2.4.1 直线与圆锥曲线的交点(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“直线与圆锥曲线的交点”核心知识点，从激光武器攻击卫星的实际情境引入，系统梳理通过方程公共解求交点坐标、利用判别式判断交点个数的原理，区分椭圆、抛物线、双曲线的特殊位置关系，结合题型示例与通性通法构建学习支架。 资料以情境化问题驱动学习，通过激光与卫星轨道的实例培养数学眼光，借助方程联立和判别式推理发展数学思维，用坐标与方程精准表达位置关系强化数学语言。课中助力教师引导学生从具体到抽象，课后分层练习题帮助学生巩固知识、查漏补缺。

4.1　直线与圆锥曲线的交点 课标 要求 1.会求直线与圆锥曲线的交点坐标（数学运算）. 2.利用直线与圆锥曲线的方程会判断直线与圆锥曲线的交点个数（直观想象）. 　　激光武”器是一种利用激光束攻击目标的定向武器.目前我国的高能激光武器完全有能力击毁敌方飞机，导弹或间谍卫星，假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星或敌方导弹就需要用到我们本节课要学习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题. 【问题】　（1）我们知道，可以用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？ （2）用什么方法判断直线与圆锥曲线的位置关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　直线与圆锥曲线的交点 　在平面直角坐标系中， （1）前提：圆锥曲线上的点和相应圆锥曲线方程的解建立了一一对应的关系； （2）结论：直线与圆锥曲线的交点个数与两者对应方程的公共解的个数是　相同　的. 【想一想】 1.将直线与椭圆的方程联立，消去y得到一个关于x的一元二次方程，若该方程的判别式①Δ＜0，②Δ＝0，③Δ＞0，则直线与椭圆有怎样的位置关系？ 提示：①相离，②相切，③相交. 2.试通过作图分析，我们能否用公共点的个数来判定直线与抛物线的位置关系呢？ 提示：不能.如图1，相切时有一个公共点；如图2，相交时也有一个公共点. 3.画出一条双曲线，观察并探索我们可否用公共点个数来区分三种位置关系？ 提示：不能.当直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，并非相切关系，所以不能用公共点个数来区分三种位置关系. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面上到定点A（1，0）和到定直线l：x＋2y＋3＝0的距离相等的点的轨迹为抛物线.（　√　） （2）一条直线与双曲线两支的交点个数最多为2个.（　√　） （3）抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件.（　×　） 2.直线y＝x＋3与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的交点个数是（　　） A.1 B.2 C.1或2 D.0 解析：A　因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有一个交点，故选A. 3.〔多选〕直线y＝－x与抛物线y2＝4x的交点坐标可以是（　AB　） A.（0，0） B.（4，－4） C.（－4，4） D.（4，4） 4.直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系为　相交　. 解析：联立消去y得3x2＋2x－1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0，∴直线与椭圆相交. 题型一　求直线与圆锥曲线的交点坐标 已知直线l过点P（0，1）且倾斜角为45°，双曲线C的方程为x2－＝1，求直线l与双曲线C的交点坐标. 解：因为直线l的倾斜角为45°， 所以斜率为k＝tan 45°＝1，故直线的方程为y＝x＋1. 直线l与双曲线C的交点坐标是方程组的解. 方程组可化为 将①代入②得2x2－（x＋1）2＝2， 化简得x2－2x－3＝0， 解得x1＝3，x2＝－1， 代入①得方程组的解为或 所以直线l与双曲线C的交点坐标为（3，4），（－1，0）. 通性通法 求直线与圆锥曲线交点坐标的理论根据及方法技巧 （1）理论根据：直线与圆锥曲线的交点坐标就是两者对应方程的公共解； （2）方法技巧：①联立直线与圆锥曲线的方程，组成方程组②解方程组；③根据方程组的解写出交点坐标. 求直线l：x－2y－2＝0和椭圆C：＋y2＝1的交点的坐标. 解：直线l：x－2y－2＝0和椭圆C：＋y2＝1的交点的坐标就是方程组的解， 消去x得＋4y2＝4，即4y2＋2y－2＝0，解得y1＝－1，y2＝， 所以解这个方程组得或 因此，所求交点的坐标为（0，－1），（，）. 题型二　判断直线与圆锥曲线公共点的个数 已知双曲线x2－y2＝4，讨论直线l：y＝k（x－1）与双曲线的公共点的个数. 解：由方程组 消去y，可得（1－k2）x2＋2k2x－k2－4＝0. （1）当k＝±1时，x＝. （2）当k≠±1时，Δ＝（2k2）2＋4（1－k2）·（k2＋4）＝4（4－3k2）. ①若 即－＜k＜且k≠±1时，直线与双曲线有两个公共点. ②若 即k＝±时，直线与双曲线只有一个公共点. ③若 即k＞或k＜－时，直线与双曲线没有公共点. 由以上讨论可知，当－＜k＜且k≠±1时，直线与双曲线有两个公共点；当k＝±1或k＝±时，直线与双曲线只有一个公共点；当k＞或k＜－时，直线与双曲线没有公共点. 【母题探究】 1.（变条件、变设问）本例中若直线与双曲线的公共点分别在两支上，求k的取值范围. 解：联立方程组消去y所得的方程为（1－k2）x2＋2k2x－k2－4＝0，由题意，若方程的两根为x1，x2， 则解得－1＜k＜1. 故直线与双曲线的公共点分别在两支上，k的取值范围为（－1，1）. 2.（变条件、变设问）本例中若直线与双曲线的右支有两个公共点，求k的取值范围. 解：联立方程组消去y所得的方程为（1－k2）x2＋2k2x－k2－4＝0， 由题意，若方程的两根为x1，x2， 则 解得－＜k＜－1或1＜k＜. 通性通法 判断直线与双曲线公共点个数的方法 　　直线：Ax＋By＋C＝0，双曲线：－＝1（a＞0，b＞0），两方程联立消去y，得mx2＋nx＋q＝0. 位置关系 公共点个数 判定方法 相交 2个或1个 m＝0或 相切 1个 m≠0且Δ＝0 相离 0个 m≠0且Δ＜0 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，讨论直线l与抛物线C的公共点的个数. 解：由得k2x2＋（2k－4）x＋1＝0.　（*） 当k＝0时，方程变为－4x＋1＝0，x＝，此时y＝1. 所以直线l与C只有一个公共点， 此时直线l平行于x轴. 当k≠0时，方程（*）是一个一元二次方程， Δ＝（2k－4）2－4k2×1＝16－16k， ①当Δ＞0时，即k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点； ②当Δ＝0时，即k＝1时，l与C有一个公共点； ③当Δ＜0时，即k＞1时，l与C没有公共点， 综上所述，当k＝1或k＝0时，直线l与C有一个公共点； 当k＜1，且k≠0时，直线l与C有两个公共点； 当k＞1时，直线l与C没有公共点. 题型三　直线与圆锥曲线交点的简单应用 已知椭圆4x2＋y2＝1和直线y＝x＋m.若直线与椭圆有唯一的公共点，求实数m的值. 解：由得5x2＋2mx＋m2－1＝0. 因为直线与椭圆有唯一的公共点，所以直线方程和椭圆方程应有唯一的公共解. 因此，一元二次方程5x2＋2mx＋m2－1＝0有唯一解， 所以Δ＝4m2－20（m2－1）＝0，解得m＝±， 故直线与椭圆有唯一公共点时，实数m的值为±. 通性通法 　　已知直线与圆锥曲线公共点的个数求参数m的值（范围）的方法步骤 （1）联立直线与圆锥曲线的方程组成方程组； （2）将上述方程组消去y（或x）得一个关于x（或y）的一元二次方程； （3）计算判别式Δ＝b2－4ac； （4）根据直线与圆锥曲线公共点的个数，对应判别式与0的关系列出含参数的方程或不等式，然后对其求解，确定m的值（范围）. 1.直线y＝2与抛物线y2＝8x的公共点的个数为（　　） A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.无数 解析：B　由得即直线y＝2与抛物线y2＝8x有一个公共点. 2.若一直线l平行于双曲线的一条渐近线，则l与双曲线的公共点个数为（　　） A.0或1 B.1 C.0或2 D.1或2 解析：B　由题意，由于渐近线与双曲线没有公共点，如图所示，若直线l平行于双曲线的一条渐近线，故l与双曲线的公共点个数为1个.故选B. 3.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16有两个公共点，则实数k的取值范围为（　　） A.（－2，2） B.[－2，2） C.（－2，2] D.[－2，2] 解析：A　易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程（4－k2）x2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜k＜2. 4.〔多选〕直线l：y＝－x与椭圆＋＝1的交点坐标为（　　） A.（，） B.（－，－） C.（，－） D.（－，） 解析：CD　由得＋＝1，即x2＝1，解得x1＝，x2＝－，故方程组的解为，. 5.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是　[－1，1]　. 解析：由已知易得Q（－2，0）.由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x＋2）.∵直线l与抛物线有公共点，∴方程组有实数解，即k2x2＋（4k2－8）x＋4k2＝0有实数解.故Δ＝（4k2－8）2－4k2×4k2≥0⇒k2≤1，∴－1≤k≤1. 1.若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x只有一个公共点，则实数k＝（　　） A. B.0 C.或0 D.8或0 解析：C　由可知若k＝0，直线与抛物线只有一个交点（4，2）；若k≠0，则ky2－y＋2＝0，Δ＝1－8k＝0，所以k＝.综上可知k＝0或，故选C. 2.若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1有且仅有一个公共点，则斜率k的值是（　　） A.　　　B.－ C.±　　　D.± 解析：C　把y＝kx＋2代入＋＝1，得（2＋3k2）x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝0，∴k2＝，∴k＝±. 3.已知双曲线方程为x2－＝1，过点P（1，0）的直线l与双曲线只有一个公共点，则l共有（　　） A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 解析：B　因为双曲线方程为x2－＝1，则P（1，0）是双曲线的右顶点，所以过P（1，0）并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P（1，0）分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条. 4.已知斜率为－2的直线经过椭圆C：＋＝1的左焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标分别为（　　） A.（0，－2），　　B.（0，2）， C.（0，－2）， D.（0，2）， 解析：A　由题意知F1（－1，0），故直线AB的方程为y＝－2（x＋1），由得或 5.〔多选〕若直线x＝a与双曲线－y2＝1仅有一个交点，则a的值可以是（　　） A.4 B.2 C.1 D.－2 解析：BD　由题设，双曲线顶点坐标为（±2，0），要使x＝a与双曲线－y2＝1仅有一个交点，所以a＝±2，故选B、D. 6.〔多选〕已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则（　　） A.y1y2为定值 B.k1k2为定值 C.y1＋y2为定值 D.k1＋k2＋t为定值 解析：ABD　由得y2－4ty－16＝0，则对于A，y1y2＝－16为定值，故A正确；对于B，k1k2＝＝＝＝－1为定值，故B正确；对于C，y1＋y2＝4t，不为定值，故C错误；对于D，k1＋k2＋t＝＋＋t＝＋t＝＋t＝＋t＝＋t＝－t＋t＝0为定值，故D正确. 7.若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是　（1，]　. 解析：由题意可得，≤2，所以e＝≤.又e＞1，所以离心率e的取值范围是（1，]. 8.已知以F1（－2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为　2　. 解析：由题意可设椭圆的方程为＋＝1（a＞2），与直线方程x＋y＋4＝0联立，得4（a2－3）y2＋8（a2－4）y＋（16－a2）（a2－4）＝0，由Δ＝0，得a＝，所以椭圆的长轴长为2. 9.若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则实数m的取值范围为　[1，5）　. 解析：∵直线y＝kx＋1过定点M（0，1），∴要使直线与该椭圆总有公共点，则点M（0，1）必在椭圆内或椭圆上，由此得解得1≤m＜5. 10.已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： （1）有两个不同的公共点； （2）有且只有一个公共点； （3）没有公共点. 解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0. Δ＝（8m）2－4×9×（2m2－4）＝－8m2＋144. （1）当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解. 这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点. （2）当Δ＝0，即m＝±3时，方程有两个相同的实数根， 可知原方程组有两组相同的实数解. 即直线l与椭圆C有且只有一个公共点. （3）当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时， 方程没有实数根，可知原方程组没有实数解. 这时直线l与椭圆C没有公共点. 11.已知双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与双曲线C仅有一个公共点P，则｜PF2｜＝（　　） A.　　 　B.　　 　C.　　 　D. 解析：C　由已知得c2＝a2＋b2＝1＋1＝2，所以左焦点F1的坐标为（－，0），因为过点F1的直线与双曲线C仅有一个公共点P，所以该直线与双曲线的渐近线y＝x或y＝－x平行，所以不妨设该直线方程为y＝x＋，联立解得即P，又F2（，0），所以｜PF2｜＝＝. 12.若过点（0，－1）的直线l与抛物线y2＝2x有且只有一个交点，则这样的直线l有（　　） A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 解析：D　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，与抛物线只有一个交点，满足题意.当直线l的斜率k存在时，若k＝0，则直线l与抛物线y2＝2x有且只有一个交点，满足条件；若k≠0，过点（0，－1）的直线l与抛物线y2＝2x相切，此时有且只有一个交点，这样的直线只有1条.综上满足条件的直线有3条.故选D. 13.已知直线l过点A，且与抛物线x2＝2py（p＞0）只有一个公共点，则直线l的方程为　x＋y＋＝0或2x＋y＋2p＝0或x＝－p　. 解析：当直线l斜率不存在时，方程为x＝－p，与抛物线有一个公共点.当直线l斜率存在时，设l：y－p＝k与x2＝2py联立得x2－2pkx－2p2－3kp2＝0，∴Δ＝4p2k2＋4（2p2＋3kp2）＝0，解得k＝－1或k＝－2.∴直线l的方程为x＋y＋＝0或2x＋y＋2p＝0.综上，直线l的方程为x＋y＋＝0或2x＋y＋2p＝0或x＝－p. 14.已知双曲线x2－＝1上存在关于直线l：y＝kx＋4对称的两点A，B，求实数k的取值范围. 解：当k＝0时，显然不成立. 当k≠0时，由l⊥AB，可设直线AB的方程为y＝－x＋b， 代入3x2－y2＝3中，得（3k2－1）x2＋2kbx－（b2＋3）k2＝0. ∴3k2－1≠0，Δ＝（2kb）2－4（3k2－1）[－（b2＋3）·k2]＞0， 即k2b2＋3k2－1＞0，　① 设AB的中点为M（x0，y0），则 ∵点M（x0，y0）在直线l上，∴＝＋4， 即k2b＝3k2－1，　② 把②代入①得k2b2＋k2b＞0，解得b＞0或b＜－1. ∴＞0或＜－1， 即｜k｜＞或｜k｜＜，且k≠0. 故k的取值范围是（－∞，－）∪（－，0）∪（0，）∪（，＋∞）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $