3.1.1 点在空间直角坐标系中的坐标&3.1.2 空间两点间的距离公式(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦空间直角坐标系中点的坐标表示及空间两点间距离公式，从房间物体位置的现实情境引入，通过类比平面直角坐标系，系统构建空间坐标系（坐标轴、坐标平面、右手系），再延伸至点坐标确定、对称点坐标及距离公式应用，辅以课标要求、知识点解析、类比引导和题型示例作为学习支架。 资料以情境化问题激发兴趣，通过平面到空间对称点的类比培养数学思维，结合正四棱柱、直三棱柱等几何体实例提升直观想象与数学运算能力。课中助力教师引导学生从具体到抽象构建知识，课后分层练习帮助学生巩固，查漏补缺，有效发展数学抽象与数学运算核心素养。

1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 1.2　空间两点间的距离公式 课标 要求 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的坐标（数学抽象）. 2.掌握空间两点间的距离公式，并会利用该公式求空间两点间的距离（数学运算）. 　　如图是一个房间的示意图. 【问题】　我们如何表示板凳和气球的位置？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.点　O　叫作坐标原点，x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为　xOy　平面、　yOz　平面、　zOx　平面. 提醒：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°（或45°），∠yOz＝90°. 2.右手系 伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向　x　轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转　90°　指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向，称这样的坐标系为右手系. 3.空间直角坐标系中点的坐标 三元有序实数组　（x，y，z）　叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P（x，y，z），其中x叫作点P的　横　坐标，y叫作点P的　纵　坐标，z叫作点P的　竖　坐标. 知识点二　空间两点间的距离公式 已知空间中P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2）两点，则P，Q两点间的距离为｜PQ｜＝　　. 【想一想】 1.在平面直角坐标系中，设P（x，y），则P关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标是什么？ 提示：分别为（x，－y），（－x，y），（－x，－y）. 2.类比在平面直角坐标系中P（x，y）关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标的特点，你认为空间点P（x，y，z）关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标是什么？ 提示：P（x，y，z）关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标是分别为（x，－y，－z），（－x，y， －z），（－x，－y，－z）. 3.若P是坐标原点，且Q（x，y，z），则P，Q两点间距离公式是什么？ 提示：｜PQ｜＝. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在空间中，过x轴，y轴的平面叫作xOy平面.（　√　） （2）空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是（0，b，c）的形式.（　×　） （3）空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是（a，0，c）的形式.（　√　） （4）空间直角坐标系中，点（1，，2）关于yOz平面的对称点为（－1，，2）.（　√　） 2.〔多选〕在空间直角坐标系O-xyz中，以下结论正确的是（　　） A.点A（1，3，－4）关于x轴的对称点的坐标是（－1，－3，4） B.点P（－1，2，3）关于xOy平面对称的点的坐标是（－1，2，－3） C.已知点A（－3，1，5）与点B（4，3，1），则AB的中点坐标是（，2，3） D.两点M（－1，1，2），N（1，3，3）间的距离为3 解析：BCD　点A（1，3，－4）关于x轴的对称点的坐标为（1，－3，4），A错误；点P（－1，2，3）关于xOy平面对称的点的坐标为（－1，2，－3），B正确；A（－3，1，5）与B（4，3，1）的中点坐标为（，，）＝，C正确；M（－1，1，2），N（1，3，3）两点间的距离为＝3，D正确.故选B、C、D. 3.在空间直角坐标系中，点A（2，1，－2）在坐标平面xOy内的投影坐标为　（2，1，0）　. 题型一　求空间点的坐标 如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD，底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，点N在C1C上，且C1N∶NC＝1∶3. （1）以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标； （2）以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标. 解：（1）在正方形ABCD中，AB＝6， ∴AC＝BD＝6，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3. ∴各点坐标分别为A（3，0，0），B（0，3，0），C（－3，0，0），D（0，－3，0），O（0，0，0），O1（0，0，4），A1（3，0，4），B1（0，3，4），C1（－3，0，4），D1（0，－3，4），M（0，3，2），N（－3，0，3）. （2）同理，A（6，0，0），B（6，6，0），C（0，6，0），D（0，0，0），A1（6，0，4），B1（6，6，4），C1（0，6，4），D1（0，0，4），O（3，3，0），O1（3，3，4），M（6，6，2），N（0，6，3）. 通性通法 空间中点P坐标的确定方法 （1）过点P分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点Px，Py，Pz，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是（x，y，z）； （2）若题目所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题. 　〔一题多解〕如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，建立适当的空间直角坐标系，求顶点A，B，C，A1，B1，C1的坐标及棱B1C1的中点的坐标. 解：法一 以点A为原点，AC，AA1所在直线分别为y轴、z轴建立如图1所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0），A1（0，0，2），B1（，1，2），C1（0，2，2），棱B1C1的中点的坐标为. 法二 设棱AC，A1C1的中点分别为D，D1，连接DB，DD1. 以点D为原点，DB，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图2所示的空间直角坐标系， 则A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），A1（0，－1，2），B1（，0，2），C1（0，1，2），棱B1C1的中点的坐标为.（注：建立其他适当的空间直角坐标系均可，当建立坐标系不同时，点的坐标就不同.） 题型二　空间点的对称问题 在空间直角坐标系中，已知点P（3，－2，1）. （1）求点P关于x轴对称的点的坐标； （2）求点P关于xOy平面对称的点的坐标； （3）求点P关于点M（2，－1，－4）对称的点的坐标. 解：（1）由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1（3，2，－1）. （2）由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2（3，－2，－1）. （3）设对称点为P3（x，y，z），则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－3＝1，y＝2×（－1）＋2＝0，z＝2×（－4）－1＝－9， 所以P3的坐标为（1，0，－9）. 通性通法 空间点对称问题的解题策略 （1）空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解； （2）对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论. 已知点P（2，3，－1）关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为　（2，－3，1）　. 解析：点P（2，3，－1）关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为（2，3，1），点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为（－2，3，1），点P2关于z轴的对称点P3的坐标是（2，－3，1）. 题型三　空间两点间的距离公式及应用 已知A（3，2，1），B（1，0，4），求： （1）线段AB的长度及其中点坐标； （2）到A，B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标满足的条件. 解：（1）由题意，A（3，2，1），B（1，0，4），所以｜AB｜＝＝. 设点C（x0，y0，z0）是线段AB的中点，则x0＝＝2，y0＝＝1，z0＝＝，所以AB的中点C的坐标是. （2）由题意得，｜PA｜＝｜PB｜， 即 ＝，化简得4x＋4y－6z＋3＝0. 通性通法 利用空间两点间距离公式求线段长的一般步骤 （1）建立适当的空间直角坐标系； （2）求出线段端点的坐标； （3）利用两点间的距离公式求出线段的长. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且｜CG｜＝｜CD｜，H为C1G的中点，建立适当的坐标系. （1）写出E，F，G，H的坐标； （2）求G与H两点间的距离. 解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系.点E在z轴上，它的x轴坐标、y轴坐标均为0，而E为DD1的中点， 故其坐标为. 由F作FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为M，N， 由平面几何知识知｜FM｜＝，｜FN｜＝， 故F点坐标为. 点G在y轴上，其x、z轴坐标均为0， 又｜GD｜＝，故G点坐标为. 由H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点. 故｜HK｜＝，｜CK｜＝，∴｜DK｜＝， 故H点坐标为. （2）｜GH｜＝＝. 1.在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，点P的坐标为（　　） A.（4，－3，2）　　　B.（－3，4，2） C.（4，2，－3） D.（4，3，2） 解析：A　由题图可知点P的坐标为（4，－3，2）. 2.在空间直角坐标系中，点P（3，－4，－5）与Q（3，－4，5）两点的位置关系是（　　） A.关于x轴对称　　　　B.关于xOy平面对称 C.关于坐标原点对称 D.以上都不对 解析：B　点P（3，－4，－5）与Q（3，－4，5）两点的横、纵坐标相同，而竖坐标互为相反数，所以两点关于xOy平面对称. 3.如图，在长方体OABC-O1A1B1C1中，｜OA｜＝3，｜OC｜＝5，｜OO1｜＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为（　　） A.（3，5，4） B. C. D. 解析：C　由题图知，点P在x轴、y轴、z轴上的投影分别为P1，P2，P3，它们在坐标轴上的坐标分别是，5，4，故点P的坐标是. 4.〔多选〕关于空间直角坐标系O-xyz中的一点P（1，2，3），下列说法正确的是（　　） A.OP的中点坐标为 B.点P关于x轴对称的点的坐标为（－1，2，3） C.点P关于原点对称的点的坐标为（－1，－2，－3） D.点P关于xOy平面对称的点的坐标为（1，2，－3） 解析：ACD　点P关于x轴对称的点的坐标为（1，－2，－3）. 5.已知A（3，5，－7），B（－2，4，3），则线段AB在yOz平面上的射影长为　　. 解析：点A（3，5，－7），B（－2，4，3）在yOz平面上的射影分别为A'（0，5，－7），B'（0，4，3），∴线段AB在yOz平面上的射影长｜A'B'｜＝＝. 1.若点P（－4，－2，3）关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是（a，b，c），（e，f，d），则c与e的和为（　　） A.7　　　B.－7　　　C.－1　　　D.1 解析：D　点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是（－4，－2，－3），关于y轴的对称点坐标是（4，－2，－3），从而知c＋e＝1. 2.在空间直角坐标系中，已知点P（1，，），过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为（　　） A.（0，，0）　　　　　B.（0，，） C.（1，0，） D.（1，，0） 解析：B　由于垂足在平面yOz上，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0. 3.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是（　　） A.（1，0，0） B.（1，0，1） C.（1，1，1） D.（1，1，0） 解析：C　点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为（1，1，1），故选C. 4.在空间直角坐标系中，已知点A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC一定是（　　） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析：C　∵A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），∴｜AB｜＝＝，｜AC｜＝＝，｜BC｜＝＝，∴｜AC｜2＋｜BC｜2＝｜AB｜2，∴△ABC一定为直角三角形. 5.〔多选〕在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述正确的是（　　） A.点P关于x轴对称的点P1（x，－y，－z） B.点P关于y轴对称的点P2（－x，y，－z） C.点P关于原点对称的点P3（－x，－y，－z） D.点P关于yOz平面对称的点P4（x，－y，z） 解析：ABC　由点P（x，y，z），对于A，点P关于x轴对称的点P1（x，－y，－z），故A正确；对于B，点P关于y轴对称的点P2（－x，y，－z），故B正确；对于C，点P关于原点对称的点P3（－x，－y，－z），故C正确；对于D，点P关于yOz平面对称的点P4（－x，y，z），故D错误.故选A、B、C. 6.〔多选〕已知点A（－2，3，4），在z轴上求一点B，使｜AB｜＝7，则点B的坐标为（　　） A.（0，0，10）　　　　　B.（0，10，0） C.（0，0，－2） D.（0，0，2） 解析：AC　设点B的坐标为（0，0，c），由空间两点间距离公式可得｜AB｜＝＝7，解得c＝－2或10，所以B点的坐标为（0，0，10）或（0，0，－2）. 7.一束光线自点P（1，1，1）出发，被xOy平面反射到达点Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的距离是　　. 解析：点P关于xOy平面对称的点为P'（1，1，－1），则光线所走的距离为｜P'Q｜＝＝. 8.已知A（1－t，1－t，t），B（2，t，t），则｜AB｜的最小值为　　. 解析：由两点间的距离公式可得｜AB｜＝ ＝＝≥. 9.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2，则图中的点M关于y轴的对称点的坐标为N　（－1，－2，－1）　；｜MN｜＝　2　. 解析：因为D（2，－2，0），C'（0，－2，2），所以线段DC'的中点M的坐标为（1，－2，1），所以点M关于y轴的对称点的坐标为N（－1，－2，－1）.｜MN｜＝＝2. 10.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，｜AB｜＝｜AD｜＝3，｜AA1｜＝2，点M在A1C1上，｜MC1｜＝2｜A1M｜，N为D1C的中点，求M，N两点间的距离. 解：如图所示，分别以AB，AD，AA1所在直线为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 由题意可知C（3，3，0），D（0，3，0），A1（0，0，2）. ∵｜DD1｜＝｜CC1｜＝｜AA1｜＝2， ∴C1（3，3，2），D1（0，3，2）. ∵N为CD1的中点， ∴N. 又｜A1M｜＝｜A1C1｜，∴M（1，1，2）. 由两点间距离公式，得 ｜MN｜＝＝. 11.已知正方体的两个顶点A（－1，2，－1），B（3，－2，3），并且A，B不同时在它的任何一个面上，则正方体的体积是（　　） A.16 B.192 C.64 D.48 解析：C　｜AB｜＝＝4.又因为A（－1，2，－1），B（3，－2，3）不同时在正方体的任一个面上，所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长.设正方体的边长为a，则a＝4，即a＝4，所以正方体的体积为64. 12.〔多选〕如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　　） A.点B1的坐标为（4，5，3） B.点C1关于点B对称的点为（5，8，－3） C.点A关于直线BD1对称的点为（0，5，3） D.点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0） 解析：ACD　依据空间中点的坐标的定义可知，B1（4，5，3），C1（0，5，3），A（4，0，0），C（0，5，0），故A正确；设点C1关于点B（4，5，0）的对称点为（x1，y1，z1），由中点坐标公式得x1＝4×2－0＝8，y1＝5×2－5＝5，z1＝0×2－3＝－3，所以C1关于点B对称的点为（8，5，－3），故B错误；由AB＝5，AD＝4，AA1＝3，易知四边形ABC1D1是正方形，所以点A关于直线BD1对称的点为C1（0，5，3），故C正确；点C关于平面ABB1A1的对称点就是点C关于点B的对称点，坐标为（8，5，0），故D正确.故选A、C、D. 13.如图是一个正方体截下的一角P-ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是　　. 解析：由题意知A（a，0，0），B（0，b，0），C（0，0，c）.由重心坐标公式得点G的坐标为. 14.对于任意实数x，y，z，求＋的最小值. 解：设P（x，y，z），M（－1，2，1）， 则＋＝｜PO｜＋｜PM｜（O为坐标原点）， 由于x，y，z是任意实数， 即点P是空间任意一点， 则｜PO｜＋｜PM｜≥｜OM｜＝＝， 则所求的最小值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $