专题10 函数的表示法11种常见考法归类（77题）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数的表示法这一核心知识点，系统梳理从列表法、解析法、图象法三种基本表示，到待定系数法、换元法等五种解析式求解，再到分段函数求值、不等式综合等十一种考法的递进脉络，构建完整的学习支架。 资料以77道分层题型为载体，通过“核心逻辑+解题步骤+易错提醒”策略指导，强化数学思维中的推理意识与运算能力，结合函数图象变换培养几何直观，实际应用题型提升模型意识。课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，夯实知识体系。

2026-2027学年新高一暑假人教A版2019必修第一册考点通关提升讲义 专题10 函数的表示法11种常见考法归类（77题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数的三种表示法 （一）列表法 （二）解析法 （三）图象法 考点二 求函数的解析式 （一）待定系数法求解析式 （二）换元法求解析式 （三）配凑法求解析式 （四）方程组法求解析式 （五）赋值法求解析式 考点三 作函数图象及其应用 （一）画具体函数的解析式 （2） 函数图象的变换 （3） 函数图象的应用 考点四 分段函数求值 （1） 求分段函数的值 （二）已知分段函数的值求参数 考点五 分段函数与不等式的综合 考点六 分段函数图象的画法 考点七 分段函数的定义域、值域问题 考点八 根据分段函数的值域求参数 考点九 分段函数图象的应用 考点十 分段函数的实际应用 考点十一 函数的新定义题 知识点1：函数的表示法 (1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. (2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. (3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 注：并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 知识点2：求函数解析式 (1)待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． (2)换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. (3)配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， (4)方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 知识点3：分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 知识点4：分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象． 注：(1)分段函数定义域、值域的求法 ①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； ②分段函数的值域是各段函数值域的并集． (2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．　 知识点5：函数的图象 （1）函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. （2）函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； （3）函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 考点一 函数的三种表示法 策略方法 （一）列表法 1.核心逻辑 用表格直接列出有限自变量与对应函数值，不用计算就能读取数值，仅适合自变量取值少的场景。 2.解题步骤 (1)梳理题目给出的两组变量； (2)表格第一行写自变量，第二行写对应函数值； (3)表格必须完整标注所有对应数值，无遗漏； (4)判断函数：同一只出现1个，无一对多。 3.易错提醒 (1)自变量重复出现且对应2个不同函数值，不满足函数定义； (2)自变量有无穷多个时，不能只用列表完整表达函数。 （二）解析法 1.核心逻辑 用代数式表达关系，可计算定义域内任意函数值，方便研究单调性、奇偶性、值域等性质，是最常用表示方法。 2.解题步骤 (1)梳理等量关系，写出关于的代数式； (2)标注完整定义域（分式、根式、零次幂有限制，实际问题加现实约束）； (3)求值、求性质直接代入代数式运算。 3.易错提醒 只写解析式，遗漏定义域，导致函数不完整。 （三）图象法 1.核心逻辑 坐标平面内点的集合，直观展示增减、最值、交点；竖线判定法：任意垂直轴直线最多1个交点才是函数。 2.解题步骤 (1)先确定定义域，只画允许范围内的图像； (2)描关键点（与坐标轴交点、顶点、分段分界点）； (3)平滑连线，分界点区分实心/空心； (4)看图解题：图像高低代表函数值大小，上升=递增、下降=递减。 3.易错提醒 竖线与图像出现2个及以上交点，误判为函数；分界点虚实标记颠倒。 题型训练 （1） 列表法 1．（2026高一·江西上饶·期末）根据表中数据，可得__________. 1 2 3 4 2 3 4 1 4 1 2 3 2．（2026高一·江苏南京·期中）函数由下表给出，则（ ） x 1 2 3 4 2 4 3 1 A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2026高一·河南·阶段检测）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 4．【多选】（2026高三·全国·专题练习）已知函数，分别由下表给出： 则（   ） A．的值为 B．函数的值域为 C．方程的解集为 D．满足的的值是 （二）解析法 5．（2026高二·湖南·学业考试）一个矩形的周长是10，则矩形的长关于宽的函数解析式为（  ）（默认） A． B． C． D． 6．【多选】（2026高三·贵州遵义·阶段检测）已知函数的定义域为，且，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 7．【多选】（2026高一·湖南·期中）设函数的定义域为，若，，则称为“循环函数”．下列函数中，为“循环函数”的有（    ） A． B． C． D． （三）图象法 8．【多选】（2026高一·陕西延安·期中）设集合，则下列图象能表示从到的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 9．（2026高一·四川南充·阶段检测）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的是（     ） A．   B．     C．   D．   10．（2026高一·广东广州·期中）如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 11．（2026高一·河南漯河·阶段检测）周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 12．（2026高一·湖南·期中）小宇周日去电影院看电影，从家出发匀速步行一段路后发现快迟到了，就匀速跑步前进，看完电影后匀速步行回家，下面图象由与上述事件吻合的是（    ） A． B． C． D． 考点二 求函数的解析式 策略方法 （一）待定系数法求解析式 1.核心逻辑 已知函数类型（一次、二次、反比例等），设带参数的标准式，代入已知点列方程解参数。 2.解题步骤 (1)根据函数类型设解析式：一次、二次、反比例； (2)将图像经过的点坐标代入式子，得到方程组； (3)解方程组求出所有待定系数； (4)把参数代回，写出完整解析式并标注定义域。 3.易错提醒 设二次函数漏写常数项；代入点计算符号出错。 （二）换元法求解析式 1.核心逻辑 已知求，令换元，换元必须同步求的取值范围。 2.解题步骤 (1)设，反解出用表示； (2)把原式所有替换成，化简得到； (3)把统一换成，同时标注的范围（即的值域）。 3.易错提醒 只换元，不写新自变量的取值范围，定义域丢失。 （三）配凑法求解析式 1.核心逻辑 不用换元，直接对变形，凑出整体，再整体替换为。 2.解题步骤 (1)拆分、变形右侧代数式，全部整理成含的式子； (2)将式子中所有直接替换成； (3)结合值域，标注定义域。 3.易错提醒 变形配凑时计算出错，无法统一凑出相同整体。 （四）方程组法求解析式 1.核心逻辑 题干同时出现与、与，替换自变量构造第二个方程，联立消元求。 2.解题步骤 (1)保留原式作为方程①； (2)将式子中替换成或，得到方程②； (3)联立二元方程组，消去； (4)化简得到表达式，标注定义域。 3.易错提醒 替换自变量时，代数式全部同步替换，漏换部分项。 （五）赋值法求解析式 1.核心逻辑 给赋特殊值（），消去多余变量，直接推导固定表达式，多用于抽象函数。 2.解题步骤 (1)观察抽象等式，选择合适特殊值代入； (2)多次赋值消去等多余项； (3)整理等式，分离出只含的式子； (4)补充定义域范围。 3.易错提醒 赋值随意，无法消去多余函数项，求不出解析式。 题型训练 （一）待定系数法求解析式 13．（2026高一·全国·假期作业）已知函数是一次函数，若，则______． 14．（2026高一·天津静海·阶段检测）已知是一次函数，且，，则的解析式为_______. 15．（2026高一·重庆·期中）已知二次函数满足：，． (1)求二次函数的解析式； (2)求不等式的解集． 16．（2026高一·全国·专题练习）已知二次函数满足：对任意，均有，且，求的解析式． （二）换元法求解析式 17．（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则的解析式为（     ） A． B． C． D． 18．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 19．（2026高三·全国·专题练习）已知，求的解析式． 20．（2026高一·全国·专题练习）已知函数满足：对任意非零实数，都有，则的解析式为______． （三）配凑法求解析式 21．（2026高一·全国·专题练习）已知，则________． 22．（2026高二·全国·专题练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 23．（2026高二·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． （四）方程组法求解析式 24．（2026高二·山西阳泉·期末）若，满足，且，则_______． 25．（2027高三·全国·专题练习）已知函数对任意的都有，则________． 26．（2026高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 27．（2026高三·辽宁·期末）已知函数满足，则______. （五）赋值法求解析式 28．（2026高三·广东江门·开学考试）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 29．（2026·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 30．（2026·山东聊城·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且，则的值域为__________. 考点三 作函数图象及其应用 策略方法 （一）画出具体函数的图象 1.核心逻辑 基础函数直接抓关键点作图；陌生函数遵循“列表→描点→连线”三步。 2.解题步骤 (1)求定义域，确定图像左右边界； (2)选取代表性，计算对应，列表； (3)平面直角坐标系描出所有点； (4)按从小到大平滑连线； (5)分界点：可取标实心点，取不到标空心圈。 3.易错提醒 忽略定义域画出多余图像；端点虚实标记混淆。 （二）函数图象的变换 1.核心逻辑 平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项；先伸缩后平移；翻折、对称改变符号。-平移：左移；右移；上下平移-对称：关于轴对称；关于轴对称-翻折：下翻上；右翻左 2.解题步骤 (1)画出基础母函数图像； (2)按顺序分步变换（先伸缩，再平移，最后对称翻折）； (3)同步变换顶点、零点、渐近线等关键点； (4)标注变换后函数定义域。 3.易错提醒 左右平移只给加减，错误给整个括号加减；伸缩平移顺序颠倒。 （三）函数图象的应用 1.核心逻辑 数形结合，看图转化代数条件：图像高低→函数值大小；交点→方程解；上下位置→不等式解集。 2.解题步骤 (1)画出题干所有函数图像，标出交点横坐标； (2)解方程：交点横坐标为方程的解； (3)解不等式：取图像在上方的范围； (4)找最值：图像最高点为最大值，最低点为最小值。 3.易错提醒 分不清图像上下，不等式解集写反；遗漏区间端点等号。 题型训练 （一）画出具体函数图象 31．（2026高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 32．（2026高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 33．（2026高一·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数 (1)请在直角坐标系中画出函数的图像； (2)求方程的解集； (3)当x取何值，y分别大于0，小于0？ （二）函数图象的变换 34．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 35．（2026高一·河北邢台·开学考试）已知函数的图象如图所示，则的图象为（    ） A． B． C． D． 36．（2026高一·江西景德镇·期中）函数的图象可以由函数的图象（    ）而得到. A．向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度 B．向左平移2个单位长度，向上平移1个单位长度 C．向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度 D．向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度 37．【多选】（2026高一·甘肃白银·期中）如果一个函数的图象通过平移后可以得到函数的图象，那么这个函数可以是（   ） A． B． C． D． 38．（2026高三·全国·一轮复习）已知图①中的图象是函数的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（   ）    A． B． C． D． （三）函数图象的应用 39．（2026高一·云南红河·期中）已知函数和的大致图象如图所示，则的解集为（   ）    A． B． C． D． 40．（2026高一·江西景德镇·期中）函数的图象如图所示.      (1)求，； (2)求函数的定义域和值域. 41．（2026高一·陕西商洛·期中）已知函数的图象如图所示，则等于（    ） A．2 B． C．0 D．1 考点四 分段函数求值 策略方法 （一）求分段函数的值 1.核心逻辑 先判断自变量落在哪一段区间，再代入对应解析式；复合求值由内向外逐层计算。 2.解题步骤 (1)看数值，匹配分段自变量区间； (2)将代入本段代数式计算； (3)多层复合：先算内层，再把结果当作新再次匹配区间计算外层。 3.易错提醒 自变量代错区间表达式；复合求值由外向内颠倒计算顺序。 （二）已知分段函数的值求参数 1.核心逻辑 函数值对应某一段区间，先锁定自变量所在分段，列式求解后检验区间范围。 2.解题步骤 (1)分每一段解析式，令式子等于已知函数值，解方程； (2)检验解出的自变量是否落在本段区间； (3)舍去不在区间内的增根，保留有效解。 3.易错提醒 解方程后不检验区间，保留不符合分段范围的解。 题型训练 （一）求分段函数的值 42．（2026高二·广东·期末）已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 43．（2026高二·江西南昌·期末）已知函数则_______. 44．（2026高二·福建·学业考试）函数，则__________． 45．（2026·湖南长沙·模拟预测）设，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 46．（2026高一·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． （二）已知分段函数的值求参数 47．（2026高二·天津红桥·期末）已知分段函数，，则实数________． 48．（2026高一·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 49．（2026·浙江·模拟预测）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 50．（2026高一·贵州贵阳·阶段检测）设函数，，则（    ） A． B． C．1 D． 考点五 分段函数与不等式的综合 策略方法 1.核心逻辑 分段分类讨论，每一段单独列不等式，分别求解，最后合并所有解集。 2.解题步骤 (1)按分段区间拆分不等式； (2)每一段联立：本段范围+本段解析式构成的不等式； (3)分别解每组不等式，取每组内部交集； (4)把所有分段的有效解集取并集，得到最终答案。 3.易错提醒 不按区间分段讨论，直接带入单一解析式求解。 题型训练 51．（2026高二·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 52．（2026高一·北京西城·期中）已知函数，则___________；若，的取值范围是___________． 53．（2026高一·天津滨海新区·阶段检测）已知函数． (1)求的值； (2)若，求a的值； (3)求不等式的解集． 54．（2026高一·辽宁沈阳·期中）设函数则不等式的解集是___________ 55．（2026高一·广东中山·阶段检测）已知函数，则的解集为 （    ） A． B． C． D． 56．（2026高二·黑龙江大庆·期末）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 考点六 分段函数图象的画法 策略方法 1.核心逻辑 分段单独作图，绝对值函数先去绝对值拆分段；分界点严格区分空心、实心。 2.解题步骤 (1)含绝对值：根据绝对值定义去掉绝对值，拆分为多段函数； (2)每一段单独画出对应图像，只保留本段区间内的部分； (3)区间包含端点画实心点，不包含画空心圈； (4)整合所有分段图像，形成完整分段函数图像。 3.易错提醒 分段区间端点重复/遗漏；分界点虚实标记全部标反。 题型训练 57．（2026高一·云南昭通·期中）在图中，作出下列函数的图象. (1)，； (2)已知函数 58．（2026高一·全国·课后作业）给定函数，，． (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较大者，记为．请分别用图象法和解析法表示函数． 59．（2026高一·全国·单元测试）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 60．（2026高一·江苏·专题练习）已知函数. (1)用分段函数的形式表示函数； (2)画出函数的图象，并写出函数的值域. 考点七 分段函数的定义域、值域问题 策略方法 1.核心逻辑 定义域=各段自变量区间的并集；值域=每一段函数取值范围的并集。 2.解题步骤 (1)定义域：把所有分段范围合并，去掉重复区间； (2)值域：单独求每一段解析式在对应区间的取值范围； (3)将各段值域整合取并集，写出最终值域区间。 3.易错提醒 定义域、值域取交集而非并集；某一段值域计算遗漏最值。 题型训练 61．已知函数，则函数的定义域为_________、值域为_________． 62．（2026高一·贵州·期中）已知函数，则（   ） A． B．方程的解集为 C．定义域为 D．值域为 63．（2026高一·全国·课前预习）函数 则的定义域为________． 64．（2026高二·福建福州·期末）已知函数的图象如图所示，则的值域是________． 65．（2026高一·湖南长沙·期末）若定义运算，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 66．（2026高一·四川泸州·期末）已知函数，则的值域是_______． 67．（2026高一·四川眉山·期中）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 考点八 根据分段函数的值域求参数 策略方法 1. 核心逻辑 分段函数整体值域由各分段区间的值域取并集构成，函数值域的边界取自各分段区间端点、分段内部极值点，结合值域上下界限定条件建立不等式求解参数。 2. 解题步骤 (1) 对每一段函数，结合对应定义域，求解单段函数的值域； (2) 将所有分段值域取并集，得到分段函数整体值域； (3) 对照题目给定值域范围、值域上下限约束，搭建含参数不等式（组）； (4) 求解不等式，代入参数验证各段值域合并后的整体值域符合题干限定。 3. 易错提醒 单独计算某一段值域直接作为整体值域，遗漏多段值域取并集的合并运算，造成值域边界判断错误。 题型训练 68．（2026高一·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 69．（2026高一·福建福州·期中）已知函数，若在上的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点九 分段函数图象的应用 策略方法 （一）根据函数的图象求解析式 1.核心逻辑 按图像分界点拆分区间，每一段根据图像形状（直线、曲线）设解析式，代入点求参数。 2.解题步骤 (1)找到图像分段分界点，划分区间； (2)判断每一段图像类型（一次、二次等），设标准解析式； (3)代入图像上已知点，解出每一段参数； (4)分段写出完整函数，标注对应范围。 3.易错提醒 分界点区间写错；一段图像混用两种函数模型。 （二）分段函数图象的应用 1.核心逻辑 依靠分段图像直观解不等式、求零点、比较函数值、求参数范围。 2.解题步骤 (1)观察图像分段变化趋势、交点、端点； (2)求零点：图像与轴交点横坐标； (3)解不等式：根据图像上下位置筛选； (4)动态含参图像：找到临界交点/相切位置求参数边界。 3.易错提醒 忽略分段区间限制，直接用全图像分析。 题型训练 70．（2026高二·重庆沙坪坝·期末）已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是__________． 71．（2026高一·四川泸州·期中）已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 72．（2026高一·湖南·期中）已知函数，则方程的解的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 考点十 分段函数的实际应用 策略方法 1.核心逻辑 阶梯收费、分段计价、分段提成等问题，根据收费临界点划分自变量区间，分段列解析式。 2.解题步骤 (1)审题找出价格/费用变化的分界点； (2)按分界点划分取值区间； (3)每一段根据题意列出费用函数； (4)叠加实际定义域（数量、时间≥0，整数）； (5)求值、求最值时代入对应分段解析式计算。 3.易错提醒 分界点划分错误；忽略实际场景自变量非负、整数约束。 题型训练 73．（2026高一·山东菏泽·期末）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数 (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入-总成本） (2)记为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？ 74．（2026高一·江西上饶·期末）为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，当地市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，该企业在经营过程中每月还要支付给职工每月3万元的最低工资保障. (1)写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出企业最早在几年后能偿还所有贷款？ 75．（2026高一·全国·专题练习）最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫健委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完，写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式. 76．（2026高一·云南·阶段检测）某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 考点十一 函数的新定义题 策略方法 1.核心逻辑 读懂题目全新给出的函数运算/对应规则，严格套用新定义，不混用课本原有函数性质。 2.解题步骤 (1)拆解题干文字，翻译出新定义的运算公式； (2)把题目给出的自变量代入新定义公式； (3)结合函数三要素（定义域、对应关系）化简计算； (4)解不等式、求值域全程遵循题目自定义规则。 3.易错提醒 用固有函数性质代替题目新定义，不按题干规则运算。 题型训练 77．（2026高三·全国·竞赛）多项式与的次数均为3且首项系数均为1，它们是无重根三次多项式，根均为集合{1,2,3,4,5}中的元素．函数具有如下性质：存在实数，使得满足的所有实数构成的集合是闭区间与开区间的并集．问这样的函数有多少个？（    ） A．7 B．9 C．11 D．12 E．13 $2026-2027学年新高一暑假人教A版2019必修第一册考点通关提升讲义 专题10 函数的表示法11种常见考法归类（77题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数的三种表示法 （一）列表法 （二）解析法 （三）图象法 考点二 求函数的解析式 （一）待定系数法求解析式 （二）换元法求解析式 （三）配凑法求解析式 （四）方程组法求解析式 （五）赋值法求解析式 考点三 作函数图象及其应用 （一）画具体函数的解析式 （2） 函数图象的变换 （3） 函数图象的应用 考点四 分段函数求值 （1） 求分段函数的值 （二）已知分段函数的值求参数 考点五 分段函数与不等式的综合 考点六 分段函数图象的画法 考点七 分段函数的定义域、值域问题 考点八 根据分段函数的值域求参数 考点九 分段函数图象的应用 考点十 分段函数的实际应用 考点十一 函数的新定义题 知识点1：函数的表示法 (1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. (2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. (3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 注：并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 知识点2：求函数解析式 (1)待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． (2)换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. (3)配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， (4)方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 知识点3：分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 知识点4：分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象． 注：(1)分段函数定义域、值域的求法 ①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； ②分段函数的值域是各段函数值域的并集． (2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．　 知识点5：函数的图象 （1）函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. （2）函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； （3）函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 考点一 函数的三种表示法 策略方法 （一）列表法 1.核心逻辑 用表格直接列出有限自变量与对应函数值，不用计算就能读取数值，仅适合自变量取值少的场景。 2.解题步骤 (1)梳理题目给出的两组变量； (2)表格第一行写自变量，第二行写对应函数值； (3)表格必须完整标注所有对应数值，无遗漏； (4)判断函数：同一只出现1个，无一对多。 3.易错提醒 (1)自变量重复出现且对应2个不同函数值，不满足函数定义； (2)自变量有无穷多个时，不能只用列表完整表达函数。 （二）解析法 1.核心逻辑 用代数式表达关系，可计算定义域内任意函数值，方便研究单调性、奇偶性、值域等性质，是最常用表示方法。 2.解题步骤 (1)梳理等量关系，写出关于的代数式； (2)标注完整定义域（分式、根式、零次幂有限制，实际问题加现实约束）； (3)求值、求性质直接代入代数式运算。 3.易错提醒 只写解析式，遗漏定义域，导致函数不完整。 （三）图象法 1.核心逻辑 坐标平面内点的集合，直观展示增减、最值、交点；竖线判定法：任意垂直轴直线最多1个交点才是函数。 2.解题步骤 (1)先确定定义域，只画允许范围内的图像； (2)描关键点（与坐标轴交点、顶点、分段分界点）； (3)平滑连线，分界点区分实心/空心； (4)看图解题：图像高低代表函数值大小，上升=递增、下降=递减。 3.易错提醒 竖线与图像出现2个及以上交点，误判为函数；分界点虚实标记颠倒。 题型训练 （1） 列表法 1．（2026高一·江西上饶·期末）根据表中数据，可得__________. 1 2 3 4 2 3 4 1 4 1 2 3 【答案】3 【分析】通过表格找到对应的的值，进而可以找到的值. 【详解】由题意得，则， 故答案为：3. 2．（2026高一·江苏南京·期中）函数由下表给出，则（ ） x 1 2 3 4 2 4 3 1 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据表中的对应关系，求解即可得到答案． 【详解】由表格可知，时，， 所以． 故选：D． 3．（2026高一·河南·阶段检测）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义求值即可． 【详解】因为，所以． 故选：C． 4．【多选】（2026高三·全国·专题练习）已知函数，分别由下表给出： 则（   ） A．的值为 B．函数的值域为 C．方程的解集为 D．满足的的值是 【答案】ACD 【分析】根据表格中的数据得到函数和，然后依次判断即可. 【详解】对于A，由表格可知，，，故A正确； 对于B，函数的定义域是． 则当时，； 当时，； 当时，． 所以函数的值域为，故B错误； 对于C，当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意， 综上，方程的解集为，故C正确； 对于D，，，，，，， ∴满足的值为，故D正确． （二）解析法 5．（2026高二·湖南·学业考试）一个矩形的周长是10，则矩形的长关于宽的函数解析式为（  ）（默认） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的周长可列出之间的关系式，求出x的范围，即得答案. 【详解】由题意可得，则， 其中，则，则， 故矩形的长关于宽的函数解析式为. 故选：A 6．【多选】（2026高三·贵州遵义·阶段检测）已知函数的定义域为，且，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对各选项给出的函数，逐一验证是否满足条件即可. 【详解】首先，各选项给出的函数定义域均为. 对A：，，所以成立，故A符合题意； 对B：，，所以成立，故B符合题意； 对C：，，所以成立，故C符合题意； 对D：，，所以不是恒成立，故D不合题意. 故选：ABC 7．【多选】（2026高一·湖南·期中）设函数的定义域为，若，，则称为“循环函数”．下列函数中，为“循环函数”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据“循环函数”的概念逐项判断即可. 【详解】若，则，得为“循环函数”，故A正确； 若，则，得不是“循环函数”，故B错误； 若，则，得为“循环函数”，故C正确； 若，则，得为“循环函数”，故D正确. 故选：ACD. （三）图象法 8．【多选】（2026高一·陕西延安·期中）设集合，则下列图象能表示从到的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数的定义结合图像逐一判断各个选项即可. 【详解】对于A，任意，都能在中找到唯一的元素与之对应，A正确； 对于B，，2 在中找不到元素与之对应，不符合函数的定义，B错误； 对于C，任意，都能在中找到唯一的元素与之对应，C正确； 对于D，中有的元素在中对应两个值，不符合函数的定义，D错误； 故选：AC. 9．（2026高一·四川南充·阶段检测）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的是（     ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【分析】根据给定条件，利用函数定义及表示法逐项判断得解. 【详解】对于A，由图象法表示函数，且该图象符合函数的定义，A正确； 对于B，集合中大于2且小于等于4的数，在集合中没有元素与之对应，不符合函数定义，B错误； 对于C，集合中存在元素，在中与之对应的元素不唯一，如时，对应值有2个，C错误； 对于D，集合中存在元素，在中与之对应的元素不唯一，且的范围不对，D错误. 故选：A 10．（2026高一·广东广州·期中）如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，当时，，则， 当时，， 所以，显然只有C满足. 11．（2026高一·河南漯河·阶段检测）周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据该同学在行进过程中的前进方式的不同，直接确定对应函数图象即可. 【详解】第一段时间，该同学骑行共享单车由学校往漯湾古镇方向匀速骑行，前进了，则该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段上升的线段； 第二段时间休息了半小时，随时间变化，该同学离起点的距离并没有发生变化，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一条平行于x轴的线段； 第三段时间，原路返回，其距离起点应越来越近，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段下降的线段； 第四段时间，调转车头继续向漯湾古镇方向前进，该部分对应的图象应和第一段时间的相似； 因此只有C选项符合. 故选：C. 12．（2026高一·湖南·期中）小宇周日去电影院看电影，从家出发匀速步行一段路后发现快迟到了，就匀速跑步前进，看完电影后匀速步行回家，下面图象由与上述事件吻合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把时间与离家的路程变化，与速度有关，所以根据速度的大小来判断直线的斜率. 【详解】从家出发先匀速步行，此时直线的上升幅度较小，中间匀速跑步前进，此时直线的上升幅度较之前步行的增大，后面看电影的时间表示离家的距离没有发生变化，故直线呈水平状态，最后匀速步行回家，此时直线下降，最后减至离家的距离为. 根据以上判断，只有B吻合， 故选：B. 考点二 求函数的解析式 策略方法 （一）待定系数法求解析式 1.核心逻辑 已知函数类型（一次、二次、反比例等），设带参数的标准式，代入已知点列方程解参数。 2.解题步骤 (1)根据函数类型设解析式：一次、二次、反比例； (2)将图像经过的点坐标代入式子，得到方程组； (3)解方程组求出所有待定系数； (4)把参数代回，写出完整解析式并标注定义域。 3.易错提醒 设二次函数漏写常数项；代入点计算符号出错。 （二）换元法求解析式 1.核心逻辑 已知求，令换元，换元必须同步求的取值范围。 2.解题步骤 (1)设，反解出用表示； (2)把原式所有替换成，化简得到； (3)把统一换成，同时标注的范围（即的值域）。 3.易错提醒 只换元，不写新自变量的取值范围，定义域丢失。 （三）配凑法求解析式 1.核心逻辑 不用换元，直接对变形，凑出整体，再整体替换为。 2.解题步骤 (1)拆分、变形右侧代数式，全部整理成含的式子； (2)将式子中所有直接替换成； (3)结合值域，标注定义域。 3.易错提醒 变形配凑时计算出错，无法统一凑出相同整体。 （四）方程组法求解析式 1.核心逻辑 题干同时出现与、与，替换自变量构造第二个方程，联立消元求。 2.解题步骤 (1)保留原式作为方程①； (2)将式子中替换成或，得到方程②； (3)联立二元方程组，消去； (4)化简得到表达式，标注定义域。 3.易错提醒 替换自变量时，代数式全部同步替换，漏换部分项。 （五）赋值法求解析式 1.核心逻辑 给赋特殊值（），消去多余变量，直接推导固定表达式，多用于抽象函数。 2.解题步骤 (1)观察抽象等式，选择合适特殊值代入； (2)多次赋值消去等多余项； (3)整理等式，分离出只含的式子； (4)补充定义域范围。 3.易错提醒 赋值随意，无法消去多余函数项，求不出解析式。 题型训练 （一）待定系数法求解析式 13．（2026高一·全国·假期作业）已知函数是一次函数，若，则______． 【答案】或 【详解】设，则. 又，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 14．（2026高一·天津静海·阶段检测）已知是一次函数，且，，则的解析式为_______. 【答案】 【分析】利用待定系数法计算即可. 【详解】由题意可设，所以， 解之得，即. 故答案为：. 15．（2026高一·重庆·期中）已知二次函数满足：，． (1)求二次函数的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设出二次函数解析式，利用待定系数法求解. （2）由（1）的结论列出一元二次不等式，再求解该不等式. 【详解】（1）设二次函数，由，得，则； 由，得， 即，因此，解得，， 所以二次函数的解析式为. （2）由（1）知，，不等式， 即，解得或， 所以原不等式的解集为或. 16．（2026高一·全国·专题练习）已知二次函数满足：对任意，均有，且，求的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】设（）， 对任意均有成立， 则， 即恒成立，则有，解得， 又，得， 所以． （二）换元法求解析式 17．（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法求解函数的解析式逐一判断即可. 【详解】令，则， 由，得. 所以. 18．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 19．（2026高三·全国·专题练习）已知，求的解析式． 【答案】 【分析】先利用换元法求得函数的解析式，进而求得的解析式，注意定义域. 【详解】令，则，， 因为，则， 所以， 所以，并令，解得， 所以． 20．（2026高一·全国·专题练习）已知函数满足：对任意非零实数，都有，则的解析式为______． 【答案】 【分析】先整理，进而利用换元法求解即可. 【详解】由， 令，得， 所以的解析式为． 故答案为：. （三）配凑法求解析式 21．（2026高一·全国·专题练习）已知，则________． 【答案】 【详解】，． ，其中．． 22．（2026高二·全国·专题练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配凑法即可解答. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 23．（2026高二·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解. 【详解】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. （四）方程组法求解析式 24．（2026高二·山西阳泉·期末）若，满足，且，则_______． 【答案】8 【分析】利用解方程组法求得，，再根据求得，进而代值计算即可. 【详解】由，得， 联立上述两式解得，，即， 而， 则，即， 所以. 25．（2027高三·全国·专题练习）已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【分析】将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解． 【详解】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． 26．（2026高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 【答案】且 【分析】利用解方程组法，分别用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【详解】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． 27．（2026高三·辽宁·期末）已知函数满足，则______. 【答案】 【分析】通过两次赋值将替换成和将替换成，构造方程组求解即可； 【详解】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以， 故答案为： （五）赋值法求解析式 28．（2026高三·广东江门·开学考试）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，可得， 因为，所以， 则. 29．（2026·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】利用赋值法，先令求出，再令，结合方程组法可求解析式，则答案可得. 【详解】令可得，所以， 再令可得， 即①， 将上式中的全部换成可得②， 联立①②可得, 所以， 故选：D 30．（2026·山东聊城·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且，则的值域为__________. 【答案】 【分析】令可得出，令结合偶函数的性质可求得函数的解析式，由此可得出函数的值域. 【详解】对，令，则，解得； 对，令，则， 又为偶函数，，故，解得。 又，故其值域为. 故答案为：. 考点三 作函数图象及其应用 策略方法 （一）画出具体函数的图象 1.核心逻辑 基础函数直接抓关键点作图；陌生函数遵循“列表→描点→连线”三步。 2.解题步骤 (1)求定义域，确定图像左右边界； (2)选取代表性，计算对应，列表； (3)平面直角坐标系描出所有点； (4)按从小到大平滑连线； (5)分界点：可取标实心点，取不到标空心圈。 3.易错提醒 忽略定义域画出多余图像；端点虚实标记混淆。 （二）函数图象的变换 1.核心逻辑 平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项；先伸缩后平移；翻折、对称改变符号。-平移：左移；右移；上下平移-对称：关于轴对称；关于轴对称-翻折：下翻上；右翻左 2.解题步骤 (1)画出基础母函数图像； (2)按顺序分步变换（先伸缩，再平移，最后对称翻折）； (3)同步变换顶点、零点、渐近线等关键点； (4)标注变换后函数定义域。 3.易错提醒 左右平移只给加减，错误给整个括号加减；伸缩平移顺序颠倒。 （三）函数图象的应用 1.核心逻辑 数形结合，看图转化代数条件：图像高低→函数值大小；交点→方程解；上下位置→不等式解集。 2.解题步骤 (1)画出题干所有函数图像，标出交点横坐标； (2)解方程：交点横坐标为方程的解； (3)解不等式：取图像在上方的范围； (4)找最值：图像最高点为最大值，最低点为最小值。 3.易错提醒 分不清图像上下，不等式解集写反；遗漏区间端点等号。 题型训练 （一）画出具体函数图象 31．（2026高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 【答案】 【分析】先求出函数的定义域为，再由于原函数解析式可化为，故函数图象可以由通过平移而得到. 【详解】函数的定义域为，由于原函数解析式可化为，故函数图象可由函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，如图所示. 32．（2026高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 【答案】 【分析】利用描点法作出函数图象. 【详解】的定义域为， 列表如下： 作出图象如图： 33．（2026高一·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数 (1)请在直角坐标系中画出函数的图像； (2)求方程的解集； (3)当x取何值，y分别大于0，小于0？ 【答案】(1)图象见解析 (2) (3)当时，，当时，. 【分析】（1）分析出二次函数的开口，顶点坐标，与轴的交点坐标等，画出图象； （2）由（1）可得方程的解集； （3）数形结合得到和的解集. 【详解】（1），开口向下，顶点坐标为， 令，解得或5， 画出图象如下： （2）由图象可知的解集为； （3）由图象可知，当时，， 当时，. （二）函数图象的变换 34．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数，与函数的图象关系，结合函数的奇偶性逐一判断即得． 【详解】由题意可知，图乙函数是偶函数， 对于A：的图象是保持在轴右侧的图象并将右侧图象沿着轴翻折，而乙图中在轴右侧的图象发生改变，故A不合题意； 对于B：的图象是保持在轴上方的图象并将下方的图象沿着轴翻折,而乙图中在 原点附近的图象均在轴下方，故B不合题意； 对于C：当时，，即乙图中在轴右侧的图象可由甲图中在轴左侧的图象翻折得到， 又为偶函数，图象应关于轴对称，故C符合题意； 对于D：可由关于轴翻折得到，根据A项分析,可知D符合题意. 35．（2026高一·河北邢台·开学考试）已知函数的图象如图所示，则的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由与图象关于y轴对称，得的图象为A选项. 36．（2026高一·江西景德镇·期中）函数的图象可以由函数的图象（    ）而得到. A．向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度 B．向左平移2个单位长度，向上平移1个单位长度 C．向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度 D．向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度 【答案】B 【分析】根据图象平移前后的解析式确定平移过程即可. 【详解】由的图象向左平移2个单位得的图象， 再将的图象向上平移1个单位得的图象. 故选：B 37．【多选】（2026高一·甘肃白银·期中）如果一个函数的图象通过平移后可以得到函数的图象，那么这个函数可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据函数图象平移的规则进行判断即可. 【详解】对于A，因为函数的图象无法通过平移后得到函数的图象，故A错误； 对于B，因为将函数的图象向右平移一个单位， 可得函数的图象，故B正确； 对于C，因为将函数的图象向上平移一个单位， 可得函数的图象，故C正确； 对于D，因为， 所以将函数的图象向左平移一个单位，可得函数的图象， 再将函数的图象向上平移一个单位，可得函数的图象，故D正确. 故选：BCD. 38．（2026高三·全国·一轮复习）已知图①中的图象是函数的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象的翻折变换判断即可. 【详解】因为题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉函数的图象在轴右侧的部分， 然后将轴左侧图象翻折到轴右侧得到的，所以题图②中的图象对应的函数可能是. 故选：C （三）函数图象的应用 39．（2026高一·云南红河·期中）已知函数和的大致图象如图所示，则的解集为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定函数图象，分别确定函数值为正及为负时的取值范围，再求出不等式的解集. 【详解】观察图象，函数满足，当时，，当时，； 函数满足，当时，，当或时，； 由不等式，得，则， 所以原不等式的解集为. 故选：C 40．（2026高一·江西景德镇·期中）函数的图象如图所示.      (1)求，； (2)求函数的定义域和值域. 【答案】(1)，； (2)定义域为，值域为 ； 【分析】（1）由函数图象观察即可得到结果； （2）直接分析函数图象即可得到结果； 【详解】（1）由图象知：，； （2）由图可知，函数的定义域为，值域为； 41．（2026高一·陕西商洛·期中）已知函数的图象如图所示，则等于（    ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据函数图象确定、、的值，再将它们相加即可． 【详解】由函数可得，，， 所以． 故选：C． 考点四 分段函数求值 策略方法 （一）求分段函数的值 1.核心逻辑 先判断自变量落在哪一段区间，再代入对应解析式；复合求值由内向外逐层计算。 2.解题步骤 (1)看数值，匹配分段自变量区间； (2)将代入本段代数式计算； (3)多层复合：先算内层，再把结果当作新再次匹配区间计算外层。 3.易错提醒 自变量代错区间表达式；复合求值由外向内颠倒计算顺序。 （二）已知分段函数的值求参数 1.核心逻辑 函数值对应某一段区间，先锁定自变量所在分段，列式求解后检验区间范围。 2.解题步骤 (1)分每一段解析式，令式子等于已知函数值，解方程； (2)检验解出的自变量是否落在本段区间； (3)舍去不在区间内的增根，保留有效解。 3.易错提醒 解方程后不检验区间，保留不符合分段范围的解。 题型训练 （一）求分段函数的值 42．（2026高二·广东·期末）已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】，，则． 43．（2026高二·江西南昌·期末）已知函数则_______. 【答案】 【详解】 根据分段函数定义，, 因此. 44．（2026高二·福建·学业考试）函数，则__________． 【答案】 【详解】因为，所以. 45．（2026·湖南长沙·模拟预测）设，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】由已知， 所以. 46．（2026高一·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 【答案】B 【分析】按照从内到外的顺序，先计算内层的值，再将所得结果代入函数计算外层值 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. （二）已知分段函数的值求参数 47．（2026高二·天津红桥·期末）已知分段函数，，则实数________． 【答案】或2 【详解】当时，，解得； 当时，，解得（舍）或， 所以或. 48．（2026高一·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 【答案】或/或 【分析】根据分段函数的定义域分界点，分及两类求解的取值，再计算. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. 49．（2026·浙江·模拟预测）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. 50．（2026高一·贵州贵阳·阶段检测）设函数，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据给定的分段函数，分段判断代入计算得解. 【详解】函数，则，因此， 所以. 故选：C 考点五 分段函数与不等式的综合 策略方法 1.核心逻辑 分段分类讨论，每一段单独列不等式，分别求解，最后合并所有解集。 2.解题步骤 (1)按分段区间拆分不等式； (2)每一段联立：本段范围+本段解析式构成的不等式； (3)分别解每组不等式，取每组内部交集； (4)把所有分段的有效解集取并集，得到最终答案。 3.易错提醒 不按区间分段讨论，直接带入单一解析式求解。 题型训练 51．（2026高二·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. 52．（2026高一·北京西城·期中）已知函数，则___________；若，的取值范围是___________． 【答案】3，或. 【分析】（1）根据分段函数的自变量范围代入求值即可. （2）结合分段函数分情况求解不等式即可. 【详解】因为，所以. 当时，可化为，解得， 又，所以； 当时，可化为，即解得或， 又，所以； 综上，若，的取值范围是或. 故答案为：3，或 53．（2026高一·天津滨海新区·阶段检测）已知函数． (1)求的值； (2)若，求a的值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，，； (2)或； (3) 【分析】（1）将分别代入求解即可； （2）分、分别求解即可； （3）分、分别求解即可. 【详解】（1）因为函数， 所以，，； （2）当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得． 所以的值为或； （3）当时，，所以； 当时，，所以． 所以的取值范围为. 54．（2026高一·辽宁沈阳·期中）设函数则不等式的解集是___________ 【答案】 【分析】根据分段函数的结构，分段求解不等式再求并集即得. 【详解】由可得， 当时，由可得，解得，则得； 当时，由可得，解得，则得. 故原不等式的解集为. 故答案为：. 55．（2026高一·广东中山·阶段检测）已知函数，则的解集为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义域，分别在不同区间内求解不等式，然后取并集即可. 【详解】当时，，解得； 当时，， 即，即，解得或（舍去）， 所以的解集为. 故选：. 56．（2026高二·黑龙江大庆·期末）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数解析式分两段得到不等式，分别解两个不等式取并集即可. 【详解】根据题意，由于函数， 那么可知当，则，解得； 当，则，即，解得或， 综上，不等式的解集是. 故选：A. 考点六 分段函数图象的画法 策略方法 1.核心逻辑 分段单独作图，绝对值函数先去绝对值拆分段；分界点严格区分空心、实心。 2.解题步骤 (1)含绝对值：根据绝对值定义去掉绝对值，拆分为多段函数； (2)每一段单独画出对应图像，只保留本段区间内的部分； (3)区间包含端点画实心点，不包含画空心圈； (4)整合所有分段图像，形成完整分段函数图像。 3.易错提醒 分段区间端点重复/遗漏；分界点虚实标记全部标反。 题型训练 57．（2026高一·云南昭通·期中）在图中，作出下列函数的图象. (1)，； (2)已知函数 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数解析式即可直接作图； （2）由函数解析式即可直接作图； 【详解】（1）略 （2）略 58．（2026高一·全国·课后作业）给定函数，，． (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较大者，记为．请分别用图象法和解析法表示函数． 【答案】(1)   (2)   . 【分析】（1）根据一次函数和二次函数的图象特征画图即可； （2）根据题意可得的图象，再结合图象求解即可. 【详解】（1）同一直角坐标系中函数，的图象如下：    （2）结合的定义，可得函数的图象：    由，得，解得，或． 由图易知的解析式为. 59．（2026高一·全国·单元测试）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【答案】(1)， (2)或1或 (3)   【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集. 【详解】（1）因为， 所以，． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 60．（2026高一·江苏·专题练习）已知函数. (1)用分段函数的形式表示函数； (2)画出函数的图象，并写出函数的值域. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用绝对值的性质进行分类讨论求解即可； （2）根据一次函数图象性质进行画图，根据图象求最值即可. 【详解】（1）当时，； 当时，； 所以 （2）由（1）得 由此画出的图象如下图所示： 由图象知，的值域为. 考点七 分段函数的定义域、值域问题 策略方法 1.核心逻辑 定义域=各段自变量区间的并集；值域=每一段函数取值范围的并集。 2.解题步骤 (1)定义域：把所有分段范围合并，去掉重复区间； (2)值域：单独求每一段解析式在对应区间的取值范围； (3)将各段值域整合取并集，写出最终值域区间。 3.易错提醒 定义域、值域取交集而非并集；某一段值域计算遗漏最值。 题型训练 61．已知函数，则函数的定义域为_________、值域为_________． 【答案】 【详解】作出分段函数的图象，由图象判断函数的定义域、值域． 作出图象如图所示． 利用数形结合易知的定义域为，值域为． 62．（2026高一·贵州·期中）已知函数，则（   ） A． B．方程的解集为 C．定义域为 D．值域为 【答案】D 【分析】根据函数的解析式，结合选项，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由函数， 对于A，由，所以A不正确； 对于B，当时，令，解得； 当时，令，解得， 综上可得，方程的解集为，所以B不正确； 对于C，由函数，可得定义域为，所以C不正确； 对于D，当时，函数为单调递增函数，所以； 当时，函数为单调递增函数，可得， 综上可得，函数的值域为，所以D正确. 故选：D. 63．（2026高一·全国·课前预习）函数 则的定义域为________． 【答案】 【分析】根据题意，结合分段函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 64．（2026高二·福建福州·期末）已知函数的图象如图所示，则的值域是________． 【答案】 【详解】由图知，当，，当，， 因为，所以的值域是. 65．（2026高一·湖南长沙·期末）若定义运算，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出的解析式，再分段求出函数的取值范围，即可得到函数的值域. 【详解】令，解得，所以， 当时，则在上单调递减，则， 即； 当时，则，即； 综上可得函数的值域为. 故选：C 66．（2026高一·四川泸州·期末）已知函数，则的值域是_______． 【答案】 【分析】根据分段函数的定义，分别讨论x与的情况，可将函数表达式统一为，进而求解其值域. 【详解】当，则，则有， 当时，，故， 因为，所以，故的值域为. 故答案为：. 67．（2026高一·四川眉山·期中）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 【答案】(1)； (2) 定义域为，值域为. 【详解】（1）当， ；当，. 故； （2）略 考点八 根据分段函数的值域求参数 策略方法 1. 核心逻辑 分段函数整体值域由各分段区间的值域取并集构成，函数值域的边界取自各分段区间端点、分段内部极值点，结合值域上下界限定条件建立不等式求解参数。 2. 解题步骤 (1) 对每一段函数，结合对应定义域，求解单段函数的值域； (2) 将所有分段值域取并集，得到分段函数整体值域； (3) 对照题目给定值域范围、值域上下限约束，搭建含参数不等式（组）； (4) 求解不等式，代入参数验证各段值域合并后的整体值域符合题干限定。 3. 易错提醒 单独计算某一段值域直接作为整体值域，遗漏多段值域取并集的合并运算，造成值域边界判断错误。 题型训练 68．（2026高一·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D 69．（2026高一·福建福州·期中）已知函数，若在上的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的单调性与取值特征，即可画出函数图象，数形结合即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，所以在上单调递减且， 当时，所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，则的图象如下所示： 因为在上的值域为， 所以，即实数的取值范围为. 故选：A 考点九 分段函数图象的应用 策略方法 （一）根据函数的图象求解析式 1.核心逻辑 按图像分界点拆分区间，每一段根据图像形状（直线、曲线）设解析式，代入点求参数。 2.解题步骤 (1)找到图像分段分界点，划分区间； (2)判断每一段图像类型（一次、二次等），设标准解析式； (3)代入图像上已知点，解出每一段参数； (4)分段写出完整函数，标注对应范围。 3.易错提醒 分界点区间写错；一段图像混用两种函数模型。 （二）分段函数图象的应用 1.核心逻辑 依靠分段图像直观解不等式、求零点、比较函数值、求参数范围。 2.解题步骤 (1)观察图像分段变化趋势、交点、端点； (2)求零点：图像与轴交点横坐标； (3)解不等式：根据图像上下位置筛选； (4)动态含参图像：找到临界交点/相切位置求参数边界。 3.易错提醒 忽略分段区间限制，直接用全图像分析。 题型训练 70．（2026高二·重庆沙坪坝·期末）已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据函数的图像特征，然后根据知道的图像是图像左移个单位长度，要使恒成立，通过分析图像找到相切时的情况，从而确定的取值范围. 【详解】易知函数图象如图所示，因为， 所以函数图象即为函数图象左移个单位长度，    当曲线与直线相切时， 令，即， 则，解得：， 故，恒成立时，由图像可知，. 故答案为：. 71．（2026高一·四川泸州·期中）已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出的图象，根据图形即可得出结果. 【详解】当时，，图象为开口向上的抛物线， 对称轴为，顶点坐标为，作的图象如下，    由图可知，函数图象有3个交点， 则， 即实数k的取值范围为. 故选：D． 72．（2026高一·湖南·期中）已知函数，则方程的解的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先解关于的方程得或，再结合函数图象，即可判断. 【详解】由方程可解得或，结合函数的图象，可得方程的解有6个. 故选：B. 考点十 分段函数的实际应用 策略方法 1.核心逻辑 阶梯收费、分段计价、分段提成等问题，根据收费临界点划分自变量区间，分段列解析式。 2.解题步骤 (1)审题找出价格/费用变化的分界点； (2)按分界点划分取值区间； (3)每一段根据题意列出费用函数； (4)叠加实际定义域（数量、时间≥0，整数）； (5)求值、求最值时代入对应分段解析式计算。 3.易错提醒 分界点划分错误；忽略实际场景自变量非负、整数约束。 题型训练 73．（2026高一·山东菏泽·期末）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数 (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入-总成本） (2)记为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元 【分析】（1）依题意可得，结合的解析式计算可得； （2）首先表示出，再由基本不等式及函数的单调性计算可得. 【详解】（1）由题意知，当月产量为台时，增加投入为元， 所以，又， 所以 （2）因为且， 所以     ， ①当时， ， 当且仅当时，即时取等号，此时的最大值为100．     ②当时，则在上单调递减， 所以．     综上，当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元． 74．（2026高一·江西上饶·期末）为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，当地市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，该企业在经营过程中每月还要支付给职工每月3万元的最低工资保障. (1)写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出企业最早在几年后能偿还所有贷款？ 【答案】(1) (2)年产量为9万件时，企业获得的年利润最大，为24万元；该企业最早5年后能偿还所有贷款 【分析】（1）年利润等于销售收入减去生产成本与职工工资，并分情况讨论，由此可求年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）分情况考虑年利润，结合二次函数与基本不等式即可求得年利润的最大值，并以此值根据题意建立不等式，即可求得企业最早在几年后能偿还所有贷款. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）由（1）得当时，， 所以当时，该企业获得的利润最大，为14万元， 当时，， 当且仅当时，该企业获得的利润最大，为24万元， 故年产量为9万件时，企业获得年利润最大，为24万元， 由题意设最早年后还清所有贷款，则有，解得， 所以该企业最早5年后还清贷款. 75．（2026高一·全国·专题练习）最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫健委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完，写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式. 【答案】 【分析】分和两种情况，由题意得到函数解析式； 【详解】当时， ， 当时， ， 故 76．（2026高一·云南·阶段检测）某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)300台，最大利润为20000元 【分析】（1）根据固定成本、生产一台机器需投入的费用，结合利润的计算方式进行求解即可； （2）利用二次函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题可知， 化简，得 （2）当时，， 所以当时，取最大值10000； 当时，在上单调递减， 所以， 故当时，取最大值20000， 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为20000元． 考点十一 函数的新定义题 策略方法 1.核心逻辑 读懂题目全新给出的函数运算/对应规则，严格套用新定义，不混用课本原有函数性质。 2.解题步骤 (1)拆解题干文字，翻译出新定义的运算公式； (2)把题目给出的自变量代入新定义公式； (3)结合函数三要素（定义域、对应关系）化简计算； (4)解不等式、求值域全程遵循题目自定义规则。 3.易错提醒 用固有函数性质代替题目新定义，不按题干规则运算。 题型训练 77．（2026高三·全国·竞赛）多项式与的次数均为3且首项系数均为1，它们是无重根三次多项式，根均为集合{1,2,3,4,5}中的元素．函数具有如下性质：存在实数，使得满足的所有实数构成的集合是闭区间与开区间的并集．问这样的函数有多少个？（    ） A．7 B．9 C．11 D．12 E．13 【答案】D 【分析】由解集端点的开闭性可知，闭区间的两个端点必须是分子独有根，开区间的两个端点必须是分母独有根；再根据分子、分母均为三次多项式，确定二者恰有一个公共根，并讨论公共根的位置． 【详解】设分子 的两个独有根为 ，分母 的两个独有根为 ，其中 因为 的端点属于解集，所以 必须是 的根且不是 的根； 因为 的端点不属于定义域，所以 必须是 的根且不是 的根． 均有三个互不相同的根，而 已是四个不同的根，故 恰有一个公共根，记为 ． 于是且约去公因式后但 仍不在原函数的定义域内． 由 ，上式满足前提是公共根 不能落在 或 内，否则解集中会出现缺点． 逐一讨论 的位置： 当 时，，符合题意； 当 时，，闭区间内出现缺点，不符合题意； 当 时，，符合题意； 当 时，，开区间内出现缺点，不符合题意； 当 时，，符合题意． 因此共有 个符合条件的函数，选项 D 正确． $