第二章 一元二次方程单元测试卷2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程单元卷，分A、B卷（150分），覆盖定义、解法、应用等核心知识，梯度设计合理，注重运算能力、模型意识与创新思维，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|定义、解法、根与系数关系|第8题“2倍根方程”新定义，考查推理意识| |填空题|10/40|一般形式、根的判别式、几何应用|第12题等腰三角形周长结合几何直观，第22题最值问题体现抽象能力| |解答题|8/78|配方法、公式法、应用题、新定义|A卷18题利润问题培养模型意识，B卷25题“C方程”定义题考查创新应用，26题方法迁移发展推理能力|

第二章 一元二次方程 单元测试卷2026-2027学年北师大版九年级数学上册 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A．3（x+1）2＝2（x+1） B．2＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x﹣x2﹣1＝0 2．一元二次方程x2﹣（x+5）＝2（3x﹣2）的一般形式是（　　） A．x2﹣x﹣5＝6x﹣4 B．x2﹣7x＝1 C．x2﹣7x﹣1＝0 D．x2﹣7x﹣9＝0 3．方程3x（x﹣5）﹣4（5﹣x）＝0的根是（　　） A．x＝5 B．x C．x1＝5，x2 D．x 4．一元二次方程x2+4x﹣2＝0配方后化为（　　） A．（x+4）2＝4 B．（x﹣2）2＝2 C．（x+2）2＝2 D．（x+2）2＝6 5．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0一个根为3，则另一个根为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣6 6．某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（　　） A．50（1+x）2＝175 B．50+50（1+x）2＝175 C．50（1+x）+50（1+x）2＝175 D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175 7．设a，b是方程x2+x﹣2027＝0的两个实数根，则a+b+ab的值为（　　） A．2026 B．﹣2026 C．2028 D．﹣2028 8．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的两倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（　　） A．方程x2﹣3x+2＝0是2倍根方程 B．若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0是2倍根方程，则m+n＝0 C．若m+n＝0且m≠0，则关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0是2倍根方程 D．若2m+n＝0且m≠0，则关于x的方程x2+（m﹣n）x﹣mn＝0 是2倍根方程 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若关于x的方程xm﹣1+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m＝　　 ． 10．一元二次方程3x（x﹣2）＝7（x+1）+2的二次项系数、一次项系数及常数项之和为　　 ． 11．若一元二次方程x2﹣（2+a）x+2a＝0的两个实数根分别是4、m，则a＝　　 ，m＝　　 ． 12．等腰三角形的底和腰是方程（x﹣3）（x﹣6）＝0的两根，则这个等腰三角形的周长是　　 ． 13．如图，在一幅长80cm，宽50cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，则金色纸边的宽为 　　 cm． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）按要求解下列方程：（1）2x2+4x﹣1＝0（用配方法） （2）2x2﹣3x﹣1＝0（用公式法） 15．（8分）已知关于x的一元二次方程8x2﹣（k﹣1）x+k﹣7＝0的一根是0，求k和另一根． 16．（10分）已知m是一元二次方程x2+x＝5的实数根，求代数式（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7的值． 17．（10分）关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于2？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 18．（12分）某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格/元 130 135 140 … 日销售量/件 70 65 60 … （1）请你观察上面表格中数据的变化规律，回答：当每件产品每涨价1元时，日销售量是怎样变化的？ （2）在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件产品定价为多少元时，每日盈利可达到1600元． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．用公式法解一元二次方程，得：x，则该一元二次方程是 　　 ． 20．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是　 ． 21．已知a是方程x2+3x+2＝0的一个根，则代数式a2+3a的值为_______. 22．若x为任意实数，且M＝（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2），则M的最大值为________. 23．两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0，其中a，b，c是常数，且a+c＝0．如果x＝2是方程ax2+bx+c＝0的一个根，那么下列各数中，一定是方程cx2+bx+a＝0的根的是________. 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？ 25．（10分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程x2﹣4x+3＝0是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”，求代数式b2﹣4c﹣1的最小值． 26．（12分）【方法呈现】已知：x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0，求x、y的值． 解：∵x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0， ∴（x2﹣2xy+y2）+（y2﹣8y+16）＝0． ∴（x﹣y）2+（y﹣4）2＝0． ∵（x﹣y）2≥0，（y﹣4）2≥0， ∴x﹣y＝0，y﹣4＝0， ∴x＝4，y＝4， ∴x的值为4，y的值为4． 【方法探究】已知m2﹣4mn+5n2﹣4n+4＝0，求m、n的值． 【方法应用】在△ABC中，BC＝a＝3，AC＝b，AB＝c，b、c满足b2﹣8b+c2﹣10c+41＝0，求证：∠C＝90°． 参考答案 第二章 一元二次方程 单元测试卷2026-2027学年北师大版九年级数学上册 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A．3（x+1）2＝2（x+1） B．2＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x﹣x2﹣1＝0 【解答】解：A．是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意； B．不是整式方程，故本选项不符合题意； C．当a＝0时，不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意； D．整理后得2x﹣1＝0，是一元一次方程，故本选项符合题意； 故选：A． 2．一元二次方程x2﹣（x+5）＝2（3x﹣2）的一般形式是（　　） A．x2﹣x﹣5＝6x﹣4 B．x2﹣7x＝1 C．x2﹣7x﹣1＝0 D．x2﹣7x﹣9＝0 【解答】解：去括号，得 x2﹣x﹣5＝6x﹣4， 移项、合并同类项，得 x2﹣7x﹣1＝0， 故选：C． 3．方程3x（x﹣5）﹣4（5﹣x）＝0的根是（　　） A．x＝5 B．x C．x1＝5，x2 D．x 【解答】解：方程变形得：3x（x﹣5）+4（x﹣5）＝0， 分解因式得：（x﹣5）（3x+4）＝0， 所以x﹣5＝0或3x+4＝0， 解得：x1＝5，x2． 故选：C． 4．一元二次方程x2+4x﹣2＝0配方后化为（　　） A．（x+4）2＝4 B．（x﹣2）2＝2 C．（x+2）2＝2 D．（x+2）2＝6 【解答】解：x2+4x＝2， x2+4x+4＝6， （x+2）2＝6． 故选：D． 5．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0一个根为3，则另一个根为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣6 【解答】解： 设方程的另一根为x， ∵方程x2+mx﹣3＝0一个根为3， ∴3x＝﹣3，解得x＝﹣1，即方程的另一根为﹣1， 故选：B． 6．某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（　　） A．50（1+x）2＝175 B．50+50（1+x）2＝175 C．50（1+x）+50（1+x）2＝175 D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175 【解答】解：二月份的产值为：50（1+x）， 三月份的产值为：50（1+x）（1+x）＝50（1+x）2， 故第一季度总产值为：50+50（1+x）+50（1+x）2＝175． 故选：D． 7．设a，b是方程x2+x﹣2027＝0的两个实数根，则a+b+ab的值为（　　） A．2026 B．﹣2026 C．2028 D．﹣2028 【解答】解：根据题意得a+b＝﹣1，ab＝﹣2017， 所以a+b+ab＝﹣1﹣2017＝﹣2018． 故选：D． 8．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的两倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（　　） A．方程x2﹣3x+2＝0是2倍根方程 B．若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0是2倍根方程，则m+n＝0 C．若m+n＝0且m≠0，则关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0是2倍根方程 D．若2m+n＝0且m≠0，则关于x的方程x2+（m﹣n）x﹣mn＝0 是2倍根方程 【解答】解：A、解方程x2﹣3x+2＝0得x1＝1，x2＝2，所以A选项的说法正确，不符合题意； B、解方程得x1＝2，x2，当2×2，则4m+n＝0；当2，则m+n＝0，所以B选项的说法错误，符合题意； C、解方程得x1＝2，x2，而m+n＝0，则x2＝1，所以C选项的说法正确，不符合题意； D、解方程得x1＝﹣m，x2＝n，而2m+n＝0，即n＝﹣2m，所以x2＝2x1，所以D选项的说法正确，不符合题意． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若关于x的方程xm﹣1+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m＝　3　 ． 【解答】解：∵关于x的方程xm﹣1+2x﹣3＝0是一元二次方程， ∴m﹣1＝2， 解得m＝3． 故答案为：3． 10．一元二次方程3x（x﹣2）＝7（x+1）+2的二次项系数、一次项系数及常数项之和为　﹣19　 ． 【解答】解：3x（x﹣2）＝7（x+1）+2， 3x2﹣6x＝7x+7+2， 3x2﹣13x﹣9＝0， 3+（﹣13）+（﹣9）＝﹣19， 故答案为：﹣19． 11．若一元二次方程x2﹣（2+a）x+2a＝0的两个实数根分别是4、m，则a＝　4　 ，m＝　2　 ． 【解答】解：把x＝4代入方程得16﹣4（2+a）+2a＝0，解得a＝4， ∵4+m＝2+a＝6， ∴m＝2． 故答案为4，2． 12．等腰三角形的底和腰是方程（x﹣3）（x﹣6）＝0的两根，则这个等腰三角形的周长是　15　 ． 【解答】解：（x﹣3）（x﹣6）＝0， x﹣3＝0，x﹣6＝0， 解得x1＝3，x2＝6， 当3为腰长时，三角形的三边分别为3，3，6， ∵3+3＝6， ∴不能组成三角形， 当3是底边时，三角形的三边分别为3，6，6， 能够组成三角形， 周长＝3+6+6＝15， 综上所述，这个等腰三角形的周长是15． 故答案为：15． 13．如图，在一幅长80cm，宽50cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，则金色纸边的宽为 　5　 cm． 【解答】解：设金色纸边的宽为xcm，则矩形挂图的长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm， 依题意得：（80+2x）（50+2x）＝5400， 整理得：x2+65x﹣350＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣70（舍去）． 故答案为：5． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）按要求解下列方程：（1）2x2+4x﹣1＝0（用配方法） （2）2x2﹣3x﹣1＝0（用公式法） 【解答】解：（1）x2+2x， x2+2x+11， （x+1）2， x+1＝±， 所以x1＝﹣1，x2＝﹣1； （2）Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0， x， 所以x1，x2． 15．（8分）已知关于x的一元二次方程8x2﹣（k﹣1）x+k﹣7＝0的一根是0，求k和另一根． 【解答】解：∵方程8x2﹣（k﹣1）x+k﹣7＝0的一根是0， ∴k﹣7＝0， 解得，k＝7， 8x2﹣6x＝0， 2x（4x﹣3）＝0， x1＝0，x2， 答：k＝7，另一根为． 16．（10分）已知m是一元二次方程x2+x＝5的实数根，求代数式（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7的值． 【解答】解：（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7 ＝4m2﹣1﹣m2+3m﹣7 ＝3m2+3m﹣8 ＝3（m2+m）﹣8， ∵m是一元二次方程x2+x＝5的实数根， ∴m2+m＝5， 原式＝3×5﹣8＝7， 即代数式（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7的值为7． 17．（10分）关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于2？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）关于x的方程0有两个不相等的实数根 ∴， 解得m＞﹣1且m≠0 （2）假设存在实数m，使方程两实数根的倒数和为2 设方程0的两根为x1、x2 ∴，，， ∴x1+x2＝2x1x2 即， 解得 ∴不存在实数m使方程两根的倒数和为2 18．（12分）某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格/元 130 135 140 … 日销售量/件 70 65 60 … （1）请你观察上面表格中数据的变化规律，回答：当每件产品每涨价1元时，日销售量是怎样变化的？ （2）在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件产品定价为多少元时，每日盈利可达到1600元． 【解答】解：（1）∵130+70＝200，135+65＝200，140+60＝200， ∴每件的售价与产品的日销量之和为200， ∴当每件产品每涨价1元时，日销售量减少1件． （2）设每件产品定价为x元（x＞120），则产品的日销量为（200﹣x）元， 依题意得：（x﹣120）（200﹣x）＝1600， 整理得：x2﹣320x+25600＝0， 解得：x1＝x2＝160． 答：每件产品定价为160元时，每日盈利可达到1600元． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．用公式法解一元二次方程，得：x，则该一元二次方程是 　3x2+5x+1＝0　 ． 【解答】解：根据题意得：a＝3，b＝5，c＝1， 则该一元二次方程是3x2+5x+1＝0， 故答案为：3x2+5x+1＝0 20．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 k＞﹣1且k≠0　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0， 解得k＞﹣1且k≠0． ∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0， 故答案为：k＞﹣1且k≠0． 21．已知a是方程x2+3x+2＝0的一个根，则代数式a2+3a的值为___-2____. 【解答】解：∵a是方程x2+3x+2＝0的一个根， ∴a2+3a+2＝0， ∴a2+3a＝﹣2， 故答案为：-2． 22．若x为任意实数，且M＝（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2），则M的最大值为___100_____. 【解答】解：M＝（7﹣x）（3﹣x）（2+x）（2﹣x） ＝[（7﹣x）（2+x）]•[（3﹣x）（2﹣x）] ＝（﹣x2+5x+14）（x2﹣5x+6） ＝﹣（x2﹣5x）2+8（x2﹣5x）+84 ＝﹣[（x2﹣5x）﹣4]2+100， ∵﹣1＜0， ∴M的最大值为100． 23．两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0，其中a，b，c是常数，且a+c＝0．如果x＝2是方程ax2+bx+c＝0的一个根，那么下列各数中，一定是方程cx2+bx+a＝0的根的是___-2_____. 【解答】解：∵a≠0，c≠0， ∴1， ∴x2x0，x2x+1＝0， ∴x2x﹣1＝0，x2x﹣1＝0， ∵x＝2是方程ax2+bx+c＝0的一个根， ∴x＝2是方程x2x﹣1＝0的一个根， ∴x＝﹣2是方程x2x﹣1＝0的一个根， 即x＝﹣2是方程cx2+bx+a＝0的一个根 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？ 【解答】解：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得： （60﹣x+2）x＝300， x2﹣62x+600＝0， 解这个方程得：x1＝12，x2＝50， ∵28＜50， ∴x2＝50（不合题意，舍去）， ∴x＝12． （60﹣x+2）x＝480， x2﹣62x+960＝0， 解这个方程得：x1＝32，x2＝30， ∵墙EF最长可利用28米， 而28＜30＜32， ∴x1＝32，x2＝30均不合题意，舍去， 答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；不能围成480平方米的矩形花园． 25．（10分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程x2﹣4x+3＝0是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”，求代数式b2﹣4c﹣1的最小值． 【解答】解：（1）是“C方程”，理由如下： ∵x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝3，x2＝1， ∵c＝3， ∴一元二次方程x2﹣4x+3＝0是“C方程”； （2）∵关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”， ∴4c2+bc+c＝0， ∵c≠0， ∴b＝﹣4c﹣1， ∴b2﹣4c﹣1＝b2+b＝（b+）2﹣， ∵（b+）2≥0， ∴b2﹣4c﹣1的最小值为﹣． 26．（12分）【方法呈现】已知：x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0，求x、y的值． 解：∵x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0， ∴（x2﹣2xy+y2）+（y2﹣8y+16）＝0． ∴（x﹣y）2+（y﹣4）2＝0． ∵（x﹣y）2≥0，（y﹣4）2≥0， ∴x﹣y＝0，y﹣4＝0， ∴x＝4，y＝4， ∴x的值为4，y的值为4． 【方法探究】已知m2﹣4mn+5n2﹣4n+4＝0，求m、n的值． 【方法应用】在△ABC中，BC＝a＝3，AC＝b，AB＝c，b、c满足b2﹣8b+c2﹣10c+41＝0，求证：∠C＝90°． 【解答】【方法探究】解：∵m2﹣4mn+5n2﹣4n+4＝0， ∴m2﹣4mn+4n2+n2﹣4n+4＝0， ∴（m﹣2n）2+（n﹣2）2＝0， ∴m＝2n，n＝2． ∴m＝4； 【方法应用】证明：由题意，∵b2﹣8b+c2﹣10c+41＝0， ∴b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0， ∴（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∴b＝4，c＝5． 又∵a＝3， ∴a2+b2＝32+42＝25＝c2． ∴由勾股定理逆定理可得，△ABC为直角是三角形，且∠C＝90°． 学科网（北京）股份有限公司 $