内蒙古赤峰市林西县第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 试卷聚焦高一数学核心内容，以立体几何（如长方体截面、正三棱台体积）与三角函数（解三角形、函数单调性）为重点，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查空间观念、运算能力及数学探究，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|立体几何（第2题长方体截面）、复数（第9题实部与模）|基础概念辨析，如斜二测画法直观图面积计算| |多选|3/18|向量（第11题三角形重心）、线面关系（第10题平行判定）|多选项分层考查逻辑推理，如向量共线与内心判断| |填空|3/15|正三棱台体积（第13题）、折叠体外接球（第14题）|空间几何计算，需转化思想，如棱台体积还原三棱锥| |解答|6/77|四棱锥线面平行探究（第19题）、三角函数恒成立（第18题）|综合应用，如通过比例构造线线平行证明面面平行，考查数学思维与表达|

林西一中2024-2025学年下学期期中测试卷（1） 高一数学 考试时间：120分钟 一、单项选择题:本题共8小题，每小题满分5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1.若，则（   ） A． B． C． D． 2.从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点、、，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是（   ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥 3.用斜二测画法画水平放置的正方形，若该正方形的边长为2，则其直观图的面积是 A. B. C. D. 4.如图，在正方体中， 分别是 的中点，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 5.一个底面是边长为4的正三角形，高为2的直棱柱的表面积是( 　　) A.8　　 B.24　 　C.8＋24　　 D.4＋24 6.已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（   ） A．3 B． C． D．3 8.已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，以下说法正确的是（    ） A．的实部是5 B． C． D．在复平面内对应的点在第一象限 10．下列命题中的真命题是（    ） A．若直线不在平面内，则 B．若直线上有无数个点不在平面内，则 C．若，则直线与平面内任何一条直线都没有公共点 D．平行于同一平面的两直线可以相交 11．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的形状为等边三角形 B．若，则点三点共线 C．若点是的重心，则 D．若所在平面内一动点满足：，则的轨迹一定通过的内心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，，，则 . 13. 如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为6， 上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的体积为 14． 已知矩形的边长分别为1，，沿对角线折起，使四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ． 4、 解答题：本题共6小题，共77分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15． （本小题13分） 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中， 截去三棱锥A1－ABD，求： （1）截去的三棱锥A1－ABD的表面积； （2）除去三棱锥A1－ABD剩余几何体的体积. 16. （本小题满分15分） 已知，，且. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设，，记与的夹角为，求的值. 17. （本小题满分15分） 在△中，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求△周长的取值范围. 18. （本小题满分17分） 已知函数． （Ⅰ）求的单调递减区间； （Ⅱ）若在区间上恒成立，求的最小值； （Ⅲ）若，，求的值. 19. （本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形， 为上的点，且，为中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 林西一中2024-2025学年下学期期中测试卷（1） 高一数学202305(答案) 一、单项选择题:本题共8小题，每小题满分5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以z==，=， 2．从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点、、，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是（    ） A．三棱柱 B．三棱锥C．四棱柱D．四棱锥 【答案】B【分析】画出图形观察即可. 【解析】如图所示， 截去的立体图形有四个面，四个顶点，六条边，所以该几何体为三棱锥. 故选：B. 3.用斜二测画法画水平放置的正方形，若该正方形的边长为2，则其直观图的面积是 A. B. C. D. 答案：B 4. 如图，在正方体中， 分别是 的中点，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 5.一个底面是边长为4的正三角形，高为2的直棱柱的表面积是(　　) A.8　　 B.24　　 C.8＋24　　 D.4＋24 答案.C　解析：底面积：2××4×2＝8，侧面积：3×4×2＝24，∴表面积：24＋8． 6.已知，，，则 A. B. C. D. 答案：A 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（   ） A．3 B． C． D．3 【答案】B 【解析】因，，且， 所以，化为. 所以，解得. 所以. 8．已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 根据与的数量积小于0，且不共线可得. 【解析】与的夹角为钝角， ， 又与的夹角为， 所以，即，解得， 又与不共线，所以， 所以取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，以下说法正确的是（    ） A．的实部是5 B． C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【解析】对于A，复数的实部是5，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，在复平面内对应的点在第四象限，D错误. 10．下列命题中的真命题是（    ） A．若直线不在平面内，则 B．若直线上有无数个点不在平面内，则 C．若，则直线与平面内任何一条直线都没有公共点 D．平行于同一平面的两直线可以相交 【答案】CD 【解析】根据直线与平面的位置关系，结合题目，进行分析和判断即可. 【解析】A中，直线也可能与平面相交，故A是假命题； B中，直线与平面相交时，上也有无数个点不在平面内，故B是假命题； C中，时，与没有公共点，所以与内任何一条直线都没有公共点，故C是真命题； D中，平行于同一个平面的直线，可以平行也可以相交，也可以是异面直线，故D是真命题. 故选：CD. 11．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的形状为等边三角形 B．若，则点三点共线 C．若点是的重心，则 D．若所在平面内一动点满足：，则的轨迹一定通过的内心 【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算以及模长的含义即可判断A，根据共线定理的推论即可判断B，根据重心的性质即可判断C，根据向量加法的平行四边形法则即可判断D. 【解析】对于A，，为等边三角形，故A正确； 对于B，，，、、三点不共线，故B错误； 对于C，设，，分别为，，的中点，则， ，， ，即，故C正确； 对于D，，，，，在的角平分线上，的轨迹一定通过的内心，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，，，则 . 【答案】0【解析】首先求出､的坐标，而后可求. 【解析】解：，，.故答案为：0. 13． 如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的体积为 【答案】 【分析】首先还原为三棱锥，再计算小棱锥的高，再根据相似关系，即可计算三棱台的高.再根据棱台的体积公式求解即可. 【解析】如图1，将正三棱台，还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥的棱长都是3，如图2，点在底面的射影是底面三角形的中心，高， 所以根据相似关系可知，三棱台的高也是.    所以棱台的体积为. 14．已知矩形的边长分别为1，，沿对角线折起，使四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ． 【答案】 【分析】取中点，则，从而可得球的半径为，由此能求出该球的表面积． 【解析】将长方形沿对角线折起，使顶点，，，落在同一个球面上， 取中点，则， 该球的半径为， 该球的表面积为． 故答案为：．    5、 解答题：本题共6小题，共77分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15．（本小题13分） 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求： （1）截去的三棱锥A1－ABD的表面积； （2）除去三棱锥A1－ABD剩余几何体的体积. （1）由正方体的特点可知在三棱锥A1－ABD中，△A1BD是边长为2的等边三角形，△A1AD，△A1AB，△ABD都是直角边为2的等腰直角三角形， 所以截去的三棱锥A1－ABD的表面积S＝＋＋＋S△ABD＝×（2）2＋3××2×2＝6＋2.......7分 （2）正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为23＝8， 三棱锥A1－ABD的体积为×S△ABD×AA1＝××2×2×2＝， 所以剩余几何体的体积为8－＝.......13分 20. （本小题满分15分） 已知，，且. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设，，记与的夹角为，求的值. 解：（Ⅰ）因为， 所以， ………………2分 即. ………………4分 所以. ………………5分 （Ⅱ）因为， 所以，. 所以，. ………………7分 所以， ………………8分 ， ………………9分 . ………………10分 所以 ………………12分 . ………………15分 17.（本小题满分15分） 在△中，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求△周长的取值范围. 解：（Ⅰ）因为， 所以. ………………2分 因为， 所以. ………………3分 所以. ………………4分 又， 所以. ………………5分 （Ⅱ）由正弦定理 ………………6分 可得， 所以，. ………………7分 所以. 因为， 所以. ………………8分 因为 ……………19分 . ………………10分 所以. 因为， 所以. ………………11分 所以. ………………12分 所以，即. ………………13分 所以， 即△周长的取值范围为. ………………15分 18.（本小题满分17分） 已知函数． （Ⅰ）求的单调递减区间； （Ⅱ）若在区间上恒成立，求的最小值； （Ⅲ）若，，求的值. 解：（Ⅰ）因为 ………………1分 ， ………………2分 令， ………………3分 所以. 所以的单调递减区间为. ………………4分 （Ⅱ）因为在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立. ………………5分 因为， 所以. ………………6分 所以， ………………7分 即. ………………8分 所以的最小值为. ………………9分 （Ⅲ）因为， 所以. ………………10分 因为， 所以. 所以. ………………12分 所以 ………………13分 ………………15分 . ………………17分 19.（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在， 求出的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，转化为构造中位线，证明线线平行； （2）通过比例关系，构造线线平行，并证明面面平行，从而证明存在点G，使得平面. 【详解】（1）证明：连交于O，......2分 因为底面为平行四边形， 所以O为的中点，而E为的中点， 所以，......4分 又平面，平面； 所以平面；......6分 （2）在棱上存在点G，且，使得平面，...8 证明：上取点，且，因为F为上的点，且， 所以在中，，所以，.....11.分 因为平面，平面，所以平面，...12分 又在中，，所以，......14分 因为平面，平面，所以平面，......15分 因为，平面， 所以平面平面.......16分 因为平面， 所以平面.......17分 学科网（北京）股份有限公司 $