第十三章 全等三角形全章高频重点题型突破（13大高频+12大重难题型，专项训练）数学新教材冀教版八年级上册

**基本信息** 以“基础-核心”双模块构建全等三角形题型体系，覆盖从概念辨析到模型应用的全链条训练，突出推理能力与模型意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|13题型|聚焦概念辨析、性质应用及判定（选填/补全/解答）|从全等图形概念出发，通过性质应用过渡到判定方法，结合尺规作图、网格问题强化几何直观| |核心提升|12题型|涵盖动点、翻折旋转及倍长中线等8大模型，含河北特色双空题|以动态问题为载体，通过辅助线添加构建模型（如一线三等角、手拉手），深化空间观念与推理能力|

第十三章 全等三角形全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 命题与证明 题型2 全等图形 题型3 全等三角形的概念辨析 题型4 全等三角形的性质 题型5 全等三角形的判定（选填） 题型6 全等三角形的判定（补全过程） 题型7 全等三角形的判定（解答） 题型8 全等三角形的判定与性质（基础） 题型9 结合尺规作图的全等问题 题型10 网格中的全等三角形问题 题型11 全等三角形的多结论问题 题型12 全等三角形的实际应用 题型13 三角形的尺规作图问题 核心提升：重难题型归纳 题型1 全等三角形的动点问题 题型2 全等三角形的判定与性质综合问题 题型3 全等三角形中的翻折问题 题型4 全等三角形中的旋转问题 题型5 全等三角形中的最值问题 题型6 全等三角形中常见辅助线添加问题 题型7 倍长中线模型 题型8 一线三等角模型 题型9 半角模型 题型10 截长补短模型 题型11 手拉手模型 题型12 双空题专训（河北特色题型） 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 命题与证明 1．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么这两个角相等 B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等 2．（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）关于命题“对顶角相等”，有下列两个说法： ①该命题的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角； ②该命题的逆命题是假命题． 对于说法①和②，判断正确的是（   ） A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①正确 D．只有②正确 3．（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）下列命题中，①对顶角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则．逆命题是真命题的有__________．（填序号） ◆题型2 全等图形 4．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）蔚县剪纸是河北省蔚县地方传统手工剪纸技艺，国家级非物质文化遗产代表性项目之一、下列每组剪纸是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）下列5个说法： ①两个形状相同的图形称为全等图形； ②两个圆是全等图形； ③两个正方形是全等图形； ④全等图形的形状和大小都相同； ④面积相等的两个三角形是全等图形． 其中，说法正确的是___________． 6．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图所示的是两个全等的五边形，，，，，，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的____________，____________°． ◆题型3 全等三角形的概念辨析 7．（24-25八年级上·重庆巴南·期中）下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 8．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列几种说法：全等三角形的对应边和对应角相等；面积相等的两个三角形全等；周长相等的两个三角形全等；全等的两个三角形一定重合．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ ◆题型4 全等三角形的性质 10．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知点在上，点在上，，且，若，则______． 12．（25-26七年级下·河北张家口·期中）如图，已知． (1)若，，求的度数； (2)若，，求AB的长． ◆题型5 全等三角形的判定（选填） 13．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，在和中，已知，，添加下列条件，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 14．（2026·河北沧州·二模）下面是嘉嘉作业本上一道习题及解答过程： 已知：如图．，于点，于点，与交于点，且，连接． 求证：为等边三角形． 证明：，， ， 又，， （① ）． ② 又， 为等边三角形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 15．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，四边形的对角线相交于点O，，下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确结论的序号是______． ◆题型6 全等三角形的判定（补全过程） 16．（24-25八年级上·河北保定·期中）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图的过程． 已知：如图1，． 求作：一个角，使它等于． 作法：如图2．①在的两边上分别任取点，； ②以点为圆心，长为半径画弧；以点为圆心，长为半径画弧；两弧交于点； ③连接，，即为所求作的角． (1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明的过程，并在括号内补全推理依据． 证明：连接． 在和中， （_____________）， （____________________）． 17．（24-25八年级上·北京·期中）补全证明过程：如图，已知B，E，F，C四个点在同一条直线上，，，，求证：． 证明：∵， ∴____________， 即____________ 在和中， ∴（______）． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业） 已知：． 求作：，使得． 作法：如下图． （1）作． （2）在射线上截取，在射线上截取． （3）连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料解决下列问题： (1)根据作图痕迹补全作法． 由作图可知，在和中， 所以_______． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号）． ①AAS    ②ASA    ③SAS    ④SSS ◆题型7 全等三角形的判定（解答） 19．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，、交于点O，，． 求证： (1)； (2)． 20．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）已知：如图，，． (1)求证：． (2)求证：． 21．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）已知：是的高，，． (1)求证：． (2)与有什么位置关系，说明理由． ◆题型8 全等三角形的判定与性质（基础） 22．（2026·河北邯郸·一模）如图，在中，，，点D是边上一点，且，的平分线与交于点G，点F在射线上，连接，． (1)求证：； (2)过点A作于点H，求的度数． 23．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，求的长． 24．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，，，，垂足分别为D、E． (1)求证：； (2)如果，，求的长． ◆题型9 结合尺规作图的全等问题 25．（2026·江西上饶·一模）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，作的中线； (2)在图2中找点O，使得点O为的重心． 26．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）（1）如图，在中，以为一边作，使得，画出所有符合条件的（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）请用两种不同方法作出边上的中点．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 27．（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． ◆题型10 网格中的全等三角形问题 28．（2024·湖南邵阳·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，且点在的边上，则（    ） A． B． C． D． 29．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，已知网格图由个相同的正方形组成，则的度数为______． 30．（25-26八年级上·河北承德·期末）如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． ◆题型11 全等三角形的多结论问题 31．（25-26八年级上·四川泸州·阶段检测）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．下列说法：①；②和面积相等；③；④．其中正确的有________．（填写正确的序号） 32．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，，，，关于①、②两个说法，下列判断正确的是（   ） ①为等腰三角形； ②调整的大小，当每增加时，将减少 A．只有①正确 B．只有②正确 C．①、②都正确 D．①、②都不正确 33．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，等腰直角中，，于，的平分线分别交，于，两点，为的中点，延长交于点．有下列说法：甲：是等边三角形；乙：；丙；．其中说法正确的是（    ）    A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．甲、乙、丙都不正确 ◆题型12 全等三角形的实际应用 34．（2026·河北沧州·三模）如图，甲、乙二人分别从地前往地，若，两地之间的距离为千米，甲行走的路线为千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为________千米．（写出一个合理的答案即可） 35．（24-25八年级上·湖南永州·阶段检测）如图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为2米和米，则F、E两点的高度差即的长为______米． 36．（25-26八年级上·河北邢台·期末）【综合与实践】如图，工人师傅要在墙壁上的点处用电钻打孔，墙壁厚（即），与墙面垂直，要使钻头从墙壁对面的点处打出，且满足点与点的竖直距离长． 【方法】 先在点处作一直线平行于地面，并在直线上截取___________，再过点作___________，在射线上截取，连接，然后沿着的方向打孔，就能使钻头正好从满足要求的点处打出． 【任务】 (1)将上面做法中横线处补充完整； (2)利用所学的全等三角形的知识说明的理由． ◆题型13 三角形的尺规作图问题 37．（25-26八年级上·河北邢台·期中）按要求完成下列各小题． (1)如图，直线是一个轴对称图形的对称轴，请在方格纸中画出这个轴对称图形的另一半； (2)如图，已知． ①用尺规在的下方找一点 ，使得（保留作图痕迹，不写作法）； ②根据①中的作图，判定的依据是 （填字母）． 38．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a和，求作，使，，根据作图痕迹补全作法．      作法： (1)作________； (2)以点________为圆心，以________的长为半径在射线上画弧，交于点B； (3)以点________为顶点作________，交射线于点C，则即为所求作的三角形． 39．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，用尺规作，使得． 小明准备按以下作图步骤完成： 作法：①作射线，在射线上截取________； ②以点为圆心，以________长为半径作弧，再以点为圆心，以________长为半径作弧，两弧交于点； ③连接，，即为所求（依据：________）． 请补全作图步骤及作图依据，并作出所求三角形． ◆题型1 全等三角形的动点问题 40．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 41．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）如图，已知在中，，，．点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点以每秒个单位长度的速度运动．设运动时间为秒，若以点，，为顶点的三角形和以点，，为顶点的三角形全等，且和是对应角，则的值为_____． 42．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，．过点作直线，动点从点开始沿射线的方向以的速度运动，动点也同时从点出发在直线上以的速度运动．连接，设运动时间为． (1)当点在边上时，请写出的长（用含的代数式表示）：_____，_____cm． (2)当点在边上时，若的面积为，求的值． (3)请利用备用图探究，当的值为多少时，与全等？ ◆题型2 全等三角形的判定与性质综合问题 43．（25-26八年级上·河北唐山·期末）在中，于点D，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在DC上截取，连接BE，求证：； (3)如图3，若，，将CA绕点C顺时针旋转得到，连接BM交CD于点N，当点N为的中点时，求旋转的度数，并直接写出此时的长． 44．（25-26八年级上·河北唐山·期中）【问题】已知：是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上的两点，且， 【探究】嘉嘉、琪琪和乐乐对上面的问题展开了探究，请阅读他们的探究过程并解答下列问题： (1)如图1，若直线经过的内部，且，射线在上．嘉嘉给出的条件是“”，猜想与的数量关系是 (2)如图2，琪琪改变了嘉嘉的条件，变为“”其余条件不变，请你探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，乐乐改变了直线的位置，使经过的外部，，请写出、、三条线段之间的数量关系： （不要求证明） 45．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，是的中点，在的延长线上找一点，连接并延长交的延长线于点，连接．    (1)若，的周长为8，求的周长； (2)若，，求的度数． ◆题型3 全等三角形中的翻折问题 46．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）（1）如图，三角形纸片，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，则的周长为________cm．    （2）如图，点、、、在一条直线上，已知，，请你添加一个适当的条件________使得．    47．（25-26八年级上·河北张家口·期中）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（　　） A． B． C． D． 48．（24-25八年级上·河北邢台·期末）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长． 小明同学的思路是：将沿折叠，点刚好落在边上的点处．请你根据小明的思路直接写出_________． 【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【拓展】如图3，在四边形中，平分，，． ①求证：； ②若，则的长为_____________． ◆题型4 全等三角形中的旋转问题 49．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，点D为中点，直角绕点D旋转，，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 50．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，，都是等边三角形，将绕点C旋转，使得点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是__________． 51．（25-26九年级上·河南新乡·期中）【课本再现】如图，，都是等边三角形．与有什么关 系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？(不用解答) 【探究应用】 （1）如图2，，都是等腰直角三角形， ，， ． ①写出与的数量关系和位置关系： ； ②的面积与的面积相等吗？并说明理由． 【问题解决】 （2）如图，将绕点A逆时针旋转得到点恰好落在 上，与交于点 ．若与关于直线对称，且，，则 ①∠= ° ②线段的长是 ． ◆题型5 全等三角形中的最值问题 52．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在等边中，为边上的高，点，分别在，上，且，连接，当的值最小时，的度数为_____． 53．（25-26八年级下·广东深圳·阶段检测）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为___________．    54．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】（1）如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （2）等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为______． （3）如图4，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则最小值是______． ◆题型6 全等三角形中常见辅助线添加问题 55．（25-26八年级上·福建·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 56．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，平分．若，则的面积为_____ ． 57．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）【方法初探】截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 问题：如图1，在中，于点D，若，求证：． 解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，辅助线做法在上截取，从而证明出结论． （1）请你根据上述解题思路，写出证明过程． 【方法应用】 （2）如图3，已知：等腰直角三角形中，，是的角平分线，交边于点D．求证：． 【实际应用】 （3）如图4，在四边形中，已知，，，，是的高，，，则的长为_____． ◆题型7 倍长中线模型 58．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 59．（24-25八年级上·广东广州·阶段检测）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是__________． 60．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）阅读下列材料，解决相应问题： 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 证明方法如下： 证明：如图2，延长至，使， 是边上的中线， 在和中， ， 在中，， ． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 解决下列问题： (1)如图3，，，则的取值范围是___________； (2)如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由． ◆题型8 一线三等角模型 61．（24-25八年级上·四川眉山·期中）“一线三等角”学习探究． “一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”． (1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：； (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． (3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由． 62．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．   　　   根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图，，． ①求证：； ②猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长． 63．（24-25八年级上·广西柳州·期中）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点作直线，于点于点，则与的数量关系是____________； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，求点坐标． ◆题型9 半角模型 64．（2025八年级上·河北·专题练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 65．（25-26九年级上·山西·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点.易证得. 大致证明思路：如图2，将延长至点，使，连，可证，再证，故. 任务：如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于、两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 66．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． ◆题型10 截长补短模型 67．（25-26八年级上·安徽·单元测试）“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系．“截长”：指在长线段中截取一段等于已知线段；“补短”：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程．已知：如图，中，，，求证：． 68．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】 如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】 (1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， （ ① ）， ，． ， ． 是的一个外角， ， ， ② ，（ ③ ） ， ． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 69．（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． ◆题型11 手拉手模型 70．（25-26八年级上·浙江台州·期中）阅读下列材料完成下列问题 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，那么将它们的底角顶点分别对应连结起来，就可以得到一组全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，，，，连结，，则． 【基础巩固】 （1）请证明图1的结论成立； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，B，D，E三点在同一条直线上，与相交于点F，且F恰好为的中点； ①求的度数．②若，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，，，请直接写出与的数量关系是________． 71．（24-25八年级上·湖北荆门·期末）【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，在“手拉手”图形中，，，，连接、．求证：； 【变式探究】（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，、、在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，试探究与的数量关系，并说明理由． 72．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点A旋转一定的角度．当点D在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，已知和都是等边三角形．当点D在射线上时，过点E作于点F．直接写出线段，与之间存在的数量关系． ◆题型12 双空题专训（河北特色题型） 73．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，、的平分线交于点，延长交于点，点、分别在、上，连接，，其中，． （1）若，则的度数为_________，的度数为_________； （2）若，则的度数为_________． 74．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，点E为中线上的动点．连接，将绕点C顺时针旋转得到．连接，则______，连接，则周长的最小值是______． 75．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，，于点，于点，且，，点是线段上一动点．    （1）当________时，； （2）点从点以每分钟2个单位长度的速度向点运动，点从点以每分钟2个单位长度的速度向点运动，、两点同时出发，运动________分钟后，与全等． 1．（25-26七年级下·山东济南·期中）已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，分别是，的中线，，且交的延长线于点，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：；结论Ⅱ：若，则 A．Ⅰ，Ⅱ均对 B．Ⅰ，Ⅱ均不对 C．只有Ⅰ对 D．只有Ⅱ对 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点于点，则点的运动时间等于_______秒时，与全等． A．2 B．6 C．2或6 D．2或6或16 4．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，桌面上有两摞一样的纸，分别摞有纸张张和张，在两摞纸中间竖直放入直角三角板，其直角顶点C在桌面上，当顶点A 落在右侧纸的上方边沿时，调整左侧纸的位置，使顶点B 恰好落在左侧纸的上方边沿，此时测得，则每张纸的厚度为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，点在边上，，点在边上，，过点作交于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）小明将等腰直角三角板放置到两堆砖块（砖块堆与地面垂直）之间，如图所示．若每块砖的厚度都为，则的长为___________． 7．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为______． 8．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________． 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当___________秒时，与全等． 10．（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图所示，在等腰中，，点为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点，若，则与的比值为______． 11．（24-25七年级下·河北张家口·期中）综合题 (1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如图1，已知：在中，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．请猜想线段之间的数量关系为______ ． (2)组员嘉嘉想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且，其中α为任意锐角或钝角，请问（1）中得到的结论是否仍然成立？并说明理由． (3)数学老师赞赏了她们的探索精神，并鼓励她们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点N，，则____ ． 12．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）如图1，在等腰三角形中，，点是射线上的一个动点（不与，重合），连接．以点为顶点，在的右侧作线段，使得，且．连接，． (1)当点在线段上运动时， ①求证：． ②当时，求的度数． (2)当点在线段的延长线上运动时，直接写出与的数量关系． (3)如图2，当点运动到的中点时，的平分线交于点，交于点．若，求的度数（用含的式子表示）． 13．（25-26八年级上·河北衡水·期末）操作探究：已知是等边三角形，点是边上一点． (1)如图1，过点作交于点，图中有_____个等边三角形； (2)如图2，点在上运动(不与重合)，点是延长线上一点，且，过作于E，连接交于，试说明：在点运动的过程中，线段的长是定值(即)； (3)若将条件中“是等边三角形”改为“是等腰三角形，”，如图3所示，（2）中的结论是否还成立？请说明理由． 14．（25-26八年级上·湖南永州·阶段检测）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．    小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________，由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是________； 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，是边的中点，且，若与不平行，试判断与之间的数量关系； 【灵活运用】 （3）如图3，若在（2）的基础上，增加平分，，，求的长． 15．（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，已知等边的边长为，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，点的速度是，点的速度为．当点第一次回到出发点点时，、同时停止运动．设运动时间为． (1)当___________时，运动停止，此时点在___________(填“”或“”)边上； (2)求出点和重合时的位置； (3)当点、均在边上时，是否存在的情况？若存在求出；若不存在，说明理由； (4)当与的某一边垂直时，直接写出的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 全等三角形全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 命题与证明 题型2 全等图形 题型3 全等三角形的概念辨析 题型4 全等三角形的性质 题型5 全等三角形的判定（选填） 题型6 全等三角形的判定（补全过程） 题型7 全等三角形的判定（解答） 题型8 全等三角形的判定与性质（基础） 题型9 结合尺规作图的全等问题 题型10 网格中的全等三角形问题 题型11 全等三角形的多结论问题 题型12 全等三角形的实际应用 题型13 三角形的尺规作图问题 核心提升：重难题型归纳 题型1 全等三角形的动点问题 题型2 全等三角形的判定与性质综合问题 题型3 全等三角形中的翻折问题 题型4 全等三角形中的旋转问题 题型5 全等三角形中的最值问题 题型6 全等三角形中常见辅助线添加问题 题型7 倍长中线模型 题型8 一线三等角模型 题型9 半角模型 题型10 截长补短模型 题型11 手拉手模型 题型12 双空题专训（河北特色题型） 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 命题与证明 1．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么这两个角相等 B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了真假命题，逆命题，解题的关键是掌握以上定义． 先表述出原命题的逆命题，再根据理论知识进行判断真假即可． 【详解】解：A.该选项逆命题为：“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，该逆命题是假命题，不符合题意； B. 该选项逆命题为：“如果两个数的平方相等，那么这两个有理数相等”，该逆命题是假命题，不符合题意； C. 该选项逆命题为：“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，该逆命题是假命题，不符合题意； D. 该选项逆命题为：“如果同位角相等，那么两直线平行”，该逆命题是真命题，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）关于命题“对顶角相等”，有下列两个说法： ①该命题的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角； ②该命题的逆命题是假命题． 对于说法①和②，判断正确的是（   ） A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①正确 D．只有②正确 【答案】A 【分析】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握命题的结构是解答此题的关键．写出该命题的逆命题，再根据相等的角不一定是对顶角判断该逆命题是假命题，即可得答案． 【详解】解：对顶角相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，故①说法正确； 相等的角不一定是对顶角，故该命题的逆命题是假命题，②说法正确； 所以，①和②都正确． 故选：A． 3．（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）下列命题中，①对顶角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则．逆命题是真命题的有__________．（填序号） 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了对顶角，补角定义，绝对值的意义，乘方运算，解题的关键是掌握这些知识点．先写出这些命题的逆命题，然后根据对顶角定义，乘方运算法则，补角定义，绝对值意义进行判断即可． 【详解】解：①对顶角相等的逆命题是：相等的角为对顶角，因为相等的角不一定是对顶角，所以原命题的逆命题是假命题，故①错误； ②如果，那么的逆命题是：如果，那么，是真命题，故②正确； ③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角的逆命题是：如果两个角互补，那么这两个角的和为，是真命题，故③正确； ④若，则的逆命题是：如果，那么，是假命题，故④错误； 综上分析可知，②③正确； 故答案为：②③． ◆题型2 全等图形 4．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）蔚县剪纸是河北省蔚县地方传统手工剪纸技艺，国家级非物质文化遗产代表性项目之一、下列每组剪纸是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的全等；根据全等图形的定义判断即可． 【详解】解：能够完全重合的两个图形，且大小和形状完全相同的图形是C， ∴全等图形的是C， 故选：C． 5．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）下列5个说法： ①两个形状相同的图形称为全等图形； ②两个圆是全等图形； ③两个正方形是全等图形； ④全等图形的形状和大小都相同； ④面积相等的两个三角形是全等图形． 其中，说法正确的是___________． 【答案】④ 【分析】此题主要考查了全等形．根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可． 【详解】解：①两个形状相同的图形大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ②两个圆形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ③两个正方形形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ④全等图形的形状和大小都相同，说法正确； ⑤面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等图形，原说法错误； 正确的说法只有④， 故答案为：④． 6．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图所示的是两个全等的五边形，，，，，，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的____________，____________°． 【答案】 11 115 【分析】此题考查了全等多边形的性质，根据全等多边形对应边相等，对应角相等求解即可． 【详解】∵五边形和五边形全等 ∴， 故答案为：11，115． ◆题型3 全等三角形的概念辨析 7．（24-25八年级上·重庆巴南·期中）下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，牢记概念，要从形状和大小两个方面来考虑两个三角形是否完全重合是解题的关键． 根据全等三角形的定义“能够完全重合的两个三角形”对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，原说法错误，故选项不符合题意； B. 形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，原说法正确，故选项符合题意； C. 面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，原说法错误，故选项不符合题意； D. 所有的等边三角形形状相同，但是大小和边长有关，边长不相等，则不能够重合，原说法错误，故选项不符合题意； 故选：． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列几种说法：全等三角形的对应边和对应角相等；面积相等的两个三角形全等；周长相等的两个三角形全等；全等的两个三角形一定重合．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的定义，全等是指形状相同，大小相同，两个方面必须同时满足． 本题主要考查全等三角形的定义，根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形，全等三角形的判定和性质，即可求解． 【详解】解：①全等三角形的对应边相等，①正确； ②、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故②错误； ③、全等三角形的周长相等，但周长的两个三角形不一定能重合，不一定是全等三角形，故③错误； ④、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故④正确； 故正确的是①④． 故选：D． 9．（24-25八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可． 【详解】解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． ◆题型4 全等三角形的性质 10．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据全等三角形的性质，得到，再根据三角形的外角的性质得出． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知点在上，点在上，，且，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，设，，则，由，则，，所以，根据三角形内角和定理可得，求出，最后通过三角形外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26七年级下·河北张家口·期中）如图，已知． (1)若，，求的度数； (2)若，，求AB的长． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，再利用三角形外角的性质进行解答即可； （2）根据全等三角形的性质得到，利用线段的差得到，再求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴． ◆题型5 全等三角形的判定（选填） 13．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，在和中，已知，，添加下列条件，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：在和中，，． A、添加条件：，可以利用证明，故本选项正确，不符合题意； B、添加条件：，可以利用证明，故本选项正确，不符合题意； C、添加条件：，可以利用证明，故本选项正确，不符合题意； D、添加条件：，然后利用不能证明，故本选项不正确，符合题意． 14．（2026·河北沧州·二模）下面是嘉嘉作业本上一道习题及解答过程： 已知：如图．，于点，于点，与交于点，且，连接． 求证：为等边三角形． 证明：，， ， 又，， （① ）． ② 又， 为等边三角形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据证明，得到即可 【详解】证明：，， ， 又，， （）． 又， 为等边三角形． 15．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，四边形的对角线相交于点O，，下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由全等三角形的性质得出，，，，再由全等三角形的判定定理得出，进而得出其它结论． 【详解】解：， ，，，， ，故①正确，符合题意； 四边形的对角线、相交于点， ， 在和中， ， ，故③正确，符合题意； ，故②正确，符合题意； 与不一定相等， ∴不一定垂直平分．， 故④不正确，不符合题意； 故答案为：①②③． ◆题型6 全等三角形的判定（补全过程） 16．（24-25八年级上·河北保定·期中）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图的过程． 已知：如图1，． 求作：一个角，使它等于． 作法：如图2．①在的两边上分别任取点，； ②以点为圆心，长为半径画弧；以点为圆心，长为半径画弧；两弧交于点； ③连接，，即为所求作的角． (1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明的过程，并在括号内补全推理依据． 证明：连接． 在和中， （_____________）， （____________________）． 【答案】(1) 解：如图所示， ； (2)，，全等三角形的对应角相等 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，正确理解尺规作图的原理是解题的关键． （1）根据题意用直尺和圆规完成作图； （2）连接，先证，再根据全等三角形的性质即可证得． 【详解】（1）略 （2）证明：连接， 由作图可知，， 在和中， ， （全等三角形的对应角相等）． 故答案为：，，全等三角形的对应角相等． 17．（24-25八年级上·北京·期中）补全证明过程：如图，已知B，E，F，C四个点在同一条直线上，，，，求证：． 证明：∵， ∴____________， 即____________ 在和中， ∴（______）． 【答案】；；；；； 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理结合证明过程中前后步骤的逻辑关系填空即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴， 故答案为：；；；；；． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业） 已知：． 求作：，使得． 作法：如下图． （1）作． （2）在射线上截取，在射线上截取． （3）连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料解决下列问题： (1)根据作图痕迹补全作法． 由作图可知，在和中， 所以_______． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号）． ①AAS    ②ASA    ③SAS    ④SSS 【答案】(1)A ，AC ， (2)③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（）是解题的关键． （1）根据作图步骤，找出与对应的角和边，补全全等条件； （2）根据补全的全等条件，判断对应的三角形全等判定方法． 【详解】（1）解：由作图可知， 在和中： ． （2）解：因为是两边及其夹角对应相等，符合的全等判定方法， 故依据是：③． ◆题型7 全等三角形的判定（解答） 19．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，、交于点O，，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴， ∴． (2) 证明：由（1）知， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用“”证明，从而得出； （2）由（1）得，利用“”证明，从而得出． 【详解】（1）略 （2）略 20．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）已知：如图，，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1) 证明：在和中 ； (2) 证明： ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据直接证明两三角形全等，即可得证； （2）根据全等三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 21．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）已知：是的高，，． (1)求证：． (2)与有什么位置关系，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用全等三角形判定证明即可； （2）根据直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，则有，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是的高， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ◆题型8 全等三角形的判定与性质（基础） 22．（2026·河北邯郸·一模）如图，在中，，，点D是边上一点，且，的平分线与交于点G，点F在射线上，连接，． (1)求证：； (2)过点A作于点H，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵平分，点F在射线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，证明，即可证明； （2）根据三角形内角和求出的值，根据角平分线的定义得到，进而得到，计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中， ∵，， ∴， 又是的平分线， ∴， ∴， ∵于点H， ∴． 23．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ， 在和中， ， ； (2)19 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握判定方法及性质是关键． （1）运用角角边证明即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1），可知， ， ， ， ， ， ． 24．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，，，，垂足分别为D、E． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) 证明： ， ，，， ， 在与中， ， ， ． (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握“两个三角形若有两个角分别相等且其中一组等角的对边相等，则这两个三角形全等”是解题的关键． （1）根据图形发现要证相等的两条线段和分别在与中，而这两个三角形已经有一组边，还有一组角，题目中出现了三个直角且顶点在同一条直线上，可以利用同角的余角相等再找一组角，证全等从而证线段相等． （2）利用全等三角形的对应边相等，先求出的长度，从而得到的长度． 【详解】（1）略 （2）解： ，， 由（1）可知， 又， ． ◆题型9 结合尺规作图的全等问题 25．（2026·江西上饶·一模）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，作的中线； (2)在图2中找点O，使得点O为的重心． 【答案】(1) 解：如图，中线即为所求； (2) 解：如图，点O即为所求． 【分析】（1）取的中点D，连接即可； （2）取的中点E，连接交于O即可． 【详解】（1）略 （2）略 26．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）（1）如图，在中，以为一边作，使得，画出所有符合条件的（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）请用两种不同方法作出边上的中点．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 （1）如图所示， 和为所求． （2）如图①所示，点即为所求； 如图②所示，点即为所求；． 【分析】（1）结合全等三角形的判定与性质，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，在的两侧分别交于点，，连接，，，，则和均满足题意． （2）①作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求；②以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，在的下方交于点，连接，，连接交于点，则点即为所求． 【详解】解：（1）在和中， 在和中， ． （2）如图①，根据线段垂直平分线的定义可得点E是的中点； 如图②，∵，，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，即点E是的中点． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 27．（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【答案】 （1）当时， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示： （2），理由如下： 在上截取， 在和中， ， ， ， ，、分别是和的角平分线，与相交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等． （1）当时，可以证明出，即以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，可以作出图形； （2）在上截取，证明，继而再证明，即可得到本题答案． 【详解】略 ◆题型10 网格中的全等三角形问题 28．（2024·湖南邵阳·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，且点在的边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定与性质，，再根据直角三角形的判定及性质可知，最后利用三角形外角的性质即可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键， 【详解】解：∵ ，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 29．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，已知网格图由个相同的正方形组成，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，两个角的和，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 利用三角形全等，等量代换后计算即可． 【详解】解：由题意得： ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 30．（25-26八年级上·河北承德·期末）如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． ◆题型11 全等三角形的多结论问题 31．（25-26八年级上·四川泸州·阶段检测）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．下列说法：①；②和面积相等；③；④．其中正确的有________．（填写正确的序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，中线的定义等知识．根据“边角边”即可证明，进而得到，，从而证明，作，垂足为H，根据即可证明，问题得解． 【详解】解：∵是的中线， ∴, 在和中， ， ∴ ，故④正确； ∵ ， ∴，故①正确； ∵ ， ∴， ∴ ，故③正确； 如图，作，垂足为H， 则， ∵， ∴，故②正确． 故答案为：①②③④ 32．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，，，，关于①、②两个说法，下列判断正确的是（   ） ①为等腰三角形； ②调整的大小，当每增加时，将减少 A．只有①正确 B．只有②正确 C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，证明得出，，即可判断①；利用三角形外角的性质可得，根据，即可判断②． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∴ ∴，， 即为等腰三角形；故①正确； ∵ ∴ ∴， ∴当每增加时，将减少，故②不正确； 故选：A． 33．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，等腰直角中，，于，的平分线分别交，于，两点，为的中点，延长交于点．有下列说法：甲：是等边三角形；乙：；丙；．其中说法正确的是（    ）    A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．甲、乙、丙都不正确 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、等腰三角形的判定与性质．根据等腰直角三角形的性质、角平分线定义计算得出，，结合等腰三角形的性质可判断甲、乙的说法；利用证明，判断丙的说法；从而得到结论． 【详解】解：∵，是等腰直角三角形，， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故甲说法错误； ∵M为的中点， ∴，故乙说法正确； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，但， ∴，故丙说法错误； 综上所述，只有乙说法正确． 故选：B． ◆题型12 全等三角形的实际应用 34．（2026·河北沧州·三模）如图，甲、乙二人分别从地前往地，若，两地之间的距离为千米，甲行走的路线为千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为________千米．（写出一个合理的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】延长、交于点，连接，证明得到，，推出千米，由三角形的三边关系得，，推出，由，得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长、交于点，连接， 由题意可得千米，千米， ，，， ， ，， 千米， ，， ， 即， ， ， ， ， 乙行走的路线可能为（答案不唯一）． 35．（24-25八年级上·湖南永州·阶段检测）如图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为2米和米，则F、E两点的高度差即的长为______米． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．先证明，得出，求出即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 36．（25-26八年级上·河北邢台·期末）【综合与实践】如图，工人师傅要在墙壁上的点处用电钻打孔，墙壁厚（即），与墙面垂直，要使钻头从墙壁对面的点处打出，且满足点与点的竖直距离长． 【方法】 先在点处作一直线平行于地面，并在直线上截取___________，再过点作___________，在射线上截取，连接，然后沿着的方向打孔，就能使钻头正好从满足要求的点处打出． 【任务】 (1)将上面做法中横线处补充完整； (2)利用所学的全等三角形的知识说明的理由． 【答案】(1)； (2) 由题意可知、、三点共线，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的实际应用，掌握好全等三角形的判定定理与性质是关键． （1）根据全等三角形的判定定理进行填空即可； （2）结合条件容易证明，从而证明． 【详解】（1）解：由题意可知，需构造， ∴，． 故答案为：；． （2）略 ◆题型13 三角形的尺规作图问题 37．（25-26八年级上·河北邢台·期中）按要求完成下列各小题． (1)如图，直线是一个轴对称图形的对称轴，请在方格纸中画出这个轴对称图形的另一半； (2)如图，已知． ①用尺规在的下方找一点 ，使得（保留作图痕迹，不写作法）； ②根据①中的作图，判定的依据是 （填字母）． 【答案】(1) 如图即为所求： (2) ①如图，即为所求： ② 【分析】（1）根据轴对称的定义画图即可解答； （2）①运用判定三角形全等进行尺规作图即可解答；②根据①的作图过程即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②由①作图过程可知，，，， 作图依据为． 故答案为． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称作图、全等三角形的判定、尺规作图作三角形，解题关键是掌握运用判定三角形全等． 38．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a和，求作，使，，根据作图痕迹补全作法．      作法： (1)作________； (2)以点________为圆心，以________的长为半径在射线上画弧，交于点B； (3)以点________为顶点作________，交射线于点C，则即为所求作的三角形． 【答案】(1) (2)A；a (3)B； 【分析】本题考查了基本的尺规作图及作法，熟练掌握基本的尺规作图及作图语言的规范性是解题的关键． （1）根据作一个角等于已知角解答； （2）根据作一条线段等于已知线段解答； （3）根据作一个角等于已知角解答． 【详解】（1）解：作； 故答案为：； （2）解：以点A为圆心，以a的长为半径在射线上画弧，交于点B； 故答案为：A；a； （3）解：以点B为顶点作，交射线于点C，则即为所求作的三角形． 故答案为：． 39．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，用尺规作，使得． 小明准备按以下作图步骤完成： 作法：①作射线，在射线上截取________； ②以点为圆心，以________长为半径作弧，再以点为圆心，以________长为半径作弧，两弧交于点； ③连接，，即为所求（依据：________）． 请补全作图步骤及作图依据，并作出所求三角形． 【答案】；；；三边分别相等的两个三角形全等（或SSS或边边边）， 如图所示， 即为所求． 【分析】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定方法． 根据几何语言画出对应的几何图形得到，然后根据全等三角形的判定方法得到． 【详解】解：作法：①作射线，在射线上截取； ②以点为圆心，以长为半径作弧，再以点为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点； ③连接，，即为所求（依据：三边分别相等的两个三角形全等（或SSS或边边边））． 由作图可知：在与中， 故答案为：；；；三边分别相等的两个三角形全等（或SSS或边边边）． ◆题型1 全等三角形的动点问题 40．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．分情况讨论点在延长线上或点在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； 综上，或， 故选：D． 41．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）如图，已知在中，，，．点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点以每秒个单位长度的速度运动．设运动时间为秒，若以点，，为顶点的三角形和以点，，为顶点的三角形全等，且和是对应角，则的值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，分情况讨论是解题的关键．根据题意可得：，，， 从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后分两种情况：当时；当时；从而利用全等三角形的对应边相等列方程求解即可得解． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， 和是对应角， 分两种情况：和， 当时， ，， 即，，解得，； 当时， ，， 即，，解得，； 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 42．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，．过点作直线，动点从点开始沿射线的方向以的速度运动，动点也同时从点出发在直线上以的速度运动．连接，设运动时间为． (1)当点在边上时，请写出的长（用含的代数式表示）：_____，_____cm． (2)当点在边上时，若的面积为，求的值． (3)请利用备用图探究，当的值为多少时，与全等？ 【答案】(1) (2) (3)当的值为4或20时，与全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由路程=速度×时间，可得的长度； （2）过点作于点．由等腰直角三角形的性质可得，由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，由全等三角形判定可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， 故答案为：． （2）解：如图1，过点作于点． ， ． 的面积为， ， ， ， ． （3）解：根据题意，分两种情况： ①如图2，当点向上运动时， ， 点在线段上， 当时，， ， ； ②如图3，当点向下运动时， ，， 点在线段的延长线上， 当时，， ， ． 综上所述，当的值为4或20时，与全等． ◆题型2 全等三角形的判定与性质综合问题 43．（25-26八年级上·河北唐山·期末）在中，于点D，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在DC上截取，连接BE，求证：； (3)如图3，若，，将CA绕点C顺时针旋转得到，连接BM交CD于点N，当点N为的中点时，求旋转的度数，并直接写出此时的长． 【答案】(1) (2) 证明：∵，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． (3)旋转的度数为，此时CN的长为 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，得到，再根据等腰三角形的内角和求解即可． （2）运用证明，即可解答． （3）在上截取，连接，延长交于点F，先推导出，得到，，继而证明，得到，，得到，，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接，延长交于点F， ∵点N为BM的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 由旋转，得， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 答：旋转的度数为，此时CN的长为． 44．（25-26八年级上·河北唐山·期中）【问题】已知：是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上的两点，且， 【探究】嘉嘉、琪琪和乐乐对上面的问题展开了探究，请阅读他们的探究过程并解答下列问题： (1)如图1，若直线经过的内部，且，射线在上．嘉嘉给出的条件是“”，猜想与的数量关系是 (2)如图2，琪琪改变了嘉嘉的条件，变为“”其余条件不变，请你探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，乐乐改变了直线的位置，使经过的外部，，请写出、、三条线段之间的数量关系： （不要求证明） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）先得出，，根据证，即可； （2）求出，，根据证，推出，即可； （3）求出，，根据证，推出，即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，，， ∴， ∵， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解： ，， 又，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 45．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，是的中点，在的延长线上找一点，连接并延长交的延长线于点，连接．    (1)若，的周长为8，求的周长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)20 (2)60度 【分析】本题主要考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）证明垂直平分，得,可求的周长为． （2）由三角形内角和定理可求，证明，得，再运用三角形外角性质可得结论． 【详解】（1）解：，是的中点， 垂直平分， ． ，的周长为8， ，． 的周长为． （2）解：，， ， 在和中， ， ， ， ． ◆题型3 全等三角形中的翻折问题 46．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）（1）如图，三角形纸片，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，则的周长为________cm．    （2）如图，点、、、在一条直线上，已知，，请你添加一个适当的条件________使得．    【答案】 (或或，答案不唯一) 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，然后求出，再求出，最后根据三角形的周长公式列式计算即可； （2）根据全等三角形的判定定理填空． 【详解】（1）折叠这个三角形顶点落在边上的点处， ，， ， ， 的周长， 故答案为：． （2）①添加．理由如下： ， ， ②添加．理由如下： ， ， ③添加．理由如下： ， ， 故答案为： (或或，答案不唯一)． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和折叠的性质，熟练掌握相关性质是解本题的关键． 47．（25-26八年级上·河北张家口·期中）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质以及翻折变换及其应用；连接，先根据线段垂直平分线的性质得到，则，利用等边对等角和三角形内角和定理以及角平分线的性质得到，，据此可得，证明，得到，则，再由对称性得到，，则，由三角形内角和定理得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴， ∵与关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 48．（24-25八年级上·河北邢台·期末）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长． 小明同学的思路是：将沿折叠，点刚好落在边上的点处．请你根据小明的思路直接写出_________． 【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【拓展】如图3，在四边形中，平分，，． ①求证：； ②若，则的长为_____________． 【答案】感悟：9； 探究：解：， 证明：如图，在上截取，连接， ，平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 拓展：①如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②18 【分析】感悟：根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； 探究：在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； 拓展：在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证； 由得，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】感悟：解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处，由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； 探究：略 拓展：略 由得，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． ◆题型4 全等三角形中的旋转问题 49．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，点D为中点，直角绕点D旋转，，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得、，从而得到是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出，判断出②正确；根据，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得，判断出④错误． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为中点， ∴，，， ∴， ∵是直角， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故③正确； ∴、， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：C． 50．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，，都是等边三角形，将绕点C旋转，使得点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据题意证明，即可求解． 【详解】解：，都是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 51．（25-26九年级上·河南新乡·期中）【课本再现】如图，，都是等边三角形．与有什么关 系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？(不用解答) 【探究应用】 （1）如图2，，都是等腰直角三角形， ，， ． ①写出与的数量关系和位置关系： ； ②的面积与的面积相等吗？并说明理由． 【问题解决】 （2）如图，将绕点A逆时针旋转得到点恰好落在 上，与交于点 ．若与关于直线对称，且，，则 ①∠= ° ②线段的长是 ． 【答案】（1）①，；②相等；（2）①，②6． 【分析】本题考查了图形的旋转，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，添加适当的辅助线是本题的关键． （1）根据，都是等边三角形，把绕点A逆时针旋转得到 即可； ①证明，再由全等三角形的性质和三角形外角的性质即可证明结论，②和的边，再过D作于Y，过B作于X，构造，得相等边对应高相等，从而证明两个三角形面积相等， （2）①利用轴对称的性质求出，然后根据旋转的性质得出答案； ②利用旋转的性质和轴对称的性质求出和即可解决问题． 【详解】解：（1）①结论：，． 证明：如图，设交于点，交于点， ∵ ． ∴，即， 又∵，， ， ， ， ， ，即， 综上所述：，． ②的面积与的面积相等， 如图，过D作于Y，过B作于X，   ， ∵， ， 又∵， ， ， ∵，，， ，即， 的面积与的面积相等， （2）①∵与关于对称， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， 故答案为：； ②由旋转的性质可知，， ∵与关于对称， ∴， ∴， 故答案为：． ◆题型5 全等三角形中的最值问题 52．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在等边中，为边上的高，点，分别在，上，且，连接，当的值最小时，的度数为_____． 【答案】/度 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，添加辅助线得到三点共线时，的值最小，是解题的关键． 过点作，使得，连接．证明，则根据得到三点共线时，的值最小．求出此时的度数即可． 【详解】解：如图，过点作，使得，连接． 是等边三角形，， ， ． ， ， 三点共线时，的值最小． ， ． 故答案为： 53．（25-26八年级下·广东深圳·阶段检测）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为___________．    【答案】 【分析】延长，交点于，可证，得出，，则，当时，取最大值，即取最大值． 【详解】解：如图：延长，交点于，   平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，； ， ，即；   ， ， 当时，取最大值，即取最大值． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用三角形中线的性质得到． 54．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】（1）如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （2）等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为______． （3）如图4，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则最小值是______． 【答案】 （1）证明：∵都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：过点E作，交于点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②； （3）有最小值，最小值为； 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质． （1）证明，即可证明； （2）①过点E作，交于点G，先证明是等边三角形，再证明，得出，即可得出结论； ②过作，交的延长线于点，由平行线的性质易证，得出为等边三角形，则，证明，得出，即可得出； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：；理由如下： 是等边三角形， ， 如图3，过作，交的延长线于点， ， ，， ， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 即； （3）解：有最小值，最小值为； 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． ◆题型6 全等三角形中常见辅助线添加问题 55．（25-26八年级上·福建·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 56．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，平分．若，则的面积为_____ ． 【答案】3 【分析】如图，过作交的延长线于，证明，再证明，利用分割法和三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：如图，过作交的延长线于，   ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 57．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）【方法初探】截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 问题：如图1，在中，于点D，若，求证：． 解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，辅助线做法在上截取，从而证明出结论． （1）请你根据上述解题思路，写出证明过程． 【方法应用】 （2）如图3，已知：等腰直角三角形中，，是的角平分线，交边于点D．求证：． 【实际应用】 （3）如图4，在四边形中，已知，，，，是的高，，，则的长为_____． 【答案】 （1）证明：在上截取，连接， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ， ， ． ， ， 即； （2）证明：在上截取，使得，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ，， ∵等腰直角三角形中，， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ； （3）18 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键， （1）在上截取，连接，利用证得，从而得到，，再由角度之间转换可得，根据等腰三角形的性质可得，即可推出； （2）在上截取，使得，连接，由角平分线的定义可得，易利用证得，从而得到，，再由角度之间转换可得，根据等腰三角形的性质可得，即可推出； （3）在上截取，连接，在中，由三角形内角和可求得，从而易证得，得到，从而可推出，易证，得到，从而可推出的长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在上截取，连接，如图所示： 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． ◆题型7 倍长中线模型 58．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．延长至，使，连接．根据证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接． 在与中， ， ， ． 在中，， 即， ． 故选：A． 59．（24-25八年级上·广东广州·阶段检测）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，根据辅助线的作法，“遇中线加倍延长”作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．作出图形，延长到，使，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的范围，再除以 2 即可得解． 【详解】解：如图，延长到，使， ∵是三角形的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ， 故答案为：． 60．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）阅读下列材料，解决相应问题： 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 证明方法如下： 证明：如图2，延长至，使， 是边上的中线， 在和中， ， 在中，， ． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 解决下列问题： (1)如图3，，，则的取值范围是___________； (2)如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：与的数量关系为． 理由如下： 延长至点，使，连接，如图所示： 是中线， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 任务二：延长至点，使，连接，证明，得出，由三角形三边关系可得出答案； 任务三：延长至点，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：延长至点，使，连接，如图所示： ， 是中线， ， 在和中， ， ∴， ， 在中，由三角形三边关系可得， ，， 即， ， ∴， 故答案为：； （2）略 ◆题型8 一线三等角模型 61．（24-25八年级上·四川眉山·期中）“一线三等角”学习探究． “一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”． (1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：； (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． (3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：，， ，， 又， ， ， 在和中，， (2) 全等，理由如下： ， ，且， ， 在和中，， (3) ，与的夹角为，理由如下： ， ，且， ， 和均为等边三角形， ， 在和中，， ， ，， 又在等边和等边中， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 综上所述：，与的夹角为． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）利用已知求得，进而证明； （2）根据题意证明，进而即可证明； （3）根据题意证明，证明，进而证明，从而得到，进而求解； 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 62．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．   　　   根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图，，． ①求证：； ②猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2) 【分析】（1）①根据已知可求得，，得到，证明；②由（1）可知，得到，从而得出； （2）首先证明，得到，，结合已知可得到，根据的周长为得到，得到，即可得出最后结果． 【详解】（1）解：①， ，， ， 在与中， ， ； ②猜想：， 理由：由（1）得：， ，， ； （2），且， ， 在和中， ， ， ，， 四边形的周长为， ， ， 又的周长为， ， ，， ， ， 即． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确寻找全等三角形． 63．（24-25八年级上·广西柳州·期中）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点作直线，于点于点，则与的数量关系是____________； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，求点坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）由，可得，，则，证明，即可得解； （2）同理可证；则，，计算求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，过点作轴，分别交于点，证明得到，得出，，从而可得出结论． 【详解】（1）解：与的数量关系是． 证明：， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴； （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， 又， ； （3）解：过点作轴，过点作轴，过点作轴，分别交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， 点坐标为 ◆题型9 半角模型 64．（2025八年级上·河北·专题练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 65．（25-26九年级上·山西·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点.易证得. 大致证明思路：如图2，将延长至点，使，连，可证，再证，故. 任务：如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于、两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 【答案】 解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质；根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】略 66．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【答案】（1）； （2），证明如下： 如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1）在和中 ， 又， 在和中 （2）略 ◆题型10 截长补短模型 67．（25-26八年级上·安徽·单元测试）“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系．“截长”：指在长线段中截取一段等于已知线段；“补短”：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程．已知：如图，中，，，求证：． 【答案】 证明：在上取，连接，   ，，且， ， ，， ∵ ，， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 在上取．连接，可得，得出，再证明即可解决问题． 【详解】略 68．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】 如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】 (1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， （ ① ）， ，． ， ． 是的一个外角， ， ， ② ，（ ③ ） ， ． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 【答案】(1)；；等角对等边 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，理解题意，熟练掌握“截长补短法”是解题关键． （1）首先根据角平分线的定义可得，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，结合易得，结合三角形外角的性质即可证明为等腰三角形，然后证明结论； （2）在上截取，连接，利用“”，由全等三角形的性质可得，进而可得，易得，再利用“”证明，易得，即有，然后结合题意求解即可． 【详解】（1）为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是的一个外角， ， ， （等角对等边）， ， ． 故答案为：；；等角对等边； （2）在上截取，连接， 由题意可得，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 69．（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【答案】（1）； 理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）， 理由：如图②，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （3）不成立.新数量关系为：． 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等角对等边”等知识． （1）在上截取，连接，证明，推出，，再求得，据此即可得到； （2）在上截取，连接，证明，推出，，同（1）即可求解； （3）在的延长线上取一点，使，连接，证明，同理可证明． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）不成立， 新数量关系为：， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． ◆题型11 手拉手模型 70．（25-26八年级上·浙江台州·期中）阅读下列材料完成下列问题 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，那么将它们的底角顶点分别对应连结起来，就可以得到一组全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，，，，连结，，则． 【基础巩固】 （1）请证明图1的结论成立； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，B，D，E三点在同一条直线上，与相交于点F，且F恰好为的中点； ①求的度数．②若，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，，，请直接写出与的数量关系是________． 【答案】 （1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）①； ②2； （3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据即可证明； （2）①首先由得到，进而可求出； ②由全等三角形的性质得，然后证明出，得到，进而求解即可； （3）延长到P，使，先证明是等边三角形，再证明，进而证明即可． 【详解】（1）略 （2）① ， ， 在和中， ， ， ， ； ②作于点，如图所示： ， ， ∵若点为中点， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）解：，证明如下： 如图，延长到P，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 71．（24-25八年级上·湖北荆门·期末）【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，在“手拉手”图形中，，，，连接、．求证：； 【变式探究】（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，、、在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】 [问题背景]（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， [变式探究]（2），， 和是等腰三角形，，，， ∴，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ； [拓展应用]（3）， 理由：如图3，延长至，使，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ∴，即， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． [问题背景]（1）根据等腰三角形的性质可得，运用边角边即可求证； [变式探究]（2）根据等腰三角形的性质可证，得到，，由，得到，由此即可求解； [拓展应用]（3）如图3，延长至，使，连接，可得是等边三角形，再证明，，由此即可求解． 【详解】[问题背景] （1）略 [变式探究] （2）略 [拓展应用] （3）略 72．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点A旋转一定的角度．当点D在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，已知和都是等边三角形．当点D在射线上时，过点E作于点F．直接写出线段，与之间存在的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再证明，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再证明，得出，即可得证； （3）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再证明，得出，，再由，得出，求出，由直角三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ◆题型12 双空题专训（河北特色题型） 73．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，、的平分线交于点，延长交于点，点、分别在、上，连接，，其中，． （1）若，则的度数为_________，的度数为_________； （2）若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理可求得，根据角平分线定义可求得，根据三角形内角和定理可得，根据，可求得，根据计算即可得到，根据计算可得； （2）如图，在上截取，连接，可证，，得到，，计算即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）如图，在上截取，连接， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 74．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，点E为中线上的动点．连接，将绕点C顺时针旋转得到．连接，则______，连接，则周长的最小值是______． 【答案】 【分析】证明可得，得到点在射线上运动，如图所示，作点关于的对称点，连接，可得当三点共线时，取最小值，即，由得到，即得，进而由勾股定理得，据此即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，为高上的动点， ， ∵将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ∴点在射线上运动， 如图所示，作点关于的对称点，连接， 设交于点，则， 在中，，则， 当三点共线时，取最小值，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 75．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，，于点，于点，且，，点是线段上一动点．    （1）当________时，； （2）点从点以每分钟2个单位长度的速度向点运动，点从点以每分钟2个单位长度的速度向点运动，、两点同时出发，运动________分钟后，与全等． 【答案】 或/8或6 4 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质；使用合适的方法解题是关键； （1）根据等腰直角三角形与全等三角形的判定与性质，分两种情况讨论可得答案； （2）分两种情况讨论：与，结合全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：（1）如图，∵，，，当时， 则，，    ∵，， ∴，， ∴， ∴，此时符合题意； 如图，当，，，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为：或， （2）①如图所示，，，，，点每分钟走2个单位长度，点每分钟走个单位长度，    当时，， 则， ∴点的运动时间是（分钟）， 点的运动时间是（分钟）， ②如图所示，，，，，点每分钟走2个单位长度，点每分钟走个单位长度，    当时，，则， ∴点的运动时间是（分钟），点的运动时间是（分钟）， ∵，两点同时出发， ∴不能成立． 综上，运动分钟后，与全等． 故答案为：4 1．（25-26七年级下·山东济南·期中）已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据路程等于速度乘时间求出点和点的路程，即可判断①；先求出点到达点时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③；根据全等三角形边角的对应关系，分种情况求出的值即可判断④． 【详解】解：对于①，点以每秒个单位长度的速度，运动时间为秒， 点运动路程为． 若，则点运动路程为， 点运动路程始终是点运动路程的倍，故①符合题意； 对于②，当点到达点时，秒， ，故②符合题意； 对于③，如图所示， 当，时， 点运动的路程为，点运动的路程为． ，， ，． ， ， ， 和不全等， ． ， ， ， 与不垂直，故③不符合题意； 对于④，当时，则，． ， ， ， ， ， ； 当时，则，． ， ， ． ， ， ， 若与全等，则或，故④不符合题意． 综上所述，符合题意的结论为①②． 【点睛】本题是一道动点问题，考查了全等三角形的性质和判定．解题的关键是能充分把握运动过程，找出符合条件时点的位置及满足的数量关系，分类时做到不重不漏． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，分别是，的中线，，且交的延长线于点，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：；结论Ⅱ：若，则 A．Ⅰ，Ⅱ均对 B．Ⅰ，Ⅱ均不对 C．只有Ⅰ对 D．只有Ⅱ对 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，反证法，解题的关键是掌握以上性质． Ⅰ根据三角形中线得出相等的边，根据平行线的性质得出相等的角，然后根据证明三角形全等即可； Ⅱ根据三角形中线的性质以及全等三角形的性质，得出相关三角形的面积，与进行比较即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故结论Ⅰ正确； ∵是的中线，是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 故结论Ⅱ错误； 综上，只有Ⅰ对， 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点于点，则点的运动时间等于_______秒时，与全等． A．2 B．6 C．2或6 D．2或6或16 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，一元一次方程与几何动点，分情况讨论是解题的关键．分类讨论，分四种情况分析，①点P在上，点Q在上；②点P、Q都在上；③点P在上，点Q在上；④当点Q到A点，点P在上，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：∵与全等， ∴斜边=斜边， 分四种情况： 当点P在上，点Q在上，如图： ∵， ∴, ∴， 当点P、Q都在上时，此时P、Q重合，如图： ∵， ∴， ∴， 当点P到上，点Q在上时，如图： 则（秒）， 此时， ∵， ∴， ∴，不符合题意， 当点Q到A点，点P在上时，如图： 则 ∵， ∴， ∴， 综上所述：点P的运动时间等于2或或16秒时，与全等， 故选：D． 4．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，桌面上有两摞一样的纸，分别摞有纸张张和张，在两摞纸中间竖直放入直角三角板，其直角顶点C在桌面上，当顶点A 落在右侧纸的上方边沿时，调整左侧纸的位置，使顶点B 恰好落在左侧纸的上方边沿，此时测得，则每张纸的厚度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明则有，，结合，可得，即可求得答案． 【详解】解：为等腰直角三角形， ，． ． ， ． ． 在和中 ． ，． ， ． （张） ． 故选：B． 5．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，点在边上，，点在边上，，过点作交于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质； 设，延长到点，使，连接，延长和交于点，根据已知条件证明，即可求解． 【详解】解：延长到点，使，连接，延长和交于点，如图： 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 6．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）小明将等腰直角三角板放置到两堆砖块（砖块堆与地面垂直）之间，如图所示．若每块砖的厚度都为，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的定义；利用即可证明，根据全等三角形的性质得到，，即可得到答案． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ∴，， ， ， 在中，， ， 在与中， ， ∴； ∵，， ， ，， ， 即的长度为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为______． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．作交延长线于点，证明得到，根据得到，即可求出． 【详解】解：如图，作交延长线于点． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：6 8．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________． 【答案】8或2 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，分两种情况讨论，一是点B、点C在直线l同侧，由于点D，于点E，得，而，，由，，推导出，可根据证明，则，，求得；二是点B、点C在直线l异侧，同理可证明，则，，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点B、点C在直线l同侧， ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 如图2，点B、点C在直线l异侧， ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 综上所述，的长为8或2． 故答案为：8或2． 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当___________秒时，与全等． 【答案】6或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题通过证明得到，，则可推出只存在这种情况，则由，再分，，和，四种情况分别用含t的式子表示出的长，然后建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴； ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， ①当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴（不合题意，舍去）； ②当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； ③当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； ④当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 综上所述，t的值为6或或， 故答案为：6或或． 10．（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图所示，在等腰中，，点为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点，若，则与的比值为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，分两种情况讨论，构造全等三角形解决问题． 作，交(或的延长线)于H，利用证明，得，，再证明，得，从而解决问题．注意分两种情况讨论，即点D在线段外和在线段上． 【详解】解：①当点在线段的延长线上时，作，交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴ ∴； 当点在上时，作，交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴ ∴； 故答案为：或． 11．（24-25七年级下·河北张家口·期中）综合题 (1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如图1，已知：在中，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．请猜想线段之间的数量关系为______ ． (2)组员嘉嘉想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且，其中α为任意锐角或钝角，请问（1）中得到的结论是否仍然成立？并说明理由． (3)数学老师赞赏了她们的探索精神，并鼓励她们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点N，，则____ ． 【答案】(1) (2)成立，理由如下： ∵， 在中，， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； (3)5 【分析】（1）依题意得，则，根据得，由此得，进而依据“”判定和全等得，由此即可得出线段之间的数量关系； （2）根据，得，，由此得，进而依据“”判定和全等得，继而得，由此即可得出答案； （3）分别过E、G作的垂线段，垂足分别为H、K，先证，可得，可得，再证，得，据此即可得解． 【详解】（1）解：线段之间的数量关系是：，理由如下： ∵直线l，直线l， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）解：如图，分别过E、G作的垂线段，垂足分别为H、K， 则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：5． 12．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）如图1，在等腰三角形中，，点是射线上的一个动点（不与，重合），连接．以点为顶点，在的右侧作线段，使得，且．连接，． (1)当点在线段上运动时， ①求证：． ②当时，求的度数． (2)当点在线段的延长线上运动时，直接写出与的数量关系． (3)如图2，当点运动到的中点时，的平分线交于点，交于点．若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) ①证明：， 则，即， 在和中， ， ； ② (2) (3) 【分析】（1）①先得出，利用即可证明；②根据等边对等角得到，再利用全等得到，进而求出结果； （2）先证明，得到，再利用等边对等角得到，进而求出； （3）根据等边对等角以及三角形内角和定理以及角平分线定理即可推出，再根据等腰三角形性质得到，最后利用三角形内角和定理得出最后结果． 【详解】（1）①略 ②解：， ； （2）解：如图： ， 则，即， 在和中， ， ， ， ， （3）解：，理由如下： ，， ， 点为的中点， ， ， 平分， ， ， 则为等腰三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，几何图形中角度的求解，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 13．（25-26八年级上·河北衡水·期末）操作探究：已知是等边三角形，点是边上一点． (1)如图1，过点作交于点，图中有_____个等边三角形； (2)如图2，点在上运动(不与重合)，点是延长线上一点，且，过作于E，连接交于，试说明：在点运动的过程中，线段的长是定值(即)； (3)若将条件中“是等边三角形”改为“是等腰三角形，”，如图3所示，（2）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)还成立，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）根据是等边三角形，，得出、是等边三角形即可； （2）作交于，先判定为等边三角形，再根据三线合一，得到，然后判定，得到，进而得到； （3）作于，先判定，得到，，再判定，得到，进而得到（2）中的结论还成立． 【详解】（1）解：如图1，是等边三角形 ， ， ， 为等边三角形， 、是等边三角形，共2个 故答案为：； （2）线段的长是定值，即，理由如下： 如图，作交于， 是等边三角形 ， ， ， 为等边三角形， ， 又， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， （3）（2）中的结论还成立． 理由：如图3，过点作于， 在与中， 在与中， 14．（25-26八年级上·湖南永州·阶段检测）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．    小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________，由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是________； 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，是边的中点，且，若与不平行，试判断与之间的数量关系； 【灵活运用】 （3）如图3，若在（2）的基础上，增加平分，，，求的长． 【答案】（1）；；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质定理，结合三角形的三边关系可解答； （2）延长到E，使，连接，，证明，根据全等三角形的性质及三角形三边关系解答； （3）延长，交于点F，证明得出，，证明得出，则可得出结论． 【详解】解：（1）在和中， ， ， 故答案为：； ，， ， 在中，， ， ∴，， ∴， ， 故答案为：； （2）， 理由如下：延长到，使，连接，， 在和中， ， ， ， ，， ∴垂直平分， ， 在中， ， ； （3）延长，交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中 ， ， ， ，， ． 15．（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，已知等边的边长为，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，点的速度是，点的速度为．当点第一次回到出发点点时，、同时停止运动．设运动时间为． (1)当___________时，运动停止，此时点在___________(填“”或“”)边上； (2)求出点和重合时的位置； (3)当点、均在边上时，是否存在的情况？若存在求出；若不存在，说明理由； (4)当与的某一边垂直时，直接写出的值． 【答案】(1)9， (2)点和点在点处重合 (3)存在， (4)或 【分析】（1）求出第一次回到点的时间，然后算出的运动距离，即可判断； （2）首先设点、运动秒后，、两点重合，表示出，的运动路程， 的运动路程比的运动路程多，列出方程求解即可； （3）首先证出，可得，设出运动时间，表示出，的长，列出方程，可解出未知数的值； （4）分别就和列方程求解可得； 【详解】（1）解：∵等边的边长为， ∴， ∵点的速度为．当点第一次回到出发点点时， ∴第一次回到点的时间为：， 此时运动的距离为，运动到边上， 故答案为，； （2）解：设点、运动秒后，、两点重合， ， 解得：， ∴当、运动6秒时，点追上点，即M、N两点重合，此时运动的距离为，运动到点， 故点和重合时的位置为点； （3）解：存在，时，点、均在边上时，； 当点、在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 由（2）知6秒时、两点重合，恰好在处， 如图， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ，， ， ， ， ， 解得，符合题意． （4）解：当点在上运动时，如图， 若， ， ， ， ， ，即， 解得； 如图，若， 由得， 解得． 当时，两点都在上，此时不存在与的某一边垂直； 综上所述，当为或时， 与的某一边垂直； 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和直角三角形的定义与性质，设出未知数，理清线段之间的数量关系是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $