3.3.2.1&3.2.2 第2课时 空间向量的数量积(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

第二课时　空间向量的数量积

如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W＝F·S＝｜F｜｜S｜cos θ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念.

【问题】　在空间中向量的数量积又是如何定义的呢？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　两个向量的夹角

1.如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则　∠AOB　叫作向量a，b的夹角，记作　＜a，b＞　.

2.向量a，b的夹角＜a，b＞的范围是　[0，π]　，当＜a，b＞＝时，称向量a，b互相　垂直　，记作　a⊥b　.

规定：零向量与任意向量　垂直　.

【想一想】

1.当＜a，b＞＝0和＜a，b＞＝π时，向量a与b有什么关系？

提示：当＜a，b＞＝0时，a与b同向；当＜a，b＞＝π时，a与b反向.

2.＜a，b＞，＜－a，b＞，＜a，－b＞，＜－a，－b＞，它们有什么关系？

提示：＜－a，b＞＝＜a，－b＞＝π－＜a，b＞，＜－a，－b＞＝＜a，b＞.

知识点二　两个向量的数量积

1.数量积的定义

已知两个空间向量a，b，把　｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　叫作a与b的数量积，记作a·b.即a·b＝　｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　.

2.数量积的性质

（1）cos＜a，b＞＝（a≠0，b≠0）；

（2）｜a｜＝；

（3）a⊥b⇔　a·b＝0　.

3.数量积的运算律

（1）交换律：a·b＝　b·a　；

（2）分配律：a·（b＋c）＝　a·b＋a·c　；

（3）（λa）·b＝　λ（a·b）　（λ∈R）.

提醒：向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab.

【想一想】

1.向量的数量积运算是否满足结合律？

提示：不满足.

2.两个向量a与b的数量积a·b还是向量吗？

提示：不是.任意两向量的数量积都是数量.

3.对于向量a，b，若a·b＝k，能否写成a＝（或b＝）？

提示：不能.向量没有除法运算.

知识点三　投影向量与投影数量

1.投影向量

（1）定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于｜｜b｜cos＜a，b＞｜.

（2）代数式表示：用a0表示与向量a（a≠0）同方向的单位向量，则向量b在向量a方向上的投影向量为　｜b｜cos＜a，b＞·a0　.

2.投影数量

向量b在向量a方向上的投影数量为　｜b｜cos＜a，b＞　＝　　＝　a0·b　（其中a0为与a同方向的单位向量）.

【想一想】

1.向量a在向量b方向上的投影数量与向量b在向量a方向上的投影数量一样吗？

提示：不一样.

2.和向量（b＋c）在向量a方向上的投影数量等于b，c在向量a方向上的投影数量之和吗？

提示：等于.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）零向量与任意向量的数量积为0.（　√　）

（2）对于任意向量a，b，c，都有（a·b）c＝a（b·c）.（　×　）

（3）若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.（　×　）

（4）向量a在向量b上的投影向量c＝｜a｜cos＜a，b＞·.（　√　）

2.已知空间向量｜a｜＝，｜b｜＝5，且a与b夹角的余弦值为－，则a在b上的投影向量为（　　）