卷·九年 △ABE≌△CBE(SAS),.∠AEB=∠CEB=82°，∴.∠CEF =180°-82°-82°=16°。故选D。 9.B【解析】过D点作DM⊥y轴，垂足为M,.∠MED+ ∠MDE=90°。：四边形BDEF为正方形，∴.DE=EF= FB,∠DEF=∠EFB=90°，∴.∠MED+∠OEF=90°， ∠OFE+∠CFB=90°。∠OEF+∠OFE=90°，.∠MDE =∠OEF=∠CFB。·.·四边形OABC是矩形，.∠BCF= 90°，OA=CB,∴.∠EMD=∠FOE=∠BCF=90°，∴.△EMD ≌△FOE≌△BCF(AAS),∴.MD=OE=CF,ME=OF= CB。.E为OA的中点，.OA=20E,.OF=2CF。C (6,0),∴.0C=6,∴ME=0F=4,MD=0E=CF=2,.0M =6,.D(2,6)。故选B。 10.D【解析】延长AE交DF于G。:AB=5,AE=3,BE= 4,∴.△ABE是直角三角形，同理可得△DFC是直角三 角形。由题得△ABE≌△CDF(SSS),∴.∠BAE= ∠DCF。.·∠FCD+∠CDF=90°，∴.∠BAE+∠CDF= 90°。.∠BAD=∠ADC=90°，.∠DAG+∠ADG=90°， 可得△AGD是直角三角形，.LABE+LBAE=∠DAE+ 案 LBAE,.∠GAD=∠EBA,同理可得LADG=∠BAE,在 I∠GDA=∠EAB △AGD和△BEA中， RAD=AB ,∴.△AGD≌ (∠DAG=∠ABE △BEA(ASA),.AG=BE=4,DG=AE=3,∴.EG=1,同理 可得GF=1,.在Rt△EFG中，EF=√1+1=√2。故 选D。 11.∠ABC=90°（答案不唯一） 12.75°13.3 14.√10【解析】：四边形ABCD是正方形，.∠AOD= ∠AOB=90°，BD=AC,∴.A0=B0=OD,点F为AE的 中点，0F=)AE,DE=0D0E=20D=20B,AB =4,A0=B0,.AB2=A02+B02=2B02,.16=2B02, B0=22,.0E=42,∴.AE=√A0+0E2=2√10，. 0F=AB=VIo。 15.②④【解析】.：四边形ABCD是正方形，..AB=BC= CD=DA,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∠BAO= ∠BC0=45°。.△ABC≌△ADC(SSS)。:点0为对 角线AC的中点，.OA=0C,.△AOB≌△C0B(SSS)。 AB=CB,OA=OC,∠ABC=90°，∴.∠AOB=∠C0B= 90°，∠OBC=45°=∠BAC,OA=OB=OC。又.'∠E0F= 90°，∴.∠AOE=∠BOF,∴.△AOE≌△BOF(ASA);同理 △B0E≌△COF。.图中全等的三角形有4对。①错 吴；△A0B≌△B0P,一Sa建OBar=SAO=4SE方# ∴.正方形ABCD的面积=四边形OEBF面积的4倍。 ②正确；.△BOE≌△COF,∴.BE=CF,∴.BE+BF=CF+ BF=BC=AB,.AC=2OA,在直角△ABC中，AC>AB,.. BE+BF≠2OA。③错误；.△BOE≌△COF,△AOE≌ △BOF,∴.BE=CF,OE=OF,AE=BF,∴AE+CF=BF2+ BE2=EF2=OE2+OF2=2OF2。④正确。综上，正确说法 有②④。 16.证明：，：四边形ABCD是矩形，.∠BAD=∠ADE=90°， .∴.∠ABF+∠AFB=90°。 (3分) .·AE⊥BF,.∠DAE+∠AFB=90°，.∠ABF=∠DAE, ,'AE=BF,∴.△ABF≌△DAE(AAS), (6分) .AB=AD,.矩形ABCD是正方形。 (9分) 17.证明：连接BF。四边形ABCD是正方形，.∠C= ∠ADC=90°，∠BDC=45°。.·EF⊥BD,∴.∠FEB=90° 在Rt△BEF和Rt△BCF中，BF=BF,BE=BC,.Rt △BEF≌Rt△BCF(HL),∴.EF=CF。 (5分) .·∠FED=90°，∠BDC=45°，∴.∠DFE=180°-90°-45°= 45°，.DE=EF,.DE=CF。 (9分) 级·BS·数学第2页 18.解：由条件可知∠DAC=∠ACD=45°，AF=AC,∴ ∠ACF=∠AFC=2(180°-∠CAF)=67.5°，.∠DCF= ∠ACF-∠ACD=22.5°。 (9分) 19.(1)证明：.：DE⊥BC,..∠DFB=90°。，∠ACB=90° ..∠ACB=∠DFB,∴.AC∥DE。.·MN∥AB,即CE∥AD .四边形ADEC是平行四边形，∴.CE=AD。 (4分) (2)解：D为AB中点，∴AD=BD。CE=AD,∴.BD= CE。BD∥CE,四边形BECD是平行四边形。 (7分) ∠ACB=90°，D为AB中点，.CD=AD=BD,.∠A= ∠ACD。:四边形BECD是正方形，∴∠CDB=90°， ∠CDB=45°，即当∠A=45°时，四边 ·∠A=∠ACD=1 卷 形BECD是正方形。 (9分) 20.解：(1)四边形APOD是平行四边形。 (2分) (2)OA⊥OP,OA=OP,理由是：：四边形ABCD为正方 形，∠AB0=∠0BC=45°。0Q⊥BD,∠B0Q= 90°，.∠0QB=45°，.0B=0Q。在△AB0和△PQ0 (AB=PO 中 ∠AB0=∠PQ0,∴.△AB0≌△PQ0(SAS),∴.OA= (0B=0Q OP,∠AOB=∠POQ。 (7分) .·∠BOQ=∠BOP+∠POQ=90°，∴.∠BOP+∠AOB= ∠A0P=90°，.0A⊥0P。 (9分) 21.解：(1)结论：DM⊥EM,DM=EM。 (4分) （2)结论不变，DM⊥EM,DM=EM。 (5分) 理由：延长EM交DA的延长线于H。·四边形ABCD 是正方形，四边形EFGC是正方形，∴.LADE=∠DEF= 90°，AD=CD,..AD∥EF,..∠MAH=∠MFE。M是 AF中点，∴.AM=MF,∠AMH=∠FME,.△AMH≌ △FME(ASA),.MH=EM,AH=EF=EC,∴.DA+AH=DC +CE,即DH=DE,.·MH=EM,∴.DM⊥EM,又.∠CDA= 90°，..DM=ME。 (10分) 22.解：(1)根据题意得，△ABD≌△ABE,△ACD兰△ACF, ∴.AD=AE,∠DAB=∠EAB,AD=AF,∠DAC=∠FAC。 (2分) .·∠BAC=45°，.∠EAF=∠DAB+∠DAC+∠EAB+ ∠FAC=∠BAC+∠BAC=90°，.·AD⊥BC,.∴.∠ADB= ∠ADC=90°，∴.∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90° .四边形AEGF是矩形。 (5分) .·AD=AE,AD=AF,.AE=AF,.四边形AEGF是正方 形； (7分) (2)3 (10分) 【解析】设CD=x,则BC=x+2,.AD=6,BD=2,四边形 AEGF是正方形，.EG=FG=AD=6,∠BGC=90°。 △ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF,∴.BD=BE=2,CD= CF=x,.BG=6-2=4,CG=6-x,在Rt△BGC中，根据勾 股定理得，BG+CG2=BC2,∴.(6-x)2+42=(x+2)2,解得 x=3,∴.CD=3。 23.解：(1)PB=PE (2分) (2):四边形ABCD是正方形，.AB=AD,∠DAP= ∠BAP。AP=AP,△APB≌△APD(SAS),.∠ADP= ∠ABP,∠ADC=∠ABC=90°，∴.∠CDP=∠CBP, PD=PE,∴.∠PDC=∠PEC,∴.∠CBP=∠PEC. ∠BFP=∠EFC,∴.180°-∠BFP-∠PBF=180°-∠EFC -∠PEC,∴.∠FPB=∠BCE=90°，∴.∠BPE=90°； (5分) (3)DP=BE (6分) 理由如下：连接BE,在菱形ABCD中，∠BAD=120°，. AD=AB,∠DAP=∠BAP=60°。在△ADP和△ABP中， (AD=AB ∠DAP=∠BAP,∴.△ADP≌△ABP(SAS),.PD=PB, AP=AP 追梦之旅铺路卷·九年 ∠ADP=∠ABP。PD=PE,∴.PB=PE,∠PDE= ∠PED,.:∠ADP+∠PDE=180°-120°=60°，.∠ABP+ ∠PED=60°，.DE∥AB,·.∠ABE+∠DEB=180°，. ∠PBE+∠PEB=120°，∴.∠EPB=60°，∴.△PBE是等边 三角形，∴PE=BE,PD=PE,∴.PD=BE (10分) 第一章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查C A ABD DAB CB 1.C2.A 3.A【解析】在正方形ABCD中，∠BCA=∠DCA=45°。 CE=CA,LCEA=LFAC=)∠ACB=2.5。故选A 4.B 5.D【解析】连接AB交OC于点D。:四边形OACB为菱 形，点B的纵坐标为-1，.AD=BD=1,又：C点坐标为 (4,0),.0C=4,∴.0D= 20C=2,点A的坐标为(2， 1)。故选D。 6.D【解析】40÷4=10，设两条对角线分别为3x、4x,∴.102 =(5)1+(货)3，解得x=4,即3x=2,4=16,则5w )x12x16=96。故选D。 7.A【解析】由题意，得BD=√CD+CB=22,:△DEF 与△DEC关于直线DE对称，.DC=DF=2,EC=EF,∴ BF=2N2-2,△BEF的周长=BF+BE+EF=BF+BE+EC= BF+BC=2W2-2+2=2√2。故选A。 8.B 9.C【解析】.四边形ABCD是矩形，.AD=BC=12,AB= CD,:点E是矩形ABCD的边BC上的中点，BE=CE= )BC=6。由折叠，得AB=AE,BE=EF=EC=6,∠B正 ∠EFA=90°。连接EG,.·∠C=∠EFG=90°，.Rt△EFG ≌Rt△ECG(HL),∴.FG=CG=4。设AB=AF=x,则DG= x-4,AG=x+4,在Rt△ADG中，AD2+DG2=AG,即122+(x -4)2=(x+4)2,解得x=9,.AB=9。故选C。 10.B【解析】连接FH,四边形ABCD是菱形，四边形 EFGH是菱形，∠A=∠E,∴.∠ADC=∠EFG,∠BDC= ∠ADC=LEFH= 1 1 F2LBFG,S△nc=2S美ARCD=4.5 (cm2),.BD∥FH,∴.SARDH=SARDF,∴.S△BDa=S△BDc+ S△cr=4.5+4=8.5(cm2)。故选B。 11.有一个角为直角（答案不唯一）12.22 13.(2+√3,1)【解析】过点D作DG⊥x轴于点G,DM1 BC于点M,易证四边形MCGD为矩形，.MC=DG。 四边形BDCE是菱形，∴.BD=CD。BC=2,∠D=60°， .△BCD是等边三角形，.CM=DG=1,CD=2。 ∠DGC=90°，.CG=√22-1'=√3，.D(2+√3,1)。 14.2-1 15.2或2【解析】小：四边形ABCD是矩形，且AB=1, BC=AD,AB=CD=1,∠BAD=∠B=∠C=90°，AD∥BC, GAE平分LBAD,∴LBAE=LDAE=7∠BAD=45 ∴.△ABE是等腰直角三角形，∴.BE=AB=1,由勾股定 理得：AE=√AB+BE2=√2，.当△ADE的形状为等腰 三角形时，有以下三种情况，①当AE=DE时，如图1所 尿，在R△ABE和RADCE中，ABPR肚△ABE≌ Rt△DCE(HL),∴.BE=CE=1,∴.BC=2;②当AE=AD= √2时，如图2所示，则BC=AD=√2；③当AD=ED时，如 级·BS·数学第3页铺路卷 恋之旅 河南专版·BS·九年级数学上 炒为期中、期末铺路为中考、未来铺路 第一章追梦基础训练美 正方形的性质与判定 测试时间：100分钟 测试分数：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 地 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( 黑 A.四个角都是直角 B.四条边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 言腳 2.如图，已知四边形ABCD的对角线相交于O,则下列条件能判断 吹 它是正方形的是( ) H A.A0=C0,B0=D0,AC⊥BD B.AB=BC=CD=DA q C.A0=B0=C0=D0,AC⊥BD D.AB=BC,CD⊥DA 口 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，在正方形ABCD外侧作等边△ADE,则∠AEB的度 数为( A.15° B.22.5° C.20° D.10° 4.两个一样的正方形纸片ABCD和AEFG如图摆放，若∠EAD= 爵 31°，则∠GAB=( ) 郡 A.121° B.149 C.152° D.173° 5.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在AB,AD边上，将△BCE 绕点C顺时针旋转90°得到△DCG,若△EFC兰△GFC,那么 ∠ECF的度数是( A.60° B.45° C.40° D.30° 图1 图2 第5题图 第6题图 第7题图 6.如图，四边形AFDC是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角，且E, A,B三点共线，AB=4,则图中阴影部分的面积是() A.12 B.10 C.8 D.6 7.小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1）， 测得对角线AC=10√2cm,将正方形学具变形为菱形（如图2）， ∠DAB=60°，则图2中对角线AC的长为( A.20 cm B.10√6cm C.103 cm D.10√2cm 8.如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线 交CD于点F,连接CE,若∠BAE=53°，则∠CEF的度 数为( A.13° B.14° C.15° D.16° F 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A,C,F在坐标轴上，E是OA 的中点，四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，若点C 的坐标为(6,0)，则点D的坐标为() A.(2,4) B.(2,6) C.(2,23) D.（2,2+23) 10.如图，在正方形ABCD中，AD=5,点E、F是正方形ABCD内的 两点，且AE=FC=3,BE=DF=4,则EF的长为( ) B.1 D.√2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.已知菱形ABCD,请添加一个条件： ,使得菱形ABCD 成为正方形。 第11题图 第12题图 第13题图 12.如图，小磊将一副三角尺（含30°和含45°的直角三角形）按如 图所示的方式放置于正方形木框ABCD中，则∠α的度数 为 13.如图，在正方形ABCD中，点P在AB边上，AE⊥DP于E点，CF ⊥DP于F点，若AE=4,CF=7,则EF= 14.在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点 BD至点E,使DE=OD,连接AE,点F为AE 连接OF。若AB=4,则OF的长为 第14题图 第15题图 15.如图，四边形ABCD为正方形，O为对角线AC的中点，过点O 作射线OG,ON分别交AB,BC于点E,F,且∠EOF=90°，B0, EF交于点P。则下列结论中：①图中全等的三角形只有2对； ②正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；③BE+ BF=2OA;④AE2+CF2=20F2,正确的说法有 。(只填 序号) 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(9分)已知：如图，在矩形ABCD中，E,F分别是边CD,AD上 的点，AE⊥BF,且AE=BF。求证：矩形ABCD是正方形。 E 17.(9分)如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BE= BC,EF⊥BD,交DC于点F。求证：DE=CF。 18.(9分)如图，四边形ABCD是正方形，延长AD到点F,使AF= AC,连接CF,求∠DCF的度数。 。3. 19.(9分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥ AB,D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC,交直线MN于点E, 垂足为F,连接CD、BE。 (1)求证：CE=AD。 (2)若D是AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形 BECD是正方形？请说明你的理由。 M 20.(9分)如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2,边BC在其 所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ,连接PA、 QD,并过点Q作Q0⊥BD,垂足为0，连接OA、OP。 (1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APOD是什么 四边形？ (2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明。 。4 21.(10分)已知正方形ABCD与正方形CEFG,M是AF的中点，连 接DM,EM。 (1)如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM, EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论； (2)如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，(1)中结论 是否仍然成立？请证明你的结论。 图1 图2 22.(10分)如图，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D。 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直 线AB,AC为对称轴，画出△ABD,△ACD的轴对称图形，点D 的对称点分别为E,F,延长EB,FC相交于点G。 请按照小明的思路，探究并解答下列问题： (1)求证：四边形AEGF是正方形。 (2)若AD=6,BD=2,则DC= E、 23.(10分)【问题背景】 如图1，在正方形ABCD中，P是AC上一点，点E在DC的延长 线上，且PD=PE,PE与BC交于点F,连接PB。 【初步认识】 (1)猜想线段PB和PE的数量关系 易错 【深入思考】 分析 (2)请求出∠BPE的度数。 【延伸迁移】 (3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变，当 ∠BAD=120时，连接BE,试探究线段PD与线段BE的数量关 系，并说明理由。 图2 些 做题 心得 笨