专题3.3 函数的单调性与最值（10类必考点）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学函数的单调性与最值核心知识点，系统梳理单调性定义、判定方法（定义法、运算法则法等）、性质及应用，构建从基础概念到复合函数、最值求解的学习支架，衔接函数概念与后续性质学习。 该资料亮点在于考点覆盖全面，含10类题型，通过定义法证明单调性、图像分析等实例，培养学生数学思维（推理与运算能力）和数学眼光（几何直观）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固应用，查漏补缺。

专题3.3 函数的单调性与最值 【知识梳理】 1 【考点1：定义法判断或证明函数的单调性】 3 【考点2：求函数的单调区间】 5 【考点3：根据图象判断函数的单调性】 7 【考点4：根据函数的单调性求参】 10 【考点5：复合函数的单调性】 12 【考点6：利用函数的单调性求值域或最值】 15 【考点7：利用函数的单调性比较大小】 18 【考点8：利用函数的单调性解不等式】 21 【考点9：利用函数的单调性解决不等式恒成立问题】 24 【考点10：利用函数的单调性解决不等式能成立（有解）问题】 27 【知识梳理】 1、函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2、函数单调性判定方法 ①定义法：取值、作差、变形、定号、下结论； ②运算法则法：如果函数和在相同区间上是单调函数,则（1）增函数+增函数是增函数；（2）减函数+减函数是减函数；（3）增函数-减函数是增函数；（4）减函数-增函数是减函数； ③复合函数的单调性：同增异减，即内外单调性相同时，为增函数，不同时，为减函数； ④图像法：在定义域内的某个区间上，若函数图象从左向右呈上升趋势，则函数在该区间内单调递增；若函数图象从左向右呈下降趋势，则函数在该区间单调递减. 3、定义法判断函数单调性的步骤 ①设是函数定义域内某个区间内的任意两个不等的自变量； ②比较与的大小，或与的大小（要求与同号），或与同号/异号； ③结合函数单调性的定义判断单调性. 【注】①函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接； ②有时根据需要，需作适当的变形：如或等. 4、复合函数单调性的规律 5、函数单调性的性质 (1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．更进一步，有增＋增→增，增－减→增，减＋减→减，减－增→减． (2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． (3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝单调性相反；函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝单调性相同． 6、单调性应用：（1）求值域或最值；（2）比较大小；（3）解不等式；（4）求解恒成立或能成立问题. 7、函数的最值 前提 设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 对于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M 对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 8、函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值． 【考点1：定义法判断或证明函数的单调性】 1．（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】通过分离常数+反比例函数平移的方法，结合初中已学的反比例函数单调性规律来分析. 【详解】将整理得： ， 该函数的定义域为， 其图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的. 当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减， 因此在上单调递减，A正确、B错误. 当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减， 因此在上单调递减，C正确、D错误. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）试讨论函数在区间上的单调性，在______上单调递减，在_______上单调递增. 【答案】 . 【分析】根据题意，由函数单调性的定义证明即可. 【详解】函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 以下根据函数单调性的定义证明： ①设， 则 ， ， ， ，即， 在内是减函数. ②设， 由①知， ， ， 即， 在内是增函数. 3．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 【答案】证明见解析 【分析】通过作差法即可求证. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 【答案】在上单调递减，证明见解析 【详解】在上单调递减，证明如下： 由，任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知满足，它在上是增函数，且，试问在上是增函数还是减函数？证明你的结论． 【答案】在上是减函数．证明如下： 设、是上的两个任意实数，且，则,进而． ，且在上是增函数，，故,即， ． 是上的减函数． 【分析】，且，则，结合题意计算得，根据单调性的定义证明即可. 【详解】略 【考点2：求函数的单调区间】 1．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【分析】根据对勾函数的单调性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以对勾函数的单调递增区间是. 故答案为： 2．（25-26高一上·广东河源·阶段检测）函数的单调增区间是（    ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 3．（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 4．（25-26高一上·四川南充·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义，结合二次函数的单调性、复合函数的单调性进行求解即可. 【详解】函数的对称轴为：， 所以有， 故选：C 5．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数，若在区间上单调递减，则区间可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先去绝对值分段，画出图象，进而判断选项区间是否单调递减. 【详解】依题意，，画出图象， 观察可知在和上单调递增，在上单调递减. 故选：D. 【考点3：根据图象判断函数的单调性】 1．（25-26高一上·海南·期中）下列图象表示的函数为减函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据图象和减函数定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，该函数随着的增大，的取值在减小，符合减函数定义，A正确； 对于B，该函数随着的增大，的取值在增大，不符合减函数定义，B错误； 对于C，该函数在轴右侧，随着的增大，的取值在增大，不符合减函数定义，C错误； 对于D，该函数在轴左侧，随着的增大，的取值在增大，不符合减函数定义，D错误. 故选：A. 2．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】利用函数的定义域可对选项，，作出判断；根据与在定义域内的某个区间上单调性相反，可判断选项. 【详解】选项，由图象可知，，，， 所以当，，时，函数无意义，错误； 选项，由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，正确； 选项，由函数在处无意义，错误； 选项，由函数在处无意义，错误. 3．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）（多选）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】AD 【分析】利用数形结合思想即可判断. 【详解】由图可知函数在区间和上单调递增， 在区间和上单调递减．故AD选项正确． 4．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数的图象如图所示，则其单调递减区间是_______.    【答案】和 【分析】根据图象，呈下降趋势所对应的区间为单调递减区间. 【详解】观察图象可知，的单调递减区间为和. 故答案为：和. 5．（25-26高二上·吉林白城·阶段检测）已知函数的图象如图．根据图象写出的单调区间，单调递增区间为______，单调递减区间为______．    【答案】 和 【分析】根据给定的函数图象确定单调区间即可. 【详解】由图象知在上，单调递增区间为和，单调递减区间为． 故答案为：和， 【考点4：根据函数的单调性求参】 1．（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 【答案】 【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围． 【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为， 令，其对称轴为，结合函数定义域可知， 在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减， 则函数也要在区间上单调递减，且， 所以，所以 2．（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 3．（2026·甘肃白银·三模）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数，函数的单调递增区间是， 由函数在上单调递增，得，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 4．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 【答案】C 【详解】因为是R上的减函数， 所以，可得, 所以的取值范围为． 5．（第03讲函数的单调性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）已知函数与． (1)若，求k的值； (2)若两函数在区间上都是增函数，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，进而可得，求解即可； （2）利用二次函数的单调性和反比例函数的单调性可求得实数k的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 又所以，所以， 解得或（舍去），所以； （2）对于函数，它是二次函数，开口向下， 对称轴为， 因为在区间上是增函数，所以且； 对于函数，它是反比例函数向左平移2个单位得到的， 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增； 由在区间上是增函数，所以； 综上所述：实数k的取值范围为. 【考点5：复合函数的单调性】 1．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 2．（25-26高三上·河北雄安·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，. 故选：B 3．（25-26高一上·湖南娄底·期中）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解判断即可. 【详解】令，因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 对于， 由解得：， 令，当时， 随增大而减小， 当时，随增大而增大， 因为在上单调递减， 所以的单调递增区间是函数的单调递减区间， 所以的单调递增区间是， 故选：C. 4．（第8讲增减可看图证明需定义）函数的单调递减区间为______． 【答案】 【分析】先求函数的定义域，根据复合函数单调性以及单调性的性质分析判断函数单调性. 【详解】因为， 令，解得或， 可知的定义域为， 又因为在定义域内单调递增，在内单调递增，在内单调递减， 可知在内单调递增，在内单调递减， 且在定义域内单调递增， 可知在内单调递增，在内单调递增， 则在内单调递减， 所以函数的单调递减区间为． 故答案为：. 5．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数在定义域上单调递减，则的单调递减区间是__________． 【答案】 【分析】先求出的定义域；再由复合函数的单调性可求出的单调递减区间. 【详解】∵的定义域为，∴，即，解得． 故函数的定义域为． 令，则． 当时，单调递减，则单调递增； 当时，单调递增，则单调递减． 故的单调递减区间为． 故答案为： . 【考点6：利用函数的单调性求值域或最值】 1．（25-26高二下·广东汕尾·期末）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 【答案】 【分析】分，，，四种情况讨论，结合条件，利用的单调性，即可求解. 【详解】若，易知在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，， 当，即时， 由题有，解得，又，则，所以满足题意， 当，即时，由题有，解得， 又，则，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减， 由题知，解得，不合题意， 综上所述，实数. 2．（25-26高二下·广西南宁·阶段检测）已知函数．则的最小值为___________． 【答案】 【分析】用换元法将转化为，则只需分析最小值即可求得最小值，从而得的最小值. 【详解】 ， 令，因为，则，所以原函数可化为， 令，对称轴，开口向上，所以时，单调递减，时，单调递增， 所以时，，即的最小值为. 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出定义域，利用换元法，原函数转化为，分析可得的单调性，代入数据，即可得答案. 【详解】由题意得，解得，即的定义域为， 令，则，所以，且， 则原函数转化为， 因为与在上均为单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以的最大值为，的最小值为， 所以的值域为，即原函数的值域为. 4．（25-26高一上·河北唐山·期中）（多选）已知函数，则（   ） A． B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为1 【答案】ABD 【分析】利用代入法，结合函数单调性的性质、偶函数的定义和性质、最值的定义逐一判断即可. 【详解】，定义域为， 选项A：因为，所以A正确。 选项B：因为，所以B正确。 选项C：， 因为函数在上单调递减，且此时， 所以函数在上单调递增，所以C错误。 选项D：由A知是偶函数，的图象关于纵轴对称， 由上可知：在上单调递增， 所以当时，， 又因为，的图象关于纵轴对称， 所以在区间上的最小值为1，所以D正确. 5．（第03讲函数的单调性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 【考点7：利用函数的单调性比较大小】 1．（25-26高一上·甘肃甘南·期中）若在内是减函数，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性，即可容易判断. 【详解】因为是单调减函数，， 即可容易得. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数单调性比较大小，属基础题. 2．（【2026】【湖南】【市实验】【高一上期中】）已知函数在区间上是增函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合的单调性比较出三者的大小关系． 因为在区间上是增函数，并且，所以， 所以D选项的正确的． 故选：D 3．（25-26高一上·上海静安·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由函数单调性的定义和性质依次分析选项，综合可得答案. 【详解】函数为定义在上的单调增函数， 当时，，故错误； 当时，，故错误； 当时，，故正确； 当时，，故错误； 故选：C． 4．（25-26高三上·江西宜春·阶段检测）若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性，结合和的符号的可能性即可得解. 【详解】由题意得，即， 由于，的正负未知，故A，B，C不一定成立． 故选：D 5．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数． (1)用定义法证明：是增函数； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据定义法证明单调性的步骤，取值、作差、整理、变形、得结论，结合解析式，化简整理，即可得证. （2）由（1）得在R上单调递增，所以，代入解析式，即可得证. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 所以在R上单调递增. （2）由（1）得在R上单调递增，且， 所以，则，得证. 【考点8：利用函数的单调性解不等式】 1．（2026·广西崇左·二模）已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增，，所以，解得，故B正确. 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 3．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题目条件化简可知函数在上单调递增，再利用单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数满足对任意的，，都有， 设，则，所以，即， 所以，令，所以， 又因为，所以函数在上单调递增. 依题意得，，由，得， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 4．（25-26高一上·上海·期末）利用函数的单调性求解，关于的不等式的解集是______． 【答案】 【详解】令，由题意得， 由，得函数的定义域为， 由一次函数性质得在上单调递增， 则在上单调递增， 且由反比例函数性质得在上单调递增， 所以在上单调递增， 可得不等式即， 由单调性可得，故所求的解集是. 5．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求和时的取值范围，结合反比例函数和一次函数，比较两段的最值，结合最大值为4建立关于的方程求解； （2）根据分段函数在上单调递增，可得各段函数分别单调递增，且左段函数在处的函数值不大于右段函数在处的函数值，再根据单调性条件建立关于的不等式求解； （3）判断和与0的大小关系，分情况讨论，分别利用单调性、函数值大小建立不等式求解. 【详解】（1）当时，，取不到4， 所以时，的最大值为4，                 因为在上单调递增， 所以，则. （2）当时，单调递增；                 当时，单调递增，                 因为在上单调递增，只需，则，                 所以实数a的取值范围为. （3）易知， 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当时，，， 所以，， 所以，不符合题意. 综上所述，实数a的取值范围为. 【考点9：利用函数的单调性解决不等式恒成立问题】 1．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，令函数，求出的最大值，就可求出的取值范围. 【详解】因为在上恒成立，所以在上恒成立， 令函数，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故D正确. 2．（2026·天津北辰·二模）若存在实数，对任意的都有恒成立，则实数n的取值范围是______. 【答案】 【分析】把不等式化为，先由右侧非负得到，从而，从而原不等式恒成立问题可转化为在上恒成立，.通过分析函数的最大值和最小值可求参数的取值范围. 【详解】不等式整理为.因，两边同除以得. 该式成立要求，即.故，否则在时无解. 故在上恒成立， 即存在实数，使得在上恒成立（▲）， 设，，其中， 因单调递增，故 . 在处取得最小值，在单调递减，在单调递增. ①时， . 由▲可得，解得，即，故. ②时， . 由▲可得，化简得，解得. 结合，得. 综上，实数的取值范围为 3．（2026·天津武清·模拟预测）已知函数，当时，对于，恒成立，则取值范围为____________________． 【答案】 【分析】根据绝对值的概念，化简不等式，根据恒成立的条件，列出不等式，对不等式的参数进行分类讨论，进而求出参数范围. 【详解】由可得， 即， 对于是关于的一次函数，因为，，所以， 对于，恒成立，等价于恒成立， 即， 对于，当时，不等式不能恒成立，不符合题意， 当时，即时，可得，在不等式恒成立，符合题意， 当时，即时，可知，则此时函数在上单调递减， 所以时，得，解得，即取值范围为； 对于，可知时，不等式不能恒成立，不符合题意， 当时，即时，可得，在不等式恒成立，符合题意， 当时，即时，可知对称轴，则此时函数在上单调递增， 所以时，得，解得，即取值范围为； 综上所述，取值范围为. 4．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】分类讨论先去绝对值符号，根据二次函数的对称性，依次讨论对称轴与端点的大小关系，结合最值求解一元二次不等式组即得. 【详解】令，即， 由题意可知在R上恒成立， ①若，即时， 要满足题意需， 整理得，解得或（舍去）， 故得； ②若，即时， 要满足题意需， 整理得， 解得或，与前提矛盾舍去； ③若，即时， 要满足题意需， 整理得，解得或（，舍去）， 故得； 综上所述或 故 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质得出，再根据单调性求得，即可求解的范围． 【详解】，对称轴为，在上单调递增，故， 因为在上单调递增()，所以， 要使恒成立，只需，即的取值范围为． 【考点10：利用函数的单调性解决不等式能成立（有解）问题】 1．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知函数，（），若存在实数，，使得成立，则______． 【答案】 【分析】根据函数性质可得函数最大值与函数最小值，即，结合题意可得，，计算即可求解. 【详解】因为， 当且仅当时，取得最大值，， 当且仅当时，取得最小值2，所以． 又，所以，则，，． 2．（25-26高一上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式能成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据对勾函数的单调性，结合存在性的定义进行求解即可. 【详解】（1）. .则， 不等式的解集为； （2）由题意，，使不等式能成立， 即时，能成立， 所以大于的最小值. 又在时，单调递减， 所以， 所以，，即. 3．（2026高一上·江苏南通·专题练习）已知函数， ， (1)判断并证明函数的单调性； (2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2) 【分析】（1）根据函数单调性定义，即可证明； （2）若存在，使得不等式成立，即，所以根据（1）所得的函数单调性，可得，即，解不等式即可. 【详解】（1）由题意，任取 ， 则 ， 因为，所以，，即， 所有，所以 ， 故函数 在区间 内单调递增； （2）由（1）得，函数在区间 内单调递增， 所以当时，，当时，， 所以的值域为， 若存在实数，使得不等式成立， 只需 即可，解得， 所以a的取值范围为. 4．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）已知函数. (1)判断并证明：的单调性； (2)若存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)增函数;证明如下： 任取，则， ， ， 即， 所以在上是增函数. (2) 【分析】（1）利用单调性的定义证明即可； （2）将存在问题转化为最值问题求解即可. 【详解】（1），判断其为增函数，证明略； （2）若存在，使得， 即, 在上是增函数， ， ，即， 或者， 故的取值范围为. 5．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数． 判断并证明在上的单调性； 若存在使得在上的值域为求实数a的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）. 【分析】（1）利用定义法证明在上的单调性即可； （2）由（1）可得在上单调递增，若存在由题可得即在区间上有两个不同的根. 列出不等式组求解即可. 【详解】（1） 、     所以在上的单调递增. （2）因为在上的单调递增， 所以若存在使得在上的值域为则有 也就是即在区间上有两个不同的根. …….8分 令要使在区间上有两个不同的根， 只需解得则实数的取值范围为 【点睛】本题为函数单调性的证明，并利用单调性来解决问题，把方程有两实根转化为二次函数问题是解决问题的关键，属中档题． 第 1 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 函数的单调性与最值 【知识梳理】 1 【考点1：定义法判断或证明函数的单调性】 3 【考点2：求函数的单调区间】 4 【考点3：根据图象判断函数的单调性】 4 【考点4：根据函数的单调性求参】 6 【考点5：复合函数的单调性】 7 【考点6：利用函数的单调性求值域或最值】 7 【考点7：利用函数的单调性比较大小】 8 【考点8：利用函数的单调性解不等式】 9 【考点9：利用函数的单调性解决不等式恒成立问题】 10 【考点10：利用函数的单调性解决不等式能成立（有解）问题】 11 【知识梳理】 1、函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2、函数单调性判定方法 ①定义法：取值、作差、变形、定号、下结论； ②运算法则法：如果函数和在相同区间上是单调函数,则（1）增函数+增函数是增函数；（2）减函数+减函数是减函数；（3）增函数-减函数是增函数；（4）减函数-增函数是减函数； ③复合函数的单调性：同增异减，即内外单调性相同时，为增函数，不同时，为减函数； ④图像法：在定义域内的某个区间上，若函数图象从左向右呈上升趋势，则函数在该区间内单调递增；若函数图象从左向右呈下降趋势，则函数在该区间单调递减. 3、定义法判断函数单调性的步骤 ①设是函数定义域内某个区间内的任意两个不等的自变量； ②比较与的大小，或与的大小（要求与同号），或与同号/异号； ③结合函数单调性的定义判断单调性. 【注】①函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接； ②有时根据需要，需作适当的变形：如或等. 4、复合函数单调性的规律 5、函数单调性的性质 (1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．更进一步，有增＋增→增，增－减→增，减＋减→减，减－增→减． (2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． (3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝单调性相反；函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝单调性相同． 6、单调性应用：（1）求值域或最值；（2）比较大小；（3）解不等式；（4）求解恒成立或能成立问题. 7、函数的最值 前提 设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 对于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M 对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 8、函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值． 【考点1：定义法判断或证明函数的单调性】 1．（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 2．（25-26高三·全国·一轮复习）试讨论函数在区间上的单调性，在______上单调递减，在_______上单调递增. 3．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 4．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知满足，它在上是增函数，且，试问在上是增函数还是减函数？证明你的结论． 【考点2：求函数的单调区间】 1．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递增区间是__________. 2．（25-26高一上·广东河源·阶段检测）函数的单调增区间是（    ）. A． B． C． D．， 3．（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川南充·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数，若在区间上单调递减，则区间可能为（    ） A． B． C． D． 【考点3：根据图象判断函数的单调性】 1．（25-26高一上·海南·期中）下列图象表示的函数为减函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 3．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）（多选）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 4．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数的图象如图所示，则其单调递减区间是_______.    5．（25-26高二上·吉林白城·阶段检测）已知函数的图象如图．根据图象写出的单调区间，单调递增区间为______，单调递减区间为______．    【考点4：根据函数的单调性求参】 1．（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 2．（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃白银·三模）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 5．（第03讲函数的单调性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）已知函数与． (1)若，求k的值； (2)若两函数在区间上都是增函数，求实数k的取值范围． 【考点5：复合函数的单调性】 1．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河北雄安·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 3．（25-26高一上·湖南娄底·期中）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4．（第8讲增减可看图证明需定义）函数的单调递减区间为______． 5．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数在定义域上单调递减，则的单调递减区间是__________． 【考点6：利用函数的单调性求值域或最值】 1．（25-26高二下·广东汕尾·期末）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 2．（25-26高二下·广西南宁·阶段检测）已知函数．则的最小值为___________． 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河北唐山·期中）（多选）已知函数，则（   ） A． B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为1 5．（第03讲函数的单调性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【考点7：利用函数的单调性比较大小】 1．（25-26高一上·甘肃甘南·期中）若在内是减函数，则有（    ） A． B． C． D． 2．（【2026】【湖南】【市实验】【高一上期中】）已知函数在区间上是增函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海静安·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·江西宜春·阶段检测）若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数． (1)用定义法证明：是增函数； (2)证明：． 【考点8：利用函数的单调性解不等式】 1．（2026·广西崇左·二模）已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海·期末）利用函数的单调性求解，关于的不等式的解集是______． 5．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 【考点9：利用函数的单调性解决不等式恒成立问题】 1．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 2．（2026·天津北辰·二模）若存在实数，对任意的都有恒成立，则实数n的取值范围是______. 3．（2026·天津武清·模拟预测）已知函数，当时，对于，恒成立，则取值范围为____________________． 4．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为_____________． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且在上恒成立，求实数的取值范围． 【考点10：利用函数的单调性解决不等式能成立（有解）问题】 1．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知函数，（），若存在实数，，使得成立，则______． 2．（25-26高一上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式能成立，求实数的取值范围. 3．（2026高一上·江苏南通·专题练习）已知函数， ， (1)判断并证明函数的单调性； (2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 4．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）已知函数. (1)判断并证明：的单调性； (2)若存在，使得，求的取值范围. 5．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数． 判断并证明在上的单调性； 若存在使得在上的值域为求实数a的取值范围． 第 1 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $