23.3相似三角形（题型专练）数学华东师大版九年级上册

23.3相似三角形 题型一 相似三角形的判定 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，能使的条件是( ) A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，，添加一个条件能判定的是（ ） ①； ②； ③； ④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连结交于点，则图中的相似三角形共有 对 5．（2024·广东·模拟预测）如图，已知，，，两个三角形重叠部分为，请你找出一个与相似的三角形，并说明理由． 6．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 7．（20-21八年级下·辽宁盘锦·阶段练习） 如图，在等边三角形中，点E、D分别在，上，且．求证：． 8．（20-21九年级下·辽宁朝阳·期中）图，点在一条直线上，且，，求证： ． 9．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在正方形中，P为中点，Q为上一点，且．求证：． 题型二 在网格中与已知三角形相似的三角形 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，都是方格纸中的格点．为使，则点应是四点中的（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，顶点A、B、C均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)图1中，请画出中边上的中线； (2)图2中，请画出，点E、F分别在边、上，满足，且相似比为． 3．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在方格纸中，点A,B，C,D都在格点上． (1)在图1中画一个格点，使与相似 (2)在图2中画一个格点，使，且与不相似． 4．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画一个四边形，使四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且； (3)在图③中，分别在边上画点M、N，连接，使，且． 5．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）在的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图． (1)在图1网格中画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． (2)在图2的网格中作出与相似的最小格点． 6．（2025·安徽宣城·一模）如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C均为格点（网格线的交点）． (1)将绕点C按顺时针方向旋转得到，请画出． (2)请画一个格点，使，且． (3)将线段向右平移得到线段，使四边形的面积为4，在网格中作出四边形． 题型三 利用相似三角形的性质求解 1．（2025·云南临沧·模拟预测）如图，，和分别是和的高，若，，则值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·甘肃武威·期末）已知的三边长分别为，，2；的两边长分别是1 和，如果，那么的第三边长应该是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21九年级上·陕西渭南·期末）如图，中，，点与点在直线的同侧，点是线段延长线上一点，且，当时，线段的长为（   ） A．3 B．4 C． D． 4．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在和中．已知，则 时，与相似． 5．（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是 ． 6．（20-21八年级下·辽宁盘锦·期中）若，且，的周长为， 则的周长为 ． 7．（2022·四川成都·三模）如图，在中，是边上的一点，若则的长为 ． 8．（20-21九年级上·陕西榆林·期中）已知，且与相似比为，若，则 ． 题型四 证明三角形的对应线段成比例 1．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2022九年级下·全国·专题练习）如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 4．（2022·河南南阳·二模）如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为． (1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． (2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． 6．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 7．（2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 8．（2021九年级·全国·专题练习）在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证： 题型一 利用相似求坐标 1．（20-21九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点A(2，0)，点B(b，0)(b＞2)，点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P坐标为 ． 2．（18-19九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E，连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，则点M的坐标 ． 3．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 题型二 相似三角形中的动点问题 1．（12-13九年级·全国·单元测试）如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 2．（2024·安徽·一模）如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? (2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 3．（2024·广东·二模）在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿边向点A以的速度移动；点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间． (1)用含t的代数式表示：线段 ； ． (2)求当t为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出t的值． (4)求当t为何值时，线段分三角形的面积比为． 4．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，， ，点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后和相似？ 5．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)问点P、Q同时出发，几秒后可使的长为？ (2)问点P、Q同时出发，几秒后可使与相似？ 题型三 相似三角形的性质与判定综合 1．（24-25九年级上·山东·开学考试）如图，D 、E 分别是的边上的点，且，相交于点 O ，若，则与的比是 （   ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽·模拟预测）如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线，CE的交点．若，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．当点E在的延长线上时， D．在旋转过程中，当线段最短时，的面积为 3．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在中，，将射线绕直角顶点A 逆时针旋转交边于点D（点 D 不与点B 重合），连接，以为直角边在的左侧构造，，连接,当时，则 （用含 m的代数式表示） 4．（2024·安徽·模拟预测）如图，在中，，，点D，E，F分别在边，，上，连接，，．已知点B和点F关于直线对称，．设． （1）若，，则的长是 ． （2） （结果用含的代数式表示）． 5．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，，点D在边上，且．过点D作，与边相交于点E，连接．线段的长为 ； 6．（2025·四川广元·模拟预测）如图，点C是与的公共顶点，且，有下列3个条件：①；②；③． (1)请在上述条件中选择一个条件来证明，并写出证明过程． (2)在（1）的结论下，若，求的长． ∴， 7．（18-19九年级上·辽宁大连·期末）已知：如图，中，，D、E分别是，上的点，，． (1)求证： (2)求证： 题型四 相似三角形的实际应用 1．（2025·江西·二模）如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛，放在三倍焦距处，已知焦距，则经过凸透镜成像得到的的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东东莞·模拟预测）如图是凸透镜成像的示意图，是蜡烛通过透镜所成的实像．已知蜡烛的高度，．若，则实像的高度是（　　） A． B． C． D． 3．（21-22九年级下·江西赣州·自主招生）在同一时刻的阳光下，甲同学的影子比乙同学的影子长，当甲、乙两同学分别站在同一路灯下的M、N处时，他们影长相等，且路灯垂直下照点为P（M、N、P在同一水平地面上），那么（　　） A． B．与大小不确定 C． D． 4．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为（    ） A．0.4米 B．62.5米 C．6.4米 D．0.16米 5．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，铁道口的栏杆短臂长，长臂长，当短臂的端点下降m时，长臂端点应升高（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，小树在路灯的照射下形成的投影为．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为 ． 7．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为，留在墙上的影长，则旗杆的高度为 ． 8．（2023·青海西宁·模拟预测）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长的竹竿落在地面上的影长为，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是 ． 9．（24-25九年级上·全国·期末）开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 10．（21-22九年级上·陕西汉中·期末）如图，小明晚上由路灯下的点处走到点处时，测得自身影子的长为1米，他继续往前走3米到达点处（即米），测得自己影子的长为2米，已知小明的身高米，图中、、、、在同一直线上，，，，请你根据以上数据求路灯的高度． 题型一 相似三角形的综合问题 1．（2025·广东深圳·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，，，点E是的中点，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线，角平分线交平行四边形的边于点P． (1)连接，求证：≌； (2)在旋转过程中，求点与点D之间的最小距离； (3)在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围． 2．（19-20九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，点、分别在、点与点，不重合且，以、为邻边作平行四边形，设长为，平行四边形与重叠部分的面积为． (1)求为何值时，点落在边上； (2)求S关于的函数解析式，并写出的取值范围． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.3相似三角形 题型一 相似三角形的判定 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，能使的条件是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，与有公共角，根据有夹这个角的两边对应成比例，三角形相似，逐项判断即可的解． 【详解】解：， A、当时，不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意； B、当，即时，是两边的夹角，可以判断三角形相似，符合题意； C、时，不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意； D、当，即，不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，，添加一个条件能判定的是（ ） ①； ②； ③； ④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 先证出，再由相似三角形的判定方法即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 添加，利用两角对应相等可判定，故①符合题意； 添加，利用两角对应相等可判定，故②符合题意； 添加，无法判定，故③不符合题意； 添加，利用两边对应成比例及其夹角相等可判定，故④符合题意； 故选：B． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连结交于点，则图中的相似三角形共有 对 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，由四边形是平行四边形，根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得，，则可得，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ∴相似三角形共有对， 故答案为：． 5．（2024·广东·模拟预测）如图，已知，，，两个三角形重叠部分为，请你找出一个与相似的三角形，并说明理由． 【答案】；理由见解析（或；理由见解析） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键． 根据两个角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； ；理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由，，，得，，所以，然后通过相似三角形的判定方法即可求证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 7．（20-21八年级下·辽宁盘锦·阶段练习） 如图，在等边三角形中，点E、D分别在，上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定、等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，则，由得到，推出，再根据相似三角形的判定即可证明． 【详解】证明：∵等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 8．（20-21九年级下·辽宁朝阳·期中）图，点在一条直线上，且，，求证： ． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查相似三角形的证明，涉及平行线性质，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键．由两直线平行内错角相等得到，，再由两角分别相等的两个三角形相似即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴． 9．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在正方形中，P为中点，Q为上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质，由正方形的性质得出，，结合已知条件得出，进而即可得出． 【详解】证明：∵四边形是正方形，P为中点， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 题型二 在网格中与已知三角形相似的三角形 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，都是方格纸中的格点．为使，则点应是四点中的（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质,为使,需满足对应边成比例和对应角相等的条件,通过分析的形状和比例,确定中点的位置,使得与,与,与成比例. 【详解】解：应该为; 当在时,若设每一个小正方形的边长为， 则的各边分别为， 原的各边长为， 此时对应边成比例且比例相等为， 则可得到两个三角形相似， 故选：C ． 2．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，顶点A、B、C均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)图1中，请画出中边上的中线； (2)图2中，请画出，点E、F分别在边、上，满足，且相似比为． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查的是格点作图及相似三角形的判定与性质， （1）取线段中点即格点D，连接即可； （2）取格点G、F，连接交于点E，根据则，得出，则，再结合，证明，所以相似比为． 【详解】（1）解：如下图，线段即为所求作； （2）解：即为所求作． 3．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在方格纸中，点A,B，C,D都在格点上． (1)在图1中画一个格点，使与相似 (2)在图2中画一个格点，使，且与不相似． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了在网格中画图问题，解题关键是根据相似三角形的性质确定边长和利用相似或全等画等角. （1）根据相似三角形对应边成比例，利用格点画出对应直角边成比例即可； （2）根据网格画出，且与不相似． 【详解】（1）如图1，格点如图所示(答案不唯一)， （2）如图2，格点如图所示(答案不唯一)． 4．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画一个四边形，使四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且； (3)在图③中，分别在边上画点M、N，连接，使，且． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查了格点图中画相似三角形、中心对称图形和轴对称图形． （1）作平行四边形，画图即可； （2）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （3）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求 5．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）在的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图． (1)在图1网格中画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． (2)在图2的网格中作出与相似的最小格点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）结合相似三角形的判定与性质画图即可． （2）作三条边长分别为1，1，的三角形即可． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． （2）解：如图2，即为所求． 6．（2025·安徽宣城·一模）如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C均为格点（网格线的交点）． (1)将绕点C按顺时针方向旋转得到，请画出． (2)请画一个格点，使，且． (3)将线段向右平移得到线段，使四边形的面积为4，在网格中作出四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了旋转作图，平移作图，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质．熟练掌握旋转的性质，相似三角形的性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，作点A、B的对应点、，然后顺次连接即可； （2）根据相似三角形的判定，作，，即可； （3）将线段向右平移2个单位，得出线段，连接，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； （3）解：如图，四边形即为所求作的四边形． 根据平移可知：，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 题型三 利用相似三角形的性质求解 1．（2025·云南临沧·模拟预测）如图，，和分别是和的高，若，，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边、对应高成比例直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，和分别是和的高， ∴， ∴， 故选：D． 2．（22-23九年级下·甘肃武威·期末）已知的三边长分别为，，2；的两边长分别是1 和，如果，那么的第三边长应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．根据题中数据先计算出两相似三角形的相似比，则第三边长可求． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴的第三边长应该是． 故选：A． 3．（20-21九年级上·陕西渭南·期末）如图，中，，点与点在直线的同侧，点是线段延长线上一点，且，当时，线段的长为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是找出相似三角形的对应边． 因为，所以，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 4．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在和中．已知，则 时，与相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据题意易得或，根据三角形的性质对应边成比例，据此即可求出答案． 【详解】解：，与相似， ∴或， 或， ，，， 或， ∴或． 故答案为：或． 5．（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形的基本定理是解此题的关键．根据题意先证得和相似，进而列出对应线段的比例关系，再将与之间的数量关系进行转化后代入中即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴, 即． 故答案为：2． 6．（20-21八年级下·辽宁盘锦·期中）若，且，的周长为， 则的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了相似三角形的性质（周长比与相似比的关系），解题的关键是掌握“相似三角形的周长比等于它们对应边的比”这一性质，结合已知对应边的比和△ABC的周长，计算的周长． 根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵，   ∴相似三角形的周长比等于对应边的比，即，   已知，， 设，则， 交叉相乘得，解得． 故答案为：16． 7．（2022·四川成都·三模）如图，在中，是边上的一点，若则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形性质，熟记相似三角形中对应线段成比例是解决问题的关键．由得到相似比，将已知线段长度代入求值即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ，解得， 故答案为：． 8．（20-21九年级上·陕西榆林·期中）已知，且与相似比为，若，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据相似三角形对应边的比等于相似比，即可解得答案． 【详解】解：，且与相似比为， ， ， ． 故答案为：20． 题型四 证明三角形的对应线段成比例 1．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A，B，C正确,D错误 故选：D． 2．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得出角相等，证明三角形相似即可求出对应线段比例相等. 【详解】解：A选项：， . ， . . A选项正确，不符合题意. B选项：， ， ，， 四边形为平行四边形. . . B选项正确，不符合题意. C选项：，， C选项不正确，符合题意. D选项：，， ，， ， ， . D选项正确，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于是否能熟练运用相似三角形的性质和判定. 3．（2022九年级下·全国·专题练习）如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断选项A和B，根据相似三角形的性质即可判断选项C和D． 【详解】A．∵， ∴， 故A符合题意； B．∵， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴. ， ∴， 故C不符合题意； D．∵， ∴， ∴， 故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键． 4．（2022·河南南阳·二模）如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质可得内错角相等，即可得出和，在根据相似三角形的性质及等量代换即可得出答案． 【详解】解：， ，，， ， ， 由， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，考查学生对相似三角形对应边成比例知识点及等量代换技巧的掌握情况． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为． (1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． (2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． 【答案】(1)这四条线段是成比例线段 (2)有，这四条线段是成比例线段．理由见解析 【分析】根据可得，根据比例线段的概念即可判断； 类似上述同样的方法判断与是否成比例即可. 【详解】解：这四条线段是成比例线段． 在Rt中，， 即这四条线段是成比例线段． 示例：这四条线段是成比例线段． 在Rt中，， 由勾股定理，得， 由（1）可知， ． 在Rt中，， 由勾股定理，得， ， ， 即这四条线段是成比例线段． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握直角三角形面积的不同表达式及比例线段的概念. 6．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，判定两三角形相似是解题关键， （1）证出，结合对顶角相等即可证明结论； （2）根据相似三角形性质证出即可证出结论． 【详解】（1）证明：在四边形中，， ， 恰好平分， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ， ． 7．（2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由可证，得到，再由得到，即可证明； （2）由得到，得到，进而得到，即可得到． 【详解】（1）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键． 8．（2021九年级·全国·专题练习）在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证： 【答案】见解析 【分析】过D作交于G，证明和相似， 和相似，列出比例式变形，比较，即可解决问题． 【详解】证明：过D作交于G，则和相似， ∴， ∵， ∴， 由可得和相似， ∴即， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的证明和性质的使用，熟知以上知识是解题的关键． 题型一 利用相似求坐标 1．（20-21九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点A(2，0)，点B(b，0)(b＞2)，点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，分类讨论：（1）；（2），根据相似三角形的相似比列式计算出b的值，写出点P的坐标即可． 【详解】由题意可得：OA=2，OB=b，AP=， 如图：（1）当时， ， OA=AB=2， b=4， P(2，)； （2）当时， ， ， 解得：b=9±， P(2，3±)； 综上：P的坐标为：(2，)，(2，3±)． 故答案为：(2，)，(2，3±)． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，分类讨论，根据相似三角形的性质求出对应边的长度进而写出点的坐标是解题关键． 2．（18-19九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E，连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，则点M的坐标 ． 【答案】（1，﹣1）或（﹣，） 【分析】如图，连接AC交BF于M1，延长CD、BF交于点M2，直线BM2与y轴交于点N，连接DM1，OM1．首先证明点M1，M2是满足条件的点．然后求出它们的坐标即可． 【详解】解：如图，连接AC交BF于M1，延长CD、BF交于点M2，直线BM2与y轴交于点N，连接DM1，OM1． ∵∠DBF＝∠FBO＝∠EDO＝∠EOD＝22.5°， ∴△BDM1∽△ODE，△BDM2∽△DEO， ∵B（2，0），M2（−，）， ∴直线BM2的解析式为y＝（−＋1）x＋2−2． ∴点N（0，2−2）， ∵M1D＝M1B＝M1O， ∴∠M1OB＝∠M1BO， ∵∠M1OB＋∠NOM1＝90°，∠ONB＋∠OBN＝90°， ∴∠ONB＝∠NOM1， ∴OM1＝NM1＝M1B， ∴M1（1，−1）， ∴满足条件的点M的坐标为（1，−1）或（−，）． 故答案为（1，−1）或（−，）． 【点睛】本题考查相似三角形的性质、正方形的性质、三角形的外接圆与外心、一次函数等知识，解题的关键是学会利用一次函数的性质解决问题，属于中考常考题型． 3．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)2，3 (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于的一元二次方程的两个根，且， ， 故答案为：2，3． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ， 解得， 又，且点在轴上， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 题型二 相似三角形中的动点问题 1．（12-13九年级·全国·单元测试）如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题． 根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【详解】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒， ①若，则， ∴， 解得：； ②若，则， ∴， 解得：． ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故选：A 2．（2024·安徽·一模）如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? (2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当为或时相似 (2)四边形与的面积不能相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和性质． （1）利用勾股定理求出直角三角形斜边的长，分两种情况讨论，根据相似三角形的判定定理列出方程求解即可； （2）作于点，证明，利用相似三角形的性质表示出，根据面积的数量关系列出一元二次方程，根据根的判别式，判断根的情况即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， ∵ ， ∴当时，△CQP∽△CBA， 则，即， 解得； 当时，△CQP∽△CAB， 则 ，即， 解得 ； ∴当为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似； （2）解：四边形与的面积不能相等．理由如下：    作于点，如图， ∵， ∴， ∴ ，即 ∴ ， 当四边形与的面积相等时， ， 即 ， ∴ ， 整理得, ∵， ∴此时方程无实数解， ∴四边形与的面积不能相等． 3．（2024·广东·二模）在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿边向点A以的速度移动；点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间． (1)用含t的代数式表示：线段 ； ． (2)求当t为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出t的值． (4)求当t为何值时，线段分三角形的面积比为． 【答案】(1)， (2)或3 (3)或1 (4)或3 【分析】本题考查了列代数式，相似三角形——动点问题，动态几何问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意用分别表示出，； （2）根据得到关于的方程求解； （3）根据，，列出比例式，分，两种情况，分别得到关于的方程求得即可； （4）根据当线段分三角形的面积比为时，得到，或，分别转化为关于的方程求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，四边形的面积为； （3），， ∴或， ①当时， 则， ∴， ②当时， 则， ∴， 综上所述，当或1时，与相似； （4）当线段分三角形的面积比为时， 则，或， ∴，或， 方程，解得或3， 方程，无解， ∴当或3时，线段分三角形的面积比为． 4．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，， ，点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后和相似？ 【答案】秒和2秒 【分析】本题考查相似三角形的性质以及根据运动情况列方程求解时间，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键． 先由点P与点Q的运动速度，表示出与，再根据边成比例分情况讨论和相似，列式求解即可． 【详解】解：设经过秒钟与相似． 已知点从点开始沿边向点以的速度移动， 点从点开始沿边向点以的速度移动． 可得，． 因为，所以． 分两种情况讨论： 情况一：当时，， 将，，，代入， 可得：，可得． 解得； 情况二：当时，． 将，，，代入， 可得：，可得， 解得． 因为点从点移动到点所需时间为， 点从点移动到点所需时间为， 而和都在这个范围内，所以这两个值都符合题意． 综上所述：秒和2秒后和相似． 5．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)问点P、Q同时出发，几秒后可使的长为？ (2)问点P、Q同时出发，几秒后可使与相似？ 【答案】(1)2秒或秒后可使的长为 (2)t的值为秒或秒 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理应用，依据题意列出方程求解是解题关键． （1）设秒后，可使的长为，由题意得，，，，根据勾股定理可得，易求出的值， （2）设秒后可使使与相似，他两种情况：当时，当时，依据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可． 【详解】（1）解：设秒后，可使的长为，则，， ， ， 根据勾股定理得：， 解得：或， 秒或秒后可使的长为． （2）解：设秒后可使与相似，则，， 当时，，即， 解得：． 秒后可使． 当时，，即， 解得， 综上所述，满足条件的的值为秒或秒． 题型三 相似三角形的性质与判定综合 1．（24-25九年级上·山东·开学考试）如图，D 、E 分别是的边上的点，且，相交于点 O ，若，则与的比是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，根据平行得，则有，根据相似三角形得到，进一步得到由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， 故选：B． 2．（2024·安徽·模拟预测）如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线，CE的交点．若，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．当点E在的延长线上时， D．在旋转过程中，当线段最短时，的面积为 【答案】C 【分析】证明即可判断A，根据三角形的外角的性质得出B，证明得出，即可判断C；以为圆心，为半径画圆，当在的下方与相切时，的值最小，可得四边形是正方形，在中，然后根据三角形的面积公式即可判断D． 【详解】解：∵和是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，，故A说法正确； 设， ∴， ∴， ∴，故B说法正确； 当点在的延长线上时，如图所示    ∵，， ∴ ∴ ∵，． ∴， ∴ ∴，故C说法错误； 如图所示，以为圆心，为半径画圆，    ∵， ∴当在的下方与相切时，的值最小， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴取得最小值时， ∴ 故D说法正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在中，，将射线绕直角顶点A 逆时针旋转交边于点D（点 D 不与点B 重合），连接，以为直角边在的左侧构造，，连接,当时，则 （用含 m的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解题的关键． 由题易知，结合，得到，即可证得，利用相似的性质可得即可求解． 【详解】，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（2024·安徽·模拟预测）如图，在中，，，点D，E，F分别在边，，上，连接，，．已知点B和点F关于直线对称，．设． （1）若，，则的长是 ． （2） （结果用含的代数式表示）． 【答案】 2 【分析】（1）先证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，再由轴对称的性质得出，再证明是等边三角形即可得出答案． （2）先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证，推出，通过证明，推出，即可求出的值． 【详解】解：（1）当时， 则， ∴是等边三角形， ∴， ∵点B和点F关于直线对称， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：2 （2）点和点关于直线对称， ， ， ． ， ， 点和点关于直线对称， ， 又， ， ， ，， 点和点关于直线对称， ， ， ， ， 在和中， ， ． 在中，， ，， ， ， ， ， ，， ． ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，掌握这些知识是解题的关键． 5．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，，点D在边上，且．过点D作，与边相交于点E，连接．线段的长为 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 利用平行线的性质得出相等的角，判定出，然后利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 6．（2025·四川广元·模拟预测）如图，点C是与的公共顶点，且，有下列3个条件：①；②；③． (1)请在上述条件中选择一个条件来证明，并写出证明过程． (2)在（1）的结论下，若，求的长． 【答案】(1)选择①或③均正确，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质． （1）选择①，根据对应边成比例且夹角相等证明相似；选择③，根据对应两角相等证明相似； （2）先根据相似的性质得，再由，证明，得，再代入已知的值计算，即可得的长． 【详解】（1）解：选择①或③均正确． 选择①证明如下： ∵， ， ∵， ∴， 即， ∴； 选择③证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：由（1）得， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ， ． 7．（18-19九年级上·辽宁大连·期末）已知：如图，中，，D、E分别是，上的点，，． (1)求证： (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边对等角、三角形外角的性质、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质得到，结合得到，再利用全等三角形判定即可证明； （2）利用全等三角形的性质可得，，结合则有，利用等边对等角可得，，得到，进而推出，再利用相似三角形的性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴； （2）证明：由（1）得，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型四 相似三角形的实际应用 1．（2025·江西·二模）如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛，放在三倍焦距处，已知焦距，则经过凸透镜成像得到的的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了相似三角形的应用，连接，设与相交于点，则，根据相似三角形的性质和得出，根据比例的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点， 根据题意知 ， ∴， ， 又∵， ∴， ， ， 故选：B． 2．（2024·广东东莞·模拟预测）如图是凸透镜成像的示意图，是蜡烛通过透镜所成的实像．已知蜡烛的高度，．若，则实像的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，先根据凸透镜成像原理确定物体与像的相似关系，再利用相似三角形对应边成比例的性质，通过已知的物高、物距和像距计算像高． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 3．（21-22九年级下·江西赣州·自主招生）在同一时刻的阳光下，甲同学的影子比乙同学的影子长，当甲、乙两同学分别站在同一路灯下的M、N处时，他们影长相等，且路灯垂直下照点为P（M、N、P在同一水平地面上），那么（　　） A． B．与大小不确定 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据题意可得甲同学身高高于乙同学身高，则，再由当甲、乙两同学分别站在同一路灯下的M、N处时，他们影长相等，得到，证明可推出，同理可得，则可证明，进而可证明． 【详解】解：如图所示，当点M和点N在点P两侧时，O表示路灯光源位置，的长分别表示甲和乙的身高，分别表示甲和乙的影长， ∵在同一时刻的阳光下，甲同学的影子比乙同学的影子长， ∴甲同学身高高于乙同学身高， ∴； ∵当甲、乙两同学分别站在同一路灯下的M、N处时，他们影长相等， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图所示，当点M和点N在点P同侧时，同理可证明； 综上所述，， 故选：C． 4．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为（    ） A．0.4米 B．62.5米 C．6.4米 D．0.16米 【答案】C 【分析】本题考查利用相似测高，涉及相似三角形的判定与性质，熟练掌握平面镜测高的方法步骤是解决问题的关键．先由题意可得，从而得到相似比，再将题中已知线段长度代入求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 则， ， 由题意可知，米，米，米， ， 解得米， 故选：C． 5．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，铁道口的栏杆短臂长，长臂长，当短臂的端点下降m时，长臂端点应升高（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形在实际生活中的运用，能够将实际问题转化成数学问题是解题关键． 栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题． 【详解】解：如图所示， 将题中条件转化到上图中，， 即，求的长度， ，（对顶角）， ， ，即，解得， ∴长臂端点升高， 故选：B． 6．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，小树在路灯的照射下形成的投影为．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由已知可得，进而根据即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为，留在墙上的影长，则旗杆的高度为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，相似三角形的应用中的高度与影长的关系，过作交于，结合矩形的性质，由影长与高度之间的关系得，即可求解． 【详解】解：过作交于， 四边形是矩形， ， ， 长的竹竿竖直放置时影长， ， ， 解得， （）， 故答案为：． 8．（2023·青海西宁·模拟预测）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长的竹竿落在地面上的影长为，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查投影的性质，相似三角形的应用，掌握投影的性质的实际运用，相似三角形的应用等知识是解题的关键．根据题意，投影的性质，如图所示，设树的高为，可得四边形是矩形，，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，画图如下，过作于， 竹竿长，竹竿的影长为，树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为， 设树的高为， ∵，在同一条直线上， ∴四边形是矩形，则， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴树的高度为． 故答案为： 9．（24-25九年级上·全国·期末）开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）开封铁塔的高度为56米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用， （1）没有阳光，影子不好测量等原因即可； （2）设塔的高度为x米，利用相似三角形判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）未被采纳的原因可能是节假日阳光不一定充足，影子不好测量； （2）设塔的高度为x米， 由题意知， ， ， 即， ∴， ， ， ， 即， ∴， ∵， 即， ∴， ∴开封铁塔的高度为56米． 10．（21-22九年级上·陕西汉中·期末）如图，小明晚上由路灯下的点处走到点处时，测得自身影子的长为1米，他继续往前走3米到达点处（即米），测得自己影子的长为2米，已知小明的身高米，图中、、、、在同一直线上，，，，请你根据以上数据求路灯的高度． 【答案】6米 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．证明，根据相似三角形的性质得出，再证明，根据相似三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，     ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，     ∴， 解得：，     ∴， 解得：， 答：路灯的高度为6米． 题型一 相似三角形的综合问题 1．（2025·广东深圳·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，，，点E是的中点，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线，角平分线交平行四边形的边于点P． (1)连接，求证：≌； (2)在旋转过程中，求点与点D之间的最小距离； (3)在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理求解三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及动点问题中距离与取值范围的探究．熟练掌握全等三角形的判定与相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． （1）由边边边的判定方法证明和全等即可； （2）根据“两点之间线段最短”，即当点落在上时，点与点D之间的距离最小，结合勾股定理求解即可； （3）分别考虑点落在和上这两种边界情况，点落在上时，利用相似三角形的性质求出，进而得到；点落在上时，利用等腰三角形和角的关系得到平行，从而可求解到，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌； （2）解：如图， 当点落在上时，点与点D之间的距离最小， ∵，， ∴， 根据勾股定理得， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴点与点D之间最小距离为； （3）解：当点落在上时， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴∽， ∴，即， 解得， ∴， 当点落在上时，连接交于点F，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点落在内部（不含边界）， ∴的取值范围是． 2．（19-20九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，点、分别在、点与点，不重合且，以、为邻边作平行四边形，设长为，平行四边形与重叠部分的面积为． (1)求为何值时，点落在边上； (2)求S关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）在中，勾股定理求得，根据题意得出四边形是矩形，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）根据（1）的结论，分两种情况讨论，，，根据相似三角形的性质求得相应的边长，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 如图，当落在边上， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得：； （2）情况1：当时，在的内部，如图，过点作于点， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 情况2：时，如图，在的外部，设交于点 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 综上所述： 11 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $