29.2圆的有关性质（5大知识点+12大题型+分层训练）2026-2027学年人教版九年级数学上册

29.2圆的有关性质 学习目标导航 1、掌握对称性：理解圆的轴对称性和旋转对称性，掌握垂径定理及其推论，并能运用其解决与弦长、半径相关的计算和证明问题。 2、理解角的关系：掌握圆心角、圆周角的概念，理解并熟练运用圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）及其推论。 3、探究关联：理解弧、弦、圆心角三者之间的“知一推二”关系，并能结合三角形的外接圆、外心等概念解决综合问题。 洞悉◆教材核心知识 知识点一 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴.圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心.圆还具有旋转不变性. 知识点二 垂径定理 名称 文字语言 符号语言 图示 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 拓展 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． （1）有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度； 【补充】在构造Rt△ODE中，半径OD，弦心距OE，弦长CD，拱高BE四个量知二推二. （2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分. 知识点三 圆心角及弧、弦、圆心角之间的关系 定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； （3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。 注：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧、两个弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等 如图所示，∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【注意】不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果遗漏了这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等. 反例： 【解题思路】应用圆周角定理时，要识别图形，确认同弧或等弧所对的圆周角和圆心角，必要时依据弧构造圆周角或圆心角. 知识点四 圆周角及圆周角定理 定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 知识点五 圆内接四边形及其性质 概念 如果一个四边形的所有顶点均在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形. 性质 圆内接四边形对角互补. ∠BAD+∠BCD=180°， ∠ABC+∠ADC=180° 延伸 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻的内角的对角）. ∠1=∠2 核心题型◆归纳 题型01 利用垂径定理求解 题型02 利用垂径定理的推论求解 题型03 利用垂径定理解决实际问题 题型04 利用垂径定理解决平行弦问题 题型05 利用垂径定理解决同心圆问题 题型06 圆心角及圆周角的识别 题型07 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型08 利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型09 利用圆周角定理求解 题型10 利用圆周角定理推论求解 题型11 利用圆内接四边形的性质求解 题型12 圆的性质综合 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 利用垂径定理求解 例1．如图，以点为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点P作于D，则A，B两点一定关于对称．即可求解． 【详解】解：过点P作于D， 则D的坐标是． 点的坐标为， ． ． ，B两点一定关于对称， ． ． 则点A的坐标是． 故选∶B． 题型02 利用垂径定理的推论求解 例2．如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，熟知垂径定理及其推论是解答的关键． 连接，，，根据垂径定理的推论得到，，，则O、D、C共线，设半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵C，D分别是和弦的中点，， ∴，，， ∴O、D、C共线， 设半径，则， 由勾股定理得，即 解得，故的半径是5， 故答案为：5． 题型03 利用垂径定理解决实际问题 例3．如图1，唐代李皋发明了桨轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点D，则该桨轮船的轮子半径为________米． 【答案】5 【分析】连接，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，设该桨轮船的轮子半径为，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得． 故该桨轮船的轮子半径为． 题型04 利用垂径定理解决平行弦问题 例4．已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则，   ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接，   同理， ， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：C． 题型05 利用垂径定理解决同心圆问题 例5．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 题型06 圆心角及圆周角的识别 例6．下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角. 根据圆心角的概念判断即可. 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意； 故选：B ． 题型07 利用弧、弦、圆心角的关系求解 例7．在直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，连接、，通过判断为等边三角形，求出弦所对的圆心角即可． 【详解】解：连接、， ∵的直径为， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴ 即弦所对的圆心角是， 故选：C． 题型08 利用弧、弦、圆心角的关系求证 例8．如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是____________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的知识点是圆心角、弧、弦的关系，解题关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 利用同圆或等圆中弧、弦及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：在中，， ，故①正确； 是公共弧， ，故②正确； ，故③正确； 根据已有条件无法推得，故④错误． 综上，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 题型09 利用圆周角定理求解 例9．如图，点A，点B，点C在上，连接，，，连接并延长交于点D．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆周角定理得出，再根据等腰三角形的性质和邻补角的定义求出，再根据三角形外角性质求出． 【详解】解：∵点A，点B，点C在上，， ∴，， ∵连接并延长交于点D，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型10 利用圆周角定理推论求解 例10．如图，内接于，是的直径，，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，根据直径所对的圆周角为90度可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而可得． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 则． 故答案为：． 题型11 利用圆内接四边形的性质求解 例11．如图，四边形内接于，连接，，则的度数为_______ °． 【答案】30 【分析】根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的等边对等角性质进行解答即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型12 圆的性质综合 例12．如图，是的直径，点C，D是上的点，且，与相交于点E，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，再根据垂径定理证明； （2）根据勾股定理列出方程，解方程求出的半径，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算得到答案． 【详解】（1）证明：是直径， ， ， ∴， ， ∵为半径， ； （2）解：，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得： ABC分层训练 1．如图，在半径为4的中，于，点为中点，弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，根据勾股定理求出的长度是解本题的关键． 【详解】连接， ∴， 又∵点为中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选C． 2．如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为E，则下列结论中错误的是（    ） A．AE=BE B．CE=DE C．AC=BC D．AD=BD 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】回顾一下垂径定理的内容，根据定理得出AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，即可得出选项． 【详解】∵CD⊥AB，CD为直径， ∴AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，CE＞DE， AD=BD,AC=BC, 故选:B． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，解此题的关键是能正确理解定理的内容，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的每一条弧． 3．如图，MN为⊙O的弦，∠MON＝76°，则∠OMN的度数为（    ） A．38° B．52° C．76° D．104° 【答案】B 【知识点】等边对等角、圆周角的概念辨析及简单运算 【分析】根据圆的基本性质，可得 ，从而得到 ，再由三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵MN为⊙O的弦， ∴ ， ∴ ， ∵∠MON＝76°， ∴ ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握同圆（或等圆）的半径是解题的关键． 4．如图，在⊙O中，直径垂直弦于点，若，，则的长为_________． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】求出半径长，根据勾股定理求出DE，再根据垂径定理求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵直径垂直弦于点， ∴， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是熟练运用垂径定理求圆中的弦长． 5．如图，在⊙O中，，∠1＝45°，则的度数为 ___． 【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴∠2=∠1=45°， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 6．如图，是⊙O的直径，弦交于点E，，，则的度数为________． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】连接BC，利用圆周角性质求出∠DCB，利用直径所对的圆周角为90°求出∠ACB，利用三角形内角和求出∠ABC，再利用外角的性质可求出； 【详解】解：连接BC，则∠DCB= ∵是⊙O的直径 ∴∠ACB=90° ∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-40°-90°=50° ∴∠AEC=∠ABC+∠ECB=50°+30°=80° 故答案为： 【点睛】本题考查了圆周角的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题关键是灵活运用圆和三角形的性质解决问题． 7．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整． 如图2所示，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，半径为． 作弦AB的垂线OC，D为垂足，则___________． 经测量，，则___________；用含r的代数式表示___________． 在中，由勾股定理可列出关于r的方程：___________．解得． 通过换算，车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为___________之轮．（填“兵车”或“田车”） 【答案】，，，，兵车 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】根据垂径定理，进行作答即可． 【详解】解：根据垂直弦的直径平分弦可知：， ∵， ∴，， ∴， 解得：， ∴此车轮为：兵车之轮； 故答案为：，，，，兵车． 【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握：垂直于弦的直径，平分弦，是解题的关键． 8．如图，中，弦AB，CD相交于点E，且，连结AC，BD，求证：． 【答案】证明见解析． 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】由AB＝CD，根据弧与弦的关系，可得，继而证得，则可证得AC＝BD． 【详解】证明：∵， ∴． ∴． 即． ∴． 【点睛】此题考查了弦与弧的关系，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 9．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝120°，延长BO交⊙O于点D． (1)试求∠BAD的度数； (2)求证：△ABC为等边三角形． 【答案】(1)∠BAD＝90°；(2)证明见解析. 【知识点】等边三角形的判定和性质、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角求解； (2) 根据圆周角定理可求得∠BAC=60°，再根据有一角为60°的等腰三角形为等边三角形求得结论. 【详解】(1)解：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°. (2)证明：∵∠BOC＝120°， ∴∠BAC＝∠BOC＝60°. 又∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定. 10．已知为的直径，弦于点E，，，则的直径为（　　） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 如图所示，连接，则，由垂径定理可得，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，则， ∵弦于点，，， ∴， ∴在中，， ∴的直径为20． 故选：D． 11．如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意正确作出辅助线． 如图，取弧的中点E，连接，证明，再利用三角形的三边关系解决问题． 【详解】解：如图，取弧的中点E，连接， ，， ， ， ， ． 故选：B． 12．如图，点A，B，C在上，，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理 【分析】本题考查圆周角定理及三角形内角和定理，解题关键是利用圆周角定理求圆心角，再借三角形内角和算角的度数． 根据圆周角定理即可得到的度数，设和交于点D，在中，利用三角形内角和定理即可求出的度数； 根据对顶角相等可得的度数，接下来在中，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：设和交于点D， ∵和为所对的圆心角和圆周角度数，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、利用垂径定理求平行弦问题 【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算． 【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H， 则EH=FH=EF=2， ∵GB=5， ∴OF=OB=， 在△OHF中，勾股定理，得 OH=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形OADH也是矩形， ∴AD=OH=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 14．如图，在中，是的直径，是上一动点，的最小值是____________． 【答案】10 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，垂径定理，圆心角与弧之间的关系，作点A关于的对称点C，连接，则，可证明点C在上，再证明，得到三点共线，根据可得当C、P、B三点共线时，最小，即此时最小，则的最小值为． 【详解】解：如图所示，作点A关于的对称点C，连接， 由轴对称的性质可得垂直平分， ∴， ∵是的直径， ∴点C在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴当C、P、B三点共线时，最小，即此时最小， ∴的最小值为， 故答案为：10； 15．如图，是圆的直径，是圆的弦，，则的度数是________． 【答案】/度 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了圆周角定理，熟悉掌握圆周角定理是解题的关键． 利用圆周角定理求出，再运算出的度数后即可求解． 【详解】解：∵是圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．已知，，，都是上的点，请仅用无刻度的直尺完成画图． (1)在图中，是的直径，平行四边形的顶点在上，画出弧的中点； (2)在图中，是的直径，平行四边形的顶点，分别在，上，画出弧的中点． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】利用平行四边形的性质证明、根据菱形的性质与判定求线段长、垂径定理的推论、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了无刻度直尺画图，菱形的判定与性质，垂径定理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接对角线，然后延长交于点，则点即为所求； （）连接交于点，连接，然后延长交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，连接对角线，然后延长交于点， 理由：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∴点即为所求； （2）解：如图，连接交于点，连接，然后延长交于点， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为半径， ∴， ∴， ∴点即为所求． 17．如图，已知为的直径，，绕点旋转，，两点不与，重合． (1)求证：； (2)成立吗？为什么． 【答案】(1)证明见解析； (2)不成立，理由见解析． 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】（）直接利用弧度与圆心角的关系得出答案； （）利用三角形三边关系以及圆心角、弧、弦的关系得出即可； 此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系，正确把握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵为直径，， ∴， ∴； （2）不成立，理由： 如图，在上截取，则， 则，， 在中，， ∴． 18．如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点． (2)若＝，＝，求的长． 【答案】(1) 证明：是半圆的直径， ＝， ， ， ， 是半圆的半径， 为的中点； (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、利用垂径定理求值、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质．熟练掌握圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质是解此题的关键． （1）根据已知可得，根据垂径定理，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而根据（1）的结论可得是的中位线，求得，进而求得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，＝， 是半圆的直径， ＝＝＝＝， 由（）可知，为的中点， 是的中位线， ＝＝， ＝﹣＝﹣＝， 即的长为． 19．如图，是的直径，点A在上且． (1)如图1，点D为直径上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若点D为外一点且，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论； (3)若点D为上一点且，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、根据旋转的性质求解 【分析】（1）圆周角定理得到，证明，得，证明，最后根据勾股定理可得结论； （2）如图2，延长交于E，连接，证明，得，最后根据勾股定理可得结论； （3）如图3，过点A作交的延长线于点E，连接，证明，最后根据勾股定理可得结论． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），证明如下： 如图2，延长交于E，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3），证明如下： 如图3，过点A作，交的延长线于点E，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2圆的有关性质 学习目标导航 1、掌握对称性：理解圆的轴对称性和旋转对称性，掌握垂径定理及其推论，并能运用其解决与弦长、半径相关的计算和证明问题。 2、理解角的关系：掌握圆心角、圆周角的概念，理解并熟练运用圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）及其推论。 3、探究关联：理解弧、弦、圆心角三者之间的“知一推二”关系，并能结合三角形的外接圆、外心等概念解决综合问题。 洞悉◆教材核心知识 知识点一 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴.圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心.圆还具有旋转不变性. 知识点二 垂径定理 名称 文字语言 符号语言 图示 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 拓展 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． （1）有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度； 【补充】在构造Rt△ODE中，半径OD，弦心距OE，弦长CD，拱高BE四个量知二推二. （2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分. 知识点三 圆心角及弧、弦、圆心角之间的关系 定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； （3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。 注：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧、两个弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等 如图所示，∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【注意】不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果遗漏了这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等. 反例： 【解题思路】应用圆周角定理时，要识别图形，确认同弧或等弧所对的圆周角和圆心角，必要时依据弧构造圆周角或圆心角. 知识点四 圆周角及圆周角定理 定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 知识点五 圆内接四边形及其性质 概念 如果一个四边形的所有顶点均在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形. 性质 圆内接四边形对角互补. ∠BAD+∠BCD=180°， ∠ABC+∠ADC=180° 延伸 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻的内角的对角）. ∠1=∠2 核心题型◆归纳 题型01 利用垂径定理求解 题型02 利用垂径定理的推论求解 题型03 利用垂径定理解决实际问题 题型04 利用垂径定理解决平行弦问题 题型05 利用垂径定理解决同心圆问题 题型06 圆心角及圆周角的识别 题型07 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型08 利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型09 利用圆周角定理求解 题型10 利用圆周角定理推论求解 题型11 利用圆内接四边形的性质求解 题型12 圆的性质综合 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 利用垂径定理求解 例1．如图，以点为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型02 利用垂径定理的推论求解 例2．如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 题型03 利用垂径定理解决实际问题 例3．如图1，唐代李皋发明了桨轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点D，则该桨轮船的轮子半径为________米． 题型04 利用垂径定理解决平行弦问题 例4．已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 题型05 利用垂径定理解决同心圆问题 例5．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 题型06 圆心角及圆周角的识别 例6．下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 题型07 利用弧、弦、圆心角的关系求解 例7．在直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 题型08 利用弧、弦、圆心角的关系求证 例8．如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是____________． 题型09 利用圆周角定理求解 例9．如图，点A，点B，点C在上，连接，，，连接并延长交于点D．若，，则（   ） A． B． C． D． 题型10 利用圆周角定理推论求解 例10．如图，内接于，是的直径，，则的度数是_____． 题型11 利用圆内接四边形的性质求解 例11．如图，四边形内接于，连接，，则的度数为_______ °． 题型12 圆的性质综合 例12．如图，是的直径，点C，D是上的点，且，与相交于点E，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． ABC分层训练 1．如图，在半径为4的中，于，点为中点，弦的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为E，则下列结论中错误的是（    ） A．AE=BE B．CE=DE C．AC=BC D．AD=BD 3．如图，MN为⊙O的弦，∠MON＝76°，则∠OMN的度数为（    ） A．38° B．52° C．76° D．104° 4．如图，在⊙O中，直径垂直弦于点，若，，则的长为_________． 5．如图，在⊙O中，，∠1＝45°，则的度数为 ___． 6．如图，是⊙O的直径，弦交于点E，，，则的度数为________． 7．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整． 如图2所示，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，半径为． 作弦AB的垂线OC，D为垂足，则___________． 经测量，，则___________；用含r的代数式表示___________． 在中，由勾股定理可列出关于r的方程：___________．解得． 通过换算，车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为___________之轮．（填“兵车”或“田车”） 8．如图，中，弦AB，CD相交于点E，且，连结AC，BD，求证：． 9．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝120°，延长BO交⊙O于点D． (1)试求∠BAD的度数； (2)求证：△ABC为等边三角形． 10．已知为的直径，弦于点E，，，则的直径为（　　） A．8 B．10 C．16 D．20 11．如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 12．如图，点A，B，C在上，，，则（   ）． A． B． C． D． 13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =______． 14．如图，在中，是的直径，是上一动点，的最小值是____________． 15．如图，是圆的直径，是圆的弦，，则的度数是________． 16．已知，，，都是上的点，请仅用无刻度的直尺完成画图． (1)在图中，是的直径，平行四边形的顶点在上，画出弧的中点； (2)在图中，是的直径，平行四边形的顶点，分别在，上，画出弧的中点． 17．如图，已知为的直径，，绕点旋转，，两点不与，重合． (1)求证：； (2)成立吗？为什么． 18．如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点． (2)若＝，＝，求的长． 19．如图，是的直径，点A在上且． (1)如图1，点D为直径上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若点D为外一点且，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论； (3)若点D为上一点且，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $