2.1～2.2 专题一 有理数的四则混合运算的巧算 练习 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 初中数学有理数四则混合运算同步练，以“过基础-过能力”分层设计为核心，覆盖运算顺序与巧算技巧，实现从单一方法到综合应用的进阶，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |过基础|运算顺序、五大巧算技巧（同号结合等）|选择/填空/解答题对应单一技巧，如相反数结合法识别与简算过程书写| |过能力|技巧综合运用、实际问题|含跨技巧选择（如凑整与分配律结合）、购物优惠计算等应用题型，需灵活选择最优方法|

2.1~2.2配套专题训练 专题一·有理数的四则混合运算的巧算 学习目标、知识点总结与练习题设计（含详情解析） （建议作答时间：45分钟） 第一部分 学习目标与知识点总结 学习目标 1. 熟练掌握有理数加、减、乘、除四则运算法则及运算顺序； 2. 灵活运用加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律、分配律进行简便计算； 3. 掌握多种巧算技巧，能根据题目特征选择最优方法； 4. 培养数感与运算能力，提高计算速度与准确率。 知识点一：运算顺序 有理数混合运算的顺序： 1. 先乘除，后加减； 2. 同级运算，从左到右依次进行； 3. 有括号的，先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号）。 知识点二：五大巧算技巧 技巧名称 核心方法 适用特征 同号结合法 正数全部相加，负数全部相加，最后相加减 多个正负数混合 相反数结合法 互为相反数的两数和为  出现  和  凑整法 将和为整数（、、）的数先结合 小数、分数中有互补数 同分母结合法 分母相同的分数先结合 多个异分母分数 乘法分配律（正用与逆用）  或  有公因数或括号内有加减 核心原则： 先观察，再动笔；能简算则简算，不能简算按顺序。 知识点三：常见错误防范 1. 符号错误： 去括号时，括号前是“”号，括号内各项要变号； 2. 运算顺序错误： 先乘除后加减，同级运算从左到右； 3. 分配律漏项： ，括号内有  项就要乘  项； 4. 除法没有倒数化： 除法没有分配律，必须先化乘法； 5. 分数约分不彻底： 结果必须是最简分数。 第二部分 练习题巩固（过基础） 知识点一：同号结合法与相反数结合法 1. [2025·广东广州·荔湾区期末]（选择题） 计算  的简便方法是（ ） A.    B.  C.    D. B 和 C 都可以 2. [2025·四川成都·青羊区期中]（选择题） 计算  的结果是（ ） A.   B.   C.   D.  3. [2026·湖北武汉·江岸区月考]（选择题） 下列计算中，运用了相反数结合法的是（ ） A.  B.  C.  D.  4. [2025·江苏南京·玄武区期末]（填空题） 计算：。 5. [2026·浙江杭州·西湖区期中]（填空题） 计算：。 6. [2025·山东济南·历下区期末]（解答题） 用简便方法计算，并写出简算过程： （1）； （2）。 知识点二：凑整法与同分母结合法 7. [2026·陕西西安·碑林区期中]（选择题） 计算  的简便方法是（ ） A.    B.  直接算 C.    D. A 和 C 都可以 8. [2025·湖南长沙·岳麓区期末]（选择题） 计算  的结果为（ ） A.   B.   C.   D.  9. [2026·福建福州·鼓楼区模拟]（选择题） 计算  的结果为（ ） A.   B.   C.   D.  10. [2025·安徽合肥·包河区期中]（填空题） 计算：。 11. [2026·辽宁沈阳·和平区期末]（填空题） 计算：。 12. [2025·江西南昌·东湖区期末]（解答题） 用简便方法计算： （1）； （2）。 知识点三：乘法分配律的正用与逆用 13. [2026·广东深圳·南山区期末]（选择题） 计算  的简便方法是（ ） A. 先算括号内的减法，再乘  B.  C.  D. B 和 C 都可以 14. [2025·河南郑州·金水区期中]（选择题） 计算  的结果是（ ） A.   B.   C.   D.  15. [2026·山东青岛·市南区期末]（选择题） 下列计算中，运用了乘法分配律逆用的是（ ） A.  B.  C.  D.  16. [2025·吉林长春·朝阳区期末]（填空题） 计算：。 17. [2026·贵州贵阳·南明区期中]（填空题） 计算：。 18. [2025·广西南宁·青秀区期末]（解答题） 用简便方法计算： （1）； （2）。 第三部分 过能力（ 选 +  填 +  解答） 1. [2025·北京·海淀区期末]（选择题） 在计算  时，最佳的简算策略是（ ） A. 从左到右依次相加   B. 两两结合成  C. 正数全部相加，负数全部相加   D. 先加最大的数 2. [2026·上海·黄浦区期中]（选择题） 计算  时，下列做法最简便的是（ ） A. 先算 ，再算  B. 先算 ，再算  C. 先约分：，再约分计算，最后确定符号为正 D. 以上三种方法都可以 3. [2025·天津·和平区期末]（选择题） 计算  的结果是（ ） A.   B.   C.   D.  4. [2026·重庆·沙坪坝区期末]（选择题） 计算 ，下列正确的是（ ） A.  B.  C. A 和 B 都对 D. A 和 B 都不对 5. [2025·江苏苏州·工业园区期中]（选择题） 计算  的结果是（ ） A.   B.   C.   D.  6. [2026·广东佛山·南海区期末]（选择题） 若 ，，，则  与  的关系是（ ） A. 前者大  B. 后者大  C. 相等  D. 无法确定 7. [2025·浙江宁波·海曙区模拟]（选择题） 计算  的结果为（ ） A.   B.   C.   D.  8. [2026·四川成都·高新区期中]（选择题） 下列计算中，结果最小的是（ ） A.    B.  C.    D.  9. [2025·湖北武汉·武昌区期末]（填空题） 计算：。 10. [2026·湖南长沙·开福区期中]（填空题） 计算：。 11. [2025·福建厦门·思明区期末]（填空题） 已知 、 互为相反数，、 互为倒数， 的绝对值为 ，则 。 12. [2026·山东济南·槐荫区期中]（填空题） 计算：。 13. [2025·陕西西安·雁塔区期末]（填空题） 观察等式：，，。根据规律填空：。 14. [2026·广东广州·天河区期末]（解答题） 计算下列各题，能用简便方法的用简便方法： （1）； （2）； （3）。 15. [2025·江苏南京·建邺区期末]（解答题） 阅读材料：在有理数运算中，灵活运用运算律可以大大简化计算。例如： 〖运用〗用简便方法计算下列各题： （1）； （2）； （3）。 16. [2026·浙江杭州·上城区期末]（解答题） 某文具店进行促销活动，所有文具一律打  折。小明购买了一个书包原价  元，一个文具盒原价  元，一支钢笔原价  元。 （1）用两种方法计算小明一共需付款多少元； （2）若小明有一张  元优惠券，在打折后使用，需付款多少元？ （3）若小明先用优惠券再打  折，需付款多少元？哪种方式更划算？ 参考答案（含详细分析解析） 一、过基础 知识点一：同号结合法与相反数结合法 1.【答案】 D 【考点】加法交换律、结合律的灵活运用 【分析】多个有理数相加，将正数、负数分别结合可使计算简便。 【解析】： B 方法：； C 方法：。 B 和 C 实质相同（只是顺序不同），都正确。故选 D。 【方法点睛】多个数相加，核心策略是“正正相加，负负相加，最后合并”。同号结合法的本质是减少符号判断的次数。 2.【答案】 A 【考点】凑整法与相反数结合法 【分析】将小数凑整或相反数结合。 【解析】 （同号结合法） 。故选 A。 【方法点睛】小数计算中，优先寻找能凑成整数的小数对，如 ，。 3.【答案】 A 【考点】相反数结合法的识别 【分析】相反数结合法的特征是：两个互为相反数的数相加为 。 【解析】A 中  和  互为相反数，先结合得 ，运用了相反数结合法；B 是同号结合法；C 是凑整法；D 是乘法。故选 A。 4.【答案】  【解析】。 5.【答案】  【解析】。 6.【答案及解析】 （1） （同号结合法） 。 （2） （相反数结合法 + 同号结合法） 。 知识点二：凑整法与同分母结合法 7.【答案】 D 【考点】凑整法 【分析】接近整十、整百、整千的数，拆成“整数 − 几”的形式，再计算。 【解析】。 A 和 C 本质相同，都正确。故选 D。 【方法点睛】看到 、、 等接近整百整千的数，优先拆成“整 − 几”。 8.【答案】 A 【考点】同分母结合法 【解析】 （同分母结合法） 。故选 A。 9.【答案】 A 【考点】小数凑整法 【解析】 。故选 A。 10.【答案】  【解析】。 11.【答案】  【解析】。 12.【答案及解析】 （1） （同号结合法 + 凑整法） 。 （2） （同分母结合法） 。 知识点三：乘法分配律的正用与逆用 13.【答案】 D 【考点】乘法分配律 【解析】， B： 正确； C： 也正确（因为减去一个数等于加上它的相反数）。 B 和 C 都正确，故选 D。 【方法点睛】乘法分配律中，括号内是减法时，可以写成 ，也可以写成 ，两者等价。 14.【答案】 A 【考点】乘法分配律正用——拆数法 【解析】。故选 A。 【方法点睛】 拆成 ， 拆成 ，是常见简算技巧。 15.【答案】 B 【考点】乘法分配律逆用 【分析】乘法分配律逆用是 ，即提取公因数。 【解析】A 是正用分配律（展开）；B 是逆用分配律（提取公因数 ）；C 是交换律；D 是结合律。故选 B。 16.【答案】  【解析】。 17.【答案】  【解析】。 18.【答案及解析】 （1） （乘法分配律） 。 （2） （将  转化为 ，构造公因数） （逆用分配律） 。 【方法点睛】逆用分配律的关键是找到公因数。当两个乘法项中有一个符号不同时，可以通过变形使公因数相同。 二、过能力 1.【答案】 B 【考点】成对结合的巧算策略 【分析】观察式子 ，共有  个数，两两配对。 【解析】，每组结果为 ，共  组，原式 。选 B。 【方法点睛】看到“”间隔正负的数列，优先考虑两两结合。规律：。 2.【答案】 D 【考点】分数连乘的约分技巧 【解析】三种方法都能得到正确结果。但最简便是 C：，先确定符号为正，再约分 ，。选 D。 【方法点睛】分数连乘优先约分：分子分母能约的先约，可避免大数字计算。 3.【答案】 A 【解析】。选 A。 【方法点睛】能先算括号内的，优先算括号内，更简单。 4.【答案】 C 【分析】。 【解析】A：，正确； B：，也是正确（因为减去一个数等于加上它的相反数）。 A 和 B 都正确，故选 C。 5.【答案】 A 【考点】运算顺序：先乘除后加减 【解析】 （先算乘除） 。故选 A。 【方法点睛】混合运算易错点：① 先乘除后加减；② 减去一个负数等于加上正数。 6.【答案】 C 【考点】乘法分配律的验证 【解析】 是乘法分配律，无论 、、 取何值都成立。故选 C。 7.【答案】 A 【考点】逆用分配律 【解析】 （提取公因数 ） 。故选 A。 【方法点睛】有相同因数的加减运算，优先逆用分配律提取公因数。 8.【答案】 C 【考点】乘除混合运算与比较大小 【解析】A：； B：； C：； D：。 最小的是 ，选 C。 【方法点睛】乘除混合运算按从左到右顺序计算，也可将除法转化为乘法后统一约分。 9.【答案】  【解析】。 10.【答案】  【解析】，负因数个数为 （ 和 ），积为正。 。 【方法点睛】乘除混合中若全是乘除，可先确定符号，再约分计算。 11.【答案】  或  【解析】，，。 当  时，原式 ； 当  时，原式 ？等等，，所以原式 。 所以值为  或 。 12.【答案】  【解析】 负因数有  个（、、），积为负。 。 结果为 。 13.【答案】  【解析】观察规律：； ； 。 所以 。 14.【答案及解析】 （1） （先算乘除） 。 （2） （逆用分配律，注意符号） 。 （3） （分组） （逆用分配律） 。 【方法点睛】多项加减混合中，若存在相同因数或可转化为相同因数，先分组再逆用分配律。 15.【答案及解析】 （1） （乘法分配律） 。 （2） 负因数有  个（、、），积为负。 。 结果为 。 （3）= 【方法点睛】提取公因数时，注意将所有项转化为含相同因数的形式，符号要统一处理。 16.【答案及解析】 （1）方法一：先求总价再打折： 元； 方法二：分别打折再相加： 元。 两种方法结果相同。 （2）先打折后用券： 元。 （3）先用券后打折： 元。 比较：，先打折后用券更划算。 答：（1） 元；（2） 元；（3） 元，先打折后用券更划算。 【方法点睛】实际应用中，通过列式比较两种方案的大小。本题体现了乘法分配律在购物优惠中的应用。 专题总结 常用巧算口诀 见数先观察，特征要记牢： 正负分别加，相反数为零； 小数凑整数，分数找同母； 分配律正逆用，公因数要提取； 先乘除后加减，从左到右仔细算； 有括号先算内，符号问题最要紧。 易错点警示 1. 分配律漏乘： ，括号内有几项就乘几项； 2. 除法没有分配律：  可以先算括号再除，不能拆成 ； 3. 去括号符号错误： 括号前是“”，去掉括号要变号； 4. 分数约分不彻底： 结果必须是最简分数； 5. 负号处理： 负因数为奇数个，结果为负；偶数个，结果为正。 2 学科网（北京）股份有限公司 $