2.3.2 抛物线的简单几何性质(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学抛物线的简单几何性质，系统梳理四种标准方程（y²=±2px、x²=±2py）及焦点、准线、范围等几何性质。通过生活实例引入，类比椭圆双曲线提出问题，以表格整合知识点，结合三类题型构建从概念到应用的学习支架。 资料特色在于生活实例（如信号接收塔）培养直观想象，一题多解（如由性质求方程的代数与几何法）发展数学思维，实际应用（大桥桥孔问题）强化数学建模。课中辅助教师系统教学，课后练习题与拓展内容助力学生巩固知识，查漏补缺。

3.2　抛物线的简单几何性质 课标 要求 1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质（直观想象）. 2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用（数学运算）. 　　生活中不乏以抛物线为原型的例子，信号接收塔、太阳灶、石拱桥、抛物线型灯具等.除了美观外，主要也是借用了抛物线的一些性质.比如信号接收塔、太阳灶的设计利用了抛物线的聚集性，抛物线型石拱桥利用了其跨距大的特点等等. 【问题】　就如前面学习椭圆、双曲线一样，抛物线有哪些几何性质呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　抛物线的简单几何性质 类型 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0） 图形 类型 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0） 性 质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称 轴 x轴 y轴 顶点 O（0，0） 类型 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0） 性 质 离心率 　e＝1　 开口方向 　向右　 　向左　 　向上　 　向下　 【想一想】 　在同一平面直角坐标系下试画出抛物线y2＝x，y2＝2x和y2＝3x的图象，你能分析影响抛物线开口大小的量是什么吗？ 提示：影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）抛物线x2＝2py（p＞0）有一条对称轴为y轴.（　√　） （2）抛物线y＝－x2的准线方程是x＝.（　×　） （3）抛物线是中心对称图形.（　×　） （4）只有焦点在坐标轴上，顶点在坐标原点的抛物线的方程才是标准方程.（　√　） （5）有的抛物线的离心率不为1.（　×　） 2.若点M（a，b）在抛物线x2＝8y上，则下列点中一定在该抛物线上的是（　　） A.（－a，－b） B.（a，－b） C.（－a，b） D.（－b，－a） 解析：C　由抛物线关于y轴对称可知，点（－a，b）一定在抛物线上，故选C. 3.设抛物线的焦点到顶点的距离为6，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是（　　） A.（6，＋∞） B.[6，＋∞） C.（3，＋∞） D.[3，＋∞） 解析：B　∵抛物线的焦点到顶点的距离为6，∴＝6，即p＝12.又抛物线上的点到准线距离的最小值为，∴抛物线上的点到准线距离的取值范围为[6，＋∞）. 4.已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，｜AF｜＝2，则｜BF｜＝　2　. 解析：F（1，0），由抛物线定义得A点横坐标为1.∴AF⊥x轴，∴｜BF｜＝｜AF｜＝2. 题型一　由性质求抛物线的标准方程 〔一题多解〕（1）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，－3）到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程； （2）已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程. 解：（1）因为顶点在原点，焦点在y轴上，点M（m，－3）位于第三或第四象限，故可确定所求抛物线的开口向下. 法一　设所求抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），则焦点为F（0，－）. 因为M（m，－3）在抛物线上且｜MF｜＝5， 故解得 故m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2. 法二　如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），则焦点为F（0，－）， 准线l：y＝，过点M作MN⊥l，垂足为N，则｜MN｜＝｜MF｜＝5，而｜MN｜＝3＋，所以3＋＝5，解得p＝4.又点M在抛物线上，所以m2＝24，解得m＝±2. 故m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2. （2）由题意，可设抛物线的方程为y2＝2px（p≠0），则焦点为F（，0），直线l：x＝，所以直线l与抛物线的交点的坐标分别为（，p），（，－p），所以｜AB｜＝2｜p｜. 因为△OAB的面积为4， 所以··2｜p｜＝4，所以p＝±2. 故所求抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－4x. 通性通法 由抛物线的几何性质求标准方程的方法 （1）代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程（组）求出未知数； （2）几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦准距，从而得到抛物线的标准方程. 1.边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是（　　） A.y2＝x　　　　　　B.y2＝－x C.y2＝±x D.y2＝±x 解析：C　设抛物线方程为y2＝ax（a≠0）.又A（取点A在x轴上方），则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C. 2.若抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为　y2＝4x或y2＝36x　. 解析：∵点M到对称轴的距离为6，∴设点M的坐标为（x，6）.又∵点M到准线的距离为10，∴解得或故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x；当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y2＝36x. 题型二　由抛物线的方程研究其几何性质 已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝x上，O为坐标原点，顶点A到抛物线的焦点F的距离等于，则△AOB的面积为　3　. 解析：∵△AOB是等边三角形，A，B在抛物线y2＝x上，∴顶点A，B关于抛物线的对称轴（x轴）对称，不妨设A（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则B（x0，－y0）.由｜AF｜＝x0＋＝，解得x0＝3，∴y0＝，∴△AOB的边长｜AB｜＝2y0＝2，∴△AOB的面积为×（2）2×＝3. 通性通法 确定抛物线的简单几何性质的三个要点 （1）开口方向：由抛物线标准方程看其开口方向，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负； （2）位置关系：顶点位于焦点和准线与坐标轴的交点中间，准线垂直于对称轴； （3）定值：焦点到准线的距离为p，过焦点垂直于对称轴的弦（又称为通径）长为2p（p＞0）. 1.抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝　6　. 解析：如图，在等边△ABF中，DF＝p，BD＝p，则B点坐标为.又点B在双曲线上，故－＝1.解得p＝6. 2.已知抛物线C的方程为y2＝2px（p＞0），若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且｜AF｜＝3｜BF｜，则直线l的倾斜角为　60°　. 解析：如图，直线m为抛物线的准线，过点A，B分别作AM，BN垂直于m，垂足为M，N，作BE⊥AM于点E，因为｜AF｜＝｜AM｜，｜BF｜＝｜BN｜，且｜AF｜＝3｜BF｜，所以｜AM｜＝3｜BN｜，｜AB｜＝4｜BF｜，｜AE｜＝｜AM｜－｜ME｜＝2｜BF｜，所以cos∠BAE＝，则∠BAE＝60°，即直线l的倾斜角为60°. 题型三　抛物线的实际应用问题 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米.现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米.若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？ 解：如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系. 因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A（10，－2）. 设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py（p＞0）， 则102＝－2p×（－2）， 所以p＝25， 所以抛物线方程为x2＝－50y， 即y＝－x2. 若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时， y＝－×82＝－1.28， 即船体在x＝±8之间通过点B（8，－1.28），此时B点距水面6＋（－1.28）＝4.72（米）. 而船体高为5米，所以无法通行. 又因为5－4.72＝0.28（米），0.28÷0.04＝7， 150×7＝1 050（吨）， 所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔. 通性通法 求抛物线实际应用问题的五个步骤 清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征.如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3 cm，碗盖口直径为8 cm，碗体口直径为10 cm，碗体深6.25 cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为　7　cm（碗体和碗盖的厚度忽略不计）. 解析：以碗体的最低点为原点，向上方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图所示.设碗体的抛物线方程为x2＝2py（p＞0），将点（5，6.25）代入，得52＝2p×6.25，解得p＝2，则x2＝4y，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h cm，则两抛物线在第一象限的交点为（4，h－3），代入到x2＝4y，得42＝4（h－3），解得h＝7. 1.下列关于抛物线C：x2＝－y的说法正确的是（　　） A.开口向下，准线方程为y＝－ B.开口向左，准线方程为x＝－ C.开口向下，准线方程为y＝ D.开口向左，准线方程为x＝ 解析：C　抛物线C：x2＝－y的开口向下，准线方程为y＝.故选C. 2.过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点，若y1＋y2＝6，则｜P1P2｜＝（　　） A.5 B.6 C.8 D.10 解析：C　抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，所以P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以｜P1P2｜＝y1＋y2＋2＝8. 3.〔多选〕以y轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（　　） A.y2＝8x B.y2＝－8x C.x2＝8y D.x2＝－8y 解析：CD　设抛物线方程为x2＝2py（p＞0）或x2＝－2py（p＞0），依题意得y＝，代入x2＝2py或x2＝－2py得｜x｜＝p，∴2｜x｜＝2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y. 4.根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行.如图所示，沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝2px（p＞0）反射后，与x轴相交于点A（2，0），则该抛物线的焦点到准线的距离为　4　. 解析：依题意，A（2，0）为该抛物线的焦点，则＝2，得p＝4.∴该抛物线的焦点到准线的距离为4. 5.已知点A（－2，3）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率等于　－　. 解析：因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A（－2，3）在准线上，所以＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为（2，0），故直线AF的斜率k＝＝－. 拓视野　活用抛物线的焦点弦 　设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则 （1）x1·x2＝，y1·y2＝－p2； （2）｜AB｜＝x1＋x2＋p＝，S△OAB＝（α是直线AB的倾斜角）； （3）＋＝为定值（F是抛物线的焦点）. 一、活用x1·x2＝，y1·y2＝－p2 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为（　　） A.x2＝8y　　　　　　　B.x2＝4y C.y2＝8x D.y2＝4x 解析：C　设A（x1，y1），B（x2，y2），则·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，得p＝4（舍负），即抛物线C的方程为y2＝8x，故选C. 通性通法 　　该种类型题目通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，较为迅速的得到结果，体现了模式化的认识特征，将特征的概念结论广泛地、抽象地应用于数学题目，体现了数学抽象、数学运算的核心素养. 二、活用｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ 抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程. 解：依题意可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），则直线方程为y＝－x＋. 设直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， 则｜AB｜＝，∴＝8，∴p＝2， 故所求的抛物线方程为y2＝4x. 当抛物线方程设为y2＝－2px（p＞0）时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x. 综上，抛物线方程为y2＝±4x. 通性通法 　　利用｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ （α是直线AB的倾斜角，α≠0°）可较为迅速的求解焦点弦的长度问题. 三、活用＋＝为定值 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若｜AF｜＝2｜BF｜，则｜AB｜＝（　　） A.4　　　　 B. C.5　　　　 D.6 解析：B　因为｜AF｜＝2｜BF｜，＋＝＋＝＝＝1，解得｜BF｜＝，｜AF｜＝3，故｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝. 通性通法 　　该题将求弦长问题，通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题，体现了数学抽象及数学运算的核心素养. 1.（2026·烟台月考）已知抛物线y＝2x2的焦点为F，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，若直线MN过点F，则x1x2＝（　　） A.－ B.－ C.－1 D.－2 解析：B　y＝2x2即x2＝y，由抛物线焦点弦的性质知，x1x2＝－p2＝－. 2.在同一平面直角坐标系中，方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0的曲线大致为（　　） 解析：D　将方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0转化为＋＝1与y2＝－x，所以椭圆的焦点在y轴上，抛物线的焦点在x轴上，且开口向左.故选D. 3.若抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M到准线及对称轴的距离分别为5和3，则p的值为（　　） A.1　　　　　　　　　　B.2 C.1或9 D.2或9 解析：C　因为点M到对称轴的距离为3，所以不妨设M（x0，3）.因为点M到准线的距离为5，所以所以＋＝5，解得p＝1或p＝9，均满足题设.故选C. 4.一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点处）.已知接收天线的口径（直径）为5 m，深度为1 m，则信号装置与卫星接收天线中心O的距离为（　　） A. m　　B. m　　 C. m　　D. m 解析：A　如图建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），点A在抛物线上，所以＝2p，则＝，所以信号装置与卫星接收天线中心O的距离为 m.故选A. 5.〔多选〕下列关于抛物线y＝4x2的叙述正确的是（　　） A.抛物线开口向上 B.抛物线关于x轴对称 C.顶点在原点，焦点为（1，0） D.准线方程为y＝－ 解析：AD　由抛物线方程y＝4x2得其标准方程x2＝y，其中p＝，焦点F（0，），准线方程为y＝－，抛物线开口向上，关于y轴对称. 6.〔多选〕设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C上，｜MF｜＝5，若y轴上存在点A（0，2），使得·＝0，则p的值可以为（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 解析：AD　由题意可得，以MF为直径的圆过点（0，2），设点M（x，y），由抛物线定义知｜MF｜＝x＋＝5，可得x＝5－.因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为＝，由已知可得圆的半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点A（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即点M（5－，4），代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8. 7.直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若｜AB｜＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于　　. 解析：如图，直线4kx－4y－k＝0过定点，抛物线y2＝x的焦点F（，0），设弦AB的中点为M，分别过点A，M，B作准线x＝－的垂线，垂足分别为点P，Q，R，则｜MQ｜＝（｜AP｜＋｜BR｜）＝｜AB｜＝2，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于2＋＝. 8.抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为　　. 解析：设抛物线上点的坐标为（x，±），此点到准线的距离为x＋，到顶点的距离为，由题意有x＋＝，∴x＝，∴y＝±，∴此点坐标为. 9.已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线C的准线与y轴交于点A，点M（1，y0）在抛物线C上，｜MF｜＝，则tan∠FAM＝　　. 解析：如图，过点M向抛物线的准线作垂线，垂足为点N，则｜MN｜＝y0＋＝，故y0＝2p.又M（1，y0）在抛物线上，故y0＝，于是2p＝，解得p＝，∴｜MN｜＝＝.∴tan∠FAM＝tan∠AMN＝＝. 10.已知双曲线C1：－＝1（a＞0）的离心率e＝2，抛物线C2的准线经过C1的左焦点. （1）求抛物线C2的标准方程及其准线方程； （2）若过抛物线C2焦点F的直线l与该抛物线交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆与抛物线C2的准线相切. 解：（1）由题意可知，双曲线C1的离心率为e＝＝＝2，解得a＝1或a＝－1（舍去），则c＝2a＝2，所以抛物线C2的准线方程为x＝－2. 设抛物线C2的标准方程为y2＝2px（p＞0），则＝2，解得p＝4， 所以抛物线C2的标准方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2. （2）证明：抛物线C2的焦点为F（2，0）. 设点A（x1，y1），B（x2，y2）， 则线段AB的中点为E， 则点E到C2的准线x＝－2的距离为d＝＋2， 所以｜AB｜＝x1＋x2＋4＝2＝2d， 所以以AB为直径的圆与抛物线C2的准线相切. 11.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，A（－1，0），点P是抛物线上的动点，则当的值最小时，｜PF｜＝（　　） A.1 B.2 C.2 D.4 解析：B　由题意知，抛物线的准线方程为x＝－1，如图，过点P作PQ垂直准线于点Q，由抛物线的定义知｜PQ｜＝｜PF｜，∴＝＝sin∠PAQ.由正弦函数的性质知，要使最小，则∠PAQ最小，即∠PAF最大，即直线PA斜率的绝对值最大，即直线PA与抛物线相切.设PA所在的直线方程为y＝k（x＋1），联立整理得k2x2＋（2k2－4）x＋k2＝0，则Δ＝（2k2－4）2－4k4＝0，解得k＝±1，即x2－2x＋1＝0，解得x＝1，代入y2＝4x得y＝±2.∴P（1，2）或P（1，－2）.利用焦半径公式得｜PF｜＝2. 12.〔多选〕设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，｜FA｜为半径的圆交l于B，D两点.若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则（　　） A.△ABF是等边三角形 B.｜BF｜＝3 C.点F到准线的距离为3 D.抛物线C的方程为y2＝6x 解析：ACD　∵以F为圆心，｜FA｜为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得｜AB｜＝｜AF｜＝｜BF｜，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°.∵△ABF的面积为｜BF｜2＝9，∴｜BF｜＝6.又点F到准线的距离为｜BF｜sin 30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x. 13.已知曲线C由抛物线y2＝2x及抛物线y2＝－2x组成，A（1，2），B（－1，2），M，N是曲线C上关于y轴对称的两点（A，B，M，N四点不共线，且点M在第一象限），则四边形ABNM周长的最小值为　1＋　. 解析：设抛物线y2＝2x的焦点为F（，0），则四边形ABNM的周长l＝｜AB｜＋2｜AM｜＋2xM＝2＋2｜AM｜＋2｜MF｜－1＝1＋2（｜AM｜＋｜MF｜）≥1＋2｜AF｜＝1＋，当且仅当A，M，F三点共线时取等号.故四边形ABNM周长的最小值为1＋. 14.如图，A地在B地东偏北45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线（近似看成直线）l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M（变电房与公路之间的距离忽略不计），分别向A地、B地送电. （1）试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程； （2）问变电房M建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度. 解：（1）如图，以经过点B且垂直于l（垂足为K）的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立平面直角坐标系xOy，则B（0，2），A（2，4）. 因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B（0，2）为焦点，l为准线的抛物线. 设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y. （2）要使架设电路所用电线长度最短，即使｜MA｜＋｜MB｜的值最小. 如图，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得｜MB｜＝｜MH｜， 所以｜MA｜＋｜MB｜＝｜MA｜＋｜MH｜，故当A，M，H三点共线时，｜MA｜＋｜MH｜取得最小值，即｜MA｜＋｜MB｜取得最小值，此时M（2，）. 故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km时，所用电线长度最短，最短长度为6 km. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $