暑假预习：直线的点斜式方程、直线的两点式方程、直线的截距式方程讲义-2026年高一升高二暑假数学（人教A版）

暑假预习：直线的点斜式方程、直线的两点式方程、直线的截距式方程讲义 暑假预习：直线的点斜式方程、直线的两点式方程、直线的截距式方程讲义 考点目录 直线的点斜式方程 直线的两点式方程 直线的截距式方程 考点一 直线的点斜式方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 公式 已知直线过点 ，斜率为 ： 1. 特殊形式：斜截式 含义：直线斜率 ，直线在 轴截距为 。是点斜式当定点取 的特例。 1. 限制条件：直线斜率必须存在。 · 垂直 轴的直线（竖直线） 不能使用点斜式； · 水平线 可以使用点斜式（）。 二、解题原理 1. 寻找直线上一个定点坐标，求出直线斜率 ； 1. 直接带入 ； 1. 若直线垂直 轴，单独写 ，不能套用点斜式； 1. 根据题目要求整理成斜截式或者一般式。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 例2．（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍． (1)求直线的斜率． (2)求过点，直线的点斜式方程． 例3．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知的顶点为，，． (1)求出直线的斜率 (2)求过且平行于直线的直线的方程； (3)求边上的高所在直线的方程． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知点，，直线l经过点. (1)若l与直线AB垂直，求l的方程； (2)若l与线段AB有交点，求l的倾斜角的取值范围. 变式2．（25-26高二上·湖南永州·阶段检测）已知的三个顶点分别为，求： (1)边所在直线的方程； (2)边的垂直平分线的方程． 变式3．（24-25高二上·河北承德·阶段检测）如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标如图，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高线所在直线的方程. (3)边上的垂直平分线所在直线的方程. 考点二 直线的两点式方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 公式 已知两点 ： 1. 适用限制： ① 不能表示垂直 轴直线（）； ② 不能表示垂直 轴直线（）。 1. 补充：两点式根源为先利用两点求斜率，再代入点斜式推导而来。 二、解题原理 1. 观察两点横坐标、纵坐标是否相等； 1. 若 且 ，直接代入两点式； 1. 若 ，直线方程：； 若 ，直线方程：； 1. 交叉相乘化简，转化为整式方程。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D． 例2．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( ) A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）经过两点的直线的方向向量为，则直线的方程为______． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江苏徐州·阶段检测）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知入射光线经过点被轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为______. 考点三 直线的截距式方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 公式 直线在 轴截距 ，在 轴截距 ： 1. 关键限制（极易考） 含义： ① 直线不能过原点（过原点则 ）； ② 直线不能垂直 轴（无 轴截距）； ③ 直线不能垂直 轴（无 轴截距）。 1. 概念辨析： 截距 是坐标值，可以是正数、负数；截距 距离。 二、解题原理 1. 确认直线同时与 轴、 轴相交且不过原点； 1. 求出横截距 、纵截距 ； 1. 代入截距式； 1. 若题目直线不满足条件，不能使用截距式，改用点斜式。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 例2．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）直线经过点，且它在轴上的截距是它在轴上截距的3倍，求直线的方程为______． 例3．（25-26高二上·四川雅安·阶段检测）已知直线经过点． (1)若经过点，求的斜截式方程； (2)若在轴上的截距为，求在轴上的截距． 例4．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·山东烟台·期中）若直线在两坐标轴上的截距相等，则的值为__________. 变式2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________. 变式3．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段检测）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 变式4．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知直线经过 (1)当直线的倾斜角为45°时，求直线的方程； (2)当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：直线的点斜式方程、直线的两点式方程、直线的截距式方程讲义 暑假预习：直线的点斜式方程、直线的两点式方程、直线的截距式方程讲义 考点目录 直线的点斜式方程 直线的两点式方程 直线的截距式方程 考点一 直线的点斜式方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 公式 已知直线过点 ，斜率为 ： 1. 特殊形式：斜截式 含义：直线斜率 ，直线在 轴截距为 。是点斜式当定点取 的特例。 1. 限制条件：直线斜率必须存在。 · 垂直 轴的直线（竖直线） 不能使用点斜式； · 水平线 可以使用点斜式（）。 二、解题原理 1. 寻找直线上一个定点坐标，求出直线斜率 ； 1. 直接带入 ； 1. 若直线垂直 轴，单独写 ，不能套用点斜式； 1. 根据题目要求整理成斜截式或者一般式。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （2）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （3）因为直线斜率为，所以直线的点斜式方程为． 例2．（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍． (1)求直线的斜率． (2)求过点，直线的点斜式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用方向向量求出直线的倾斜角，进而求出直线的倾斜角及斜率. （2）由（1）的结论，利用直线的点斜式方程写出即可. 【详解】（1）由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 因此直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. （2）由（1）知：直线的斜率为，而直线过点 所以直线的点斜式方程为. 例3．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知的顶点为，，． (1)求出直线的斜率 (2)求过且平行于直线的直线的方程； (3)求边上的高所在直线的方程． 【答案】(1) (2)： (3)： 【分析】（1）根据已知两点坐标求斜率公式求解即可； （2）根据平行求出斜率，结合点斜式方程即可解题； （3）根据垂直求出斜率，结合点斜式方程即可解题. 【详解】（1）由题意可得，，，设直线的斜率为，所以. （2）设该直线为，由题意可得与直线平行，所以的斜率为，所以，所以：. （3）设该直线为，斜率为，由题意可得与直线垂直，所以，所以，所以，所以：. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知点，，直线l经过点. (1)若l与直线AB垂直，求l的方程； (2)若l与线段AB有交点，求l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由两点间斜率公式结合垂直直线斜率关系求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得解； （2）依次求出和，数形结合斜率与直线倾斜角的关系即可求解. 【详解】（1）由题， 因为l与直线AB垂直，所以， 所以l的方程为. （2）依题意，， 若l与线段AB有公共点，如图，则l的斜率k的取值范围是， 设直线倾斜角为，则， 故倾斜角的取值范围是. 变式2．（25-26高二上·湖南永州·阶段检测）已知的三个顶点分别为，求： (1)边所在直线的方程； (2)边的垂直平分线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点求斜率，由点斜式方程即可求解； （2）根据中垂线的性质，利用垂直直线的斜率关系，结合点斜式方程，可得答案. 【详解】（1）， 边所在直线的方程， 即； （2）， 所以， 又中点坐标， 所以边的垂直平分线的方程为， 即. 变式3．（24-25高二上·河北承德·阶段检测）如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标如图，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高线所在直线的方程. (3)边上的垂直平分线所在直线的方程. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）求出边的中点，再求出中线所在直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解. （2）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解. （3）由（1）（2），直线的点斜式方程求解. 【详解】（1）依题意，边的中点，则边上的中线所在直线的斜率， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. （2）直线的斜率，则边上的高线所在直线的斜率， 所以边上的高线所在直线的方程，即. （3）由（2）知，边上的垂直平分线所在直线的斜率为1， 由（1）知，边上的垂直平分线所在直线过点， 所以边上的垂直平分线所在直线的方程为，即. 考点二 直线的两点式方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 公式 已知两点 ： 1. 适用限制： ① 不能表示垂直 轴直线（）； ② 不能表示垂直 轴直线（）。 1. 补充：两点式根源为先利用两点求斜率，再代入点斜式推导而来。 二、解题原理 1. 观察两点横坐标、纵坐标是否相等； 1. 若 且 ，直接代入两点式； 1. 若 ，直线方程：； 若 ，直线方程：； 1. 交叉相乘化简，转化为整式方程。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】用两点式来求直线的方程，当时的值即为所求. 【详解】根据直线方程的两点式公式可得：， 化简可得： . 把代入，得： ，即. 所以直线在轴上的截距为. 故选：D 例2．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得点M的坐标，由直线的两点式方程求解. 【详解】点M的坐标为(2,1)，由直线的两点式方程得，即. 故选：D 例3．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）经过两点的直线的方向向量为，则直线的方程为______． 【答案】 【分析】由直线的方向向量求出点坐标，再由两点式计算直线的方程. 【详解】由题知，解得，即， 将两点坐标代入直线的两点式方程可得， 即． 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江苏徐州·阶段检测）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可. 【详解】因为直线过点，，所以直线方程为， 故选：B. 变式2．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的重心坐标，由得出为直角三角形，外心为斜边中点，进而求出外心坐标，由于外心和重心在同一直线上，根据外心和重心的坐标即可得出答案． 【详解】因为的顶点分别为，，， 所以的重心为， 因为，， 所以， 所以， 所以的外心为的中点， 因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上， 所以的欧拉线为直线， 所以的欧拉线方程为，即， 故选：C． 变式3．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知入射光线经过点被轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为______. 【答案】 【分析】求得点关于轴的对称点的坐标，再用两点式求得反射光线所在的直线的方程． 【详解】由题意利用反射定律可得，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，故反射光线所在直线的方程为，化简可得. 故答案为：． 考点三 直线的截距式方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 公式 直线在 轴截距 ，在 轴截距 ： 1. 关键限制（极易考） 含义： ① 直线不能过原点（过原点则 ）； ② 直线不能垂直 轴（无 轴截距）； ③ 直线不能垂直 轴（无 轴截距）。 1. 概念辨析： 截距 是坐标值，可以是正数、负数；截距 距离。 二、解题原理 1. 确认直线同时与 轴、 轴相交且不过原点； 1. 求出横截距 、纵截距 ； 1. 代入截距式； 1. 若题目直线不满足条件，不能使用截距式，改用点斜式。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 【答案】或 【详解】依题意，该直线的截距不能为0，则可设其方程为， 因为直线过点，所以， 整理得，解得或． 于是所求直线方程的截距式为或． 例2．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）直线经过点，且它在轴上的截距是它在轴上截距的3倍，求直线的方程为______． 【答案】或 【分析】根据给定条件，按截距是否为0分类，结合直线的截距式方程求解. 【详解】当直线在轴上的截距为零时，由直线过原点及，得方程为，即； 当直线在轴上的截距不为零时，设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，方程为，即， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 例3．（25-26高二上·四川雅安·阶段检测）已知直线经过点． (1)若经过点，求的斜截式方程； (2)若在轴上的截距为，求在轴上的截距． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率公式求解斜率，即可由点斜式求解； （2）根据截距式代入即可求解. 【详解】（1）由题意得，则的方程为， 其斜截式方程为． （2）设的截距式方程为， 由题意得得， 所以在轴上的截距为． 例4．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1) (2)24， 【分析】（1）根据题意，假设直线的方程为，代入所经过点即可得解； （2）利用直线的截距式方程，结合基本不等式求得，从而得到的面积的最小值与直线的方程，从而得解. 【详解】（1）由题意可知直线不经过原点， 又直线在两坐标上的截距相等，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 故直线的方程为，即. （2）依题意，设直线的方程为， 则，且， 所以，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积， 即的面积的最小值为， 此时直线的方程为，即. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·山东烟台·期中）若直线在两坐标轴上的截距相等，则的值为__________. 【答案】1或2 【分析】根据给定条件，利用直线在坐标轴上的截距的意义列方程求解. 【详解】依题意，，直线在轴上的截距分别为， 因此，解得或，所以的值为1或2. 故答案为：1或2 变式2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________. 【答案】// 【分析】利用截距式方程，求直线在两坐标轴上的截距，再求三角形的面积. 【详解】由条件可知，直线不过原点， 设直线，则，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 故答案为： 变式3．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段检测）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的点斜式方程为，求出两坐标轴上的截距，求出，即可得解； （2）求出两坐标轴上的截距，再根据的面积结合基本不等式求出的面积最小时的值，即可得解. 【详解】（1）由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为， 则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为，即； （2）由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当即时，等号成立， 的点斜式方程为， 所以的斜截式方程为. 变式4．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知直线经过 (1)当直线的倾斜角为45°时，求直线的方程； (2)当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由直线的倾斜角为45°时，求得斜率为，结合点斜式方程，即可求解； （2）当直线过原点时，得到；当直线不过原点时，设方程为，代入点，求得，即可求解. 【详解】（1）由题意，直线的倾斜角为45°时，可得直线的斜率为， 又由直线经过，所以直线的方程为，即直线的方程为. （2）当直线过原点时，因为直线经过，可得直线方程为，即； 当直线不过原点时，可设直线的方程为， 因为直线过点，可得，解得，所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $