1.1.2 空间向量的数量积运算(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦空间向量的数量积运算核心知识点，从平面向量夹角推广到空间向量夹角，构建数量积定义、性质、运算律及投影向量的学习支架，为解决立体几何问题提供基础。 该资料以物理功的实例导入培养数学眼光，通过问题引导促进知识迁移发展数学思维，结合正四面体、正方体模型及三垂线定理应用提升直观想象与逻辑推理能力，课中辅助教学，课后练习题助力查漏补缺。

1.1.2　空间向量的数量积运算 课标要求 情境导入 1.了解空间向量的夹角，掌握空间向量的数量积（数学抽象、数学运算）. 2.了解空间向量投影的概念及投影向量的意义（直观想象）. 3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题（数学运算、逻辑推理）. 如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W＝F·S＝｜F｜｜S｜·cos θ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念，那么在空间中向量的数量积又是如何定义的呢？ 知识点一　空间向量的夹角 问题　你能从两个平面向量夹角的定义推广到空间中吗？为什么？ 提示：能.因为任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量. 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则　∠AOB　叫做向量a，b的夹角，记作　＜a，b＞　 范围 [0，π] 向量垂直 如果＜a，b＞＝　　，那么向量a，b互相垂直，记作　a⊥b 【微思考】 ＜a，b＞与＜b，a＞，＜－a，b＞与＜a，－b＞，＜a，b＞与＜－a，b＞，＜a，b＞与＜－a，－b＞，之间分别有什么关系？ 提示：＜a，b＞＝＜b，a＞，＜－a，b＞＝＜a，－b＞，＜－a，b＞＝π－＜a，b＞，＜－a，－b＞＝＜a，b＞. 1.对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“＜a，b＞＝0”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　因为a∥b包括向量a和b同向共线和反向共线两种情况，所以当a∥b时，有＜a，b＞＝0或＜a，b＞＝π，不能得到＜a，b＞＝0，充分性不成立；＜a，b＞＝0，则a和b方向相同，有a∥b，必要性成立，故“a∥b”是“＜a，b＞＝0”的必要不充分条件.故选B. 2.在正四面体ABCD中，与的夹角等于　120°　；与的夹角等于　60°　. 解析：由正四面体每个面都是正三角形可知，＜，＞＝180°－＜，＞＝180°－60°＝120°；＜，＞＝＜，＞＝60°. 3.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求向量分别与向量，，，，的夹角. 解：连接BD（图略）， 则在正方体ABCD-A'B'C'D'中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD'＝CD'， 所以＜，＞＝＜，＞＝45°， ＜，＞＝180°－＜，＞＝135°， ＜，＞＝∠D'AC＝60°， ＜，＞＝180°－＜，＞＝180°－60°＝120°， ＜，＞＝＜，＞＝90°. 规律方法 对两个空间向量夹角的理解 （1）求两个空间向量的夹角时，要结合夹角的定义和图形，以防出错； （2）两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π. 知识点二　空间向量的数量积 问题　类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？ 提示：能. 1.定义：已知两个非零向量a，b，则　｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝　｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　. 2.性质：（1）若a，b为非零向量，则a⊥b⇔　a·b＝0　； （2）a·a＝　｜a｜｜a｜cos＜a，a＞　＝　｜a｜2　＝a2； （3）a·e＝｜a｜cos＜a，e＞（其中e为单位向量）； （4）若a，b为非零向量，则cos＜a，b＞＝； （5）特别地，零向量与任意向量的数量积为0. 3.运算律：（1）（λa）·b＝　λ（a·b）　，λ∈R； （2）交换律：a·b＝　b·a　； （3）分配律：（a＋b）·c＝　a·c＋b·c　. 【微思考】 对于向量a，b，c，（a·b）c＝a（b·c）成立吗？也就是说，向量的数量积满足结合律吗？ 提示：不满足.（a·b）和（b·c）都是实数，而a和c方向也不一定相同. （链接教材P7例2（1））如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，E，F分别是AB，AD的中点，计算： （1）·； 解：·＝·＝｜｜·｜｜·cos＜，＞＝×1×1×cos 60°＝. （2）·； 解：·＝·＝｜｜·｜｜·cos＜，＞＝×1×1×cos 0°＝. （3）·； 解：·＝·＝｜｜·｜｜·cos＜，＞＝×1×1×cos 120°＝－. （4）·. 解：·＝（＋）·（＋） ＝[·（－）＋·（－）＋·＋·]＝[－·－·＋（－）·＋·] ＝×（ －－＋－＋）＝－. 规律方法 求空间向量数量积的步骤 （1）将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清； （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积； （3）代入a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞求解. 训练1　（1）（2026·扬州月考）如图，在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中，·＝（　A　） A.2 B.1 C.2 D. 解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥AD1，所以·＝（＋）·＝（＋）·＝·＋·＝0＋×2×cos 45°＝2.故选A. （2）若a，b，c为空间中两两夹角为的单位向量，＝2a－2b，＝b－c，则·＝　－1　. 解析：由题意得，a·b＝b·c＝c·a＝12×cos＝，则·＝2（a－b）·（b－c）＝2（a·b－a·c－b2＋b·c）＝2（ －－1＋）＝－1. 知识点三　投影向量 问题　在平面向量中，我们学习了向量的投影向量，类似地，对于空间任意两个非零向量a，b，怎样得到向量a在向量b上的投影向量呢？ 提示：在空间中，由于向量a与向量b是自由向量，可将向量a与向量b平移到同一个平面内，进而利用平面上求投影向量的方法， 得到向量a在向量b上的投影向量. 作法 图形表示 符号表示 向量a在向量b上的投影向量 将向量a，b（直线l）平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b（直线l的方向向量）共线的向量c c＝｜a｜·cos＜a，b＞· 向量a在直线l上的投影向量 作法 图形表示 符号表示 向量a在平面β上的投影向量 分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量 （2026·温州月考）已知向量a，b，｜a｜＝6，｜b｜＝8，＜a，b＞＝120°，则a在b上的投影向量为　－b　，b在a上的投影向量为　－a　. 解析：由题可得与向量a，b同方向的单位向量分别为，，由｜a｜＝6，｜b｜＝8，＜a，b＞＝120°，根据投影向量的定义，则a在b上的投影向量为｜a｜cos＜a，b＞·＝＝－b，b在a上的投影向量为｜b｜cos＜a，b＞＝＝－a. 规律方法 投影向量中的两点注意 （1）在投影向量公式中，是向量b的单位向量，不可以省去； （2）向量a在向量b上的投影向量也可以表示为·. 训练2　如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB＝BC＝a，PA＝b. （1）确定在平面ABC上的投影向量； 解：因为PA⊥平面ABC，所以在平面ABC上的投影向量为. （2）确定在上的投影向量. 解：因为PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC， 可得PA⊥AB，所以·＝0. 因为CB⊥AB，所以·＝0， 所以·＝（＋＋）· ＝·＋·＋· ＝0＋a2＋0＝a2， 又｜｜＝a，所以在上的投影向量为 ｜｜·cos＜，＞·＝｜｜··＝·＝·＝. 提能点　空间向量数量积的应用 角度1　利用数量积求夹角和模 （1）（链接教材P7例2（2））已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为（　B　） A.6　　　　　　　　 B. C.3 D. 解析：设＝a，＝b，＝c，则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，且＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞＝60°，因此a·b＝b·c＝c·a＝.由＝a＋b＋c，得｜｜2＝＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.所以｜｜＝. （2）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＜，＞＝（　B　） A.30° B.60° C.90° D.120° 解析：不妨设正方体的棱长为1，则·＝（＋）·（＋）＝（＋）·（＋）＝·＋＋·＋·＝0＋＋0＋0＝＝1，又∵｜｜＝，｜｜＝，∴cos＜，＞＝＝＝，∴＜，＞＝60°. 规律方法 1.利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 2.利用数量积求两点间的距离或线段的长度的步骤 （1）将此线段用向量表示； （2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量； （3）利用｜a｜＝，计算出｜a｜，即得所求距离. 角度2　利用数量积证明垂直问题 （链接教材P8例3）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 证明：设＝a，＝b，＝c， 则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，｜a｜＝｜b｜＝｜c｜， ∵＝＋＝＋（＋）＝c＋a＋b， ＝－＝b－a， ＝＋＝（＋）＋＝a＋b－c， ∴·＝（c＋a＋b）·（b－a）＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a＝（b2－a2）＝（｜b｜2－｜a｜2）＝0. 于是⊥，即A1O⊥BD. 同理可证⊥，即A1O⊥OG. 又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面GBD，∴A1O⊥平面GBD. 规律方法 利用数量积证明垂直问题的步骤 （1）把几何问题转化为向量问题； （2）用已知向量表示所证向量； （3）结合数量积公式和运算律证明数量积为0； （4）将向量问题回归到几何问题. 训练3　（1）已知空间向量a，b满足｜a｜＝，｜b｜＝1，a⊥（a＋2b），则向量a，b的夹角为（　　） A. B. C. D. 解析：D　由｜a｜＝，｜b｜＝1，且a⊥（a＋2b），可得a·（a＋2b）＝a2＋2a·b＝0，解得a·b＝－1，所以cos＜a，b＞＝＝＝－，又＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝. （2）如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，M，N分别是AB，CD的中点.证明：MN⊥AB. 证明：由题意可知，｜｜＝｜｜＝｜｜＝a，且向量，，两两的夹角均为60°，连接AN（图略）， 则＝－＝（＋）－， 所以·＝（·＋·－）＝（a2cos 60°＋a2cos 60°－a2）＝0， 所以⊥，即MN⊥AB. 1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是（　　） A.与 B.与 C.与 D.与 解析：A　选项A中向量的夹角为45°，选项B、C、D中的向量的夹角为135°. 2.已知e1，e2是空间中两个互相垂直的单位向量，a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，且a⊥b，则实数k＝（　　） A.4 B.5 C.6 D.8 解析：C　因为a⊥b，且e1，e2是空间中两个互相垂直的单位向量，所以a·b＝（2e1＋3e2）·（ke1－4e2）＝2k＋（3k－8）e1·e2－12＝2k－12＝0，解得k＝6. 3.在三棱锥P-ABC中，∠PAB＝∠ABC＝，＜，＞＝，PA＝2，AB＝1，BC＝3，则｜｜＝（　　） A. B.2 C. D.1 解析：C　由已知得＝＋＋，所以｜｜2＝（＋＋）2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·＋2·＋2·＝22＋12＋32＋2×2×1×（ －）＋2×2×3×（ －）＋2×1×3×（ －）＝3，所以｜｜＝.故选C. 4.〔一题多解〕如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是 C1D1的中点，则与所成角的大小为　60°　；·＝　1　. 解析：法一　连接A1D（图略），则∠PA1D就是与所成的角，连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即与所成角的大小为60°，因此·＝××cos 60°＝1. 法二　根据向量的线性运算可得·＝（＋）·（ ＋）＝＝1.由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos＜，＞＝1，cos＜，＞＝，从而＜，＞＝60°. 教材挖掘　三垂线定理 　通过教材P10习题8题的证明，我们可得到三垂线定理：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直. 该定理用数学语言描述为：如图，已知点P是平面α外一点，PA是平面α的斜线，交α于点A，过点P作平面α的垂线PO，垂足是O，直线OA是PA在平面α上的投影，对平面α上的任一直线l，若直线l⊥OA，则直线l⊥PA. 【问题探究】 1.保持上述定理的已知条件不变，若已知直线l⊥PA，能否得到直线l⊥OA？ 提示：能.取直线l的方向向量a，同时取向量，，.因为l⊥PA，所以a ⊥，所以a·＝0.又因为PO⊥平面α，所以l⊥PO，所以a⊥，所以a·＝0.所以a·＝a·（－）＝a·－a·＝0，所以l⊥OA. 2.保持上述定理的已知条件不变，你认为直线l⊥OA是直线l⊥PA的什么条件？ 提示：充要条件. 【迁移应用】 1.已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC上的射影一定是△ABC的（　　） A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 解析：B　如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O，连接OA，OB，OC.所以PO⊥平面ABC.因为PA＝PB＝PC，且∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以△PAO≌△PBO≌△PCO，所以AO＝BO＝CO.即点O到三角形三个顶点的距离相等，所以点O为△ABC的外心. 2.在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是　4　. 解析：由PA⊥平面ABC，在△ABC中，作AD⊥BC于点D，连接PD（图略），由三垂线定理知，PD⊥BC，即PD就是点P到BC的距离.在△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，所以PD＝＝4. （时间：60分钟　满分：105分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：C　由题意，可得＝，所以＜，＞＝＜，＞＝180°－＜，＞＝180°－60°＝120°. 2.已知空间向量a，b，c两两夹角均为60°，其模均为1，则｜a＋b－2c｜＝（　　） A. B. C.2 D. 解析：B　（a＋b－2c）2＝a2＋b2＋4c2＋2a·b－4a·c－4b·c＝1＋1＋4＋2×1×1×－4×1×1×－4×1×1×＝3，所以｜a＋b－2c｜＝.故选B. 3.〔一题多解〕如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，则·＝（　　） A.1　　 　　　　　　 B. C. D.－1 解析：A　法一（定义法）　连接B'D'（图略），则在Rt△DB'D'中，DB'＝，DD'＝1，所以cos∠B'DD'＝，所以·＝·＝｜｜｜｜cos∠B'DD'＝1××＝1. 法二（运算法）　因为＝＋＝－＋＝－＋，且·＝0，·＝0，所以·＝·（－＋）＝·－·＋＝1. 法三（几何意义法）　连接B'D'（图略），则B'D'⊥DD'，所以在上的投影向量为，又＝，所以·＝｜｜2＝1. 4.（2026·佛山调研）已知A，B，C，D是空间中不共面的四点，且·＝0，·＝0，M为BC的中点，则△AMD是（　　） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 解析：C　因为M为BC的中点，所以＝（＋），可得·＝（＋）·＝·＋·＝0，所以⊥，即AM⊥AD，所以△AMD是直角三角形.故选C. 5.如图所示，在空间四边形OABC中，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos＜，＞＝（　　） A. B.0 C. D. 解析：B　∵在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，＝－，∴·＝·（－）＝·－·＝｜｜×｜｜×cos－｜｜×｜｜×cos＝｜｜×（｜｜－｜｜）＝0，∴cos＜，＞＝＝0.故选B. 6.在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠BDC＝90°，AC＝2BD，则在上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 解析：B　在空间四边形ABCD中，因为∠ABD＝∠BDC＝90°，AC＝2BD，设AC＝2，BD＝1，且·＝·＝0，＝＋＋，则·＝（＋＋）·＝｜｜2，在上的投影向量为·＝·＝.故选B. 7.〔多选〕如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是（　　） A.与 B.与 C.与 D.与 解析：BCD　因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故·＝0；因为AD⊥AB，AD⊥PA，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，故AD⊥PB，则·＝0；同理可得·＝0；而PC与AD所成角为∠PCB，显然不垂直. 8.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，＜a，b＞＝135°，且m⊥n，则实数λ＝　－　. 解析：∵m·n＝（a＋b）·（a＋λb）＝｜a｜2＋λa·b＋a·b＋λ｜b｜2＝18＋λ·3×4·cos 135°＋3×4·cos 135°＋λ·16＝18－12λ－12＋16λ＝6＋4λ，又m⊥n，∴m·n＝0＝6＋4λ，∴λ＝－. 9.〔一题多解〕已知点C在以AB为直径的球面上，若BC＝2，则·＝　－4　. 解析：法一　由点C在以AB为直径的球面上，BC＝2，得AC⊥BC，所以·＝0，所以·＝（＋）·＝·－＝－4. 法二　由题意得·＝－·，在上的投影向量为，所以－·＝－·＝－4，即·＝－4. 10.（13分）已知不共面的三个单位向量，，两两之间的夹角均为60°，＝＋＋，＝＋. （1）求·； （2）求cos＜，＞. 解：（1）因为·＝·＝·＝1×1×cos 60°＝，所以·＝（＋＋）·（－）＝·（－）＋（＋）·（－）＝－＝1－1＝0. （2）因为·＝（＋＋）·（＋）＝4，｜｜2＝（＋＋）2＝6，｜｜2＝（＋）2＝3.所以｜｜＝，｜｜＝.所以cos＜，＞＝＝＝. 11.如图，边长为4的正方形ABCD是圆柱OO1的轴截面，M为上底面圆O内一点，则·的最小值为（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 解析：D　·＝（＋）·（＋）＝－＝｜｜2－22≥42－22＝12，当且仅当M与O重合时，等号成立，故·的最小值为12.故选D. 12.〔多选〕在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有下列说法，其中正确的有（　　） A.（＋＋）2＝3 B.·（－）＝0 C.与的夹角为60° D.正方体的体积为｜··｜ 解析：AB　如图，（＋＋）2＝（＋＋）2＝＝3，故A正确；·（－）＝·＝（－＋＋）·＝0，故B正确；与的夹角是与夹角的补角，而△ACD1为正三角形，所以与的夹角为60°，故与的夹角为120°，故C错误；正方体的体积为｜｜·｜｜·｜｜，故D错误.故选A、B. 13.在四面体OABC中，已知OA，OB，OC两两垂直，且OA＝3，OB＝6，OC＝9，若G是△ABC的重心，则OG＝　　. 解析： 如图所示，取BC的中点D，根据三角形重心的性质，可得AG＝AD，根据向量的运算法则，可得＝＋＝＋＝＋（ ＋）＝＋［（－）＋（－）］＝（＋＋），所以｜｜2＝（＋＋＋2·＋2·＋2·）＝（9＋36＋81＋0＋0＋0）＝14，所以｜｜＝，即OG＝. 14.（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，PC＝4，∠ABC＝∠BCP＝∠DCP＝120°. （1）利用空间向量证明PA⊥BD； （2）求AP的长. 解：（1）证明：设＝a，＝b，＝c，则＝－＝b－a，＝＋＋＝a＋b＋c，所以·＝（b－a）·（a＋b＋c）＝b2－a2＋b·c－a·c＝32－32＋3×4×cos 60°－3×4×cos 60°＝0，所以⊥，故PA⊥BD. （2）由（1）知＝a＋b＋c， 所以＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c ＝32＋32＋42＋2×3×3×cos 60°＋2×3×4×cos 60°＋2×3×4×cos 60°＝9＋9＋16＋9＋12＋12＝67. 所以AP＝｜｜＝. 15.（15分）如图，在矩形ABCD和ABEF中，AB＝4，AD＝AF＝3，∠DAF＝，＝λ，＝λ，0＜λ＜1，记＝a，＝b，＝c. （1）将用a，b，c表示出来，并求｜｜的最小值； （2）是否存在λ使得MN⊥平面ABCD？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由. 解：（1）＝－＝－（＋）＝λ－（＋λ）＝λ（a＋c）－[b＋λ（a－b）]＝（λ－1）b＋λc. 所以｜｜＝ ＝ ＝ ＝3， 故当λ＝时，｜｜有最小值为. （2）假设存在λ使得MN⊥平面ABCD，故MN⊥AB，MN⊥AD. 因为·＝[（λ－1）b＋λc]·a＝0， 所以MN⊥AB恒成立； 由·＝0，得[（λ－1）b＋λc]·b＝0， 即（λ－1）b2＋λb·c＝0， 所以9（λ－1）＋λ＝0，解得λ＝，满足条件. 故存在λ＝使得MN⊥平面ABCD. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $