2.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（一）(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学椭圆的简单几何性质，系统梳理椭圆的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等核心知识点，通过对比焦点在x轴和y轴的标准方程与性质，构建从定义到应用的学习支架，衔接后续轨迹问题等内容。 以“天宫一号”椭圆轨道为情境引入，培养数学眼光观察现实世界，通过表格对比、通性通法总结发展数学思维，题型分类与分层练习助力数学语言表达。课中问题引导激发探究，课后练习帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

1.2　椭圆的简单几何性质 课标 要求 1.掌握椭圆的简单几何性质（直观想象）. 2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想（数学运算）. 第一课时　椭圆的简单几何性质（一） 　　“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现.椭圆有许多几何性质，比如边界（范围）、对称性、特殊点等等. 【问题】　卫星的椭圆轨道中，近地点和远地点与椭圆的哪些几何量有关？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 　＋＝1（a＞b＞0）　 　＋＝1（a＞b＞0）　 范围 　－a≤x≤a且－b≤y≤b　 　－b≤x≤b且－a≤y≤a　 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 顶点 　A1（－a，0），A2（a，0），　 　B1（0，－b），B2（0，b）　 　A1（0，－a），A2（0，a），　 　B1（－b，0），B2（b，0）　 轴长 长轴长＝　2a　，短轴长＝　2b　 焦点 　F1（－c，0），F2（c，0）　 　F1（0，－c），F2（0，c）　 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦距 ｜F1F2｜＝　2c　 对称性 对称轴　x轴和y轴　，对称中心　（0，0）　 离心率 e＝　（0＜e＜1）　 提醒：（1）椭圆的焦点一定在它的长轴上；（2）椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点；（3）椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 【想一想】 1.能用a，b表示椭圆离心率e吗？ 提示：能.e＝. 2.椭圆的离心率e越小，椭圆越圆吗？ 提示：越圆. 3.椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？ 提示：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）椭圆＋＝1（a＞b＞0）的长轴长等于a.（　×　） （2）椭圆＋＝1的离心率e＝.（　×　） （3）椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（0，13），另一个顶点是（－10，0），则焦点坐标为（0，±）.（　√　） 2.已知椭圆C：＋＝1，则长轴长为　6　 ；焦距为　2　 . 解析：由椭圆方程知a＝3，c＝，故长轴为6，焦距为2 . 3.若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为　　. 题型一　由标准方程研究几何性质 求椭圆9x2＋25y2＝225的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 解：将已知椭圆方程化成标准方程为＋＝1，所以a＝5，b＝3，c＝＝4. 因此，长轴长2a＝10，短轴长2b＝6， 离心率e＝＝. 焦点坐标分别是F1（－4，0）和F2（4，0）， 顶点坐标分别是A1（－5，0），A2（5，0），B1（0，－3），B2（0，3）. 通性通法 用标准方程研究几何性质的步骤 （1）将椭圆方程化为标准形式； （2）确定焦点位置； （3）求出a，b，c； （4）写出椭圆的几何性质. 提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍. 　已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上. （1）求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； （2）写出椭圆C2的方程，并研究其性质. 解：（1）由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标（6，0），（－6，0），离心率e＝. （2）椭圆C2：＋＝1， 性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：关于x轴、y轴、原点对称； ③顶点：长轴端点（0，10），（0，－10），短轴端点（－8，0），（8，0）； ④焦点：（0，6），（0，－6）； ⑤离心率：e＝. 题型二　利用几何性质求标准方程 分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程： （1）已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8. （2）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到椭圆两焦点的距离分别为和，过点P作长轴的垂线，该垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的标准方程. 解：（1）由题意知，2c＝8，c＝4， ∴e＝＝＝， ∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48， ∴椭圆的标准方程是＋＝1. （2）若焦点在x轴上，则设椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0），依题意，有解得故b2＝a2－c2＝5－＝，则椭圆的标准方程为＋＝1；若焦点在y轴上，则设椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0），同理可得a2＝5，b2＝，则椭圆的标准方程为＋＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 通性通法 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 　　利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： （1）确定焦点位置； （2）设出相应椭圆的标准方程（对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程）； （3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数.列方程（组）时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等. 　求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长是10，离心率是； （2）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解：（1）设椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0）或＋＝1（a＞b＞0）.由已知得2a＝10，a＝5.又∵e＝＝，∴c＝4.∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. （2）依题意可设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0）. 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且｜OF｜＝c，｜A1A2｜＝2b，则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 题型三　与椭圆有关的轨迹问题 已知圆M：（x＋1）2＋y2＝1，圆N：（x－1）2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程. 解：由已知得圆M的圆心为M（－1，0），半径r1＝1；圆N的圆心为N（1，0），半径r2＝3. 设动圆P的圆心为P（x，y），半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以｜PM｜＋｜PN｜＝（R＋r1）＋（r2－R）＝r1＋r2＝4＞｜MN｜＝2， 由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，a＝2，b＝的椭圆（除去点（－2，0）），其方程为＋＝1（x≠－2）. 通性通法 求椭圆轨迹方程的常用方法 （1）直接法：由题设所给的动点满足的几何条件列出等式，再把坐标代入并化简，得到所求的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法； （3）代入法（相关点法）；若所求轨迹上的动点P（x，y）与另一个已知曲线C：F（x，y）＝0上的动点Q（x1，y1）存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F（x，y）＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法（相关点法）. 　已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为　x2＋＝1　. 解析：设P（x0，y0），Q（x，y），由中点坐标公式得∴又∵点P在椭圆＋＝1上，∴＋＝1，即x2＋＝1. 1.对于椭圆＋＝1，下面说法正确的是（　　） A.长轴长为2　　　　　　B.短轴长为3 C.离心率为 D.焦距为1 解析：C　根据题意，椭圆的方程为＋＝1，其中a＝＝2，b＝，则c＝＝1，则其长轴长2a＝4，短轴长2b＝2，焦距2c＝2，其离心率e＝＝.故选C. 2.已知P是椭圆＋＝1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若△PF1F2的周长为6.且椭圆的离心率为，则椭圆方程为（　　） A.＋y2＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：C　设椭圆的半焦距为c＞0，由题意可得解得所以椭圆方程为＋＝1.故选C. 3.若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（　　） A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1或＋＝1 D.以上答案都不对 解析：C　直线与坐标轴的交点为（0，1），（－2，0），由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 4.过椭圆＋＝1的焦点的最长弦的长为　4　，最短弦的长为　3　. 解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得y＝±，所以最短弦的长为2×＝3. 1.椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为（　　） A.（－1，0），（1，0）　　　B.（－6，0），（6，0） C.（－，0），（，0） D.（0，－），（0，） 解析：D　∵椭圆方程化为标准式为＋x2＝1，∴a2＝6，且焦点在y轴上，∴长轴端点坐标为（0，－），（0，）. 2.焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为（　　） A.＋＝1　　　　　B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.x2＋＝1 解析：A　依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝1. 3.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的面积为2π，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C的标准方程是（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：A　由题意得解得所以椭圆C的标准方程是＋＝1.故选A. 4.设B是椭圆C：＋＝1的上顶点，点P在C上，则｜PB｜的最大值为（　　） A.16 B.4 C.3 D.5 解析：B　B（0，2），设P（x0，y0），则－2≤y0≤2，＋＝1，所以｜PB｜＝＝＝，因为－2≤y0≤2，所以当y0＝－2时，｜PB｜有最大值，最大值为4.故选B. 5.椭圆＋＝1与椭圆＋＝1（k＜9，k≠0）必定有（　　） A.相等的长轴长 B.相等的焦距 C.相等的短轴长 D.相等的离心率 解析：B　因为k＜9，k≠0，所以25－k＞9－k＞0，所以椭圆＋＝1中a2＝25－k≠25，b2＝9－k≠9，故A、C错误；椭圆＋＝1中的c2＝a2－b2＝（25－k）－（9－k）＝16，椭圆＋＝1中的c2＝25－9＝16，所以两椭圆的c相等，即有相等的焦距，故B正确；离心率e＝，两椭圆的a不相等，c相等，所以椭圆的离心率不相等，故D错误.故选B. 6.〔多选〕已知椭圆G的中心在坐标原点，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：AC　由椭圆的定义可得2a＝12，则a＝6.因为椭圆G的离心率为＝，则c＝3，所以b＝＝3.若椭圆G的焦点在x轴上，则椭圆G的方程为＋＝1；若椭圆G的焦点在y轴上，则椭圆G的方程为＋＝1.故选A、C. 7.已知椭圆C的焦点分别为F1（－3，0），F2（3，0），P1，P2为椭圆上的两点，且△P1F1F2与△P2F1F2周长之和为28，则该椭圆C的方程为　＋＝1　. 解析：由题意得∴∴b2＝a2－c2＝7，∴椭圆C的方程为＋＝1. 8.已知椭圆＋＝1的离心率为，则m＝　3或　. 解析：由于题中没有明确指出焦点在哪个坐标轴上，所以要分焦点在x轴上与焦点在y轴上两种情况讨论：当焦点在x轴上时，0＜m＜4，＝，解得m＝3；当焦点在y轴上时，m＞4，＝，解得m＝.综上，m＝3或m＝. 9.若椭圆mx2＋y2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则实数m的值为　4　，焦点坐标为　（0，±）　. 解析：设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，由题意得2a＝2×2b，则a2＝4b2，又椭圆标准方程为＋y2＝1，且焦点在y轴上，所以1＝，即m＝4，c2＝1－＝，即焦点坐标为（0，±）. 10.已知圆M：（x＋3）2＋y2＝64的圆心为M，定点N（3，0），动点A在圆M上，线段AN的垂直平分线交线段MA于点P. （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）若点Q是曲线C上一点，且∠QMN＝60°，求△QMN的面积. 解：（1）由已知｜PN｜＝｜PA｜，故｜PM｜＋｜PN｜＝｜PM｜＋｜PA｜＝｜AM｜＝8＞｜MN｜， 所以点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆， 设点P的轨迹方程为＋＝1（a＞b＞0），则2a＝8，c＝3，b2＝7， 所以点P的轨迹方程为＋＝1. （2）不妨设｜MQ｜＝m，由椭圆定义可得｜QN｜＝2a－m＝8－m，又｜MN｜＝2c＝6， 则在△MNQ中，由余弦定理可得：cos∠QMN＝＝，解得m＝. 故△QMN的面积S＝×sin∠QMN×m×2c＝c×m＝××3＝. 11.椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短半轴长的四倍，则m的值为（　　） A.2　　 　B. C.4　　 　D. 解析：D　椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，则有0＜m＜1，由椭圆方程x2＋＝1可得b＝1，a＝，由长轴长是短半轴长的四倍，可得＝2，解得m＝.故选D. 12.〔多选〕椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以下四个命题中正确的是（　　） A.若过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为8 B.椭圆C上存在点P，使得·＝0 C.椭圆C的离心率为 D.椭圆C上存在点P，｜PF2｜∈[2－，2＋] 解析：ABD　由椭圆C：＋y2＝1得a2＝4，b2＝1，c2＝a2－b2＝3，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为4a＝8，故A正确；因为c＞b，所以以原点为圆心，以c为半径的圆交y轴于短轴顶点的外部，所以存在点P，使得∠F1PF2＝90°，即使得·＝0，故B正确；椭圆C的离心率e＝＝，故C错误；对于D，易知a－c≤｜PF2｜≤a＋c，｜PF2｜∈[2－，2＋]，D正确. 13.如图，把椭圆＋＝1的长轴（线段AB）分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2，P3，…，P7这七个点，F是椭圆的左焦点，则｜P1F｜＋｜P2F｜＋…＋｜P7F｜＝　35　. 解析：由椭圆的对称性及定义，知｜P1F｜＋｜P7F｜＝2a，｜P2F｜＋｜P6F｜＝2a，｜P3F｜＋｜P5F｜＝2a，｜P4F｜＝a，所以｜P1F｜＋｜P2F｜＋｜P3F｜＋｜P4F｜＋｜P5F｜＋｜P6F｜＋｜P7F｜＝7a.因为a＝5，所以所求式子的值为35. 14.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，左焦点为F，点P为该椭圆上任意一点.若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝，求·的取值范围. 解：因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a＝2. 因为离心率e＝，所以c＝1，b＝＝， 则椭圆的方程为＋＝1， 所以点A的坐标为（－2，0），点F的坐标为（－1，0）. 设P（x，y），－2≤x≤2，则·＝（x＋2，y）·（x＋1，y）＝x2＋3x＋2＋y2. 由椭圆的方程得y2＝3－x2，所以·＝x2＋3x－x2＋5＝（x＋6）2－4. 因为x∈[－2，2]，所以·∈[0，12]. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $