上册 第2章 综合演练卷-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（北师大版·河南专版）

图3所示，：∠DAE=45°，△ADE是等腰直角三角 形，.DE=AD,∠ADE=90°，.四边形ABED是正方形 此时点C与，点E重合，不合题意，综上所述，BC边的长 为2或√2。 图1 图2 图3 16.证明：过点D作DH⊥AB于点H,:DE⊥BC,DF⊥AC ∴.∠DEC=∠DFC=∠C=90°，∴.四边形DECF是矩形 (4分) BD平分∠ABC,AD平分∠BAC,DE⊥BC,DF⊥AC, DH⊥AB,.DE=DH,DH=DF,·DE=DF,.四边形 DECF是正方形。 (9分) 17.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,AB= CD,AD=BC。.·CF=CD,∴.CF=AB,∴.四边形ABFC是 平行四边形。 (4分) AD=AF,.BC=AF,∴.四边形ABFC是矩形。(9分) 18.（1)证明：AE∥BF,∴.∠ADB=∠DBC,∠DAC= ∠BCA,:AC平分∠BAD,BD平分∠ABC,·∠DAC= ∠BAC,∠ABD=∠DBC,∴.∠BAC=∠ACB,∠ABD= ∠ADB,∴.AB=BC,AB=AD,∴.AD=BC,.ADBC,.四 边形ABCD是平行四边形，又.·AD=AB,.四边形AB CD是菱形； (4分) (2)解：由(1)可知，四边形ABCD是菱形，∴.OA=OC= 2AC=3,0B=0D=28D=4,AC1BD,∠B0C=90, .BC=√OB+OC=5,:AH1BC,.S變形ABGD=BC·AH )AC·BD,即5AH=7x6x8,解得A2丝 5。(9分) 19.解：(1)AE=BF,AE⊥BF。 (1分) 理由如下：.·四边形ABCD是正方形，∴.AB=BC,∠ABC =∠C=90°。又.BE=CF,∴.△ABE≌△BCF(SAS), AE=BF. (3分) ∠BAE=∠CBF,LBAE+∠BEA=90°，∴.∠CBF+ ∠BEA=90°，∴.∠BPE=180°-（∠CBF+∠BEA)=90° ∴.AE⊥BF; (5分) (2)在Rt△ABE中，AB=8,AE=10,根据勾股定理得： BE=VAC-AB=6,Sm=2AB·BE=子AB,B即， ∴.BP=4.8。 (9分) 20.(1)证明：CEBD,EB∥AC,∴四边形OCEB是平行四 边形，四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,.四边形 OCEB是矩形，∴.OE=CB; (4分) (2)解：由(1)知，AC⊥BD,.OC:OB=3:4,BC=OE= 15。在Rt△B0C中，由勾股定理得BC2=0C2+0B2, C0=9,OB=12,:四边形ABCD是菱形，∴.AC=2C0= 18,BD=20B=24,S爱m=7×18×24=216。(9分） 21.(1)解：四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC,∠DAB= ∠ABC=∠BCD=90°，BC=AD=3,∴.∠DAE=∠BEA AE平分LBAD,.∠DAE=∠BAE=45°，∠BEA= LBAE=45°，.BE=AB=2,CE=BC-BE=1。 ∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，.∠F=∠CEF= 45°，∴.CE=CF=1。在Rt△CEF中，利用勾股定理可得 EF=√EC2+FC2=√2： (6分) (2)证明：连接CG,因为△CEF是等腰直角三角形，G 为EF中点，∴.CG=FG,∠ECG=45°，∴.∠BCG=∠DFG =45°。又.DF=BC,∴.△BCG≌△DFG(SAS),∴.BG= DG. (10分) 22.（1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,AD 追梦之旅铺路卷·九年 =BC,.BE=DF,∴.AF=EC,.AFEC,∴.四边形AECF 是平行四边形； (6分) (2)解：①2.5 (8分) ②1.8 (10分) 23.解：(1)矩形EFGH和矩形EF'GH重合，∴.EF=EF =GH=10,∠H=90°，.F'H=√(EF)2-Em=8,.GF =HG-HF'=10-8=2; (3分) (2)正确， (4分) 理由如下：连接EG、HG,根据题意可得∠F'EG= ∠EFH,EF=EF',∴.∠FEG'=∠EFF'=∠EF'F,∴.EG FH。EG=FH,.四边形EFHG是平行四边形， GHEF。·HGEF,∴.G'、H、G在同一条直线上； (8分) 3MN的长为 (10分) 大 【解析】连接EG',HG',由(2)得四边形EFHG'是平行四 边形，M=EM=)EH=3,GH=EF=10。EF 案 EF',∴.∠EFH=∠EF'H。∠NHF'=∠FHE=90°- ∠EFH,∠NF'H=∠NF'E-∠EF'H=90°-∠EF'H,:. ∠NFH=∠NHF',∴.HN=NF'。设HN=NF'=x,:G、 H、G在同一条直线上，∴∠G'HN=90°，在Rt△GHN 中，利用勾股定理得，GN=GH+HN2,可得方程(6+ 到P=10,解得=5My=+W 3*325 1 Γ3 第二章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查CD ACD CBD C A 1.C2.D3.A4.C 5.D【解析】由题意得，△=(-2)2-4(a-2)≥0且a-2≠ 0,解得a≤3且a≠2。故选D。 6.C【解析】设十位数字为x,个位数字为(9-x),由题意 得x(9-x)=9×2,解得x1=3,x2=6,则9-x=6或3，.这 个两位数是36或63。故选C。 7.B 8.D【解析】由题意可知△=4(k-1)2-4(k2+2)=-8k-4 ≥0，.k≤- 。名+=2(k-1),…1=2(-D=2 之，当k三)时，t最大，=6。故选D。一 9.C【解析】由新定义得x2+2kx-2-1=0。△=(2k)2-4 ×1×(-k2-1)=8k2+4>0,∴.方程有两个不相等的实数 根。故选C。 10.A【解析】由勾股定理可得A02+B02=25,又：A0+B0 =-2m+1,A0·B0=m2+3,.A02+B02=(A0+B0)2- 2A0·B0=(-2m+1)2-2(m2+3)=25,解得m=-3或 5。又：△≥0，.(2m-1)2-4(m2+3)≥0，解得m≤ 11 4m=-3。故选A。 11.x2-5x+4=0(答案不唯一) 12.313.6 14.50【解析】解方程x2-8x-20=0,得x1=10,x2=-2,则 正方形ABCD的边长为10，Sn影=S△ABc+S稀形BFE-S△EFC =)×102+x(a+10xa2 1xax(10+a)=50。 15.-12或-3【解析】解方程得x1=6,x2=-n,:（x-6)(x +n)=0是“倍根方程”，.当-n是6的2倍时，即有-n =6×2=12,∴.n=-12,当6是-n的2倍时，即有-n=6÷ 2=3,.n=-3。综上所述，n=-12或-3。 16.解：(1)直接开平方，得y+2=±(3y-1)。 (2分) 即y+2=3y-1或y+2=-(3y-1),解得1=22=40 3 1 (5分) 级·BS·数学第4页 (2)移项，得(x-1)2-2(x-1)+1=0。 (6分) 因式分解，得(x-1-1)2=0。 (8分) ∴.x1=x2=2。 (10分) 17.解：(1)一方程没有化成一般式 (4分) (2)*=b+B-4ac (6分) 2a (3)方程化为一般式为x2-5x-1=0。a=1,b=-5,c= -162-4c=(-5)2-4x1x(-10=29,x=5tV2四 2 5+√29 5-√29 .x1= (9分) 18.解：(1)根据题意，得△=(2k+1)2-4(2+1)=4h-3>0, 大 解得。 (4分) (2)根据题意，得x1+x2=-2k-1,x1·x2=k2+1,x12+x22 =(x1+x2)2-2x1·x2=(-2k-1)2-2(2+1)=5,解得k 3 =-3,k=1。:方程有两个实数根，心≥4心k=1。 (9分) 【思路点拨】 审题干 析过程 得结论 方程有两个不 △>0 「得k的取 相等的实数根 值范围 根与系数 x1+x2= 得k的所 得k 的关系 (+x)-2xx 有值 的值 19解：设运动时间为：秒。当0<4≤40时，依题意，得 (60-t)×2t=100,解得t,=30-20W2,t2=30+20√2（不合 题意，舍去)； (5分) 当401<60时，依题意得】×80x(60-）=10。解得1 57.5。故经过(30-202)秒或57.5秒，△PBQ的面积 等于100平方厘米。 (9分) 20.解：(1)①解方程x2-x-6=0得x=3或x=-2。.3≠-2 +1,x2-x-6=0不是“邻根方程”。 (2分) ②解方程22-23x+1=0得x=3±1.5+1V3-1 2。 2 2 +1,.2x2-23x+1=0是“邻根方程”。 (4分) (2)解方程得x=m或x=-1。 (5分) :方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“邻根方程”， ∴m=-1+1=0或m=-1-1=-2,即m=0或-2。 (9分) 21解，)设CF的长为m,则c0=()m,由题意，得 x.65=450, (3分) 2 解得x1=20,x2=45(舍)。.CF=20m。 (4分) (2)设BF长ym,则AD=(20-y)m,由题意，得(25+y) (20-y）=450, (7分) 解得y1=5,y2=-10(舍去)，故BF的长为5m。 (9分) 22.解：(1)y=150-2x (3分) (2)由题意得：(150-2x)(x-40)-300=200,整理得x2 115x+3250=0,解得x1=65,x2=50, (6分) 当x=65时，150-2x=20; (8分) 当x=50时，150-2x=50;20<50,且为了尽快减少库 存，.x=50。答：该益智玩具的销售单价应定为50元。 (10分) 23.解：(1)③ (2分) (2)如图， (4分) 追梦之旅铺路卷·九年 x-2 t) 图中的大正方形面积是(x+x-2)2,其中四个全等的小 矩形面积分别为x(x-2)=15,中间的小正方形面积为 22,所以大正方形的面积又可表示为4×15+2=64，进 一步可知大正方形的边长为8，所以x+x-2=8,解得x= (8分) (3)x2+x-12=0或x2-x-12=0。 (10分) 【解析】由图①可设对应的方程为x(x+1)=a或x(x 1)=a,其中a 7x7-1=12,.图①对应的方程为+x 4 12=0或x2-x-12=0。 第三章追梦基础训练卷（一） 答案12345678910 速查CD CC BBCB CC 1.C2.D3.C 40(折】小6化么小品品子0品中 C03 6=5C0=3.6。故选C。 5.B6.B 7.C【解析】·两个四边形相似，.∠1=138°，.∠α= 360°-60°-75°-138°=87°。故选C。 8.B9.C 10.C【解析】设运动时间为t秒，.BP=t,CQ=2t,.BQ= BC-C0=6-24,当△BP0△BAC,6=%,即←=6-2 86, 当△ar0△BcC铝黑中后6g,解 24 解得t= 得=了综上所述，当以B,P,Q为顶点的三角形与 △4BC相似时，运动时间为24。 .9 或了。故选C 【易错提醒】在处理与相似三角形有关的存在性问题时， 要注意分类讨论思想的应用。本题中点P,Q是动点，其 位置不同，会导致相似三角形的对应边不同，应充分考 虑所有可能出现的情况，避免漏解。 11.∠AEF=∠ACB(答案不唯-)12.18 13.602 【解析】由勾股定理知AD=9,BD=16,所以AB= AD+BD=25。故由勾股定理的逆定理知△ACB为直角 三角形，且∠ACB=90°。作EF⊥BC,垂足为F。设EF =x,由∠ECF=】LACB=45°，得LCEF=45,∠ECF 2 =∠CEF,EF=CF=x,BF=20-x。EF/AC,AC EF 85即言期得x= 7。CE=Ve2+x= 60w2 7 14.7.5【解析】过D作DM∥CF交AB于点M。.AD是 △ABC的中线，∴.BD=DC,∴.BM=MF。DM∥CF,. AF AE 1 △AFE△AMD,MAD3AF=3AM。:BM =M,AF=54B。AF=1.5,AB=5x1.5=75。 级·BS·数学第5页铺路卷 河南专版·BS· 九年级数学上 炒为期中、期未铺路+为中考、未来铺路 第二章追梦综合演乡 测试时间：100分钟 测试分数：120分 选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 5 6 8 9 10 答案 1.下列方程：①2x2--1;②2x2-2y=0:③7x2+1=0:④ 3x =0。其 物 中是一元二次方程的有( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和③ 腳2.把一元二次方程x2+2x=5(x-2)化成一般形式，则a,b,c的值 蓄 吹 分别是( ) A.1,-3,2 B.1,7,-10 蜘 C.1,-5,12 D.1,-3,10 9 3.用配方法解方程x2-6x-5=0时，下列配方结果正确的是( A.(x-3)2=14 B.(x-3)2=5 裂 C.(x+3)2=14 D.(x+3)2=5 4.方程x(x-5)=x-5的根是( A.x1=x2=5 B.x1=0,x2=5 救 C.x1=1,x2=5 D.x1=0,x2=-5 5.已知关于x的一元二次方程(a-2)x2-2x+1=0有实数 的取值范围是( A.a≤3 B.a<3 C.a≥-3且a≠2 D.a≤3且a≠2 6.学科内融合一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这 爵 两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数 郡 是( ) A.36 B.63 C.36或63 D.-36或-63 7.文化情境·数学文化我国古代著作《四元玉鉴》中记载“买椽多 少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210 文。如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的 剂 运费恰好等于一株椽的价钱。根据题意可列方程3x(x-1)= 6210,其中x表示( A.剩余椽的数量 B.这批椽的数量 C.剩余椽的运费 D.每株椽的价钱 8.已知关于x的一元二次方程x2-2(k-1)x+k2+2=0的两个实数 根为和，设：=，则：的最大值为( A.-4 B.4 C.-6 D.6 9.新定义定义一种新运算“a△b”,对于任意实数a、b,a△b=a2+ 2ab-b2-1,如3△4=32+2×3×4-42-1，若x△k=0(k为实数)是 关于x的方程，则它的根的情况为( A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 10.学科内融合如图，菱形ABCD的边长是5，两 条对角线交于O点，且AO、B0的长分别是关 于x的方程x2+(2m-1)x+m2+3=0的根，则m 的值为() A.-3 B.5 C.5或-3 D.-5或3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.新考法·开放性试题请写出一个关于x的一元二次方程，使它 的一个根为x=4: 。(写出一个即可) 12.一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)根的判别式△ =0。若此方程的一个根x,=3,则其另一个根x2= 13.某班第一小组x名同学在庆祝新年之际，互送新年贺卡，表达同 学们的真诚祝福，全组共送出贺卡30张，则x的值是 14.如图，若正方形ABCD的边长是一元二次方 程x2-8x-20=0的一个根，点G在边AB上。 若四边形BFEG是边长为a的正方形，则阴 影部分的面积是 15.新定义新定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有 两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方 程为“倍根方程”。若(x-6)(x+n)=0是“倍根方程”，则n 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（10分)解方程： (1)(y+2)2=(3y-1)2 (2)(x-1)2-2(x-1)=-1。 17.学习情境·过程性学习(9分)小明解方程x2-5x=1解答过程 如下： a=1,b=-5,c=1…第一步 .b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21…第二步 _5±√21 ∴.x …第三步 2 5+√215-√21 x1= 2,2 …第四步 2 (1)小明解答过程是从第 步开始错误的，其错误原因 是 ； (2)第三步所使用的公式是 (3)写出此题正确的解答过程。 18.（9分)关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0。 (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围。 (2)若方程有两个实数根x1、x2且满足x,2+x22=5,求k的值。 19.学习情境·动点探究(9分)如图所示，在△ABC中，AB=60厘 米，BC=80厘米，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向点B以 1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开 始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止 运动)，如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，△PBQ的 面积等于100平方厘米？ 20.(9分)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个 实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为 “邻根方程”。例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0, x2=-1,则方程x2+x=0是“邻根方程”。 (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”。 ①x2-x-6=0;②2x2-2W3x+1=0。 (2)已知关于x的方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“邻根 方程”，求m的值。 21.(9分)某单位借助家里长25m的墙AB建造面积为450m2的 矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为65的篱笆，并提供 以下两种方案： (1)如图1，若选取墙AB的一部分作矩形的边，其他三边用篱 笆围成，则在墙AB上借用的CF的长度为多少？ (2)如图2，若全部借用AB的长度，并在AB的延长线上拓展 BF,构成矩形ADEF,篱笆由BF、EF、DE和AD构成，求BF 的长。 A4444R kiiisiuu 图1 8 22.新考法·项目式学习(10分)》 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开 展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目 任务。 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩 具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要 求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略。 任务一：市场调查 调查附近A,B,C,D,E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销 售单价x(元)和日销售量y(个)的情况，记录如表： 玩具店 A B C D E 销售单价x/元61 60 59 58 57 日销售量y/个28 30 32 34 36 任务二：模型建立 (1)该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的一次函数关 系式为 任务三：问题解决 (2)如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300 元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快 减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 23.学科素养·注重阅读(10分)阅读下列材料，并解答问题： 赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程x+5x 14=0(x>0),即x(x+5)=14(x>0)的方法。首先构造了如图1 所示的图形，图中的大正方形面积是(x+x+5)2,其中四个全等 的小矩形面积分别为x(x+5)=14,中间的小正方形面积为52 所以大正方形的面积又可表示为4×14+52=81，据此易得x 易错 分析 =2。 (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中 选择能够用几何法求解方程x2-4x-21=0(x>0)的正确构图是 ;(从序号①②③中选择) (2)请你结合上述问题的学习，在图2的网格中设计用几何法 求解方程x2-2x-15=0(x>0)的构图（类比图1标明相关数 据)，并写出解答过程； 脚 (3)构图序号①对应的方程是 0 xx+5 x+5 x+5 x 图1 图2 些 做题 心得 ② ③ 席