精品解析：内蒙古赤峰曾军良实验学校（赤峰四中桥北新校）2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

赤峰曾军良实验学校（赤峰第四中学分校）2024-2025学年高一 下学5月期中数学试题 注意事项： 1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，请将第Ⅰ卷选择题的答案用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后重新填涂；请将第Ⅱ卷的答案用黑色中性笔答在答题卡指定答题区域内，在本试卷上答题无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保留. 2.本试卷共150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的共轭复数的虚部与实部之差为（ ） A. 7 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得出的共轭复数，再结合虚部与实部定义计算求解. 【详解】因为复数满足， 则的共轭复数为， 则虚部与实部之差为. 故选：B. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的坐标，然后由可得列方程可求得. 【详解】∵，， ∴. ∵， ∴， ∴. 即，则. 故选：B 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即可. 【详解】在中，，，，由正弦定理得， 而，则，所以. 故选：A 4. 在中，D为边上的一个三等分点，靠近，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量对应线段的位置、数量关系，用、表示出，即可得. 【详解】由题设. 故选：C 5. 在中，内角的对边分别为，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理解三角形即可. 【详解】， 所以. 故选：D. 6. 已知函数，若方程的解为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出在上的图象，考虑直线与其交点，从而可得的值，故可得的值. 【详解】在上的图象如图所示： 令，则， 令，故,即. 由图可得， 故， 故选：A. 7. 以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据常见函数的奇偶性，单调性以及周期即可求解. 【详解】对A，最小正周期为，且在上为增函数，并为奇函数，不满足要求； 对B，在上为减函数，且以为周期的偶函数，符合要求； 对C，在上为增函数，且为偶函数，不符合要求; 对D,在上为减函数，但是以为周期的偶函数，不符合要求； 故选：B 8. 设，则关于函数的性质中，下列说法错误的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 图象的一个对称中心可以是 C. 的一个单调递增区间可以是 D. 图象的一条对称轴可以是 【答案】C 【解析】 【分析】先用向量夹角公式和三角函数的辅助角公式对函数化简，再结合周期计算、对称轴与对称中心的判断以及单调性的分析判定选项. 【详解】， 对于A，最小正周期为，故A正确； 由于 ，故B、D表述正确， 对于C，，，而函数在上单调递减， 根据复合函数的单调性法则可知，的一个单调递减区间可以是，所以C错误， 故选：C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算即可判断ABC，根据复数模的性质和计算公式即可判断D. 【详解】对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确； 故选：AD. 10. 在中，，，，则（ ） A. 的周长是 B. 边上的中线长 C. 边上的角平分线长 D. 边上的高长 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意利用余弦定理可得的值，即可判断A；，两边平方，利用平面向量数量积的运算可求，即可判断B；由以及正弦定理形式的面积公式即可判断C；设边上的高为，利用三角形的面积公式即可判断D. 【详解】因为在中，，，， 所以由余弦定理得， 所以的周长是，故A正确； 设边上的中线为，则，两边平方， 可得，解得，故B错误； 设边上的角平分线为，则， 则由得， 所以，解得，故C正确； 设边上的高为，因为，，，， 所以，解得，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：已知三角形一边及其对角，如已知的一边及其对角，则 （1）求角平分线常用等面积公式即来求解； （2）求（为边上的点且满足）常用向量法先得，再两边平方来求解. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若相邻两条对称轴的距离为，则 B. 当，时，的值域为 C. 当时，的图象向右平移个单位长度得到函数解析式为 D. 若在区间上有且仅有三个零点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】先化简得，然后利用三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】 ， 对于A：若相邻两条对称轴的距离为，则，得，错误； 对于B：当时，，因为，所以， 所以，所以的值域为，正确； 对于C：当时，，向右平移个单位长度得，错误； 对于D：，则， 因为在区间上有且仅有三个零点， 所以，所以，解得，正确. 故选：BD. 第ⅠⅠ卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则__________. 【答案】13 【解析】 【分析】由平面向量共线定理求解. 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 解得， 故答案为：13 13. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】. 故答案为： 14. 在中，是的中点，，点为线段上的一点，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，设，，则，根据数量积的运算律及二次函数的性质计算可得. 【详解】因为是的中点，点为上的一点，所以， 又，设，，则， 所以， 当时，此时， 当时，此时， 当时，与共线同向， 所以， 当且仅当时取等号， 综上可得的最大值为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分， 15. 已知是虚数单位，设复数. （1）若为纯虚数，求的值； （2）若在复平面上对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算、纯虚数的定义即可得出答案. （2）利用复数的除法运算、复数在复平面上对应的点的坐标即可得出答案. 【详解】由复数 则，由为纯虚数 所以，所以 （2） 由在复平面上对应的点位于第三象限 所以 ，解得 的取值范围： 16. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用余弦定理即可； （2）化简为，得出，再利用面积公式即可. 【小问1详解】 因，则， 由余弦定理得，， 因，则. 【小问2详解】 由得，， 因，则，即， 故. 17. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点Q的坐标为. （1）求的值； （2）若，求P的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先由点在单位圆上，求，再根据三角函数的定义求，即可求解； （2）利用诱导公式求，，再根据三角函数的定义求点的坐标. 【小问1详解】 因为点在单位圆上且，所以，得. 即，且由三角函数定义知，，， 故. 【小问2详解】 由题意：， ， 故. 18. 已知向量，且与的夹角为. （1）求值； （2）若向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积公式（其中为两向量的夹角）来求解的值；（2）先求出与的坐标，再根据向量夹角为锐角时数量积大于且两向量不共线来确定的取值范围. 【小问1详解】 已知，，且与的夹角为. 可得. ，. 然后根据向量的数量积公式，可得： ，即. 两边同时平方可得，展开化简得，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，则，. 因为向量与所成的角是锐角，所以且与不共线. . 由，即，移项得，解得. 若两向量共线，则对应坐标成比例，即，化简得，两边同时除以得，展开得，移项化简得，解得. 所以当两向量不共线时，. 综上，实数的取值范围是. 19. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. （1）求A； （2）若，周长为6，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及辅助角公式求解. （2）由余弦定理得，结合的周长，求得,再求出三角形的面积． （3）由正弦定理得，结合锐角三角形的条件及三角函数性质求出范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 整理得，即， 而，即，于是, 所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得， 由周长为6，得，解得， 所以的面积. 【小问3详解】 在锐角中，由，得，，则， ，则，， 由正弦定理得 ， 所以的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰曾军良实验学校（赤峰第四中学分校）2024-2025学年高一 下学5月期中数学试题 注意事项： 1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，请将第Ⅰ卷选择题的答案用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后重新填涂；请将第Ⅱ卷的答案用黑色中性笔答在答题卡指定答题区域内，在本试卷上答题无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保留. 2.本试卷共150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的共轭复数的虚部与实部之差为（ ） A. 7 B. C. 1 D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 在中，D为边上的一个三等分点，靠近，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角的对边分别为，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若方程的解为，则（ ） A. B. C. D. 7. 以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（ ） A. B. C. D. 8. 设，则关于函数的性质中，下列说法错误的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 图象的一个对称中心可以是 C. 的一个单调递增区间可以是 D. 图象的一条对称轴可以是 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，，，则（ ） A. 的周长是 B. 边上的中线长 C. 边上的角平分线长 D. 边上的高长 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若相邻两条对称轴的距离为，则 B. 当，时，的值域为 C. 当时，的图象向右平移个单位长度得到函数解析式为 D. 若在区间上有且仅有三个零点，则 第ⅠⅠ卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则__________. 13. 已知，则__________. 14. 在中，是的中点，，点为线段上的一点，则的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分， 15. 已知是虚数单位，设复数. （1）若为纯虚数，求的值； （2）若在复平面上对应的点位于第三象限，求的取值范围. 16. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求的面积． 17. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点Q的坐标为. （1）求的值； （2）若，求P的坐标. 18. 已知向量，且与的夹角为. （1）求值； （2）若向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 19. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. （1）求A； （2）若，周长为6，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $