暑假预习：直线的倾斜角与斜率4种高频考点讲义-2026年高一升高二暑假数学（人教A版）

暑假预习：直线的倾斜角与斜率4种高频考点讲义 暑假预习：直线的倾斜角与斜率4种高频考点讲义 考点目录 已知两点求斜率 已知斜率求参数 直线与线段的相交关系求斜率范围 斜率公式的应用 考点一 已知两点求斜率 【知识点解析】 一、核心知识点 设两点 斜率公式： 1. 若 ：直线垂直x轴，斜率不存在； 1. 顺序无关：； 1. 斜率正负含义： · ，倾斜角锐角； · ，倾斜角钝角； · ，直线水平。 二、解题原理 1. 识别两点坐标，区分横、纵坐标； 1. 判断横坐标是否相等：相等 无斜率； 1. 横坐标不等，直接代入斜率分式计算； 1. 化简得到斜率。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】. 例2．（25-26高二下·重庆·阶段检测）直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知直线经过点， ， 设直线的倾斜角为，则， ． 例3．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）将直线沿轴的负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度得直线，此时与重合，则直线的斜率为________. 【答案】 【分析】首先设直线上的一点，然后根据题意进行平移操作，得到新的点坐标.接着利用平移后的点仍在直线上的条件，求出直线的斜率. 【详解】设直线上一点，其沿轴负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度后的坐标为 因为平移后的点仍然在直线上， 所以直线的斜率. 故答案为：－ 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·云南德宏·期末）直线经过点和点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜率公式可得出直线的斜率. 【详解】直线经过点和点，则直线的斜率为. 故选：B. 变式2．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率计算公式以及斜率和倾斜角关系即可求解. 【详解】由斜率公式得，所以直线l的倾斜角为． 故选：D. 变式3．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知a，b，c是两两不等的实数，则过，两点的直线的倾斜角大小为__________. 【答案】/ 【分析】设直线的倾斜角为，求得，得到，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，其中， 因为，，可得直线的斜率为， 所以，所以. 故答案为：. 考点二 已知斜率求参数 【知识点解析】 一、核心知识点 题型：两点坐标含参数，给定斜率 ，求解参数的值。 依托公式 构建方程。 二、解题原理 1. 将坐标代入斜率公式，得到关于参数的分式方程； 1. 解方程； 1. 检验分母 （保证两点不重合且斜率存在），舍去增根。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·山东·阶段检测）已知点，直线的斜率为，则（    ） A．-5 B．-2 C．2 D．5 【答案】D 【分析】根据两点求斜率的公式求得正确答案. 【详解】因为，所以， 故选：D 例2．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）若经过，两点的直线的倾斜角为45°，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据过两点的直线的斜率公式列方程求解. 【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为45°， 所以该直线的斜率，即，解得. 故选：C. 例3．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知点，，若直线的斜率为2，则___________. 【答案】0 【分析】利用两点斜率公式计算即可. 【详解】易知. 故答案为：0 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段检测）已知点，，若直线AB的斜率为2，则（   ） A．7 B．3 C．1 D．9 【答案】D 【分析】由斜率的定义式计算即可. 【详解】因为点，， 所以直线AB的斜率为． 由题意得，解得. 故选：D． 变式2．（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（   ） A． B． C．或2 D．或-2 【答案】B 【分析】先根据斜率的定义及过两点的斜率的计算公式列出等式，求出，将值代入两点的坐标验证，即可得解. 【详解】因为过两点的直线倾斜角为45°，所以直线的斜率. 又因为， 所以， 整理可得，即，解得或. 当时，，，此时两点重合，不符合题意，舍去； 当时，，，此时两点不重合，符合题意. 综上，所以的取值为. 故选：B 变式3．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为______. 【答案】或 【分析】由题设，应用斜率的两点式列方程求m值，注意验证结果. 【详解】由，得，即. 所以，得，即. 或，经验证均符合题意，故的值是或. 故答案为：或. 考点三 直线与线段的相交关系求斜率范围 【知识点解析】 一、核心知识点（高频难点） 模型：定点 ，动直线过 ，与定线段 相交，求直线斜率 范围。 核心方法：临界斜率法 1. 求出定点与线段两端点连线的斜率 ； 1. 借助图像分析，区分两种情况： · ✅ 情况1：两条临界直线之间 没有竖直线（斜率不存在） 斜率直接取两个临界值之间区间； · ✅ 情况2：两条临界直线之间 跨过竖直直线 （无斜率） 斜率分成两段区间： 或 。 二、解题原理标准步骤 1. 计算定点到线段两个端点的临界斜率； 1. 在坐标系草图标出直线转动方向； 1. 判断旋转过程中是否经过垂直 x 轴直线（斜率不存在）； 1. 写出斜率取值范围； 1. 判断端点能否取等（直线刚好过端点，满足相交，可取等）。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 例2．（25-26高二上·山西太原·期中）已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在坐标系中标出这三个点，然后根据直线和线段有公共点的临界情况分析. 【详解】由题， 如图，由图可知直线斜率. 故选：B 例3．（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________． 【答案】 【分析】应用斜率的两点式求端点处直线的斜率，数形结合确定直线的斜率范围，再求倾斜角范围． 【详解】由题意得，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为． 如图： 由图可知，的斜率的取值范围为， 则的倾斜角的取值范围为． 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先找出直线恒过的定点，再分别求出该定点与线段两端点连线的斜率，根据直线与线段相交时斜率介于这两条连线斜率之间得出参数范围. 【详解】直线：经过定点， 因为，， 又直线与线段恒相交，所以． 故选：D. 变式2．（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象分析过点与线段有公共点的情况，求出过线段端点的斜率，从而得出斜率的取值范围． 【详解】如下图所示，    若过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率或， ，， 直线的斜率或， 直线斜率的取值范围是，故C正确． 故选：C． 变式3．（25-26高二上·天津·期中）已知直线经过点，且与以，为端点的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为___________． 【答案】 【分析】作出图形，根据直线上两点分别求出直线的斜率，进而求得两直线的倾斜角，结合图形，即得答案. 【详解】    如图，先求出直线的斜率分别为：， 则可得直线的倾斜角分别为， 由图知，要使直线与线段没有公共点，需使直线的倾斜角满足， 即直线的倾斜角的取值范围为. 故答案为：. 考点四 斜率公式的应用 【知识点解析】 一、核心知识点 斜率几何意义：两点连线的倾斜程度，常见四类应用： 1. 比较倾斜角大小； 1. 判定三点共线： 共线； 1. 构造斜率模型求分式最值： 形如 看作动点 与定点 连线斜率； 1. 平行、垂直判定： · （斜率均存在）； · （斜率均存在）。 二、解题原理 1. 三点共线问题：分别算两条直线斜率，列等式求解； 1. 分式最值问题：代数式子转化为斜率形式，结合动点轨迹，数形结合求斜率范围； 1. 位置关系判定：利用斜率相等/乘积 建立条件。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·上海宝山·期末）若与垂直，则________. 【答案】 【详解】因为与垂直，则，解得. 例2．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知直线，若，则___________ 【答案】 【分析】由一般式得到两直线斜率，再由两直线平行，斜率相等求解即可； 【详解】当时，，，两直线不平行， 当时，两直线平行斜率相等， ，则 ，则， 又，则两直线斜率相等，即， 化简计算得：，解得：或， 又时，，，两直线重合， 故. 故答案为： 例3．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析． 【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率，解得． 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率，解得或． 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为， 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 例4．（25-26高二上·河南鹤壁·阶段检测）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【详解】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 【答案】7 【分析】根据斜率相等计算. 【详解】由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为， 则，得. 故答案为：. 变式2．（25-26高二上·福建泉州·期末）若直线与直线互相垂直，则实数的值_____. 【答案】0或 【分析】直接由两条直线垂直的充要条件可得. 【详解】由直线与直线互相垂直， 所以，，解得或. 故答案为：0或 变式3．（25-26高二上·江西鹰潭·阶段检测）已知，，三点. (1)若直线的倾斜角为135°，求的值. (2)是否存在，使得三点共线？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，使得三点共线， 【分析】（1）根据题意得，再解方程即可得答案； （2）根据三点共线时，列方程求解即可. 【详解】（1）解：因为，，直线的倾斜角为135° 所以，，解得 故的值为 （2）解：因为，，三点. 所以，当三点共线时，，即，解得 所以，存在，使得三点共线， 变式4．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1). (1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？ (2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？ (3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？ 【答案】(1) m>－2.  (2) m<－2.  (3) 不可能为直角. 【分析】(1)由倾斜角为锐角，则斜率大于0，根据斜率公式，得到不等式，即可求解； (2)由倾斜角为钝角，则斜率小于0，根据斜率公式，得到不等式，即可求解； (3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，即可作出判定． 【详解】(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0， 即k＝＝>0， 解得m>－2. (2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0， 即k＝＝<0， 解得m<－2. (3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，此方程无解，故直线MN的倾斜角不可能为直角. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：直线的倾斜角与斜率4种高频考点讲义 暑假预习：直线的倾斜角与斜率4种高频考点讲义 考点目录 已知两点求斜率 已知斜率求参数 直线与线段的相交关系求斜率范围 斜率公式的应用 考点一 已知两点求斜率 【知识点解析】 一、核心知识点 设两点 斜率公式： 1. 若 ：直线垂直x轴，斜率不存在； 1. 顺序无关：； 1. 斜率正负含义： · ，倾斜角锐角； · ，倾斜角钝角； · ，直线水平。 二、解题原理 1. 识别两点坐标，区分横、纵坐标； 1. 判断横坐标是否相等：相等 无斜率； 1. 横坐标不等，直接代入斜率分式计算； 1. 化简得到斜率。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 例2．（25-26高二下·重庆·阶段检测）直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）将直线沿轴的负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度得直线，此时与重合，则直线的斜率为________. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·云南德宏·期末）直线经过点和点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知a，b，c是两两不等的实数，则过，两点的直线的倾斜角大小为__________. 考点二 已知斜率求参数 【知识点解析】 一、核心知识点 题型：两点坐标含参数，给定斜率 ，求解参数的值。 依托公式 构建方程。 二、解题原理 1. 将坐标代入斜率公式，得到关于参数的分式方程； 1. 解方程； 1. 检验分母 （保证两点不重合且斜率存在），舍去增根。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·山东·阶段检测）已知点，直线的斜率为，则（    ） A．-5 B．-2 C．2 D．5 例2．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）若经过，两点的直线的倾斜角为45°，则（   ） A． B． C． D．2 例3．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知点，，若直线的斜率为2，则___________. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段检测）已知点，，若直线AB的斜率为2，则（   ） A．7 B．3 C．1 D．9 变式2．（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（   ） A． B． C．或2 D．或-2 变式3．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为______. 考点三 直线与线段的相交关系求斜率范围 【知识点解析】 一、核心知识点（高频难点） 模型：定点 ，动直线过 ，与定线段 相交，求直线斜率 范围。 核心方法：临界斜率法 1. 求出定点与线段两端点连线的斜率 ； 1. 借助图像分析，区分两种情况： · ✅ 情况1：两条临界直线之间 没有竖直线（斜率不存在） 斜率直接取两个临界值之间区间； · ✅ 情况2：两条临界直线之间 跨过竖直直线 （无斜率） 斜率分成两段区间： 或 。 二、解题原理标准步骤 1. 计算定点到线段两个端点的临界斜率； 1. 在坐标系草图标出直线转动方向； 1. 判断旋转过程中是否经过垂直 x 轴直线（斜率不存在）； 1. 写出斜率取值范围； 1. 判断端点能否取等（直线刚好过端点，满足相交，可取等）。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·山西太原·期中）已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 变式2．（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·天津·期中）已知直线经过点，且与以，为端点的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为___________． 考点四 斜率公式的应用 【知识点解析】 一、核心知识点 斜率几何意义：两点连线的倾斜程度，常见四类应用： 1. 比较倾斜角大小； 1. 判定三点共线： 共线； 1. 构造斜率模型求分式最值： 形如 看作动点 与定点 连线斜率； 1. 平行、垂直判定： · （斜率均存在）； · （斜率均存在）。 二、解题原理 1. 三点共线问题：分别算两条直线斜率，列等式求解； 1. 分式最值问题：代数式子转化为斜率形式，结合动点轨迹，数形结合求斜率范围； 1. 位置关系判定：利用斜率相等/乘积 建立条件。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·上海宝山·期末）若与垂直，则________. 例2．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知直线，若，则___________ 例3．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 例4．（25-26高二上·河南鹤壁·阶段检测）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 变式2．（25-26高二上·福建泉州·期末）若直线与直线互相垂直，则实数的值_____. 变式3．（25-26高二上·江西鹰潭·阶段检测）已知，，三点. (1)若直线的倾斜角为135°，求的值. (2)是否存在，使得三点共线？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 变式4．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1). (1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？ (2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？ (3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $