3.1.2函数的表示法12题型分类讲义（讲+练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本高中数学讲义聚焦函数的表示法核心知识点，系统梳理解析法、列表法、图象法三种表示形式，衔接描点法作图步骤、分段函数概念及特点，构建从基础表示到实际应用的完整学习支架。 该资料以12题型分类为特色，通过行程问题、话费套餐等实例培养数学眼光，结合配凑法、待定系数法等方法训练数学思维，助力课中教学高效开展，课后学生可通过题型巩固查漏补缺，提升应用意识与推理能力。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 3.1.2函数的表示法12题型分类 一、函数的表示法 (1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. (2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. (3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 二、描点法作函数图象的三个步骤 (1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来． (2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在平面直角坐标系中描出来． (3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来． 三、函数三种表示法的几点说明 (1)解析法：变量间的对应关系明确，且要注意函数的定义域． (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银行的利率表等．其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值．这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去． (3)图象法：函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象． 四、分段函数的概念 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函数为分段函数. 五、应用函数知识解决实际问题的一般步骤 (1)阅读材料、理解题意； (2)把实际问题抽象为函数问题，并建立相应的函数模型； (3)利用函数知识对函数模型进行分析、研究，得出数学结论； (4)把数学结论(结果)应用到实际问题中，解决实际问题． 六、分段函数的特点 (1)分段函数是一个函数，并非几个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集． (3)分段函数的值域是各段值域的并集． (4)分段函数的图象要分段来画． 七、应用函数知识解决实际问题 关键是如何根据题意将实际问题抽象、转化成数学问题，然后通过求解数学问题，最后解决实际问题，这也是数学建模思想在实际问题中的具体应用． （一） 函数表示法 函数的三种表示法的选择和应用的注意点 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 题型1：函数的表示法 1．（2026高一·河南漯河·阶段检测）周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据该同学在行进过程中的前进方式的不同，直接确定对应函数图象即可. 【详解】第一段时间，该同学骑行共享单车由学校往漯湾古镇方向匀速骑行，前进了，则该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段上升的线段； 第二段时间休息了半小时，随时间变化，该同学离起点的距离并没有发生变化，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一条平行于x轴的线段； 第三段时间，原路返回，其距离起点应越来越近，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段下降的线段； 第四段时间，调转车头继续向漯湾古镇方向前进，该部分对应的图象应和第一段时间的相似； 因此只有C选项符合. 故选：C. 2．【多选】（2026高一·辽宁·阶段检测）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（   ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1    A． B．0 C．2 D．4 【答案】BD 【分析】根据函数的定义，结合函数表格与函数图象，运用枚举法逐一判断即可. 【详解】对于A：当时，，不符合题意，故A错误； 对于B：当时，，符合题意，故B正确； 对于C：当时，，不符合题意，故C错误； 对于D：当时，，符合题意，故D正确， 故选：BD. 3．（2026高一·河南·期中）某通信公司推出的话费套餐收费标准如下：每月月租费为28元，当月通话时间不超过50分钟时，只收取月租费28元；当月通话时间超过50分钟时，除收取月租费外，超出50分钟的部分按0.2元/分钟收费．已知该通信公司某用户选择了该话费套餐，若该用户某月通话时间为120分钟，则该用户应缴的话费为___________元． 【答案】42 【分析】根据题设要求列式计算即可. 【详解】由题意，该用户应缴的话费为元． 故答案为：42. 4．（2026高一·上海·期中）已知函数和的部分取值如表所示．则_______． 1 2 3 6 9 10 2 3 4 【答案】10 【分析】根据表格求出对应函数值即可. 【详解】当时，，则. 故答案为：10 （二） 函数图象的作法及应用 1、画函数图象的两种常用方法 (1)描点法 一般步骤：①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； ②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点； ③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． (2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等． 2、画函数图象的关注点 ①画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； ②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； ③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点． 题型2：函数图象的作法及应用 5．（2026高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 【答案】 【分析】先求出函数的定义域为，再由于原函数解析式可化为，故函数图象可以由通过平移而得到. 【详解】函数的定义域为，由于原函数解析式可化为，故函数图象可由函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，如图所示. 6．（2026高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 【答案】 【分析】利用描点法作出函数图象. 【详解】的定义域为， 列表如下： 作出图象如图： 7．（2026高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 【答案】 【详解】的定义域为， 列表如下： 作出图象如图： （三） 函数解析式的求法 函数解析式的求法 求函数解析式，关键是对基本方法的掌握，常用方法有配凑法、换元法、待定系数法、解方程(组)法、赋值法等． (1)配凑法：将形如f(g(x))的函数的表达式配凑为关于g(x)的表达式，并整体将g(x)用x代换，即可求出函数f(x)的解析式．如由f(x＋1)＝(x＋1)2可得f(x)＝x2. (2)换元法：将函数f(g(x))中的g(x)用t表示，则可求得x关于t的表达式，并将最终结果中的t用x代换，即可求得函数f(x)的解析式． (3)待定系数法：将已知类型的函数以确定的形式表达，并利用已知条件求出其中的参数，从而得到函数的解析式． 一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (4)解方程(组)法：采用解方程或方程组的方法，消去不需要的函数式子，得到f(x)的表达式，这种方法也称为消去法． (5)赋值法：利用恒等式将特殊值代入，求出特定函数的解析式．这种方法灵活性强，必须针对不同的类型选取不同的特殊值． 题型3：配凑法 8．若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，， . . 9．已知，求的解析式． 【答案】 【分析】由配凑法求解出的解析式. 【详解】因为， 所以． 10．（2026高一·河北保定·期中）已知，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配凑法，由求解. 【详解】因为，且， 所以． 故选：B． 11．（2026高一·湖北襄阳·期中）若，则（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【详解】由题意知，， 所以，则. 故选：A 题型4：换元法 12．（2026高一·湖南永州·期中）已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】利用立方差公式以及换元法可求出函数的解析式. 【详解】因为函数满足， 即， 令，则，故. 故选：C. 13．（2026高一·安徽池州·期中）已知，求的解析式为_________. 【答案】 【详解】令，则，代入可得 故答案为： 14．（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法求解函数的解析式逐一判断即可. 【详解】令，则， 由，得. 所以. 15．（2026高一·全国·专题练习）已知函数满足：对任意非零实数，都有，则的解析式为______． 【答案】 【分析】先整理，进而利用换元法求解即可. 【详解】由， 令，得， 所以的解析式为． 故答案为：. 题型5：待定系数法 16．（2026高一·山东临沂·阶段检测）已知是一次函数，若，求的解析式. 【答案】或． 【详解】试题分析：本题中已知函数为一次函数，因此求解析式采用待定系数法，首先设出函数式，将已知条件代入可求得值，从而确定解析式 试题解析：设， 则， 又， ∴. 即，解之得或 ∴或. 考点：求函数解析式 17．（2026高一·全国·随堂练习）已知反比例函数的图象过点，则________． 【答案】 【分析】根据题意利用待定系数法求得，即可得结果. 【详解】设反比例函数， 由题意可得：，解得， 可得，所以. 故答案为：. 18．（2026高一·天津静海·阶段检测）已知是一次函数，且，，则的解析式为_______. 【答案】 【分析】利用待定系数法计算即可. 【详解】由题意可设，所以， 解之得，即. 故答案为：. 19．（2026高一·广东惠州·阶段检测）已知二次函数满足，则函数的解析式为_____________ 【答案】 【分析】设，待定系数法求解. 【详解】设， 因为 ， 所以，解得， 所以. 故答案为： 20．（2026高一·湖南长沙·期中）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式； （2）已知函数，求函数的解析式； 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设，根据已知列方程求参数值，即可得； （2）应用换元法求函数的解析式. 【详解】（1）令，则， 所以，则，可得，故； （2）令，则，所以. 题型6：方程组法 21．（2026高一·广东佛山·阶段检测）已知函数满足，则__________． 【答案】 【分析】根据方程组法解抽象函数解析式即可． 【详解】， ， 解方程组得． 故答案为：． 22．（2026高一·河南开封·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可得，然后化简求得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由①， 令，②， 由得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：D 23．（2026高一·河北沧州·阶段检测）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用方程组法消去，得出的解析式即可. 【详解】由，以替代，可得， 联立，消去，得. 故选：A. 24．（2026高二·全国·期末）已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【分析】将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解． 【详解】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． 25．（2026高一·河南郑州·期中）已知函数满足，则__________. 【答案】 【分析】将式子中的所有换成，即可得到与的方程组，解得即可. 【详解】因为， 所以， 即，解得. 故答案为： 26．（2026高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 【答案】且 【分析】利用解方程组法，分别用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【详解】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． 题型7：赋值法 27．（2026高三·广东江门·开学考试）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，可得， 因为，所以， 则. 28．（2026·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】利用赋值法，先令求出，再令，结合方程组法可求解析式，则答案可得. 【详解】令可得，所以， 再令可得， 即①， 将上式中的全部换成可得②， 联立①②可得, 所以， 故选：D 29．（2026高三·全国·专题练习）设函数对任意都满足，试求出． 【答案】 【分析】应用赋值法结合已知等式计算求解即可. 【详解】令代入条件得出，∴． 令代入条件得出， ∴． 再令，则有， 而用代入条件中得，       ① ①中与条件相加得 ． ∵， ． ∴， 于是． 令，有， ∴，∴或． 当时，，∴． ∵，∴， ∴，即为所求． （四） 分段函数的定义域、值域 分段函数定义域、值域的求法 (1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集． 题型8：求分段函数的定义域 30．（2026高一·全国·课前预习）函数 则的定义域为________． 【答案】 【分析】根据题意，结合分段函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 31．函数的定义域为______________________． 【答案】 【分析】由分段函数的各段的定义域求并集可得分段函数的定义域． 【详解】因为函数， 所以的定义域为 ，即函数定义域为， 故答案为： 32．如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________________． 【答案】 【分析】根据图象分段求出定义域，然后求并集可得结果． 【详解】由图象可知，第一段的定义域为； 第二段的定义域为， ∴该分段函数的定义域为． 故答案为：． 33．（2026高一·山西太原·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对分段函数的定义域的理解可得. 【详解】由， 得函数的定义域为. 故选：C. 题型9：求分段函数的值域 34．（2026高二·福建福州·期末）已知函数的图象如图所示，则的值域是________． 【答案】 【详解】由图知，当，，当，， 因为，所以的值域是. 35．（2026高一·湖南长沙·期末）若定义运算，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出的解析式，再分段求出函数的取值范围，即可得到函数的值域. 【详解】令，解得，所以， 当时，则在上单调递减，则， 即； 当时，则，即； 综上可得函数的值域为. 故选：C 36．（2026高一·四川泸州·期末）已知函数，则的值域是_______． 【答案】 【分析】根据分段函数的定义，分别讨论x与的情况，可将函数表达式统一为，进而求解其值域. 【详解】当，则，则有， 当时，，故， 因为，所以，故的值域为. 故答案为：. 37．（2026高一·天津红桥·期中）已知函数． (1)求的值； (2)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分段函数的解析式由里往外求函数值. （2）分段求函数的值域，再综合可得函数的值域． 【详解】（1）由题意，， 所以. （2）当时，函数在上单调递减，所以； 当时，； 当时，函数在上单调递减，所以. 综上，当时，函数的值域为. （五） 分段函数求值问题 1、求分段函数函数值的步骤 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止． 2、已知分段函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 题型10：分段函数求值问题 38．（2026高一·广西河池·期中）已知函数，求的值（   ） A．2 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【详解】， ． 39．（2026高一·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 【答案】B 【分析】按照从内到外的顺序，先计算内层的值，再将所得结果代入函数计算外层值 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 40．（2026高二·浙江宁波·期末）函数，则______． 【答案】3 【详解】由题意可得，， 所以. 41．（2026高一·江西宜春·阶段检测）已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】设，则，根据分段函数分类讨论计算推得，再由，同法讨论计算即得的值. 【详解】设，则， 当时，，不合题意； 当时，由，解得，不合题意； 当时，由，解得，因，则， 即，若，则，不合题意； 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得，不合题意. 综上，可得. 故选：D. 42．（2026高一·河北石家庄·期末）已知函数，若，则实数的值为__________. 【答案】或 【分析】根据分段函数解析式得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为且， 所以或， 解得或. 故答案为：或 43．（2026·浙江·模拟预测）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. 44．（2026高一·辽宁营口·期中）已知函数若，则的值是（   ） A．或2 B．或2或7 C．或7 D．2或7 【答案】C 【分析】对进行分类讨论，由，根据分段函数解析式列方程，由此求得的值. 【详解】若，则，解得或（舍）， 若，则，解得. 综上，a的值是或7. 故选：C 题型11：分段函数与不等式的综合 45．（2026高二·上海·阶段检测）已知，，则的解集为________． 【答案】 【详解】， 当时，，即，解得，所以， 当时，，即，解集为R，所以， 综上，的解集为. 46．（2026高一·河南南阳·阶段检测）已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数，分，，分类讨论结合一元二次不等式解函数不等式． 【详解】因为， 当时，，不合题意； 当时，， 不等式可得，解得，所以； 当时，， 所以不等式等价于，即得解得， 所以. 综上可得. 故选：A 47．（2026高二·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. 48．（2026高一·北京西城·期中）已知函数，则___________；若，的取值范围是___________． 【答案】3，或. 【分析】（1）根据分段函数的自变量范围代入求值即可. （2）结合分段函数分情况求解不等式即可. 【详解】因为，所以. 当时，可化为，解得， 又，所以； 当时，可化为，即解得或， 又，所以； 综上，若，的取值范围是或. 故答案为：3，或 （六） 分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 注：(1)判断分段函数的图 象，分段判断，宏观把握. (2)画分段函数的图象，首先确定函数是否已经确为分段函数，然后再分段画出，分点处的虚实情况用空心点和实心点标出. 题型12：分段函数图象及应用 49．（2026高一·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数    (1)求 (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 【答案】(1) (2)或0 (3)答案见解析 【分析】（1）根据分段函数计算函数值； （2）分段应用函数值得出自变量； （3）根据解析式作出函数图象. 【详解】（1）； （2）当时，，解得，满足要求， 当时，，解得或（舍）， 综上可得或0； （3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示：    50．（2026高一·四川凉山·期中）已知函数，若恰有8个整数解，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图象，根据图象分析求解. 【详解】由，作出其图象如下图， 令，得和； 令，得，，； 令，得，，； 令，得，，； 当时，满足有9个整数解； 当时，满足有8个整数解； 当时，满足有7个整数解； 所以恰有8个整数解的的取值范围为. 故选：C.    51．（2026高一·浙江·期中）定义运算，函数. (1)写出的解析式； (2)在坐标系中画出的图象； (3)若时恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 由（1）可得图象如下： (3) 【分析】（1）根据定义，先解，进而求解； （2）由（1）结合分段函数定义域可得函数图象； （3）根据分段函数，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）， 则或. 则. （2）略 （3）当时，，即，所以； 当时，，即，所以； 当时，，即，所以. 综上所述：. 52．（2026高一·云南昆明·期中）已知函数，若存在实数，使得关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】作出的图象，方程有四个不同的实数根等价于与有4个交点，数形结合可得答案. 【详解】， 作出函数图象，如图： 方程有四个不同的实数根等价于与有4个交点， 所以. 故答案为： 1．（2026高一·河南南阳·阶段检测）已知一次函数满足，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据待定系数法可得函数解析式，进而即得. 【详解】设，则, 因为， 所以，解得， 所以，. 故选：B. 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）设，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】由已知， 所以. 3．（2026高一·河北唐山·期中）函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 【答案】A 【详解】换元求解 【点睛】令，则， 4．（2026高一·河北唐山·期中）已知函数则的值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由已知， 所以. 5．（2026高一·安徽安庆·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（    ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】对A，阶梯水价需累计计算各段费用，计算比较可判断；对B，根据分段函数代入求值判断；对C、D，根据分段函数列出所有可能求解判断. 【详解】对于A：根据题意，当时，水价， 当时，， 所以阶梯水价的正确分段函数应为，A错误； 对于B：当时，，B错误； 对于C：若，则①或②或③， ①③无解，由②解得，C正确； 对于D：若，则④或⑤或⑥， ④⑤无解，由⑥解得，D错误； 故选：C. 6．【多选】（2026高一·浙江杭州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．当 【答案】AD 【分析】当时，，根据递推关系以及求出对应的函数值及函数. 【详解】对于A，因为，所以，即，故A正确； 对于B，所以，，故B错误； 对于C，所以，故C错误； 对于D，当时，所以，故D正确. 故选：AD. 7．（2026高一·北京海淀·期中）已知，若对任意，均有，则函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，取特殊值验证的方法判断A，B，C，根据满足的条件判断D. 【详解】对于A，，当时，不妨取，则， 此时不成立，即不成立，A错误； 对于B，，当时，不妨取，则， 则不成立，即不成立，B错误； 对于C，，不妨取，则， 此时不成立，即不成立，C错误； 对于D，，当时，则， 此时恒成立，即成立， 当时，则，此时恒成立，即成立， 故对任意，均有，D正确， 故选：D 8．【多选】（2026高一·河北邢台·阶段检测）用列表法表示函数与函数，如下表所示，若，则的值可能为（   ） 1 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABD 【分析】代入，求的值，即可求解不等式. 【详解】由表可得，，，， 所以，的值可以是1，2或4. 故选：ABD 9．【多选】（2026高一·河南信阳·期中）已知函数，若，求实数的值（    ） A．0 B．-2 C．2 D．1 【答案】AC 【分析】分和两种情况求解即可. 【详解】因为， 当时，解得，符合题意； 当时，解得，又，所以. 综上所述或. 故选：AC. 10．（2026高一·广东·期末）某市推行“垃圾回收积分奖励计划”，居民通过智能回收箱投放可回收物可获得积分．当单次可回收物投放重量（单位：）不超过时，奖励积分；当时，其中部分奖励10积分，超出的部分奖励积分．若居民甲单次投放的可回收物，获得积分为______；若居民乙单次投放可回收物，获得积分为______． 【答案】 7.5 22 【分析】建立奖励积分与的函数关系，可得答案. 【详解】设奖励积分为 ，则： ， 居民甲：投放 kg，满足 ， 所以：； 居民乙：投放 kg，满足 ， 所以：. 故答案为：； 11．（2026高二·辽宁本溪·期末）已知函数满足，则__________. 【答案】 【分析】利用解方程组法和换元法即可求解. 【详解】由①， 得②， 由①②得，则， 令，则， 所以， 故. 故答案为：. 12．（2026高一·福建泉州·期中）已知一次函数，满足，； (1)求的解析式； (2)求的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求解一次函数解析式； （2）在（1）基础上进行求解即可. 【详解】（1）设，则， 解得，， ∴； （2）由（1）知， ∴. 13．（2026高一·天津宝坻·阶段检测）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． 【答案】(1)， (2)或4 (3)作图见解析，值域为 【分析】（1）根据自变量的范围代入对应的解析式即可求解； （2）分类讨论的范围即可； （3）画出分段函数的图象，数形结合即可求出值域． 【详解】（1）因为函数， 所以，， 所以； （2）①当时，， 解得，不满足，故舍去； ②当时，，解得， 又因为，所以， ③当时，，解得， 综上所述，的值为或4； （3）函数的图象，如下图所示： 由图象可知，函数的值域为． 14．（广东省清远市第一中学2025-2026学年高一学期期中考试数学试题）已知函数. (1)用分段函数的形式表示f（x）； (2)画出f（x）的图象. 【答案】(1) (2) 函数的图象如图所示. 【分析】（1）通过讨论取绝对值即可； （2）由解析式即可求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以； （2）略 15．（2026高一·湖北咸宁·阶段检测）函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，当， (1)求的解析式. (2)画出的图象. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）分类讨论可求函数的解析式； （2）根据（1）的解析式作出函数的图像. 【详解】（1）当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以的解析式为. （2）根据（1）作出函数的图像如图所示： 16．（2026高一·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)求函数的定义域及值域； (3)若，求的值； (4)求的值. 【答案】(1) 因为，所以函数的图象如下所示： (2)定义域为，值域为 (3)或 (4) 【分析】（1）根据函数解析式画出函数图象； （2）由解析式得到定义域，结合图象求出值域； （3）由解析式分段计算； （4）根据解析式由内到外依次计算即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以的定义域为， 由的图象可知，当时取得最大值，即， 所以的值域为； （3）因为， 令，则或或， 解得或或， 综上可得所对应的的值为或. （4）因为， 所以，则，， 所以. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 3.1.2函数的表示法12题型分类 一、函数的表示法 (1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. (2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. (3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 二、描点法作函数图象的三个步骤 (1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来． (2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在平面直角坐标系中描出来． (3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来． 三、函数三种表示法的几点说明 (1)解析法：变量间的对应关系明确，且要注意函数的定义域． (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银行的利率表等．其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值．这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去． (3)图象法：函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象． 四、分段函数的概念 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函数为分段函数. 五、应用函数知识解决实际问题的一般步骤 (1)阅读材料、理解题意； (2)把实际问题抽象为函数问题，并建立相应的函数模型； (3)利用函数知识对函数模型进行分析、研究，得出数学结论； (4)把数学结论(结果)应用到实际问题中，解决实际问题． 六、分段函数的特点 (1)分段函数是一个函数，并非几个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集． (3)分段函数的值域是各段值域的并集． (4)分段函数的图象要分段来画． 七、应用函数知识解决实际问题 关键是如何根据题意将实际问题抽象、转化成数学问题，然后通过求解数学问题，最后解决实际问题，这也是数学建模思想在实际问题中的具体应用． （一） 函数表示法 函数的三种表示法的选择和应用的注意点 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 题型1：函数的表示法 1．（2026高一·河南漯河·阶段检测）周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．【多选】（2026高一·辽宁·阶段检测）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（   ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1    A． B．0 C．2 D．4 3．（2026高一·河南·期中）某通信公司推出的话费套餐收费标准如下：每月月租费为28元，当月通话时间不超过50分钟时，只收取月租费28元；当月通话时间超过50分钟时，除收取月租费外，超出50分钟的部分按0.2元/分钟收费．已知该通信公司某用户选择了该话费套餐，若该用户某月通话时间为120分钟，则该用户应缴的话费为___________元． 4．（2026高一·上海·期中）已知函数和的部分取值如表所示．则_______． 1 2 3 6 9 10 2 3 4 （二） 函数图象的作法及应用 1、画函数图象的两种常用方法 (1)描点法 一般步骤：①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； ②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点； ③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． (2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等． 2、画函数图象的关注点 ①画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； ②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； ③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点． 题型2：函数图象的作法及应用 5．（2026高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 6．（2026高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 7．（2026高三·全国·一轮复习）作函数的图象. （三） 函数解析式的求法 函数解析式的求法 求函数解析式，关键是对基本方法的掌握，常用方法有配凑法、换元法、待定系数法、解方程(组)法、赋值法等． (1)配凑法：将形如f(g(x))的函数的表达式配凑为关于g(x)的表达式，并整体将g(x)用x代换，即可求出函数f(x)的解析式．如由f(x＋1)＝(x＋1)2可得f(x)＝x2. (2)换元法：将函数f(g(x))中的g(x)用t表示，则可求得x关于t的表达式，并将最终结果中的t用x代换，即可求得函数f(x)的解析式． (3)待定系数法：将已知类型的函数以确定的形式表达，并利用已知条件求出其中的参数，从而得到函数的解析式． 一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (4)解方程(组)法：采用解方程或方程组的方法，消去不需要的函数式子，得到f(x)的表达式，这种方法也称为消去法． (5)赋值法：利用恒等式将特殊值代入，求出特定函数的解析式．这种方法灵活性强，必须针对不同的类型选取不同的特殊值． 题型3：配凑法 8．若函数，则（ ） A． B． C． D． 9．已知，求的解析式． 10．（2026高一·河北保定·期中）已知，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 11．（2026高一·湖北襄阳·期中）若，则（    ） A． B． C． D．11 题型4：换元法 12．（2026高一·湖南永州·期中）已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 13．（2026高一·安徽池州·期中）已知，求的解析式为_________. 14．（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则的解析式为（     ） A． B． C． D． 15．（2026高一·全国·专题练习）已知函数满足：对任意非零实数，都有，则的解析式为______． 题型5：待定系数法 16．（2026高一·山东临沂·阶段检测）已知是一次函数，若，求的解析式. 17．（2026高一·全国·随堂练习）已知反比例函数的图象过点，则________． 18．（2026高一·天津静海·阶段检测）已知是一次函数，且，，则的解析式为_______. 19．（2026高一·广东惠州·阶段检测）已知二次函数满足，则函数的解析式为_____________ 20．（2026高一·湖南长沙·期中）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式； （2）已知函数，求函数的解析式； 题型6：方程组法 21．（2026高一·广东佛山·阶段检测）已知函数满足，则__________． 22．（2026高一·河南开封·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 23．（2026高一·河北沧州·阶段检测）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 24．（2026高二·全国·期末）已知函数对任意的都有，则________． 25．（2026高一·河南郑州·期中）已知函数满足，则__________. 26．（2026高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 题型7：赋值法 27．（2026高三·广东江门·开学考试）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 28．（2026·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 29．（2026高三·全国·专题练习）设函数对任意都满足，试求出． （四） 分段函数的定义域、值域 分段函数定义域、值域的求法 (1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集． 题型8：求分段函数的定义域 30．（2026高一·全国·课前预习）函数 则的定义域为________． 31．函数的定义域为______________________． 32．如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________________． 33．（2026高一·山西太原·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型9：求分段函数的值域 34．（2026高二·福建福州·期末）已知函数的图象如图所示，则的值域是________． 35．（2026高一·湖南长沙·期末）若定义运算，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 36．（2026高一·四川泸州·期末）已知函数，则的值域是_______． 37．（2026高一·天津红桥·期中）已知函数． (1)求的值； (2)当时，求函数的值域． （五） 分段函数求值问题 1、求分段函数函数值的步骤 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止． 2、已知分段函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 题型10：分段函数求值问题 38．（2026高一·广西河池·期中）已知函数，求的值（   ） A．2 B．5 C．3 D．1 39．（2026高一·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 40．（2026高二·浙江宁波·期末）函数，则______． 41．（2026高一·江西宜春·阶段检测）已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 42．（2026高一·河北石家庄·期末）已知函数，若，则实数的值为__________. 43．（2026·浙江·模拟预测）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 44．（2026高一·辽宁营口·期中）已知函数若，则的值是（   ） A．或2 B．或2或7 C．或7 D．2或7 题型11：分段函数与不等式的综合 45．（2026高二·上海·阶段检测）已知，，则的解集为________． 46．（2026高一·河南南阳·阶段检测）已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 47．（2026高二·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 48．（2026高一·北京西城·期中）已知函数，则___________；若，的取值范围是___________． （六） 分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 注：(1)判断分段函数的图 象，分段判断，宏观把握. (2)画分段函数的图象，首先确定函数是否已经确为分段函数，然后再分段画出，分点处的虚实情况用空心点和实心点标出. 题型12：分段函数图象及应用 49．（2026高一·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数    (1)求 (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 50．（2026高一·四川凉山·期中）已知函数，若恰有8个整数解，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 51．（2026高一·浙江·期中）定义运算，函数. (1)写出的解析式； (2)在坐标系中画出的图象； (3)若时恒成立，求实数的取值范围. 52．（2026高一·云南昆明·期中）已知函数，若存在实数，使得关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围是______. 1．（2026高一·河南南阳·阶段检测）已知一次函数满足，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）设，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 3．（2026高一·河北唐山·期中）函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 4．（2026高一·河北唐山·期中）已知函数则的值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2026高一·安徽安庆·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（    ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 6．【多选】（2026高一·浙江杭州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．当 7．（2026高一·北京海淀·期中）已知，若对任意，均有，则函数可以是（    ） A． B． C． D． 8．【多选】（2026高一·河北邢台·阶段检测）用列表法表示函数与函数，如下表所示，若，则的值可能为（   ） 1 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 A．1 B．2 C．3 D．4 9．【多选】（2026高一·河南信阳·期中）已知函数，若，求实数的值（    ） A．0 B．-2 C．2 D．1 10．（2026高一·广东·期末）某市推行“垃圾回收积分奖励计划”，居民通过智能回收箱投放可回收物可获得积分．当单次可回收物投放重量（单位：）不超过时，奖励积分；当时，其中部分奖励10积分，超出的部分奖励积分．若居民甲单次投放的可回收物，获得积分为______；若居民乙单次投放可回收物，获得积分为______． 11．（2026高二·辽宁本溪·期末）已知函数满足，则__________. 12．（2026高一·福建泉州·期中）已知一次函数，满足，； (1)求的解析式； (2)求的解析式. 13．（2026高一·天津宝坻·阶段检测）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． 14．（广东省清远市第一中学2025-2026学年高一学期期中考试数学试题）已知函数. (1)用分段函数的形式表示f（x）； (2)画出f（x）的图象. 15．（2026高一·湖北咸宁·阶段检测）函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，当， (1)求的解析式. (2)画出的图象. 16．（2026高一·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)求函数的定义域及值域； (3)若，求的值； (4)求的值. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $