第十三章 全等三角形（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材冀教版八年级上册

**基本信息** 本卷为八年级上册全等三角形单元能力提升卷，覆盖全等判定、性质及应用，通过实际情境与动态问题设计，提升几何直观与推理能力，适配单元复习巩固与能力拔高。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|全等判定、命题逆命题、实际测距（第4题）|结合河北多地期中真题，注重基础辨析| |填空题|4/12|逆命题反例、角度计算、中线取值范围（第15题）|梯度设计，衔接课后作业与阶段检测| |解答题|8/72|尺规作图依据、动态全等（第10题）、旋转实验探究（第23题）|融入“共顶点等腰三角形旋转”等创新情境，培养推理意识与创新应用能力|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十三章 全等三角形·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D D B C C B D D D C C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（答案不唯一） 14．/80度 15． 16． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1)解：逆命题：如果一条线段是一个三角形的中线，那么这条线段把这个三角形分成两个面积相等的三角形；是真命题； (2)解：原命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角有公共顶点且相等； 逆命题：如果两个角有公共顶点且相等，那么这两个角是对顶角；是假命题． 反例如下：如图：，且共顶点O，但这两个角不是对顶角； 【分析】本题考查了写逆命题，判断命题的真假及举反例等知识，理解这些知识是关键； （1）交换命题的条件与结论便得到其逆命题，判断是真命题即可； （2）先改写成：“如果……，那么……”的形式，再交换命题的条件与结论便得到其逆命题，判断真假，若是假命题，则举出符合命题条件，但不符合命题结论的例子即可． 【详解】（1）略·················3分 （2）略················7分 18．（8分） 【答案】 （1）证明：平分， ， 在和中 ； （2）如图，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，此时测量出线段的长就是池塘两端之间的距离， 理由如下： ，，， ， ． 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，全等三角形的应作，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用证明，即可解答； （2）在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，此时测量出线段的长就是池塘两端之间的距离， 利用证明即可． 【详解】（1）略················3分 （2）略················8分 19．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形三边关系，三角形的外角性质，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等． （1）由全等三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到； （2）由全等三角形的性质推出，由三角形三边关系定理得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴；················4分 （2）解：∵， ∴． ∵， ∴ ∴．················8分 20．（8分） 【答案】(1) 证明：在和中， ；················2分 (2) 证明：由（1）知， 则， 在和中， ， ；················5分 (3) 解：，证明如下： 证明：由（2）知，， 在和中， ， ， 又， ， ．················8分 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）由（1）可知，，那么，然后证明，然后得到对应边相等； （3）由（2）可知，，然后证明，得到，然后证明，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 21．（9分） 【答案】(1) (2) 证明：∵，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． (3)旋转的度数为，此时CN的长为 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，得到，再根据等腰三角形的内角和求解即可． （2）运用证明，即可解答． （3）在上截取，连接，延长交于点F，先推导出，得到，，继而证明，得到，，得到，，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴················3分 （2）略················6分 （3）解：如图，在上截取，连接，延长交于点F， ∵点N为BM的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 由旋转，得， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 答：旋转的度数为，此时CN的长为．················9分 22．（9分） 【答案】(1) (2) 证明：在和中， ， ∴， ∴； (3)8或 【分析】本题主要考查代数式和全等三角形的判定和性质，解一元一次方程，解题的关键是分类讨论思想， （1）根据题题意求得，则； （2）根据题意即可利用证明，则； （3）根据题意得，，，结合（1）可得和，由三点共线得，即可证明，得，利用分类讨论列方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动，设点P的运动时间为.根据题意得： ，则， 故答案为：；················3分 （2）略················6分 （3）解：根据题意得：，，则， 如图， ∵， ∴，， ∵P，Q，C三点共线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当时，， 解得：， 当时，， ∴， 解得：， ∴综上所述，当P、C、Q三点共线时，t的值为8或．················9分 23．（11分） 【答案】(1)；； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ； (3)． 【分析】（）直接根据“”即可求解； ，，得，又，则，然后通过角度和差即可求解； （）同（）证明，然后根据全等三角形的性质即可求证； 设与交于点，由，得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）同（）证明，得，，根据等腰三角形性质可得，又点、、三点共线，则有，得，然后证明，通过平行线间的距离相等可得，即，故有，然后求出即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：；················2分 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：；················4分 （2）略················6分 如图，设与交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴；················8分 （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵点、、三点共线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．················11分 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的判定，平行线间的距离等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 24．（12分） 【答案】（1）①；②；（2）是定值，为；（3）或1 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． （1）①根据垂直的定义得到，求得，根据全等三角形的性质得到结论； ②根据全等三角形的性质得到，求得； （2）如图2，过点E作，交的延长线于点N，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形的面积公式得到结论； （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于M，过点E作，交的延长线于N，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，，求得，如图4，点D在线段上，过点E作，同理可得到，，，求得，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，················2分 ②∵，， ∴， ∵， ∴，················4分 （2）如图2，过点E作，交的延长线于点N， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴的面积是定值，这个值为；················8分 （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于M，过点E作，交的延长线于N， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图4，点D在线段上，过点E作， 同理可得：，，， ∴，， ∴，， ∴， 综上，或1．················12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十三章 全等三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，下列三角形中是全等三角形的一组是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，根据三角形的边、角条件判断是否满足全等判定规则是解题关键． 逐一分析每组三角形的边、角，对照全等判定定理判断是否全等． 【详解】解： A．的两边是和，夹角为，的两边为和，夹角为，两边对应不相等，不全等； B．的两边是和，夹角为，的两边为和，由三角形内角和定理得这两边的夹角为，满足的判定规则，因此和全等； C．的两边为和，的两边为和，边不对应相等，不全等； D．的两边为和，夹角为，的两边为和，但不是两边的夹角，不全等． 故选：B． 2．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，嘉嘉用四根相同的小棒搭了一个正方形，添加一根小棒后，可以把正方形分成两个全等的图形，并且两个图形都具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，三角形具有稳定性、四边形具有不稳定性，添加的小棒把正方形分成的两个图形如果都是三角形，则分成的两个图形都具有稳定性． 【详解】解：A选项：添加的小棒把正方形分成了两个矩形，四边形不具有稳定性，故A选项不符合题意； B选项：添加的小棒把正方形分成了一个四边形和一个三角形，四边形不具有稳定性，故B选项不符合题意； C选项：添加的小棒把正方形分成了两个四边形，四边形不具有稳定性，故C选项不符合题意； D选项：添加的小棒把正方形分成了两个三角形，三角形具有稳定性，故D选项符合题意． 故选：D． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期中）下列关于命题“同位角相等”的说法，正确的是（   ） A．原命题、逆命题都是真命题 B．原命题为假命题，逆命题为真命题 C．原命题为真命题，逆命题为假命题 D．原命题、逆命题都是假命题 【答案】D 【分析】本题主要考查命题真假判断，逆命题的书写，熟练掌握平行线性质是解题关键． 写出原命题和逆命题，然后根据平行线性质、对顶角进行判断即可． 【详解】解：原命题：同位角相等是假命题，只有两直线平行，才成立； 逆命题：相等的角是同位角，是假命题，有可能是对顶角， ∴ 原命题和逆命题都是假命题， 故选：D． 4．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，用一种简易的测距工具测量地而上点与点的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点处立垂直于地面的杆，并将顶端的活动杆对准点（点在射线上），固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空地处，标记活动杆的延长线与地面的交点，测得点，之间的距离为，则点与点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题由题意可得：，，，然后证明，然后即可求解； 【详解】解：由题意可得：，，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴点与点的距离为； 故选：B； 5．（25-26八年级上·河南濮阳·阶段检测）下面是嘉嘉和淇淇各自作的尺规作图痕迹，下列说法正确的是（    ） 嘉嘉： AI   淇淇：     A．嘉嘉的作法正确，依据是AAS B．嘉嘉的作法不正确 C．淇淇的作法正确，依据是SAS D．淇淇的作法不正确 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定定理以及尺规作图的依据，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定． 解题的关键在于分析嘉嘉和淇淇的尺规作图痕迹，判断其作图过程所依据的全等三角形判定条件． 【详解】解：嘉嘉的作图痕迹：先确定了和，使， 然后通过作弧确定． 即先作，再作、． 依据是SSS，而非 AAS，因此嘉嘉的作法表述不正确。 淇淇的作图痕迹：先确定，再作，然后确定使， 其本质是，，， 依据是SAS，作法正确， 综上，嘉嘉的作法表述错误，淇淇的作法正确且依据是 SAS． 故选：C． 6．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，，，点在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及三角形全等的性质、三角形外角性质，熟记三角形全等的性质、三角形外角性质是解决问题的关键． 由得到，再由三角形外角性质得到即可得到答案． 【详解】解：， ， 是的一个外角， ， 故选：C． 7．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，已知，点在线段上，，，下列关于结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：是等腰直角三角形； 结论Ⅱ：； 结论Ⅲ：连接，阴影部分的面积为． A．结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ都对 B．只有结论Ⅰ和Ⅱ对 C．只有结论Ⅱ和Ⅲ对 D．只有结论Ⅰ和Ⅲ对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的面积，等腰直角三角形．根据全等三角形的性质可得，，，从而可得是等腰直角三角形；然后利用对顶角相等可得，再利用三角形的内角和定理可得，最后根据三角形的面积公式可得的面积，再根据图形的面积和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图： ， ，，， ， 是等腰直角三角形； ，，， ， ； 的面积， 阴影部分的面积的面积的面积的面积 的面积 ； 上列关于结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的判断正确的是Ⅰ和Ⅱ， 故选：B． 8．（25-26八年级上·河北邢台·期末），按照如图所示方式拼图时边，重合，另一顶点不重合，若，，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C．四边形 为轴对称图形 D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，轴对称图形的识别，三角形内角和定理的应用；根据全等三角形的性质可得，四边形 为轴对称图形，根据三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】解：∵，，重合， ∴，，故A选项正确，不符合题意； ∴四边形 为轴对称图形，对称轴为直线，故C选项正确，不符合题意； ∵ ∴ ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故D选项错误，符合题意， 故选：D． 9．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在四边形中，，，垂足分别是，，．求证：．以下是乱序的证明过程： ； ； ，； 在和中，； ． 证明步骤正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由，，得，然后通过“”证明，最后由全等三角形的性质即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：，， ， 在和中，； ； ， ∴证明步骤正确的顺序是， 故选：． 10．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．分情况讨论点在延长线上或点在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； 综上，或， 故选：D． 11．（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，，，点、分别在、上，，，，，则（　　） A．34 B．42 C．46 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，过点D作于点F，先根据等腰三角形三线合一的性质得，，再根据角平分线的性质得，然后证明、，得、，再根据，求得，由得，最后由可得答案． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵在中，，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 12．（24-25八年级上·四川南充·阶段检测）如图，已知和都是等边三角形，且A，C，E三点共线．与交于点O，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤，其中正确结论的是（     ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】由等边三角形的性质，证，即可判断①结论；根据全等三角形的性质，得到，结合对顶角相等可推出，然后根据三角形外角的性质，即可判断②结论；证明，即可判断③结论；根据全等三角形的性质，结合等边三角形的判定，即可判断④结论：根据等边三角形的性质，得出，即可判断⑤结论． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①结论正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 故②结论错误； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故③结论正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 故④结论正确； ∴， ∴， ∴， 故⑤结论正确； 即正确结论的是①③④⑤， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形判定和的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）命题“若，则”的逆命题是假命题，请你举出一个反例：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了写出命题的逆命题，举反例等知识，原命题的逆命题是“若，则”，该命题为假命题，当a与b互为相反数时，成立，但，举反例需满足且． 【详解】解：原命题“若，则”的逆命题是“若，则”．逆命题是假命题， 因为当a与b互为相反数时，成立，但． 例如，取，，则，，即，但． 故反例为：当时，但． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，的延长线交于点F，交于点G．若，，则的度数为______． 【答案】/80度 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，由可得，进而求出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ，，，， ， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）如图，，，是边上的中线，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，延长到E，使，由“”可证和全等，可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解． 【详解】解：如图，延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，、的平分线交于点，延长交于点，点、分别在、上，连接，，其中，． （1）若，则的度数为_________，的度数为_________； （2）若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理可求得，根据角平分线定义可求得，根据三角形内角和定理可得，根据，可求得，根据计算即可得到，根据计算可得； （2）如图，在上截取，连接，可证，，得到，，计算即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）如图，在上截取，连接， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级上·河北邯郸·阶段检测）写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． (1)如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形，那么这条线段是这个三角形的中线； (2)对顶角是有公共顶点且相等的角． 【答案】(1)解：逆命题：如果一条线段是一个三角形的中线，那么这条线段把这个三角形分成两个面积相等的三角形；是真命题； (2)解：原命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角有公共顶点且相等； 逆命题：如果两个角有公共顶点且相等，那么这两个角是对顶角；是假命题． 反例如下：如图：，且共顶点O，但这两个角不是对顶角； 【分析】本题考查了写逆命题，判断命题的真假及举反例等知识，理解这些知识是关键； （1）交换命题的条件与结论便得到其逆命题，判断是真命题即可； （2）先改写成：“如果……，那么……”的形式，再交换命题的条件与结论便得到其逆命题，判断真假，若是假命题，则举出符合命题条件，但不符合命题结论的例子即可． 【详解】（1）略·················3分 （2）略················7分 18．（8分）（24-25八年级上·河北石家庄·期中）情境 如图1，为了测量池塘两端，之间的距离，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，，再在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，，使平分，(点在同一平面内)，此时测量出线段的长便是池塘两端，之间的距离． 论证 （1）请你证明“情境”中的结论正确； 探究   （2）请你再设计一种测量池塘两端，之间距离的方案，并说明理由(要求写出方案并在图2中画出图形，可以借助刻度尺或圆规)． 【答案】 （1）证明：平分， ， 在和中 ； （2）如图，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，此时测量出线段的长就是池塘两端之间的距离， 理由如下： ，，， ， ． 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，全等三角形的应作，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用证明，即可解答； （2）在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，此时测量出线段的长就是池塘两端之间的距离， 利用证明即可． 【详解】（1）略················3分 （2）略················8分 19．（8分）（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，已知，且点F，B，E，C在同一条直线上． (1)连接．若，求的度数； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形三边关系，三角形的外角性质，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等． （1）由全等三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到； （2）由全等三角形的性质推出，由三角形三边关系定理得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴；················4分 （2）解：∵， ∴． ∵， ∴ ∴．················8分 20．（8分）（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图1，若，． (1)求证：； (2)如图2，若点为的延长线上一点，连接，．求证：； (3)如图3，连接交于点，试探究与的位置关系并证明． 【答案】(1) 证明：在和中， ；················2分 (2) 证明：由（1）知， 则， 在和中， ， ；················5分 (3) 解：，证明如下： 证明：由（2）知，， 在和中， ， ， 又， ， ．················8分 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）由（1）可知，，那么，然后证明，然后得到对应边相等； （3）由（2）可知，，然后证明，得到，然后证明，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 21．（9分）（25-26八年级上·河北唐山·期末）在中，于点D，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在DC上截取，连接BE，求证：； (3)如图3，若，，将CA绕点C顺时针旋转得到，连接BM交CD于点N，当点N为的中点时，求旋转的度数，并直接写出此时的长． 【答案】(1) (2) 证明：∵，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． (3)旋转的度数为，此时CN的长为 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，得到，再根据等腰三角形的内角和求解即可． （2）运用证明，即可解答． （3）在上截取，连接，延长交于点F，先推导出，得到，，继而证明，得到，，得到，，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴················3分 （2）略················6分 （3）解：如图，在上截取，连接，延长交于点F， ∵点N为BM的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 由旋转，得， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 答：旋转的度数为，此时CN的长为．················9分 22．（9分）（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点同时从点出发，沿方向以的速度运动，当点到达点时，P、Q两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当点在运动时，_____；（用含的代数式表示） (2)求证： (3)当，，三点共线时，求t的值． 【答案】(1) (2) 证明：在和中， ， ∴， ∴； (3)8或 【分析】本题主要考查代数式和全等三角形的判定和性质，解一元一次方程，解题的关键是分类讨论思想， （1）根据题题意求得，则； （2）根据题意即可利用证明，则； （3）根据题意得，，，结合（1）可得和，由三点共线得，即可证明，得，利用分类讨论列方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动，设点P的运动时间为.根据题意得： ，则， 故答案为：；················3分 （2）略················6分 （3）解：根据题意得：，，则， 如图， ∵， ∴，， ∵P，Q，C三点共线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当时，， 解得：， 当时，， ∴， 解得：， ∴综上所述，当P、C、Q三点共线时，t的值为8或．················9分 23．（11分）（25-26八年级上·海南儋州·期中）数学兴趣小组在探究全等三角形性质时，开展“共顶点等腰三角形旋转”实验．同学们将两个有公共顶点的等腰和等腰绕点旋转，观察旋转中线段、角度及面积的变化规律．请结合操作过程完成以下问题： (1)如图，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，使点落在边上，且三点共线，连接． 与全等的三角形是_____； 的度数为_____； (2)如图2，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，连接，交点为． 证明：； 求的度数； (3)如图，在（）的操作中，同学将绕旋转，使点、、三点共线，延长交于点，连接，通过测量得到此时，，请直接写出线段与面积之间的数量关系． 【答案】(1)；； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ； (3)． 【分析】（）直接根据“”即可求解； ，，得，又，则，然后通过角度和差即可求解； （）同（）证明，然后根据全等三角形的性质即可求证； 设与交于点，由，得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）同（）证明，得，，根据等腰三角形性质可得，又点、、三点共线，则有，得，然后证明，通过平行线间的距离相等可得，即，故有，然后求出即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：；················2分 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：；················4分 （2）略················6分 如图，设与交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴；················8分 （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵点、、三点共线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．················11分 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的判定，平行线间的距离等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 24．（12分）（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图1和图2，在中，，，D为直线上的动点，连接，过点A在直线的右侧作，且． 【解题填空】（1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于点F，（）． ①图1中与相等的角是 ； ②用含m的式子表示线段的长度 ； 【类比探究】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接，试判断的面积是否为定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由； 【拓展应用】（3）当点D在射线上时，连接交直线于点M．若，请直接写出的值．      【答案】（1）①；②；（2）是定值，为；（3）或1 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． （1）①根据垂直的定义得到，求得，根据全等三角形的性质得到结论； ②根据全等三角形的性质得到，求得； （2）如图2，过点E作，交的延长线于点N，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形的面积公式得到结论； （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于M，过点E作，交的延长线于N，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，，求得，如图4，点D在线段上，过点E作，同理可得到，，，求得，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，················2分 ②∵，， ∴， ∵， ∴，················4分 （2）如图2，过点E作，交的延长线于点N， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴的面积是定值，这个值为；················8分 （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于M，过点E作，交的延长线于N， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图4，点D在线段上，过点E作， 同理可得：，，， ∴，， ∴，， ∴， 综上，或1．················12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十三章 全等三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，下列三角形中是全等三角形的一组是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，嘉嘉用四根相同的小棒搭了一个正方形，添加一根小棒后，可以把正方形分成两个全等的图形，并且两个图形都具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期中）下列关于命题“同位角相等”的说法，正确的是（   ） A．原命题、逆命题都是真命题 B．原命题为假命题，逆命题为真命题 C．原命题为真命题，逆命题为假命题 D．原命题、逆命题都是假命题 4．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，用一种简易的测距工具测量地而上点与点的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点处立垂直于地面的杆，并将顶端的活动杆对准点（点在射线上），固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空地处，标记活动杆的延长线与地面的交点，测得点，之间的距离为，则点与点的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河南濮阳·阶段检测）下面是嘉嘉和淇淇各自作的尺规作图痕迹，下列说法正确的是（    ） 嘉嘉： AI   淇淇：     A．嘉嘉的作法正确，依据是AAS B．嘉嘉的作法不正确 C．淇淇的作法正确，依据是SAS D．淇淇的作法不正确 6．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，，，点在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，已知，点在线段上，，，下列关于结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：是等腰直角三角形； 结论Ⅱ：； 结论Ⅲ：连接，阴影部分的面积为． A．结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ都对 B．只有结论Ⅰ和Ⅱ对 C．只有结论Ⅱ和Ⅲ对 D．只有结论Ⅰ和Ⅲ对 8．（25-26八年级上·河北邢台·期末），按照如图所示方式拼图时边，重合，另一顶点不重合，若，，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C．四边形 为轴对称图形 D． 9．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在四边形中，，，垂足分别是，，．求证：．以下是乱序的证明过程： ； ； ，； 在和中，； ． 证明步骤正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 11．（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，，，点、分别在、上，，，，，则（　　） A．34 B．42 C．46 D．48 12．（24-25八年级上·四川南充·阶段检测）如图，已知和都是等边三角形，且A，C，E三点共线．与交于点O，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤，其中正确结论的是（     ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①②④⑤ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）命题“若，则”的逆命题是假命题，请你举出一个反例：______． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，的延长线交于点F，交于点G．若，，则的度数为______． 15．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）如图，，，是边上的中线，则的取值范围是______． 16．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，、的平分线交于点，延长交于点，点、分别在、上，连接，，其中，． （1）若，则的度数为_________，的度数为_________； （2）若，则的度数为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级上·河北邯郸·阶段检测）写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． (1)如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形，那么这条线段是这个三角形的中线； (2)对顶角是有公共顶点且相等的角． 18．（8分）（24-25八年级上·河北石家庄·期中）情境 如图1，为了测量池塘两端，之间的距离，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，，再在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，，使平分，(点在同一平面内)，此时测量出线段的长便是池塘两端，之间的距离． 论证 （1）请你证明“情境”中的结论正确； 探究   （2）请你再设计一种测量池塘两端，之间距离的方案，并说明理由(要求写出方案并在图2中画出图形，可以借助刻度尺或圆规)． 19．（8分）（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，已知，且点F，B，E，C在同一条直线上． (1)连接．若，求的度数； (2)若，求长度的取值范围． 20．（8分）（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图1，若，． (1)求证：； (2)如图2，若点为的延长线上一点，连接，．求证：； (3)如图3，连接交于点，试探究与的位置关系并证明． 21．（9分）（25-26八年级上·河北唐山·期末）在中，于点D，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在DC上截取，连接BE，求证：； (3)如图3，若，，将CA绕点C顺时针旋转得到，连接BM交CD于点N，当点N为的中点时，求旋转的度数，并直接写出此时的长． 22．（9分）（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点同时从点出发，沿方向以的速度运动，当点到达点时，P、Q两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当点在运动时，_____；（用含的代数式表示） (2)求证： (3)当，，三点共线时，求t的值． 23．（11分）（25-26八年级上·海南儋州·期中）数学兴趣小组在探究全等三角形性质时，开展“共顶点等腰三角形旋转”实验．同学们将两个有公共顶点的等腰和等腰绕点旋转，观察旋转中线段、角度及面积的变化规律．请结合操作过程完成以下问题： (1)如图，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，使点落在边上，且三点共线，连接． 与全等的三角形是_____； 的度数为_____； (2)如图2，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，连接，交点为． 证明：； 求的度数； (3)如图，在（）的操作中，同学将绕旋转，使点、、三点共线，延长交于点，连接，通过测量得到此时，，请直接写出线段与面积之间的数量关系． 24．（12分）（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图1和图2，在中，，，D为直线上的动点，连接，过点A在直线的右侧作，且． 【解题填空】（1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于点F，（）． ①图1中与相等的角是 ； ②用含m的式子表示线段的长度 ； 【类比探究】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接，试判断的面积是否为定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由； 【拓展应用】（3）当点D在射线上时，连接交直线于点M．若，请直接写出的值．      1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十三章 全等三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，下列三角形中是全等三角形的一组是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，嘉嘉用四根相同的小棒搭了一个正方形，添加一根小棒后，可以把正方形分成两个全等的图形，并且两个图形都具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期中）下列关于命题“同位角相等”的说法，正确的是（   ） A．原命题、逆命题都是真命题 B．原命题为假命题，逆命题为真命题 C．原命题为真命题，逆命题为假命题 D．原命题、逆命题都是假命题 4．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，用一种简易的测距工具测量地而上点与点的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点处立垂直于地面的杆，并将顶端的活动杆对准点（点在射线上），固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空地处，标记活动杆的延长线与地面的交点，测得点，之间的距离为，则点与点的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河南濮阳·阶段检测）下面是嘉嘉和淇淇各自作的尺规作图痕迹，下列说法正确的是（    ） 嘉嘉： AI   淇淇：     A．嘉嘉的作法正确，依据是AAS B．嘉嘉的作法不正确 C．淇淇的作法正确，依据是SAS D．淇淇的作法不正确 6．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，，，点在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，已知，点在线段上，，，下列关于结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：是等腰直角三角形； 结论Ⅱ：； 结论Ⅲ：连接，阴影部分的面积为． A．结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ都对 B．只有结论Ⅰ和Ⅱ对 C．只有结论Ⅱ和Ⅲ对 D．只有结论Ⅰ和Ⅲ对 8．（25-26八年级上·河北邢台·期末），按照如图所示方式拼图时边，重合，另一顶点不重合，若，，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C．四边形 为轴对称图形 D． 9．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在四边形中，，，垂足分别是，，．求证：．以下是乱序的证明过程： ； ； ，； 在和中，； ． 证明步骤正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 11．（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，，，点、分别在、上，，，，，则（　　） A．34 B．42 C．46 D．48 12．（24-25八年级上·四川南充·阶段检测）如图，已知和都是等边三角形，且A，C，E三点共线．与交于点O，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤，其中正确结论的是（     ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①②④⑤ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）命题“若，则”的逆命题是假命题，请你举出一个反例：______． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，的延长线交于点F，交于点G．若，，则的度数为______． 15．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）如图，，，是边上的中线，则的取值范围是______． 16．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，、的平分线交于点，延长交于点，点、分别在、上，连接，，其中，． （1）若，则的度数为_________，的度数为_________； （2）若，则的度数为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级上·河北邯郸·阶段检测）写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． (1)如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形，那么这条线段是这个三角形的中线； (2)对顶角是有公共顶点且相等的角． 18．（8分）（24-25八年级上·河北石家庄·期中）情境 如图1，为了测量池塘两端，之间的距离，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，，再在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，，使平分，(点在同一平面内)，此时测量出线段的长便是池塘两端，之间的距离． 论证 （1）请你证明“情境”中的结论正确； 探究   （2）请你再设计一种测量池塘两端，之间距离的方案，并说明理由(要求写出方案并在图2中画出图形，可以借助刻度尺或圆规)． 19．（8分）（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，已知，且点F，B，E，C在同一条直线上． (1)连接．若，求的度数； (2)若，求长度的取值范围． 20．（8分）（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图1，若，． (1)求证：； (2)如图2，若点为的延长线上一点，连接，．求证：； (3)如图3，连接交于点，试探究与的位置关系并证明． 21．（9分）（25-26八年级上·河北唐山·期末）在中，于点D，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在DC上截取，连接BE，求证：； (3)如图3，若，，将CA绕点C顺时针旋转得到，连接BM交CD于点N，当点N为的中点时，求旋转的度数，并直接写出此时的长． 22．（9分）（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点同时从点出发，沿方向以的速度运动，当点到达点时，P、Q两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当点在运动时，_____；（用含的代数式表示） (2)求证： (3)当，，三点共线时，求t的值． 23．（11分）（25-26八年级上·海南儋州·期中）数学兴趣小组在探究全等三角形性质时，开展“共顶点等腰三角形旋转”实验．同学们将两个有公共顶点的等腰和等腰绕点旋转，观察旋转中线段、角度及面积的变化规律．请结合操作过程完成以下问题： (1)如图，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，使点落在边上，且三点共线，连接． 与全等的三角形是_____； 的度数为_____； (2)如图2，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，连接，交点为． 证明：； 求的度数； (3)如图，在（）的操作中，同学将绕旋转，使点、、三点共线，延长交于点，连接，通过测量得到此时，，请直接写出线段与面积之间的数量关系． 24．（12分）（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图1和图2，在中，，，D为直线上的动点，连接，过点A在直线的右侧作，且． 【解题填空】（1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于点F，（）． ①图1中与相等的角是 ； ②用含m的式子表示线段的长度 ； 【类比探究】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接，试判断的面积是否为定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由； 【拓展应用】（3）当点D在射线上时，连接交直线于点M．若，请直接写出的值．      试题 第3页（共10页） 试题 第4页（共10页） 试题 第1页（共10页） 试题 第2页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $