暑假预习：抽象函数的性质讲义-2026年初升高暑假数学（人教A版）

暑假预习：抽象函数的性质讲义 暑假预习：抽象函数的性质讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 常见抽象函数模型 （1） （2） （3） （4） （5） 2. 奇偶性判定 解题思路：对关系式合理赋值，寻找 与 的关系。 常用赋值：；。 · 奇函数： · 偶函数： 3. 单调性判定 标准套路：设 ，构造 ，利用已知恒等式变形，判断正负。 经常借助赋值得到特殊函数值：。 4. 周期性（高频） 若存在非零常数 ，，则周期为 。 常用结论： （1） （2） （3） （4） 5. 对称性（容易和周期混淆） （1） 关于直线 对称 （2） 关于点 中心对称 推论： - 一条对称轴 + 一个对称中心 函数为周期函数 - 两条对称轴 / 两个对称中心 函数为周期函数 6. 抽象函数不等式 依托单调性脱去 。 前提：所有自变量必须在定义域内！ 二、通用解题原理（万能步骤） 1. 赋值法求特殊函数值 优先令 ； 等，求出 、寻找奇偶关系。 1. 判定奇偶性 整理式子得到 与 等式。 1. 判定单调性 任取 ，凑出 ，结合条件判断符号。 1. 处理不等式 利用单调性去掉对应法则 ，转化为普通不等式。同时写上定义域约束，取交集。 1. 若条件出现 型轮换式，推导周期/对称性。 三、典型题型模板 题型1：证明奇偶性 操作：令 ，推出 题型2：证明单调性 操作：设 ，变形构造 ，判断正负 题型3：解抽象不等式 操作： ① 判断单调性 ② 把常数写成 的形式 ③ （减函数不等号反向） ④ 题型4：求周期、判断图像对称 操作：不断替换式子中的 ，迭代推导周期。 四、高频易错点 1. 仅凭原型函数下结论，缺少严格定义证明 1. 解不等式忘记加上定义域限制条件 1. 混淆对称性与周期性 1. 赋值随意，逻辑跳跃 1. 判断单调性时，不会合理构造 。 例题分析 例1．（25-26高一上·海南·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1)； (2) 当时，，则； 设，则，则， 所以， 即，所以函数为奇函数. (3)8106. 【分析】（1）利用恒等式赋值，即可求解； （2）利用恒等式赋值，结合奇函数恒等式即可证明； （3）利用，再利用加法交换律和结合律即可求和. 【详解】（1）当时，，则； （2）略 （3）由（2）知，，，则 例2．（25-26高一上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)，； (2) 函数是偶函数，理由如下： 的定义域是，，， 令，可得，所以函数是偶函数. (3). 【分析】（1）令可得，令可得； （2）令，结合偶函数的定义即可证明； （3）先用定义证明函数在上单调递增，利用单调性和奇偶性将不等式转化为，解不等式即可得到答案. 【详解】（1）在中，令，可得，解得. 令，可得，解得. （2）略 （3）任意时，，由题意得： ， 所以在上是增函数， 可化为，即， 又由（2）知是偶函数，所以可化为， 又在上是增函数，所以，且， 解得：且， 所以不等式的解集为. 例3．（25-26高一上·贵州毕节·期中）定义在上的函数，对任意都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； 【答案】(1) 根据题意，令得，解得， 令，则，即， 所以函数为奇函数. (2) 任取，且，则， 令，则， 因为时，，所以， 所以， 因为函数为奇函数，所以， 所以，即， 所以为上的增函数. 【分析】（1）先令得，再令即可判断奇偶性； （2）取，且，则，再令，进而根据奇函数性质，即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 变式训练 变式1．（25-26高一上·天津红桥·期中）定义在上的函数对任意、都有． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并证明． 【答案】(1)0 (2) 函数的定义域为, 令，则， 因为，所以即. 所以函数为奇函数. 【分析】（1）令可求的值. （2）令可判断函数的奇偶性. 【详解】（1）令，则. （2）略 变式2．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）函数满足对任意，都有，且，当时，. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)在上是单调递减的函数，证明: 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数． (2) 【分析】（1）根据函数的单调性的定义进行判断并证明即可. （2）利用特殊值法，结合代入法进行求解，再根据已知等式，结合函数的单调性及一元二次不等式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）令 ，得 ，所以 ． 令 ，得 ， 所以，所以为奇函数； 由于，则，所以， 又因为，所以． 因为 又因为，所以， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 变式3．（25-26高一上·黑龙江七台河·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有，当，． (1)求证：函数是奇函数； (2)求证：在上是减函数； (3)解不等式：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法，结合奇偶性的定义即可求解， （2）根据函数单调性的定义即可求解， （3）根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】（1）令，则，解得：； 令，则， 为定义在上的奇函数. （2）设，则，； ，，，； 又， ，又当，，， ，即，在上是减函数. （3）由得：； 定义域为且在上是减函数， ，解得：，不等式的解集为. 实战演练 1．（25-26高一上·云南昆明·期中）定义在上的函数满足． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 【答案】(1)； (2)是偶函数；证明见解析. 【分析】（1）分别令和，即可得结果； （2）令结合偶函数的定义即可得结果. 【详解】（1）令，则． 再令，可得， ∴． （2）是偶函数； 证明：令可得， ∴是偶函数． 2．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）设函数是增函数，对于任意x，都有． (1)写一个满足条件的并证明； (2)证明是奇函数； (3)解不等式． 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）开放性试题，可写一个满足条件的正比例函数即可； （2）利用赋值法，令，并结合奇函数的定义即可证明； （3）先把不等式转化成，然后根据的单调性脱去“”，从而通过解不等式可得结果. 【详解】（1）解：因为函数是增函数，对于任意x，都有，这样的函数很多，其中一种为：． 证明如下：函数满足是增函数， 因为， 所以满足题意． （2）证明：令，则由，得，即； 令，则由，得， 即，故是奇函数． （3）因为，所以， 则，即， 因为，所以， 所以， 又因为函数是增函数，所以，所以或． 所以不等式的解集为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：抽象函数的性质讲义 暑假预习：抽象函数的性质讲义 知识点解析 一、核心知识点 1.常见抽象函数模型 (1)f(x+y)=f(x)+f(y) (2)f(x+y)=f(x)fy） (3)f(xy)=f(x)+f(y) (4)f(xy)=f(x)f(y) (5)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) 2.奇偶性判定 解题思路：对关系式合理赋值，寻找f(-x)与f(x)的关系。 常用赋值：X=0,y=0;y=-x。 ·奇函数：f(-x)=-f(x ·偶函数：f(-x)=fx) 3.单调性判定 标准套路：设X1<x2,构造f(x2)-f(x1,利用己知恒等式变形，判断正负。 经常借助赋值得到特殊函数值：f(0),f(1),f(-1)。 4.周期性（高频) 若存在非零常数T,f(x+T)=f(x),则周期为T。 y 暑假预习：抽象函数的性质讲义 常用结论： (1)f(x+a)=f(x)=T=a (2)fx+a)=-f(x)=T=2a (3)f(x+a)=±1 =T=2a x】 (4)fx+a)=f(x+b)=T=|a-b1 5.对称性（容易和周期混淆） (1)f(a+x)=f(a-x)f(x)关于直线x=a对称 (2)fa+x)+f(a-x)=2b台fx)关于点(a,b)中心对称 推论： ·一条对称轴+一个对称中心一函数为周期函数 ·两条对称轴/两个对称中心一函数为周期函数 6.抽象函数不等式 依托单调性脱去「。 前提：所有自变量必须在定义域内！ 二、通用解题原理（万能步骤） 1.赋值法求特殊函数值 优先令x=0,y=0:y=1等，求出f0、寻找奇偶关系。 2.判定奇偶性 整理式子得到-x)与f(x)等式。 3.判定单调性 任取x1<x2,凑出fx2-f(x1),结合条件判断符号。 4.处理不等式 利用单调性去掉对应法则「，转化为普通不等式。同时写上定义域约束，取交集。 5.若条件出现fx+a)型轮换式，推导周期/对称性。 2 暑假预习：抽象函数的性质讲义 三、典型题型模板 题型1：证明奇偶性 操作：令y=-x,推出f(-x)=±f(x) 题型2：证明单调性 操作：设x1<x2,变形构造fx2)-fx1),判断正负 题型3：解抽象不等式 操作： ①判断单调性 ②把常数写成f(m)的形式 ③ 增函数 (减函数不等号反向) f(A)<f(B)A<B ④ A∈D B∈D A<B(或>) 题型4：求周期、判断图像对称 操作：不断替换式子中的x→x+a,迭代推导周期。 四、高频易错点 1.仅凭原型函数下结论，缺少严格定义证明 2.解不等式忘记加上定义域限制条件 3.混淆对称性与周期性 4.赋值随意，逻辑跳跃 5.判断单调性时，不会合理构造f(x2)-f(x1)。 例题分析 例1.(2526高一上海南期末)已知函数因对于任念实数xyeR,都有儿+列=f+f0)-2,且 暑假预习：抽象函数的性质讲义 f(2)=4 ①求0的值： ②今8)f儿)2，求证：函数8为奇函数： 6求f-2026+f(-2025)++f-)+fo+f0++f(225)+/2026)的值 4 暑假预习：抽象函数的性质讲义 例2.(2526高一上广东汕头期中)定义在非零实数集上的函数儿)对任意非零实数，'满是： f)-f+f),且当0<x<1时fk0 ①求-f0的值 ②判断（的奇偶性并证明： e断不等.+r-}s0 例3.(2526高一上贵州毕节期中)定义在R上的函数”/冈，对任意，yeR都有八+月=(+)）， 且当*>0时，f()>0 0)求证：f冈为奇函数， (2)求证： f(为R上的增函数： 暑假预习：抽象函数的性质讲义 变式训练 变式1.(2s26高一上天津红桥期中)定义在R上的函数”=f()对任意七，JeR都有(+)=f(+) )求f(0的值 (2)判断函数 的奇偶性，并证明. 变式2.2s26高-上辽宁沈阳期中)画数（清足对任意5，yeR都有八x+)-f()+例，且 f4)=-2.当x>0时，f)<0 ①判断并证明代)在R上的单调性， ②求不等式f(-2x小>f2-)+l的解集 6 暑假预习：抽象函数的性质讲义 变式3,2s26商一上果龙江七台河期中)定义在)上的函数/()满足：对任意的y(),都有 当xe(-1,0),f(x)>0. )求证：函数（四是奇函数 (2)求证： f(d在（1上是减函数： BF不就.+0+合小0， > 暑假预习：抽象函数的性质讲义 实战演练 1（2s26离-上云南昆明期中)定义在0Q+四上前两数=满是月) 0)求八-的值： (2)判断函数 y=f(x) 的奇偶性并证明。 2.(2s26高-下果龙江大庆阶段检测设函数f因)是增函数，对于任意x,yR都有儿x+)=)+/)） (1)写一个满足条件 f并证明： ②证明儿是奇函数； 6解不等式f(x）-f(>f3x).