2.2.3 有理数的除法运算 讲义 2026-2027学年人教数学七年级上册

本讲义聚焦有理数除法运算核心知识点，以倒数概念（乘积为1的两个数，求法为交换分子分母，0无倒数）为基础，衔接除法法则（除以非0数等于乘倒数，同号得正异号得负），延伸至分数化简（分子除以分母）和乘除混合运算（从左到右转化为乘法），构建从基础到应用的学习支架。 资料亮点在于知识点总结配口诀（如“倒数很好找，分子分母倒”）助力抽象能力培养，练习题分基础（倒数、除法法则直接运用）和能力（符号法则逆向、实际问题）层次提升运算能力，结合冷库降温问题渗透应用意识。课中辅助教师系统授课，课后解析助学生查漏补缺。

2.2.3 有理数的除法运算学习目标、知识点总结与练习题设计（含详情解析） （建议作答时间：45分钟） 第一部分 学习目标与知识点总结 学习目标 1. 理解倒数概念，能熟练求一个有理数的倒数； 2. 掌握有理数除法法则，能将除法转化为乘法进行计算； 3. 能运用除法法则化简分数； 4. 掌握有理数乘除混合运算的顺序和方法； 5. 能运用有理数除法解决实际问题。 知识点一：倒数 乘积为  的两个数互为倒数。 即：若 ，则  与  互为倒数。 · 正数的倒数是正数； · 负数的倒数是负数； ·  没有倒数（任何数与  相乘都得 ，不可能得 ）。 求法： 求一个数的倒数，交换分子和分母的位置（整数可看作分母为  的分数）。 口诀： 倒数很好找，分子分母倒；符号不改变，零蛋倒不了。 知识点二：有理数除法法则 除以一个不等于  的数，等于乘这个数的倒数。 用字母表示： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。  除以任何一个不等于  的数，都得 。 口诀： 除号变乘号，除数取倒数；符号法则同乘法，同号得正异号负。 知识点三：分数的化简 利用除法法则，可以将分数  理解为 。 化简方法： · （分子为负） · （分母为负） · （分子分母同负） 注意： 分数的符号可以放在分子、分母或分数线前，通常写在分数线前。 知识点四：有理数的乘除混合运算 运算顺序： 乘除混合运算，按从左到右的顺序依次计算。 转化方法： 先将除法转化为乘法，再按乘法法则计算。 符号法则： 与乘法相同，负因数的个数为奇数时积为负，偶数时积为正。 口诀： 乘除混合不用慌，除号统统变乘号；取倒之后算乘法，从左到右别乱套。 第二部分 练习题巩固（过基础） 知识点一：倒数的概念与求法 1. [2025·广东广州·越秀区期末]（选择题）  的倒数是（ ） A.   B.   C.   D.  2. [2025·四川成都·锦江区期中]（选择题） 下列各组数中，互为倒数的是（ ） A.  和   B.  和   C.  和   D.  和  3. [2026·湖北武汉·江汉区月考]（选择题） 下列说法正确的是（ ） A. 任何数都有倒数   B. 一个数的倒数一定比它本身小 C.  没有倒数   D. 互为倒数的两个数一定异号 4. [2025·江苏南京·秦淮区期末]（填空题）  的倒数是 ________， 的倒数是 ________。 5. [2026·浙江杭州·滨江区期中]（填空题） 若  的倒数是 ，则 。 6. [2025·山东济南·历城区期末]（解答题） 写出下列各数的倒数，并说明理由： （1）；  （2）；  （3）；  （4）。 （1）倒数:_________ 理由:____________________________________________ （2）倒数:_________ 理由:____________________________________________ （3）倒数:_________ 理由:____________________________________________ （4）倒数:_________ 理由:____________________________________________ 知识点二：有理数除法法则的直接运用 7. [2026·陕西西安·新城区期中]（选择题） 计算  的结果是（ ） A.   B.   C.   D.  8. [2025·湖南长沙·雨花区期末]（选择题） 下列把除法转换为乘法的过程中，正确的是（ ） A.    B.  C.    D.  9. [2026·福建福州·晋安区模拟]（选择题） 下列计算正确的是（ ） A.    B.    C.    D.  10. [2025·安徽合肥·瑶海区期中]（填空题） 计算：。 11. [2026·辽宁沈阳·皇姑区期末]（填空题） 计算：。 12. [2025·江西南昌·青山湖区期末]（解答题） 计算下列各题，并写出每一步的依据： （1）；   （2）；    （3）；   （4）。 知识点三：利用除法法则化简分数 13. [2026·广东深圳·罗湖区期末]（选择题） 化简  的结果是（ ） A.   B.   C.   D.  14. [2025·河南郑州·管城区期中]（选择题） 下列化简正确的是（ ） A.   B.   C.   D.  15. [2026·山东青岛·胶州市期末]（选择题） 分数  化简后的结果是（ ） A.   B.   C.   D.  16. [2025·吉林长春·二道区期末]（填空题） 化简：，。 17. [2026·贵州贵阳·云岩区期中]（填空题） 若 ，则 。 18. [2025·广西南宁·西乡塘区期末]（解答题） 化简下列分数： （1）；   （2）；   （3）；   （4）。 第三部分 过能力（ 选 +  填 +  解答） 1. [2025·北京·西城区期末]（选择题） 两个非零有理数相除，若商为正数，则这两个数（ ） A. 都是正数  B. 都是负数  C. 符号相同  D. 符号相反 2. [2026·上海·浦东新区期中]（选择题） 若 ，则下列说法正确的是 （ ） A. ，  B. ，   C. ，  D.  和  互为相反数 3. [2025·天津·和平区期末]（选择题） 在 ，，， 中，任取两个数相除，所得商最小的是（ ） A.   B.   C.   D.  4. [2026·重庆·沙坪坝区期末]（选择题） 已知 ，，且 ，则  的值为（ ） A.  或   B.  或   C.  或   D.  或  5. [2025·江苏苏州·工业园区期中]（选择题） 在算式  中，括号内应填的数是（ ） A.   B.   C.   D.  6. [2026·广东佛山·南海区期末]（选择题） 有理数 、 的关系如下：，且 ，则下列结论正确的是（ ） A.   B.   C.   D. 无法确定 7. [2025·浙江宁波·海曙区模拟]（选择题） 下列计算中，错误的是（ ） A.    B.    C.    D.  8. [2026·四川成都·高新区期中]（选择题） 若  的倒数是 ， 的相反数是 ，则  的值为（ ） A.   B.   C.   D.  9. [2025·湖北武汉·武昌区期末]（填空题） 计算：。 10. [2026·湖南长沙·开福区期中]（填空题） 在 ，，， 四个数中，任意两个数相除，所得的商中最大的是 ________。 11. [2025·福建厦门·思明区期末]（填空题） 若 ，则 ，。 12. [2026·山东济南·槐荫区期中]（填空题） 计算：。 13. [2025·陕西西安·雁塔区期末]（填空题） 若 ， 的倒数为 ，则  的所有可能值为 ________。 14. [2026·广东广州·天河区期末]（解答题） 计算下列各题： （1）； （2）； （3）。 15. [2025·江苏南京·建邺区期末]（解答题） 阅读材料：在有理数除法中，除以一个数等于乘这个数的倒数。即 （）。 〖运用〗 （1）求  的倒数和相反数； （2）若  的倒数是 ， 的相反数是 ，求  的值； （3）已知 、 互为相反数，、 互为倒数， 的倒数是 ，求  的值。 16. [2026·浙江杭州·上城区期末]（解答题） 某冷库的温度为 C，现有一批货物需要冷藏，冷库每小时降温 C。 （1） 小时后冷库的温度是多少？ （2）若冷库需要达到 C，需要降温多少小时？ （3）在（2）的条件下，若冷库每小时降温 C，需要多少小时？（用除法列式并计算） 参考答案（含详细分析解析） 一、过基础 知识点一：倒数的概念与求法 1.【答案】 D 【考点】倒数的概念 【分析】乘积为  的两个数互为倒数。求一个数的倒数，交换分子和分母的位置，符号不变。 【解析】 可看作 ，交换分子分母得 。验证：。故选 D。 【方法点睛】求整数  的倒数：（），符号与原数相同。易错点：容易漏掉负号。 2.【答案】 B 【考点】倒数的判断 【分析】乘积为  的两个数互为倒数。逐一检验各选项。 【解析】A：，不是倒数； B：，互为倒数，正确； C：，是负倒数，不是倒数； D： 没有倒数。故选 B。 【方法点睛】判断是否互为倒数，只需计算两数乘积是否为 。注意区分“倒数”和“相反数”：相反数乘积为 （不一定为 ），倒数乘积必为 。 3.【答案】 C 【考点】倒数的概念辨析 【分析】根据倒数的定义逐一判断各选项。 【解析】A 错： 没有倒数；B 错： 的倒数是 ，比它本身大；C 正确： 没有倒数；D 错：互为倒数的两个数同号（同为正或同为负）。故选 C。 【方法点睛】关于倒数的常见易错点：①  没有倒数；② 互为倒数的两个数同号；③ 倒数与相反数是两个不同的概念。 4.【答案】 ； 【解析】 的倒数为 ； 的倒数为 。 5.【答案】  【解析】。 6.【答案及解析】 （1） 的倒数为 。理由：，交换分子分母得 ，且 。 （2） 的倒数为 。理由：交换分子分母，。 （3） 的倒数为 。理由：交换分子分母，符号不变，。 （4） 的倒数为 。理由：。 知识点二：有理数除法法则的直接运用 7.【答案】 B 【考点】有理数除法法则——同号得正 【分析】两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 【解析】：被除数和除数同号（均为负），商为正。。所以结果为 。故选 B。 【方法点睛】有理数除法的符号法则与乘法完全一致：同号得正，异号得负。先定符号，再算绝对值。 8.【答案】 C 【考点】除法转化为乘法的变形 【分析】（），除数变为其倒数。 【解析】A 错： 应变为 ，不是 ； B 错： 应变为 ，除数  的倒数是 ； C 正确：，除数  的倒数是 ； D 错： 不能作除数。故选 C。 【方法点睛】除法变乘法的关键是：除数变为它的倒数。口诀：除号变乘号，除数取倒数。 9.【答案】 A 【考点】有理数除法法则的辨别 【解析】A 正确：（异号得负，）； B 错：（ 除以任何非零数都得 ）； C 错：（同号得正）； D 错：（异号得负）。故选 A。 10.【答案】  【解析】（异号得负）。 11.【答案】  【解析】。 12.【答案及解析】 （1）（异号得负）； （2）（异号得负）； （3）（同号得正）； （4）（ 除以任何非零数都得 ）。 知识点三：利用除法法则化简分数 13.【答案】 B 【考点】分数的化简 【分析】 表示 。 【解析】（同号得正）。故选 B。 【方法点睛】化简分数  即计算 。分子分母同号得正，异号得负。 14.【答案】 A 【解析】A 正确：； B 错：； C 错：； D 错：。故选 A。 15.【答案】 B 【解析】（同号得正，再约分）。故选 B。 16.【答案】 ； 【解析】；。 17.【答案】  【解析】 即 。根据除法各部分关系：被除数 = 商 × 除数，。 18.【答案及解析】 （1）； （2）； （3）； （4）。 二、过能力 1.【答案】 C 【考点】除法符号法则的逆向运用 【分析】两数相除，同号得正，异号得负。商为正数，说明两数同号。 【解析】两个非零数相除，若商为正数，则这两个数同号（同为正或同为负）。A、B 只是同号中的一种情况，不完整。故选 C。 【方法点睛】“同号得正，异号得负”可以正向使用（已知符号判断商的符号），也可以逆向使用（已知商的符号判断两数的符号关系）。 2.【答案】 A 【考点】 的除法 【分析】 除以任何不等于  的数都得 。 不能作除数。 【解析】，说明被除数 ，且除数 （若  则除法无意义）。故选 A。 【方法点睛】涉及  的除法，要特别注意两点：①  不能作除数；②  除以任何非零数都得 。 3.【答案】 B 【考点】除法求最值 【分析】在四个数中任取两个相除，要使商最小，应使被除数最小、除数最大（且为正），或符号为负时绝对值最大。 4.【答案】 B 【考点】绝对值与除法符号法则的综合运用 【分析】，。，说明 、 异号。 【解析】若 ，则 （异号），； 若 ，则 （异号），。 所以  的值为  或 。故选 B。 【方法点睛】绝对值与符号条件的综合题，先列出所有可能，再用条件筛选。 5.【答案】 A 【考点】除法各部分关系 【分析】，除数 = 被除数 ÷ 商。 【解析】括号内的数 。验证：。故选 A。 【方法点睛】除法各部分关系：被除数 ÷ 除数 = 商，除数 = 被除数 ÷ 商，被除数 = 商 × 除数。 6.【答案】 B 【分析】由  可知 、 异号，异号相除得负。 【解析】，，两数异号，。故选 B。 7.【答案】 D 【考点】除法计算的辨别 【解析】A 正确：；B 正确：；C 正确：；D 错误：，不是 。故选 D。 8.【答案】 A 【考点】倒数、相反数与除法的综合 【解析】 的倒数是 ； 的相反数是 ； 。故选 A。 9.【答案】  【解析】（从左到右依次计算）。 【方法点睛】乘除混合运算按从左到右的顺序计算，不要随意改变运算顺序。 10.【答案】  11.【答案】 ； 【解析】，则 ，。 【方法点睛】分数的符号规律：分子、分母、分数线前的符号，改变其中任意两个，分数的值不变。 12.【答案】  【解析】。或 ，。 13.【答案】 或 。 【解析】； 的倒数为 。,所以可能值为  或 。 14.【答案及解析】 （1） （先算 ） （同号得正）。 （2） （先算 ） （异号得负）。 （3） （除法变乘法） （两个负因数，积为正） （约分）。 【方法点睛】乘除混合运算：① 先将除法转化为乘法；② 确定积的符号（负因数个数）；③ 约分计算。 15.【答案及解析】 （1） 的倒数为 ，相反数为 。 （2） 的倒数是 ； 的相反数是 ； 。 （3）、 互为相反数 ； 、 互为倒数 ；  的倒数是 ； 。 16.【答案及解析】 （1） 小时后温度 （C）； （2）需要降温 （C）， 时间 （小时）； （3）若每小时降温 C，时间 （小时）。 答：（1）C；（2） 小时；（3） 小时。 2 学科网（北京）股份有限公司 $