4.2指数函数16题型分类讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本讲义聚焦指数函数核心知识，从定义（含底数规定原因）切入，衔接指数增长模型，系统梳理图象性质（定义域、值域、单调性等），再到不同底图象位置、复合函数单调性，通过16题型构建从概念辨析到实际应用的学习支架。 该资料以16题型分类为特色，结合生物数量增长、食品保鲜等实例培养数学眼光，通过复合函数单调性分析发展数学思维，分层练习题助学生用数学语言表达问题。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，强化应用意识。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 4.2指数函数16题型分类 一、指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 注意：指数函数中规定a>0，且a≠1的原因： (1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． (2)如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义． (3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1. 二、指数增长模型 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． 三、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 对称性 y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 注意：（1）由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象． （2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴． 四、不同底指数函数图象的相对位置 (1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b. 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增． (2)实质：指数函数的底数即直线x＝1与图象交点的纵坐标，由此也可求指数函数底数的大小． 五、与指数函数复合的函数单调性 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点： u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 (3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f(g(x))的单调性． （一） 指数函数的概念 1、(1)判断一个函数是指数函数，要牢牢抓住三点： ①底数是大于0且不等于1的常数； ②指数函数的自变量必须位于指数的位置上； ③ax的系数必须为1. (2)求指数函数的解析式常用待定系数法． 2、判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式：判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数． 题型1：指数函数的概念 1．（2026高一·浙江·课后作业）下列函数中是指数函数的是________. ①；②；③；④；⑤；⑥. 【答案】①④ 【分析】形如的函数为指数函数，对照指数函数的定义可得结果． 【详解】因为形如的函数为指数函数， 所以函数符合指数函数的定义，是指数函数； 符合指数函数的定义，是指数函数； 其它函数不符合指数函数的定义，不是指数函数， 故答案为：①④. 【点睛】本题主要考查了指数函数的判断，此类问题主要是考查定义，紧扣定义是解决问题的关键．属于基础试题． 2．（2026高一·全国·课后作业）下列图象中，有可能表示指数函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】根据指数函数的图象与性质选择． 【详解】由于（，且），所以A，B，D都不正确，故选C. 【点睛】本题考查指数函数的图象与性质，属于基础题．如指数函数图象恒过点，值域是． 3．（2026高一·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 4．（2026高一·全国·课前预习）判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【答案】D 【分析】由指数函数定义可判断选项正误. 【详解】指数函数是指形如且的函数. 则四个选项中，只有D满足条件. 故选：D （二） 指数函数的解析式及应用 求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)． (2)利用已知条件求底数a. (3)写出指数函数的解析式． 注意：（1）求指数函数解析式，一般采用待定系数法.（2）求函数值先确定函数解析式. 题型2：求指数函数的解析式或求值 5．（2026高二·天津河西·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则_____． 【答案】/ 【分析】使用待定系数法解出函数解析式求解. 【详解】设的图象过点， 解得． 6．（2026高一·全国·课后作业）已知函数是指数函数，且，则＝________. 【答案】 【分析】待定系数法设且求解析式即可. 【详解】因为函数是指数函数， 设且， ，解得 故答案为： 【点睛】本题考查用指数函数的定义求解析式，属于基础题. 7．（2026高一·山东菏泽·阶段检测）函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】运用代入法进行求解即可. 【详解】因为函数且的图象过点， 所以，或舍去， 故. 故选：A 题型3：根据函数是指数函数求参数 8．（2026高一·全国·课后作业）若函数是指数函数，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【分析】利用指数函数定义可求解. 【详解】因为函数是指数函数，所以需满足， 解得且.故实数的取值范围为. 故答案为：. 9．（2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【详解】由指数函数的定义得，解得. 10．【多选】（2026高一·全国·课后作业）若函数，且）是指数函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据指数函数的定义求出函数解析式，再对选项作出判断． 【详解】解：因为函数是指数函数，所以，所以，所以，所以，，故B、D错误，A．C正确． 故选 【点睛】本题考查指数函数的定义，及函数值的求解，属于基础题． （三） 指数型函数的实际应用 1、常见的几类函数模型 (1)指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． (2)指数减少模型 设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)． (3)指数型函数 把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． 2、解决指数型函数应用题的流程 (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式． (3)解模：运用数学知识解决问题． (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．　　 题型4：指数型函数的实际应用 11．（2026·广东·模拟预测）某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】B 【分析】列出不等式，验证选项即可. 【详解】由题意，，整理得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，又，所以. 故选：B 12．（2026高三·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（   ） A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时 【答案】B 【分析】根据题意得到方程，求出，当时，，得到答案. 【详解】由题意得，即，其中，所以， 当时，. 故选：B 13．（2026高一·全国·单元测试）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来长度为m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得24天后该植物的长度是原来的多少倍． 【详解】方法1 设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的倍， 故，即，即． 24天后该植物的长度是，即为原来的倍， 又， 所以24天后该植物的长度是原来的倍． 方法2  设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是， 24天后，该植物的长度是， 即24天后该植物的长度是原来的倍． 故选：C （四） 指数函数的图象及应用 1、识别指数函数图象问题的注意点 (1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1； (2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小； (3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置． 2、解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)． 题型5：指数函数的图象特征 14．（2026高一·上海·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用指数函数与幂函数的性质，分类讨论，结合排除法，即可求解. 【详解】由函数和， 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越快， 函数在定义域为单调递增函数，可排除A和B项； 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越慢， 函数在定义域为单调递减函数，可排除C项. 故选：D. 15．（2026高一·安徽·阶段检测）函数的图象大致为（    ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】讨论、确定对应，结合指数函数的图象及排除法确定函数的图象. 【详解】当时，为减函数，排除C、D， 当时，为增函数，排除B. 故选：A 16．（2026高一·山东枣庄·阶段检测）函数的图象大致为（    ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】根据排除C，判断函数的奇偶性可排除D；再根据时，可排除A. 【详解】由，可得，排除C， 则， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除D； 当时，，则，排除A，则B符合题意. 故选：B 17．（2026高一·广西桂林·期中）当时，函数与函数在同一坐标系内的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数单调性，以及函数的特殊值即可确定出结果. 【详解】因为，所以，函数是增函数，排除AB选项 因为，所以，当时，，排除 D选项. 故选：C 18．（2026高一·天津静海·阶段检测）函数（且）的图象可能是（    ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】分和两种情况，由函数单调性和图象平移知识作出判断，得到答案. 【详解】若，，单调递增， 其图象在的图象基础上，向下平移个单位，BD均不合要求； 若，，故单调递减， 其图象在的图象基础上，向下平移个单位，A满足要求，C不满足要求. 故选：A 题型6：指数函数的图象变换 19．（2026高一·全国·课堂例题）利用函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4)作图见解析 (5)作图见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据，结合对应图象变换画出对应函数图象. 【详解】（1）将图象向右平移一个单位即得，如下图，    （2）将右侧图象以y轴为对称轴作出左侧图象，去掉原图象左侧部分即得，如下图，    （3）将图象向下平移一个单位即得，如下图，    （4）以x轴为对称轴，画出与对称的图象即得，如下图，    （5）将（3）所得图象在x轴下方部分，翻折到上方即得，如下图，    20．（2026高一·上海·课后作业）作出下列函数的大致图象： （l）； （2）； （3）； （4）. 【答案】见解析 【分析】根据函数图象的变换规则及指数函数的图象与性质作出函数图象. 【详解】（l）函数的图象为指数函数的图象的纵坐标伸长为原来的2倍，如图1所示； （2）函数的图象向下平移两个单位的到函数的图象，将函数在x轴上方的图象不变、x轴下方的图象沿x轴翻折即可得到函数的图象，如图2所示； （3）作出的图象如图3所示； （4）作出的图象如图4所示.              【点睛】本题考查指数函数的图象与性质、函数图象的变换，属于中档题. 21．（2026高一·上海·课后作业）函数的图象向下平移1个单位，再绕原点旋转180°所得函数的解析式是__________. 【答案】 【分析】按照上加下减的规则求出函数的图象向下平移1个单位得到的函数，再求出其关于原点对称的函数即可. 【详解】函数的图象向下平移1个单位得到函数的图象， 设绕原点旋转180°所得函数为， 若点在函数上，则在函数的图象上， 所以，即，所以. 故答案为： 【点睛】本题考查指数函数的性质、函数图象的变换，属于基础题. 22．（2026高一·全国·单元测试）要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】变换得到，根据函数图象的平移法则得到答案. 【详解】，故要得到函数的图像， 只需将函数的图像向右平移个单位长度. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数图象的平移，意在考查学生对于函数图像平移的掌握. 题型7：指数型函数过定点问题 23．（2026高一·全国·专题练习）函数（且）的图象必经过点________． 【答案】 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 24．已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 【答案】 【详解】因为且，， 则时，， 函数（，且）的图象恒过定点. 所以点P的坐标为. 25．【多选】（2026高一·山西阳泉·期末）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【分析】利用求出函数的定点，再代入得到解析式，根据函数图像确定正确选项. 【详解】时，，所以恒过定点，即， 代入得，的图像经过第一、三、四象限. 26．（2026高一·湖南·期末）若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令可得，当时，由题意可得，解得. 题型8：指数函数图象的应用 27．【多选】（2026高一·新疆克拉玛依·期末）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．与图像有两个公共点 B．的解集为 C．的解集为 D．有最大值和最小值 【答案】AC 【分析】在同一坐标系中作出函数，的草图，数形结合，判断各选项的正确性. 【详解】在同一坐标系中作出函数，的草图如下：    对A：由图可知，函数与的图象仅有，两个公共点，故A正确； 对B：由图可知，不等式的解集为，故B错误； 对C：由图可知，不等式的解集为，故C正确； 对D：由图可知，当和时，，无最大值，故D错误. 故选：AC 28．（2026高一·宁夏石嘴山·期末）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据以及指数函数的性质得出，代入计算即可. 【详解】由题意可知，，，则， 则. 故选：A 29．（2026高三·全国·专题练习）若曲线与直线没有公共点，则b的取值范围是________________． 【答案】 【分析】利用函数图象判断即可. 【详解】由已知画出的图象 因为，所以. 当时，直线表示直线， 由图可知，直线与函数图象无公共点，符合题意， 当时，直线表示直线和， 直线与函数图象无公共点， 若直线与函数图象无公共点，则， 综上的取值范围是. 30．【多选】（2026高一·江苏连云港·期末）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据单调性、当时，判断. 【详解】因为函数为递减函数，所以，故B正确；A错误； 当时，，得，故D正确，C错误. 故选：BD 31．（2026高一·江苏南京·期末）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象平移结合题中函数图象分析判断即可. 【详解】因为函数的图象是由指数函数向下平移而得到， 由图可知，解得． 故选：D. 32．（2026高一·上海宝山·阶段检测）函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】先判断指数型函数的单调性，依题意可得当时即可. 【详解】因为在定义域R上单调递增， 又的图像不经过第二象限， 所以当时，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： （五） 与指数函数有关的定义域和值域问题 函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 题型9：与指数型函数有关的定义域问题 33．（2026高一·上海·期末）函数的定义域是__________. 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为零得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数， 则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 34．（2026高一·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 【答案】(1)定义域为，值域为. (2)定义域为，值域为 【分析】（1）根据指数函数的性质和分母不为0进行求解即可. （2）根据指数函数的定义域和性质进行求解即可. 【详解】（1）由，得， 函数的定义域为． ， ．的值域为． （2）函数的定义域为． ． 故的值域为． 35．（2026高一·广东广州·期中）函数的定义域是__________． 【答案】 【分析】解不等式，可得出原函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 故答案为：. 36．（2026高一·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 题型10：与指数型函数有关的值域（最值）问题 37．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又函数是增函数，所以， 则所求函数的值域为． 38．（2026高二·北京延庆·期末）函数的值域为__________． 【答案】 【详解】当 时， . 由于底数 ， 该函数在 上单调递增. 最小值为 ，最大值为 . 故此段值域为 . 当 时， . 幂指数 ， 该函数在 上单调递增. 当 时， ，最大值为 时， . 故此段值域为 . 综上， 函数的值域为 . 39．（2026高二·黑龙江·期末）函数的值域是______________． 【答案】 【详解】因为，，即函数的值域是. 40．（2026高一·四川凉山·期末）函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】题干为一复合函数求最值，利用换元法可将其转化为求二次函数和指数函数的最值. 【详解】令,通过配方可知,当时，取得最大值1， 又函数，由指数函数的单调性可知当取得最大值时，取得最大值为2. 故选：B. 41．（2026高一·广东江门·阶段检测）函数的值域为______． 【答案】 【分析】根据指数复合函数值域计算求解. 【详解】因为， ，当时取最小值0． 所以值域为. 故答案为：. 42．（2026高三·四川内江·阶段检测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数性质求出在的值域，再由在上的值域包含分类求解. 【详解】当时，，即函数的取值集合为； 由函数的值域为，得函数在上的值域包含， 当时，，，不符合题意； 当时，在上单调递减，，不符合题意； 当时，在上单调递增，，函数值值集合为， 由，得，解得，因此， 所以实数a的取值范围是. 故选：A 43．（2026·海南·模拟预测）若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用指数函数性质计算即可得. 【详解】由指数函数的性质知必是单调函数， 又， 因为值域为，所以函数在上单调递增，故， 即，解得，又，故. 故选：B. （六） 单调性及其应用 1.比较幂的大小的方法 (1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较． (2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数的图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小． (3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较． (4)当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论． 2.解与指数有关的不等式时需注意的问题 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，借助函数y＝at(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论； (2)形如af(x)>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝at(a>0，且a≠1)的单调性求解； (3)形如af(x)>bf(x)的形式，利用图象求解． 注意(1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法： 当a＞1时，f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)． (2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝x(a＞0，且a≠1)等． 题型11：求指数型函数的单调区间 44．（2026·北京·模拟预测）下列函数中，在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，根据幂函数性质知在上单调递增，故A正确； 对B，，则在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对C，，根据指数函数性质知其在上单调递减，故C错误； 对D，因为可化为，函数在上单调递减，则在上单调递减. 45．（2026高一·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 【答案】(1)的减区间为，增区间为 (2) 【分析】本题考查复合函数的性质，通过分析内层函数与外层函数的单调性与值域，即可求得函数的单调区间与值域. 【详解】（1）， 在上单调递增，在上单调递减， 又因为在上单调递减， 所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为. （2）令，则， 则，即的值域为. 46．（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 是指数函数，且在上单调递增， 是二次函数，图象开口向下，对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，的单调递增区间为．. 47．（2026高一·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确复合函数的构成，根据同增异减确定单调区间. 【详解】函数由和复合而成， 因为，其单调递减区间是，单调递增区间是； 而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性知的单调递减区间是. 48．（2026高一·湖北黄冈·阶段检测）已知函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原函数可以看作由和复合而成，由复合函数的单调性求解. 【详解】令，则， 因为单调递增，时，单调递减， 所以由复合函数的单调性知单调递减， 故选：B 题型12：根据指数型函数的单调性求参数 49．（2026高一·上海宝山·期末）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据指数函数严格递减的性质列关于底数的不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】对于指数函数（且）， 函数在上是严格减函数， 则且，得且. 所以，实数的取值范围是. 50．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上为增函数， 且在上为减函数，在上为增函数， 而在上单调递增，所以． 51．（2026高一·湖北十堰·阶段检测）设函数在区间单调递减，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的规律，结合二次函数知识可得答案. 【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以的取值范围是. 52．（2026高一·河南濮阳·期末）已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件先判断函数的单调性，结合指数函数和一次函数的单调性及单调性的定义列不等式可得答案. 【详解】因为对任意实数，都有成立， 所以在上为增函数， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故选：C 53．（2026高一·重庆·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性即可求解. 【详解】令， 因为函数在定义域上单调递增， 则在区间上单调递增， 函数的图象开口向上，对称轴为， 所以， 则实数a的取值范围是. 故选：A. 题型13：利用指数型函数单调性比较大小 54．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 55．（第16讲指数函数（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 在上单调递减， 所以 ， 同理，函数在上单调递增， 所以， 综上，可得． 56．（2026高一·全国·专题练习）填空（“＜”或“＞”）. （1）__； （2）__. 【答案】 ＜ ＞ 【详解】（1）∵，∴函数在上是减函数， 又，∴， （2）， ∵函数在上是增函数， ∴，即． 57．（2026高二·北京朝阳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，则，C错误，D正确； 取，满足，而，AB错误. 58．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过指数函数性质判断函数单调递增得出，结合，，由此即可求解. 【详解】因为，单调递增，单调递减， 单调递增，则单调递增， 故，且，，所以. 题型14：利用指数型函数的单调性解不等式 59．（2026·北京丰台·模拟预测）不等式的解集是___________. 【答案】 【分析】把不等式化为，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】由不等式，可化为， 因为函数为定义域上的单调递增函数，所以， 所以不等式的解集为. 60．（2026高三·四川南充·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得到，即，则， 由，得到，则，所以. 61．（2026高一·北京·期中）若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由指数函数的单调性得，解一元二次不等式求的范围. 【详解】因为，所以，即， 所以，解得或，故所求范围是. 故答案为： 62．（2026高一·浙江杭州·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出和时，的解集，综合即可得答案. 【详解】当时，，得，则，不符合题意； 当时，，则， 解得或，则或， 综上，不等式的解集为. （七） 指数函数性质的综合应用 1、指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化． 2、若函数 y= f(x)在区间D上是增(减)函数，则复合函数当a>1时，在区间D上是增(减)函数，当0<a<1时，在区间D上是减(增)函数.　 题型15：指数型函数的奇偶性 63．（2026高二·河南周口·期末）已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的定义列式求解. 【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得， 即，则. 故选：B 64．（2026高二·江西宜春·阶段检测）若是定义在R上的奇函数，则实数a的值为______． 【答案】 【分析】法一：由奇函数的性质得化简即可；法二：由，解得，再检验是奇函数即可. 【详解】法一：因为为奇函数， 所以 ， 所以，解得． 检验：当时，的定义域为，不合题意； 当时，的定义域为R，符合题意，故． 法二：由题意，，解得． 而当时，， 又， 所以． 故答案为: 65．（2026·四川成都·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B． C．-1 D． 【答案】C 【分析】由函数的奇偶性知，代入相应解析式计算即可. 【详解】因为 是定义在上的奇函数，且当时，， . 故选：C. 66．（2026·浙江·模拟预测）已知函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由奇函数定义可得答案. 【详解】当时，，则，所以，. 故选：C． 题型16：指数函数的综合应用 67．【多选】（2026高二·浙江·学业考试）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．在上单调递增 B．函数的图象关于点中心对称 C．当时， D．若，则 【答案】AC 【分析】由导数判断A项，由判断B项，利用函数的单调性可判断CD项． 【详解】对于A项，由已知，又函数为增函数， 所以函数为减函数，所以函数在上单调递增，故A项正确； 对于B项，，则函数的图象关于点中心对称，故B项错误； 对于C项，因为在上单调递增，所以当时，得，故C项正确； 对于D项，因为，所以， 当时，得， 因为在上单调递增，所以， 则,故D项错误． 68．【多选】（2026高二·湖南长沙·期中）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D． 的最小值为 【答案】AB 【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义求出判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；取可判断D. 【详解】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，取，则，函数无最小值，所以D错误， 69．【多选】（2026高三·云南楚雄·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．若，则实数的最大值为 D．若，则实数的最大值为1 【答案】BC 【分析】求出函数的定义域，即可判断A；判断出在上的单调性，即可判断B；先求出的值域，若恒成立，分析出要小于等于的下确界，即可判断C；若，分析出要小于的上确界，即可判断D. 【详解】因为恒成立，所以恒成立，所以的定义域为， 故A错误； 因为函数在上单调递增，则也单调递增，因此单调递减， 则单调递增，所以在上单调递增，故B正确； 因为，则，所以， 所以，所以，即. 若恒成立，则要小于等于的下确界，即， 所以实数的最大值为，故C正确； 若，则要小于的上确界，即， 所以实数没有最大值，故D错误. 1．（2026高一·广东湛江·阶段检测）如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 【答案】D 【分析】利用指数函数解析式的特点求解即可. 【详解】根据题意可得，，则. 故选：D 2．（2026高一·全国·课后作业）已知，若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂运算即可得到答案. 【详解】由知，，即，从而. 故选：C. 3．（2026高一·全国·课堂例题）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义即可求解. 【详解】因为函数（是自变量）是指数函数，所以，解得：且； 故选：C 4．（2026高一·全国·课后作业）若，，则函数的图像一定经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】A 【分析】首先根据，确定的图像经过的象限，然后由可知图像向下平移个单位即可得出选项． 【详解】由可得函数的图像单调递增，且过第一、二象限，由可得把的图像向下平移个单位可得的图像，结合可知，图像过第一、二、三象限． 故答案为A 【点睛】本题主要考查了指数函数的图像的应用及函数的平移，需掌握指数函数的图像以及平移法则． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为 在上单调递减， 所以 ， 同理，函数在上单调递增，所以. 综上，可得. 6．（2026高一·福建宁德·阶段检测）已知函数，则的值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以． 7．（2026高一·广西玉林·期末）人工放射性核素碘-131可发射射线治疗某种疾病．已知该物质的半衰期为天，设质量为的碘-131经过天后剩余的质量为，则关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数衰减模型可得，根据半衰期为8天列方程求解. 【详解】设碘-131的衰减率为，则， 由半衰期为天，可得，解得， 所以，. 故选：A. 8．（2026高三·全国·一轮复习）函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，令，求得，且，即可求解. 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 9．（2026高一·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值. 【详解】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. 10．（2026高一·全国·专题练习）已知函数（且）的图象经过点.则函数的最大值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由已知得，解得，则在R上是减函数， 因为，所以，所以，即函数的最大值为3. 11．【多选】（2026高一·全国·课后作业）若，则下列选项中不正确的是（　　） A．在上单调递减 B．与的图象关于y轴对称 C．的图象过点 D．的值域为 【答案】ACD 【分析】对于可直接根据指数函数的性质判断；对于,也可根据性质直接判断；对于,通过验证判断；对于,可以利用性质求出值域判定. 【详解】因为　在R上单调递增，则A错误； 与的图象关于y轴对称，则B正确； 由，得的图象过点，则C错误； 由，可得，则D错误， 故选： 12．【多选】（2026高一·全国·课后作业）设指数函数（且），则下列等式中不正确的有 A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用指数幂的运算律对各选项中等式的正误进行验证，从而得出正确选项. 【详解】，A 正确； ，B正确； ，，C不正确； ，，D不正确. 故选CD. 【点睛】本题考查指数幂的运算，解题的关键就是熟练利用指数幂的运算律进行计算，考查计算能力，属于基础题. 13．（2026高一·山东淄博·期末）若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为____________. 【答案】 【分析】图象不经过第一象限,只需,代入解析式,解出不等式即可. 【详解】解:由题知, 若函数单调递减，其图象不经过第一象限,必有图象与y轴交点不在y轴正半轴上， 只需即可, 即, 解得: . 故答案为: 14．（2026高一·浙江嘉兴·期末）若方程有唯一实数解，则的取值范围是 ． 【答案】或． 【分析】作函数的图象，从而结合图象讨论方程的根的个数即可． 【详解】作函数的图象如下，   ， 结合图象可知， 当时，方程有唯一实数解， 当时，方程有两个实数解， 当时，方程有唯一实数解， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了函数的图象与方程的根的关系应用及数形结合方法的应用． 15．（2026高一·全国·课后作业）定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值为______；最小值为______. 【答案】 【分析】先根据值域端点值求解出对应的值,再根据函数的对称性得到函数定义域情况，由此计算出区间长度的最值. 【详解】由，得，由，得， 故满足题意的定义域可以为或， 故区间的最大长度为，最小长度为. 故答案为；. 【点睛】本题考查新定义背景下指数型函数的定义域和值域的关系，难度一般. 16．（2026高一·福建厦门·期中）函数 （且） 所经过的定点坐标是____________． 【答案】 【详解】令，可得， 由且，则， 故函数 （且）的图象经过的定点的坐标是. 17．（2026高一·上海杨浦·期末）不等式的解集是__________. 【答案】 【分析】根据题意结合指数函数单调性解不等式即可. 【详解】因为在定义域内单调递减， 若，可得，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 18．（2026高一·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数（，且，）. (1)若的图象过点和，求的解析式和值域； (2)当时，在区间上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由，,求出的值，进而求解即可； （2）当时，在区间上单调递增，结合单调性的性质求解即可. 【详解】（1）由题可知，， 解得，，所以. 因为，所以，所以在上的值域为. （2）当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去），故. 19．（2026高一·江苏连云港·阶段检测）已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数 (2)证明:， 设，再由， 可得， 故函数在上是减函数. (3) 【分析】（1）由于函数的定义域为，关于原点对称，且化简求得，可得函数为奇函数； （2）化简函数的解析式为，设，化简，可得函数在上是减函数； （3）由于为奇函数，不等式即恒成立，再由函数在上是减函数可得恒成立，即恒成立．由判别式，解得的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称， 且有， 故函数为奇函数. （2）略； （3）对任意的，不等式恒成立，为奇函数， 恒成立， 由函数在上是减函数， 可得 恒成立， 即恒成立， ，解得：， 故的取值范围为. 20．（2026高一·湖北·期中）已知函数，. (1)若函数为奇函数，求实数a的值； (2)在（1）的条件下，设函数，若，，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，即可得解； （2）根据题意使得在的值域包含在上的值域即可. 【详解】（1）为奇函数，， ，此时，经验证符合题意； （2）， 令，，， 记，， 易知在[2，4]上单调递增， 故， 另外当时， 由题意：， 所以的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 4.2指数函数16题型分类 一、指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 注意：指数函数中规定a>0，且a≠1的原因： (1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． (2)如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义． (3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1. 二、指数增长模型 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． 三、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 对称性 y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 注意：（1）由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象． （2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴． 四、不同底指数函数图象的相对位置 (1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b. 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增． (2)实质：指数函数的底数即直线x＝1与图象交点的纵坐标，由此也可求指数函数底数的大小． 五、与指数函数复合的函数单调性 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点： u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 (3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f(g(x))的单调性． （一） 指数函数的概念 1、(1)判断一个函数是指数函数，要牢牢抓住三点： ①底数是大于0且不等于1的常数； ②指数函数的自变量必须位于指数的位置上； ③ax的系数必须为1. (2)求指数函数的解析式常用待定系数法． 2、判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式：判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数． 题型1：指数函数的概念 1．（2026高一·浙江·课后作业）下列函数中是指数函数的是________. ①；②；③；④；⑤；⑥. 2．（2026高一·全国·课后作业）下列图象中，有可能表示指数函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（2026高一·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·课前预习）判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） （二） 指数函数的解析式及应用 求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)． (2)利用已知条件求底数a. (3)写出指数函数的解析式． 注意：（1）求指数函数解析式，一般采用待定系数法.（2）求函数值先确定函数解析式. 题型2：求指数函数的解析式或求值 5．（2026高二·天津河西·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则_____． 6．（2026高一·全国·课后作业）已知函数是指数函数，且，则＝________. 7．（2026高一·山东菏泽·阶段检测）函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 题型3：根据函数是指数函数求参数 8．（2026高一·全国·课后作业）若函数是指数函数，则实数a的取值范围为________. 9．（2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 10．【多选】（2026高一·全国·课后作业）若函数，且）是指数函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． （三） 指数型函数的实际应用 1、常见的几类函数模型 (1)指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． (2)指数减少模型 设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)． (3)指数型函数 把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． 2、解决指数型函数应用题的流程 (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式． (3)解模：运用数学知识解决问题． (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．　　 题型4：指数型函数的实际应用 11．（2026·广东·模拟预测）某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 12．（2026高三·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（   ） A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时 13．（2026高一·全国·单元测试）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 （四） 指数函数的图象及应用 1、识别指数函数图象问题的注意点 (1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1； (2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小； (3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置． 2、解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)． 题型5：指数函数的图象特征 14．（2026高一·上海·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A． B． C． D． 15．（2026高一·安徽·阶段检测）函数的图象大致为（    ） A．B． C．D． 16．（2026高一·山东枣庄·阶段检测）函数的图象大致为（    ） A．B． C．D． 17．（2026高一·广西桂林·期中）当时，函数与函数在同一坐标系内的图像可能是（　　） A． B． C． D． 18．（2026高一·天津静海·阶段检测）函数（且）的图象可能是（    ） A．B． C．D． 题型6：指数函数的图象变换 19．（2026高一·全国·课堂例题）利用函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 20．（2026高一·上海·课后作业）作出下列函数的大致图象： （l）； （2）； （3）； （4）. 21．（2026高一·上海·课后作业）函数的图象向下平移1个单位，再绕原点旋转180°所得函数的解析式是__________. 22．（2026高一·全国·单元测试）要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 题型7：指数型函数过定点问题 23．（2026高一·全国·专题练习）函数（且）的图象必经过点________． 24．已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 25．【多选】（2026高一·山西阳泉·期末）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 26．（2026高一·湖南·期末）若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 题型8：指数函数图象的应用 27．【多选】（2026高一·新疆克拉玛依·期末）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．与图像有两个公共点 B．的解集为 C．的解集为 D．有最大值和最小值 28．（2026高一·宁夏石嘴山·期末）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，则（   ） A． B． C． D． 29．（2026高三·全国·专题练习）若曲线与直线没有公共点，则b的取值范围是________________． 30．【多选】（2026高一·江苏连云港·期末）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 31．（2026高一·江苏南京·期末）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 32．（2026高一·上海宝山·阶段检测）函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是______. （五） 与指数函数有关的定义域和值域问题 函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 题型9：与指数型函数有关的定义域问题 33．（2026高一·上海·期末）函数的定义域是__________. 34．（2026高一·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 35．（2026高一·广东广州·期中）函数的定义域是__________． 36．（2026高一·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型10：与指数型函数有关的值域（最值）问题 37．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 38．（2026高二·北京延庆·期末）函数的值域为__________． 39．（2026高二·黑龙江·期末）函数的值域是______________． 40．（2026高一·四川凉山·期末）函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 41．（2026高一·广东江门·阶段检测）函数的值域为______． 42．（2026高三·四川内江·阶段检测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．（2026·海南·模拟预测）若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 （六） 单调性及其应用 1.比较幂的大小的方法 (1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较． (2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数的图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小． (3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较． (4)当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论． 2.解与指数有关的不等式时需注意的问题 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，借助函数y＝at(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论； (2)形如af(x)>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝at(a>0，且a≠1)的单调性求解； (3)形如af(x)>bf(x)的形式，利用图象求解． 注意(1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法： 当a＞1时，f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)． (2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝x(a＞0，且a≠1)等． 题型11：求指数型函数的单调区间 44．（2026·北京·模拟预测）下列函数中，在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 45．（2026高一·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 46．（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 47．（2026高一·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 48．（2026高一·湖北黄冈·阶段检测）已知函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 题型12：根据指数型函数的单调性求参数 49．（2026高一·上海宝山·期末）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是____________． 50．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 51．（2026高一·湖北十堰·阶段检测）设函数在区间单调递减，则的取值范围是_________. 52．（2026高一·河南濮阳·期末）已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 53．（2026高一·重庆·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型13：利用指数型函数单调性比较大小 54．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 55．（第16讲指数函数（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接）已知，则（    ） A． B． C． D． 56．（2026高一·全国·专题练习）填空（“＜”或“＞”）. （1）__； （2）__. 57．（2026高二·北京朝阳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 58．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，，则（  ） A． B． C． D． 题型14：利用指数型函数的单调性解不等式 59．（2026·北京丰台·模拟预测）不等式的解集是___________. 60．（2026高三·四川南充·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 61．（2026高一·北京·期中）若，则实数的取值范围是______. 62．（2026高一·浙江杭州·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （七） 指数函数性质的综合应用 1、指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化． 2、若函数 y= f(x)在区间D上是增(减)函数，则复合函数当a>1时，在区间D上是增(减)函数，当0<a<1时，在区间D上是减(增)函数.　 题型15：指数型函数的奇偶性 63．（2026高二·河南周口·期末）已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C． D． 64．（2026高二·江西宜春·阶段检测）若是定义在R上的奇函数，则实数a的值为______． 65．（2026·四川成都·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B． C．-1 D． 66．（2026·浙江·模拟预测）已知函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D．2 题型16：指数函数的综合应用 67．【多选】（2026高二·浙江·学业考试）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．在上单调递增 B．函数的图象关于点中心对称 C．当时， D．若，则 68．【多选】（2026高二·湖南长沙·期中）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D． 的最小值为 69．【多选】（2026高三·云南楚雄·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．若，则实数的最大值为 D．若，则实数的最大值为1 1．（2026高一·广东湛江·阶段检测）如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 2．（2026高一·全国·课后作业）已知，若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·课堂例题）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·课后作业）若，，则函数的图像一定经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026高一·福建宁德·阶段检测）已知函数，则的值是（    ） A．4 B． C． D． 7．（2026高一·广西玉林·期末）人工放射性核素碘-131可发射射线治疗某种疾病．已知该物质的半衰期为天，设质量为的碘-131经过天后剩余的质量为，则关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 8．（2026高三·全国·一轮复习）函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 9．（2026高一·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 10．（2026高一·全国·专题练习）已知函数（且）的图象经过点.则函数的最大值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 11．【多选】（2026高一·全国·课后作业）若，则下列选项中不正确的是（　　） A．在上单调递减 B．与的图象关于y轴对称 C．的图象过点 D．的值域为 12．【多选】（2026高一·全国·课后作业）设指数函数（且），则下列等式中不正确的有 A． B． C． D． 13．（2026高一·山东淄博·期末）若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为____________. 14．（2026高一·浙江嘉兴·期末）若方程有唯一实数解，则的取值范围是 ． 15．（2026高一·全国·课后作业）定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值为______；最小值为______. 16．（2026高一·福建厦门·期中）函数 （且） 所经过的定点坐标是____________． 17．（2026高一·上海杨浦·期末）不等式的解集是__________. 18．（2026高一·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数（，且，）. (1)若的图象过点和，求的解析式和值域； (2)当时，在区间上的最大值比最小值大，求的值. 19．（2026高一·江苏连云港·阶段检测）已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 20．（2026高一·湖北·期中）已知函数，. (1)若函数为奇函数，求实数a的值； (2)在（1）的条件下，设函数，若，，使得，求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $