3.2 探索三角形相似的条件(1) 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练以“三级达标”分层设计，通过基础巩固、能力提升到综合拓展的梯度路径，融合几何直观、推理能力与模型意识，实现相似三角形判定定理1的从概念理解到综合应用。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级双基过手|相似三角形定义、性质及判定定理1的直接应用|以补充条件证明相似（如第1题）、简单计算（如第3题）为主，夯实基础，培养推理意识| |B级能力提升|动态问题、多情况相似判定及综合计算|含动点相似（如第12题）、跨知识点综合（如第14题），发展模型观念与运算能力| |C级综合拓展|折叠变换与菱形结合的分类讨论|通过菱形折叠（第15题）考查空间观念，需分类探究点的位置，提升创新意识|

第三章 图形的相似 第二节 探索三角形相似的条件(1) 今日复习 1. 、 的两个三角形，叫作相似三角形. 2.相似三角形的性质： 、 . 3.全等三角形是 的相似三角形，相似比为 . 4.相似三角形的判定定理1：有 角对应相等的两个三角形是相似三角形. 名师点拨 1.与学习判定三角形全等的公理类似，这里学习判定公理“两角对应相等的两三角形相似”也是通过操作体验得来的，未经严格理论证明. 2.注意对应：大边对大边，小边对小边，大角对大角，小角对小角. 3.平行于三角形一边的直线截三角形其他的两边，截得的三角形与原三角形相似，简称“平行线截得的三角形相似”，其对应的基本图形称作“A”或“X”形相似形. 4.两个相似三角形对应关系不明确时，应分类讨论. 课时三级达标 A级双基过手 1.(2026·编写)如图,∠DAB=∠EAC,只补充一个条件： ，可使△ADE∽△ABC.(写出一个答案即可) 2.(2026·编写)如图,线段 AC,BD 交于点O，添加一个条件： ,可使△AOB∽△COD. 3.(1)(2025·东部新区)如图,边长为4 的正方形 ABCD,在 BC边上取一动点 E,连接AE,作 EF⊥AE,交 CD边于点 F.若CF的长为 ,则CE的长为 . (2)(2026·编写)如图,在▱ABCD中,E是CD 上的一个动点(不与点 C，D重合)，BE 的延长线交AD 的延长线于点F，则图中共有 对相似三角形. 4.如图,在△ABC中,BC=3,AC=4,∠ACB=90°,以点 B 为圆心,BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A，D为圆心，大于 AD的长为半径画弧，两弧交于点 M，N，作直线 MN，分别交AC,AB 于点 E,F,则线段 EF 的长为 . 5.(2026·编写)如图,在△ABC 中,CE⊥AB,垂足为E,BD⊥AC,垂足为 D,CE与BD 交于点F，则图中与△BEF 不相似的三角形是 ( ) A.△ABD B.△CDF C.△BCD D.△ACE 6.(2026·编写)如图,P 是直角△ABC的斜边AB 上任意一点(A，B两点除外)，过点P作一条直线，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线可以作 ( ) A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 7.(2026·编写)如图,在△ABC中,点 D 在AB 边上,点 E在AC 边上,且∠1=∠2=∠3，则与△ADE 相似的三角形的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 8.(2026·编写)如图,P 为线段AB 上一点,AD与BC交于点E,∠CPD=∠A=∠B,BC与PD 交于点F,AD交PC 于点G,则下列结论中错误的是 ( ) A.△APD∽△PGD B.△APG∽△BFP C.△PCF∽△BCP D.△CGE∽△CBP 9.(2026·编写)如图,在平行四边形 ABCD中,点 N在BC上,连接DN,点 M在DN上,连接 AM,且∠AMN = ∠B. 求证:△ADM∽△DNC. 10.如图,E 是正方形ABCD的对角线CA 延长线上一点，连接BE，将BE 绕点 B 顺时针旋转 90°至 BF,连接EF,EF交AD 于点G。 (1)求证:△ABE∽△AEG; (2)若正方形 ABCD 的边长为4,G为AD 的中点,求AE的长. B级 能力提升 11.如图,在四边形ABCD中,对角线 AC与BD 相交于点E，AC恰为∠BAD 的平分线,∠ADB=∠ACB.已知AB=4,BC=5,AC=6,则BD的长为 12.(2026·编写)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=4cm,D为BC 的中点.若动点 E 以 1 cm/s 的速度从A 点出发沿AB 向 B 点运动，设E点的运动时间为t 秒(0≤t<10),连接DE，当以 B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时,t的值为 . 13.(2026·编写)如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=4,BD=14.点 P 在 BD上移动，当以 P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，PB的长为 . 14.(2024 ·达州)如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,点 D 在 线 段 BC 上,且∠BAD=45°,若 AC =4,CD =1,求△ABC的面积. C级 综合拓展 15.(2025·锦江)如图,在菱形 ABCD中,∠A=60°,AB=3,M为AB 边上一点,AM=2,N为AD 边上的一动点,沿MN将△AMN 翻折,点 A 落在点 P 处,当点P 在菱形的对角线上时，求AN的长. 【今日复习】 1.三角对应相等 三边对应成比例 2.三角对应相等三边对应成比例 3.特殊 1：14.两对 【课时三级达标】 A级(双基过手) 1.∠D=∠B(答案不唯一) 2. AB∥CD(答案不唯一) 3.(1)1或3(2)3 4. 5. C 6. B 7. C 8. D 9.【证明】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD,AD∥BC, ∴∠B+∠C=180°,∠ADM=∠DNC. ∵∠AMN+∠AMD=180°,∠AMN=∠B, ∴∠AMD=∠C, ∴△ADM∽△DNC. 10.(1)【证明】∵四边形 ABCD是正方形, ∴AB=CB=AD=CD,∠ABC=∠D=90°, ∴∠BAC=∠BCA=∠DAC=∠DCA=45°, ∴∠BAE=∠EAG=180°-45°=135°. ∵将 BE绕点 B 顺时针旋转90°得到 BF, ∴BE=BF,∠EBF=90°, ∴∠BEF=∠F=45°,∴∠AEG=45°-∠AEB. ∵∠ABE=∠BAC-∠AEB=45°-∠AEB, ∴∠ABE=∠AEG,∴△ABE∽△AEG. (2)【解】∵正方形ABCD的边长为4,G为AD 的中点, ∴AB=AD=4,. ∵△ABE∽△AEG, ∴AE²=AB·AG=4×2=8, B级(能力提升) 12.4或7 13.8.4或2或12 14.【解】如图,过点 B作BE⊥AD,交 AD延长线于点E,则∠DEB=90°. ∵∠C=90°,∠ADC=∠BDE, ∴△ADC∽△BDE, ∵AC=4,CD=1,∴4DE=BE. ∵∠BAD=45°,∠DEB=90°, ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE=BE=4DE,∴AD=3DE. ∵在 Rt△ACD中,根据勾股定理,得 ∵∠DEB=90°, C级(综合拓展) 15.【解】分两种情况： ①当点 P 在菱形对角线AC 上时，如图1所示.由折叠的性质可知,AN=PN,AM=PM. ∵四边形 ABCD是菱形,∠BAD=60°, ∴∠PAM=∠PAN=30°, ∴∠AMN=∠ANM=90°-30°=60°, ∴AN=AM=2; ②当点 P 在菱形对角线BD 上时，如图2所示. 设AN=x. 由折叠的性质可知,PM=AM=2,PN=AN=x,∠MPN=∠A=60°. ∵AB=3,∴BM=AB-AM=1. ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ADC=180°-60°= 120°,∠PDN = ∠MBP = ∵∠BPN=∠BPM+60°=∠DNP+60°, ∴∠BPM=∠DNP,∴△PDN∽△MBP, 即 解得 或 (不合题意，舍去)， 综上所述，AN的长为2或 学科网（北京）股份有限公司 $