第三章 图形的相似 章末测试 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学《图形的相似》单元卷，A/B卷分层设计，覆盖比例线段、相似判定与性质、位似等核心知识，通过基础题与动态探究题结合，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|成比例线段、相似三角形判定、位似坐标|第3题结合图形辨析相似条件，体现几何直观| |填空题|A卷5题15分/B卷5题25分|比例尺、相似性质、矩形翻折相似|A卷11题考查相似周长与角平分线比，B卷19题矩形翻折相似，体现推理意识与空间观念| |解答题|A卷5题48分/B卷3题30分|相似证明、位似作图、动态几何探究|A卷16题角度关系证相似，B卷25题动态等边三角形面积计算，体现逻辑推理与创新意识|

第三章《图形的相似》章末测试卷 (满分150分 时间120分钟) A卷(满分100分) 一、选择题(每小题4分，共32分) 1.若四条线段a，b，c，d成比例，其中b=2cm,c=3cm,d=6cm,则线段a的长为 ( ) A.1cm B.2cm C.3cm D.12cm 2.如图,在△ABC中,点D在边AB上,过点D作DE∥BC,交AC于点E.若AD=2,BD=3,则 的值是 ( ) A. B. C. D. 3.如图,点 P在△ABC的边AC上,添加下列条件,仍不能判定△ABP∽△ACB的是 ( C.∠APB=∠ABC D.∠ABP=∠C 4.如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABO∽△CDO,且. 若A(4,6),则点 C的坐标为 ( ) A.(1, ) B.(2,3) C.(8,12) D.(16,24) 5.如图,在△ABC中,CD,BE分别是△ABC的边AB,AC上的中线,则 ( ) A. B. C. D. 6.如图,在△ABC中,D,E为边AB 的三等分点,点F,G在边BC上,且AC∥DG∥EF,H为CE与DG 的交点.若AC=12,则GH的长为 ( ) A. B. C. D. 7.如图，已知 和△DEF 是以点O 为位似中心的位似图形， 的面积为4,则△DEF的面积为 ( ) A.6 B.10 C.25 D.12 8.如图，若△ABC与△A₁B₁C₁是位似图形，则位似中心的坐标是 ( ) A.(-2,-2) B.(-2,-1) C.(0,-1) D.(-1,0) 二、填空题(每小题3分，共18分) 9.在比例尺为1：50000的地图上量出A，B 两地的距离是 12cm，那么 A，B 两地的实际距离是 千米. 10.如图，直线 直线 AC 和DF 被l₁,l₂,l₃所截,AB=5,BC=6,EF=4,则 DE 的长为 . 11.如果两个相似三角形的周长的比为1：4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为 . 12.如图是洞孔成像原理的示意图，物体AB∥物像CD，根据图中标注的尺寸，如果物体AB长8cm，那么物像CD的长是 . 13.如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD 相交于点E,且∠CAB=∠CBD.若AB=4,AC=6,BC=5, 则DE的长为 . 三、解答题(共48分) 14.(每小题7分,共14分) (1)如图,延长正方形ABCD的一边CB 至点E,ED 与AB 相交于点F,过点 F作 交AE 于点G,求证:GF=FB. (2)如图, 且 求证： 15.(7分)如图,在梯形 ABCD中,A D \| B C ,点F,E分别在线段BC,AC上,且∠FAC=∠ADE,AC=AD. (1)求证:DE=AF; (2)若∠ABC=∠CDE,求证: 16.(8分)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且∠BCE+∠BDE=180°. (1)求证:△ADE∽△ACB; (2)连接BE,CD,求证:△AEB∽△ADC. 17.(9分)已知 三顶点的坐标分别为A(1,2),B(3,3),C(3,1). (1)如图，在平面直角坐标系中画出 (2)以点B为位似中心，在点B的下方画出使与的相似比为2：1； (3)直接写出点 的坐标. 18.(10分)阅读下列材料: 配方法是数学中一种很重要的恒等变形方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并在此基础上得出了一元二次方程的求根公式.其实配方法还有很多重要的应用.例如，我们可以用配方法求代数式的最值及取得最值的条件，如下面的例子. 例：求多项式 的最小值. 解： ∴多项式的最小值为-7，此时，x=2. 仿照上面的方法，解决下面的问题： (1)当x= 时,多项式 有最 值，是 ； (2)若代数式 试比较M与N 的大小关系； (3)如图,在△ABC中,BC=a,高AD=b,矩形 EFGH 的四个顶点分别在三角形的三边上,设HE=x，矩形EFGH 的面积为S，用含有x，a，b的代数式表示S，并求出当x的值为多少时，S的值最大，并判断此时S与△ABC面积的关系. B卷(满分50分) 一、填空题(每小题5分，共20分) 19.如图,在矩形ABCD中,AD>AB,AB=2.点 E 在矩形ABCD 的边BC 上,连接AE,将矩形ABCD 沿AE 翻折,翻折后的点B落在边AD 上的点F 处,得到矩形CDFE.若矩形 CDFE与原矩形ABCD相似,则AD的长为 . 20.已知abc≠0, 且 则k的值为 . 21.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,∠B=60°,D是线段BC上一动点,连接AD,以AD为边作△ADE,使△ADE∽△ABC,则△ADE面积的最小值为 22.如图,在△ABC中,D是BC上一点,连接AD,AD=AC,过点C作CE⊥AB于点E,交AD于点F,且∠DAC=2∠ACE.若AE=1,BD=3,则AD的长为 . 23.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P为边CD上一动点,连接AP 交对角线BD 于点E,过点E作EF⊥AP,EF交BC于点F,连接AF交BD 于点G,在点 P 的运动过程中,△AEG面积的最小值为 . 二、解答题(共30分) 24.(8分)已知在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD边上的点,DE与CF交于点G. (1)如图1,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求证 (2)如图2,若四边形ABCD 是平行四边形,当∠B=∠EGF时，第(1)问的结论是否仍成立?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由. 25.(10分)某托管服务数学兴趣小组针对如下问题进行探究，在等边三角形ABC中，AB=2，点D在射线BC上运动，连接AD，以AD为一边在AD右侧作等边三角形ADE. (1)【问题发现】如图1，当点D在线段BC上运动时(不与点 B 重合)，连接CE，则线段BD与CE的数量关系是 ；直线BA与CE 的位置关系是 . (2)【拓展延伸】如图2，当点 D 在线段BC 的延长线上运动时，直线AD，CE 相交于点M，求△MAE 的面积与△MDC的面积之差. (3)【问题解决】当点D在射线BC上运动时(点D不与点B，C重合)，直线AD，CE 相交于点M.若△MCD的面积是 请求出线段 BD的长. 26.(12分)1: 是一个很有趣的比.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,在AB上截取点D,使AD=AC,则 我们称D为AB 的“趣点”. (1)若E为AC 的“趣点”(CE<AE),连接DE. ①求证： ②在AB上方构造△EDF,使△EDF∽△CDB,设EF交CB 于点Q,试探究:Q是否为BC的“趣点”?说明理由. (2)把(1)中的点E移动到与点A重合，②中条件不变，请在备用图中画出图形，若AB=6，求CD·QF 的值. A卷 1. A 2. A 3. A 4. C 5. D 6. B 7. C 8. C 9.610. 11.1:4 12. cm 13.2 14.(1)【证明】∵四边形 ABCD 为正方形,∴BF∥CD, 又AD=CD,∴GF=BF. (2)【证明】∵AB·AE=AD·AC,∴AB=AC. 又∵∠1=∠2,∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE,即∠BAC=∠DAE, ∴△ABC∽△ADE. 15.【证明】(1)∵AD∥BC,∴∠ACF=∠DAC. ∵∠FAC=∠ADE,AC=AD,∴△ACF≌△DAE(ASA),∴AF=DE. (2) ∵ △ACF ≌△DAE, ∴ ∠AFC = ∠DEA,∴∠AFB=∠DEC. ∵∠ABC=∠CDE,∴△ABF∽△CDE, ∴AF·DE=BF·CE. ∵AF=DE,∴AF²=BF·CE. 16.【证明】(1)∵∠BCE+∠BDE=180°,∠ADE+∠BDE=180°,∴∠ADE=∠BCE. 又∵∠DAE=∠CAB,∴△ADE∽△ACB. (2)∵△ADE∽△ACB,∴AD:AE=AC:AB. 又∵∠EAB=∠DAC,∴△AEB∽△ADC. 17.【解】(1)如图,△ABC即为所求. (2)如图,△A₁BC₁ 即为所求. (3)由图可得，点 18.【解】 ∴当x=-2时,多项式 有最大值，是7.故答案为-2;大;7. ∴M-N>0,∴M>N. (3)∵四边形EFGH是矩形,∴HG∥EF, ∴HG∥BC, ∴△AHG∽△ABC. ∵四边形 EFGH 是矩形,∴HE=GF=x. ∵AD⊥BC,∴AK⊥HG, 即 即 ∴当 时，矩形的面积最大，最大面积是 B卷 20.2或-1 21.6 22. 23.4 24.(1)【证明】∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠ADC=∠A=90°, ∴∠ADE+∠GDC=90°, ∵DE⊥CF,∴∠DCF+∠GDC=90°, ∴∠ADE=∠DCF,∴△ADE∽△DCF, (2)【解】第(1)问的结论仍成立. 证明：如图，以点 C为圆心，CF的长为半径画弧交AD延长线于点M，连接CM， ∴CM=CF,∴∠CMD=∠CFD. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD, ∴∠B+∠A=180°. ∵∠B=∠EGF,∴∠A+∠EGF=180°,∴∠AEG+∠AFG=180°. ∵∠DFG + ∠AFG = 180°, ∴ ∠AEG = ∠DFG, ∴∠AED=∠CMD. ∵AB∥CD,∴∠A=∠CDM,∴△ADE∽△DCM, 25.【解】(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠B=∠ACB=∠DAE=60°,AD=AE, ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴BD=CE,∠B=∠ACE, ∴∠BAC=∠ACE,∴BA∥CE. 故答案为BD=CE;BA∥CE. (2)∵△ABC和△ADE都是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠DAE=60°,AD=AE, ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,即∠BAD=∠CAE, ∴△ABD≌△ACE(SAS), (3)由(1)(2)可知，无论点 D在线段BC上还是在线段BC的延长线上， 都有△ABD≌△ACE(SAS),BD =CE,BA∥CE, ∵BA∥CE, ∴△MAE的边 ME 上的高=△ABC 的边 AB 上的高 ∴ME=3. ∵BA∥CE,∴△MDC∽△ADB, ∴CD·AB=BD·CM. 设CD=x. ①如图1,点 D 在线段 BC 上时,BD=2-x,CE=ME-CM=3-CM. ∵BD=CE, ∴2-x=3-CM,∴CM=x+1, ∴2x=(2-x)(x+1). 整理，得. 解得. (不符合题意，舍去)， ∴BD=2-x=1; ②如图2，当点D在线段BC 的延长线上时，BD=2+x,CE=ME+CM=3+CM. ∵BD=CE, ∴2+x=3+CM,∴CM=x-1, ∴2x=(2+x)(x-1), 整理，得 解得 (不符合题意，舍去)， ∴BD=2+x=4. 综上所述，线段BD的长为1或4. 26.(1)①【证明】∵D 为线段AB 的“趣点”,E为线段AC 的“趣点”(CE<AE), 又∵∠A=∠A, ∴△ADE∽△ABC, ②【解】Q是线段BC 的“趣点”.理由如下：如图1,连接DQ. ∵∠ACB=90°,AC=BC, ∴ ∠A = ∠B=45°, ∵AC=AD,∴∠2= 67.5°,∴∠3=90°-67.5°=22.5°. ∵△EDF∽△CDB,∴∠4=∠3=22.5°. ∵△ADE∽△ABC,∴∠1=∠B=45°,∴DE∥BC, ∴∠6=∠4=22.5°,∠5=∠3=22.5°, ∴∠3=∠6,∠4=∠5,∴MQ=MC,ME=MD. ∵DE∥BC,∴∠7+∠4=∠ACB=90°, ∴∠7=90°-22.5°=67.5°=∠2,∴MC=ME, ∴MC=MD=ME=MQ, ∴四边形CEDQ是平行四边形， ∴DQ∥AC, ∴Q是为线段BC 的“趣点”. (2)【解】如图2,连接DQ. ∵△ADF∽△CDB, ∴∠4=∠3=22.5°, ∠F= ∠B = 45°, ∴∠8=45°-22.5°= 22.5°=∠4. 在△ADQ 和△ACQ中， ∴△ADQ≌ △ACQ(SAS), ∴∠ADQ=∠ACQ=90°=∠BDQ. ∵∠10=∠F+∠4=45°+22.5°=67.5°, ∴∠9=90°-67.5°=22.5°,∴∠9=∠3. 又∵∠F=∠B, ∴△DQF∽△CDB, ∵∠BDQ=90°,∠B=45°,∴DB=QD. ∵D为AB 的“趣点”,AB=6, 学科网（北京）股份有限公司 $