4.2 直线与圆锥曲线的综合问题-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选D．过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以＝(0，2)，＝(3，4)，所以·＝8.故选D． 2．已知椭圆C：＋y2＝1上两点A，B，若AB的中点为D，直线OD的斜率等于1，则直线AB的斜率为(　　) A．－1 B．1 C．－ D．－ 解析：选D．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，则两式相减得＋y－y＝0，整理得＝－·＝－·，即kAB＝－·＝－.故选D． 3．过双曲线x2－y2＝4的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长|AB|＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：选C．由双曲线x2－y2＝4，得a＝b＝2，c＝2，右焦点为F(2，0)，倾斜角θ＝30°，直线斜率k＝，则直线方程为x＝y＋2，联立消去x得y2＋2y＋2＝0，由根与系数的关系知代入弦长公式|AB|＝|y1－y2|＝2＝2＝8.故选C． 4．(2024·江西南昌八一中学月考)已知直线l交椭圆C：＋＝1于A，B两点，若点M(1，2)为A，B两点的中点，则直线l的斜率为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选D．依题意可知直线l的斜率存在且不为0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减并化简得－＝·，即－＝·，则＝－，所以直线l的斜率为－.故选D． 5．已知抛物线y2＝4x上两点A，B满足·＝5(O为坐标原点)，且点A，B分别位于x轴的两侧，则直线AB过定点(　　) A．(5，0) B．(1，0) C．(3，0) D．(2，0) 解析：选A．设A，B，y1y2<0， 则直线lAB：x＝(y－y1)＋， 即x＝y－， 又因为·＝＋y1y2＝5，解得y1y2＝4(舍去)或y1y2＝－20，则直线lAB：x＝y＋5，所以直线过点(5，0).故选A． 6．(多选)(2024·江西九江期末)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，其准线与x轴相交于点M，经过点M且斜率为k的直线l与抛物线相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列结论中正确的是(　　) A．x1x2＝4 B．y1y2＝8 C．k的取值范围是(－1，1) D．k＝时，以AB为直径的圆经过点F 解析：选AD． 由题意可得，F(2，0)，准线x＝－2，则M(－2，0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得消去y得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，可得 解得－1<k<1且k≠0，故C错误；则x1＋x2＝－，x1x2＝＝4，故A正确；可得yy＝8x1×8x2＝64x1x2＝64×4＝256，易知y1，y2同号，所以y1y2＝16，故B错误；因为＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝4－2×(－)＋4＋16＝32－，当k＝时，·＝0，此时∠AFB为直角，即以AB为直径的圆经过点F，故D正确．故选AD． 7．(2024·河南焦作期末)过椭圆＋＝1内一点P(3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是______________． 解析：设该直线与椭圆的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，又两式相减得＋＝0，则＋＝0，则＝－，则所求直线方程为y＝－(x－3)＋1，即3x＋4y－13＝0，经检验3x＋4y－13＝0符合题意． 答案：3x＋4y－13＝0 8．(2024·陕西榆林检测)已知抛物线y＝x2的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且＝4，O为坐标原点，则△OAB的面积为________________． 解析：由已知得F(0，1)，设直线l的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y，整理得x2－4kx－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，故Δ＝16k2－4×(－4)＝16k2＋16>0，x1＋x2＝4k，①x1x2＝－4，②又＝4，故x1＝－4x2，③由①②③解得k2＝，此时，|AB|＝y1＋y2＋2＝k(x1＋x2)＋4＝4(k2＋1)，点O到直线AB的距离为d＝，故△OAB的面积为S＝|AB|·d＝2＝. 答案： 9．已知抛物线y2＝8x，过动点M(a，0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若|AB|≤8，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意可得直线l的方程为y＝x－a，将y＝x－a代入y2＝8x，得x2－2(a＋4)x＋a2＝0，则Δ＝4(a＋4)2－4a2＞0，解得a＞－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2(a＋4)，x1x2＝a2，所以|AB|＝＝≤8，即≤1.又a＞－2，所以－2＜a≤－1. 答案：(－2，－1] 10．已知直线l：x＋y＝1与双曲线C：－y2＝1(a>0). (1)若a＝，求l与C相交所得的弦长； (2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围． 解：(1)当a＝时，双曲线C的方程为4x2－y2＝1，联立消去y，得3x2＋2x－2＝0，Δ>0.设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，于是|AB|＝·＝× ＝，所以l与C相交所得的弦长为. (2)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，所以 解得0<a<且a≠1.又双曲线的离心率e＝，所以e>且e≠，即双曲线C的离心率e的取值范围是∪(，＋∞). 11．已知双曲线y2－＝1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2＝(　　) A． B．－ C．2 D．－2 解析：选A．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，则y－＝1，y－＝1，两式相减可得(y1－y2)(y1＋y2)＝，所以直线l的斜率k1＝＝＝，直线OP的斜率k2＝，k1k2＝·＝.故选A． 12.(2024·江西南昌十中期中)已知过点M(0，1)，且斜率为负数的直线l与函数y＝x2的图象相交于A，B两点，若M是线段AB上的一个三等分点，则直线l的斜率为(　　) A．－　 B．－　 C．－　 D．－2 解析：选A．由于直线l过点M(0，1)，且斜率为负数，故可设直线l的方程为y＝kx＋1(k<0)，联立可得x2－4kx－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝16k2＋16>0，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，由于M是线段AB上的一个三等分点，所以x1＝－2x2，进而可得x2＝，x1＝－2，所以k＝＝－.故选A． 13．若斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________． 解析：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，联立消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝·，当t＝0时，|AB|max＝. 答案： 14．在①|PF|＝x0＋2；②y0＝2x0＝4；③当PF⊥x轴时，|PF|＝4这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答． 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P(x0，y0)在抛物线C上，且________． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线l：x－y－1＝0与抛物线C交于A，B两点，求△ABF的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：方案一：选择条件①. (1)由抛物线的定义可得，|PF|＝x0＋，因为|PF|＝x0＋2，所以＝2，解得p＝4，故抛物线C的标准方程为y2＝8x. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)可知F(2，0)，联立整理得x2－10x＋1＝0，Δ>0，则x1＋x2＝10，x1x2＝1.所以|AB|＝·＝8.因为点F(2，0)到直线l：x－y－1＝0的距离d＝＝，故△ABF的面积S＝|AB|·d＝×8×＝2. 方案二：选择条件②. (1)因为y0＝2x0＝4，所以x0＝2，y0＝4，因为点P(x0，y0)在抛物线C上，所以y＝2px0，解得p＝4，故抛物线C的标准方程为y2＝8x. (2)同方案一． 方案三：选择条件③. (1)当PF⊥x轴时，|PF|＝＋＝4，解得p＝4，故抛物线C的标准方程为y2＝8x. (2)同方案一． 15．(2024·江西省丰城中学月考)在某着陆场的某个平面内设置了两个固定拍摄机位A，B和一个移动拍摄机位C.根据当时气候与地理特征，点C在拋物线Γ：y＝x2(直线y＝0与地平线重合，y轴垂直于水平面．单位：十米，下同．C的横坐标xC>6)上，A的坐标为(－36，2).设D(0，－2)，线段AC，DC分别交Γ于点M，N，B在线段MN上．则两固定机位A，B的距离为(　　) A．360 m B．340 m C．320 m D．270 m 解析：选B．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，C(xC，yC)，A(－36，2)，D(0，－2)，根据条件有∥，∥，＝(xC＋36，yC－2)，＝(x1＋36，y1－2)，＝(xC，yC＋2)，＝(x2，y2＋2).所以(xC＋36)(y1－2)－(x1＋36)(yC－2)＝0，xC(y2＋2)－x2(yC＋2)＝0.由题意xC，x1，x2互不相等，把yC＝，y1＝，y2＝分别代入上两式化简得xCx1＋36(xC＋x1)＋72＝0，xC＝，消去xC得x1＝.MN的方程是y－y2＝(x－x2)，即y－＝(x－x2)，所以MN的方程为y－＝(－2＋)·，则＝，所以MN经过定点(－2，2).所以点B的坐标为(－2，2)，|AB|＝34，即两固定机位A，B的距离为340 m．故选B． 16．经过椭圆M：＋＝1(a>b>0)的右焦点的直线x＋y－＝0交椭圆M于A，B两点，P为AB的中点，且直线OP的斜率为. (1)求椭圆M的方程； (2)C，D为椭圆M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD的面积的最大值． 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(xp，yp)，易知右焦点为(，0).联立消去x，得(a2＋b2)y2－2b2y＋b2(3－a2)＝0，①则y1＋y2＝，x1＋x2＝2－(y1＋y2)，则kOP＝＝＝＝＝，即a2＝2b2.因为a2－b2＝3，所以a2＝6，b2＝3.所以椭圆M的方程为＋＝1. (2)由(1)知方程①可化为3y2－2y－3＝0.由弦长公式得|AB|＝×＝× ＝.由题意可设CD的方程为x＝y＋m，C(x3，y3)，D(x4，y4)，联立得3y2＋2my＋m2－6＝0，则y3＋y4＝－，y3y4＝.由弦长公式得|CD|＝·＝·≤4.所以S四边形ACBD＝|AB|·|CD|≤，当且仅当m＝0时等号成立．故四边形ACBD的面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $