第十三章 全等三角形 单元复习题 2025--2026学年冀教版八年级数学上册

第十三章 全等三角形 一、选择题 1．下列命题的逆命题为真命题的是（　　） A．等边三角形是锐角三角形 B．如果两个角是直角，那么它们相等 C．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 D．对顶角相等 2．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（　　） A． B． C．0 D． 4．如图，，若，，则等于（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 5．自行车的支架一般都会采用如图△ABC的设计，这种方法应用的几何原理是 (　　) A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．三角形的稳定性 D．两点之间线段最短 6．如图，∠1=∠2，如果再添加一个条件，不一定能使的是（　　） A．AB=AC B．BD=CD C．∠B=∠C D．∠BAD=∠DAC 7．如图，有一个简易平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点处，AB和AD沿着角的两边张开，沿对角线AC画线AE，AE就是∠PAQ的平分线.这个平分角的仪器的制作原理是 (　　) A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS 8．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　） A． B． C． D．不能确定 9．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（　　） A．50 B．62 C．65 D．68 10．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（　　） A．150° B．180° C．210° D．225° 11．如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（　　） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 12．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是　 　命题 填“真”或“假” ． 14．如图，若是的高线，∠BE=∠，，∠，则∠　 　. 15．如图，已知AD=BC，还需要一个条件　 　，根据“SAS”可直接证明出△ABC≌△BAD. 16．如图，AB⊥CD，且AB=CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为　 　. 三、解答题 17．下列定理中，哪些有逆定理?如果有，说出它的逆定理。 （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）内错角相等，两直线平行； （3）等边三角形的三个角都是60°； （4）对顶角相等。 18．如图，已知． （1）若，求的长； （2）若，求的度数． 19．如图，C是AB的中点，AD=CE，CD=BE，求证△ACD≌△CBE． 20．已知：如图，在中，平分在上截取，连结若，． （1）求证：≌； （2）求的周长． 21．如图，在△ABC中，，，垂足为，，垂足为，与相交于点． （1）试判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）若，试猜想线段与有何数量关系，并说明理由． 22．已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且． （1）求证：； （2）已知，，求的长度． 23．已知：如图，在中，，D、E分别为、上的点，且、交于点F．若、为的角平分线． （1）若，的度数为______． （2）请用含α的代数式表示． （3）若，，，求的长． 24． （1）模型的发现： 如图，在中，，，直线经过点，且，两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为点、问：、和的数量关系． （2）模型的迁移：位置的改变 如图，在的条件下，若、两点在直线的异侧，请说明、和的数量关系，并证明． 答案 1．C 解：A、逆命题：锐角三角形是等边三角形，假命题（反例：锐角等腰三角形非等边），A错误； B、逆命题：相等的角是直角，假命题（反例：角相等非直角），B错误； C、逆命题：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，真命题（垂直平分线判定定理），C正确； D、逆命题：相等的角是对顶角，假命题（反例：等腰三角形底角相等，非对顶角），D错误； 故答案为：C. 2．B 解：图形分割成两个全等的图形，如图所示： 故答案为：B． 3．C 解：由全等的性质知∠1=180°-25°-115°=40°. 故答案为：C. 4．B 解：∵， ∴∠ACB=∠BED=90°， ∵， ∴BC=DE=2，DE=AC=5， ∴CE=BE-BC=5-2=3， 故答案为：B. 5．C 解：这种方法应用的几何原理是：三角形的稳定性， 故选：C． 6．A 解：现有条件 ∠1=∠2， AD=AD 对A选项，AB=AC，边边角，不一定能使，故A符合题意； 对B选项，BD=CD，则(SAS)，故B不符合题意； 对C选项， ∠B=∠C ，则(AAS)，故C不符合题意； 对B选项， ∠BAD=∠DAC ，则(ASA)，故D符合题意； 故答案为：A. 7．D 解：在 和 中， 即AE是 的平分线； 故答案为：D . 8．B 过P作PF∥BC交AC于F.如图所示： ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF， ∵PE⊥AC， ∴AE=EF， ∵AP=PF，AP=CQ， ∴PF=CQ. ∵在△PFD和△QCD中， ∴△PFD≌△QCD(AAS)， ∴FD=CD， ∵AE=EF， ∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DE= AC， ∵AC=1， ∴DE= . 故答案为：B. 9．A 在 和 中， 同理可得 故答案为：A． 10．B 如图， 由题意得：AB=ED，BC=DC，∠D=∠B=90°， ∴△ABC≌△EDC， ∴∠BAC=∠DEC， ∠1+∠2=180°． 故答案为：B 11．A 解：A、根据作图知，，，，这里，，及夹边来作，所以依据为，故选项正确，符合题意； B、弧是以点B为圆心，长为半径画的，故选项错误，不符合题意； C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误，不符合题意； D、弧是以长为半径画的，故选项错误，不符合题意． 故答案为：A． 12．A 解：， ， ， ∴， ， 又， ， ，， ． 故答案为：A． 13．真 解：逆命题为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形． 因为符合三角形内角和定理，故是真命题． 故答案为：真 14．60° 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15．∠DAB=∠CBA 解：需添加的条件是∠DAB=∠CBA； ∵AD=BC，∠DAB=∠CBA，AB=BA， ∴△ABC≌△BAD(SAS) 故答案为：∠DAB=∠CBA . 16．a+b-c 解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠D＝90°， ∴∠A＝∠C， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（AAS）， ∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b， ∵EF＝c， ∴AD＝AF＋DF＝a＋（b−c）＝a＋b−c. 故答案为：a＋b−c. 17．（1）解：等腰三角形的两个底角相等的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形“，逆命题是真命题，有逆定理 （2）解：内错角相等，两直线平行的逆命题是“两直线平行，内错角相等”，逆命题是真命题，有逆定理 （3）解： 等边三角形的三个角都是60° 的逆命题是“如果一个三角形的三个角都是 60°，那么这个三角形是等边三角形“，逆命题是真命题，有逆定理 （4）解：对顶角相等的逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题，没有逆定理 18．（1）解：∵，根据全等三角形的性质（对应边相等），∴， ∵， ∴， ∴， 故BC的长为10. （2）解：∵，根据全等三角形的性质（对应边相等），∴， ∵，在中，根据三角形内角和为 ∴， ∴． 故. 19．解：∵C是AB的中点 ∴AC=BC 再△ACD和△CBE中 ∴△ACD≌△CBE（SSS） 20．（1）证明：平分， ， 在和中， ， ≌． （2）解：，，， ， ， 的周长是． 21．（1）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ （2）解：，理由： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（）知，， ∴ 22．（1）证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 23．（1）解：∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠BCA)=50° ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴ ∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠BCA)=90°-， ∴； （3）解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵ ∴由（2）得， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴． 24．（1）， 证明：理由如下：，， ， 在和中， ， ≌， ，， ； （2）， 证明如下：， ， 直线， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $