2.2.2 双曲线的简单几何性质(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦双曲线的简单几何性质核心知识点，通过冷却水塔实例引入，对比椭圆性质，围绕范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等梳理标准方程及性质，构建从实际问题到理论应用的学习支架。 资料以问题驱动（如范围限制、对称性）引导探究，结合对比辨析（椭圆与双曲线离心率）、题型分层（判断、选择、解答题）及通性通法总结，培养直观想象与数学运算能力。课中辅助教师授课，课后助力学生回顾强化，弥补知识盲点。

2.2　双曲线的简单几何性质 课标 要求 1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质（直观想象）. 2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用（数学运算）. 　　如图，冷却水塔的外形是双曲线的一部分，那么如何利用双曲线的性质，研究建造冷却水塔呢？ 　 【问题】　（1）从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？ （2）双曲线是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　双曲线的几何性质 标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0） 性质 图形 焦点 　F1（－c，0），F2（c，0）　 　F1（0，－c），F2（0，c）　 标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0） 性质 焦距 　｜F1F2｜＝2c　 范围 　x≤－a　或 　x≥a　， y∈　R　 　y≤－a　或 　y≥a　， x∈　R　 对称性 对称轴：　坐标轴　；对称中心：　原点　 顶点 　A1（－a，0），A2（a，0）　 　A1（0，－a），A2（0，a）　 标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0） 性质 轴 实轴：线段　A1A2　，长：　2a　； 虚轴：线段　B1B2　，长：　2b　； 实半轴长：　a　，虚半轴长：　b　 离心率 e＝　　∈　（1，＋∞）　 渐近线 　y＝±x　 　y＝±x　 提醒：（1）椭圆与双曲线的离心率都是e，但其范围不一样，椭圆的离心率0＜e＜1，而双曲线的离心率e＞1；（2）当双曲线C的方程确定后，该双曲线就存在两条直线l及l'，使得双曲线C趋向无穷远处时，与直线l、l'愈来愈近，但始终不相交，则直线l与l'为双曲线C的渐近线；（3）实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程可写为x2－y2＝m（m＞0），它的渐近线方程为y＝±x. 【想一想】 1.椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特征？ 提示：双曲线的离心率刻画了双曲线的“开口”大小. 2.椭圆的离心率越大越扁平，双曲线的离心率与开口大小有什么关系？ 提示：e＝＝＝＝，又为双曲线渐近线方程的斜率，因此越小，e越小，双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄，即e越小，双曲线的“开口”越小. 3.在双曲线－＝1（a＞0，b＞0）中，焦点F1（c，0）到渐近线的距离是多少？ 提示：双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，则点F1（c，0）到渐近线y＝x的距离为＝＝b. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）共渐近线的双曲线的离心率相同.（　×　） （2）双曲线－＝1与－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线相同.（　×　） （3）实轴和虚轴相等的双曲线的渐近线互相垂直，离心率e＝.（　√　） （4）双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.（　×　） 2.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是（　　） A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4 C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4 解析：A　令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为（－4，0），∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故选A. 3.〔一题多解〕（2022·北京卷12题）已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝　－3　. 解析：法一（通解）　依题意得m＜0，双曲线的方程可表示为y2－＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±＝±，解得m＝－3. 法二（优解）　依题意得m＜0，令y2－＝0，得y＝±x＝±x，解得m＝－3. 4.若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是　　. 解析：由题意知渐近线与x轴的夹角θ＝，∴＝tan＝1，∴e＝＝. 题型一　双曲线的几何性质 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 解：双曲线的方程化为标准形式是－＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝. 又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为（－3，0），（3，0）， 焦点坐标为（－，0），（，0）， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x. 【母题探究】 　（变条件、变设问）若将本例中双曲线的方程变为nx2－my2＝mn（m＞0，n＞0），求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 解：把方程nx2－my2＝mn（m＞0，n＞0）化为标准方程为－＝1（m＞0，n＞0）， 由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝， 焦点坐标为（，0），（－，0），离心率e＝＝＝， 顶点坐标为（－，0），（，0），所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x. 通性通法 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 （1）把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键； （2）由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值； （3）由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质. 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置. 已知双曲线－＝1与－＝1，下列说法正确的是（　　） A.两个双曲线有公共顶点 B.两个双曲线有公共焦点 C.两个双曲线有公共渐近线 D.两个双曲线的离心率相等 解析：C　双曲线－＝1的焦点和顶点都在x轴上，而双曲线－＝1的焦点和顶点都在y轴上，因此可排除选项A、B；双曲线－＝1的离心率e1＝＝，而双曲线－＝1的离心率e2＝＝，因此可排除选项D；易得C正确. 题型二　求双曲线的渐近线 如图，已知F1，F2为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为　y＝±x　. 解析：设F2（c，0）（c＞0），P（c，y0），则－＝1，解得y0＝±.∴｜PF2｜＝.在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，则｜PF1｜＝2｜PF2｜，①.由双曲线的定义，得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，②.由①②得｜PF2｜＝2a.∵｜PF2｜＝，∴2a＝，即b2＝2a2.∴＝.∴双曲线的渐近线方程为y＝±x. 通性通法 1.已知双曲线的标准方程求渐近线方程的方法 （1）当焦点在x轴上时，即－＝1（a＞0，b＞0），则该双曲线的渐近线方程为y＝±x； （2）当焦点在y轴上时，即－＝1（a＞0，b＞0），则该双曲线的渐近线方程为y＝±x. 2.共渐近线的双曲线方程的设法 已知双曲线方程－＝1（a＞0，b＞0），渐近线方程为－＝0，与其共渐近线的双曲线方程为－＝λ. （1）当λ＞0时，双曲线的焦点在x轴上； （2）当λ＜0时，双曲线的焦点在y轴上. 特别地，当λ＝－1时，双曲线－＝1（a＞0，b＞0）与－＝1（a＞0，b＞0）互为共轭双曲线； 当x2－y2＝λ（λ≠0）时，该双曲线称为等轴双曲线，它的渐近线为y＝±x. 1.设双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（　　） A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±2x D.y＝±x 解析：B　由已知可得2b＝2，2c＝2，∴b＝1，c＝，∴a＝＝＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x.故选B. 2.已知双曲线－＝1（b＞0）的焦点到渐近线的距离为5，则该双曲线的渐近线方程为　5x±2y＝0　. 解析：由题意，知b＝5，故该双曲线的渐近线方程为5x±2y＝0. 题型三　双曲线的离心率 （1）已知椭圆C1：＋＝1与双曲线C2：－＝1（a＞0，b＞0）有共同的焦点F1，F2，且曲线C1，C2在第一象限内的公共点记为P，若∠F1PF2＝，则双曲线C2的离心率为（　A　） A. B. C. D. （2）〔一题多解〕（2024·新高考Ⅰ卷12题）设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若｜F1A｜＝13，｜AB｜＝10，则C的离心率为　　. 解析：（1）因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以a2＋b2＝49－7＝42，｜F1F2｜＝2，P为两曲线的公共点，所以｜PF1｜＋｜PF2｜＝2＝14，｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，联立得｜PF1｜＝7＋a，｜PF2｜＝7－a，因为∠F1PF2＝，所以 cos∠F1PF2＝＝－，解得a＝，则双曲线的离心率为e＝＝.故选A. （2）法一（直接法） 由｜AB｜＝10及双曲线的对称性得｜AF2｜＝＝5，因为｜AF1｜＝13，所以2a＝｜AF1｜－｜AF2｜＝13－5＝8，2c＝｜F1F2｜＝＝＝12，所以a＝4，c＝6，则C的离心率e＝＝＝. 法二（二级结论） 因为｜AB｜＝10，所以＝10，所以＝＝5，又｜AF1｜＝13，所以｜F1F2｜＝2c＝＝12，得c＝6，所以a2＋5a－36＝0，得a＝4，所以C的离心率e＝＝＝. 通性通法 求双曲线离心率的两种方法 （1）直接法：若已知a，c，可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解； （2）方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的方程求解. 1.已知F1，F2分别为双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点（点A在第一象限），延长AF2交E于点C，若｜BF2｜＝｜AC｜，∠F1BF2＝，则双曲线E的离心率为（　　） A. B.2 C. D. 解析：A　结合双曲线的对称性可知，∠F1AF2＝，｜AF1｜＝｜AC｜，所以△ACF1为等边三角形，则｜AF1｜＝｜CF1｜，则AC⊥F1F2.由双曲线的定义，得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，所以｜AF1｜＝4a，｜AF2｜＝2a，则＝＝tan＝. 2.双曲线－＝1（a＞1，b＞0）的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（－1，0）到直线l的距离之和s≥c，则双曲线的离心率e的取值范围为　　. 解析：由题意知，直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式，且a＞1，得点（1，0），（－1，0）到直线l的距离分别为d1＝，d2＝，s＝d1＋d2＝＝.由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.于是，得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0.解不等式，得≤e2≤5.由于e＞1，故e的取值范围是. 1.已知双曲线C：－＝1的渐近线方程为2x±y＝0，则该双曲线的焦点坐标分别为（　　） A.（3，0），（－3，0） B.（0，3），（0，－3） C.（1，0），（－1，0） D.（0，1），（0，－1） 解析：B　双曲线C：－＝1的渐近线方程为y＝±x，即2x±by＝0，所以b＝，得b2＝5，所以c2＝a2＋b2＝4＋5＝9.又双曲线C的焦点在y轴上，所以该双曲线的焦点坐标分别为（0，3），（0，－3）.故选B. 2.在平面直角坐标系中，经过点P（2，－）且渐近线方程为y＝±x的双曲线的标准方程为（　　） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：B　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴设所求双曲线的方程为2x2－y2＝k.又点P（2，－）在双曲线上，∴k＝16－2＝14，即双曲线的方程为2x2－y2＝14，∴双曲线的标准方程为－＝1. 3.若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A.x±y＝0 B.x±y＝0 C.x±y＝0 D.x±y＝0 解析：B　由题意可知，e＝2，即＝＝1＋＝4，∴＝，＝，代入渐近线方程y＝±x，得到x±y＝0.故选B. 4.已知点（2，3）在双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）上，C的焦距为4，则它的离心率为　2　. 解析：由题意知－＝1，c2＝a2＋b2＝4，解得a＝1，所以e＝＝2. 1.双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（　　） A.2 B.2 C.4 D.4 解析：C　双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C. 2.已知双曲线－＝1（b＞0）的离心率是2，则b＝（　　） A.12 B.2 C. D. 解析：B　由题意可得e＝＝＝＝＝2，解得b＝2.故选B. 3.双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离为（　　） A. B. C.1 D. 解析：B　双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为（1，0），（－1，0），故顶点到渐近线的距离为. 4.从某个角度观察篮球（如图①），可以得到一个对称的平面图形，如图②所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 解析：C　以O为原点，AD所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），不妨设｜AB｜＝｜BO｜＝｜OC｜＝｜CD｜＝1，则该双曲线过点（，），且a＝1，所以－＝1，解得b2＝2，所以c2＝a2＋b2＝3，得c＝，所以双曲线的离心率为e＝＝，故选C. 5.〔多选〕双曲线C1：－y2＝1与C2：－y2＝λ（λ＞0且λ≠1）的（　　） A.顶点相同 B.焦点相同 C.离心率相同 D.渐近线相同 解析：CD　由C2：－y2＝λ⇒－＝1，因为λ＞0且λ≠1，所以4≠4λ，顶点不同，A错；对C1：－y2＝1，＝4，＝1，＝5，e1＝，渐近线为y＝±x，对C2：－＝1，＝4λ，＝λ，＝5λ，e2＝，渐近线为y＝±x，由此判断B错，C、D正确.故选C、D. 6.〔多选〕若双曲线C的一个焦点为F（5，0），P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是（　　） A.C的方程为－＝1 B.C的离心率为 C.焦点到渐近线的距离为3 D.｜PF｜的最小值为2 解析：AD　由双曲线C的一个焦点为F（5，0），且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点在x轴上，所以＝，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确；离心率为e＝，B不正确；焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确；｜PF｜的最小值为c－a＝2，D正确. 7.能说明“若mn≠0，则方程＋＝1表示的曲线为焦点在y轴上且一条渐近线方程为y＝2x的双曲线”的一组m，n的值是　（答案不唯一）　. 解析：设焦点在y轴上且渐近线方程为y＝2x的双曲线的方程为－x2＝λ（λ＞0），即－＝1（λ＞0），所以（λ＞0），不妨令λ＝1，所以 8.双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝　2　. 解析：设B为双曲线的右焦点，如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝｜OB｜＝2.又∠AOB＝，∴＝tan ＝1，即a＝b.又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2. 9.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得F2P的中点M满足｜OM｜＝c，则双曲线的离心率e的取值范围是　（1，］　. 解析：因为O，M分别为F1F2，PF2的中点，所以｜PF1｜＝2｜OM｜＝c.又双曲线上的点到焦点的最小距离为c－a，所以c≥c－a＞0，解得1＜≤，因此双曲线的离心率e的取值范围是（1，］. 10.设双曲线－＝1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率. 解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0. 于是有＝c， 所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4. 又b2＝c2－a2，所以16a2（c2－a2）＝3c4， 两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0， 解得e2＝4或e2＝. 又b＞a，所以e2＝＝1＋＞2，则e＝2. 于是双曲线的离心率为2. 11.如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合.该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（　　） A.－x2＝1 B.y2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：D　双曲线的下焦点坐标为（0，－c），渐近线方程为y＝±x，即ax±by＝0，则下焦点到渐近线的距离为＝＝b＝3，又离心率e＝＝＝2，所以a2＝3，所以该双曲线的标准方程为－＝1.故选D. 12.〔多选〕我们把离心率为的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为的双曲线称为黄金双曲线，则（　　） A.曲线－＝1是黄金双曲线 B.如果双曲线－＝1（a＞0，b＞0）是黄金双曲线，那么b2＝ac（c为半焦距） C.如果双曲线－＝1（a＞0，b＞0）是黄金双曲线，那么右焦点F到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一 D.过双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F且垂直于实轴的直线l交C于M，N两点，O为坐标原点，若∠MON＝90°，则双曲线C是黄金双曲线 解析：BD　对于A，－＝1，a2＝3，b2＝＋1，所以c2＝＋4，所以e2＝＝≠（）2＝，故A错误；对于B，若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）是黄金双曲线，则e＝＝，由c2＝a2＋b2，所以b2＝（a）2－a2＝a2＝ac，故B正确；对于C，双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，则F（c，0）到该渐近线的距离d＝＝b，而由B可知，b2＝ac≠c2，故C错误；对于D，当x＝c时，y2＝（－1）b2＝，令M（c，），N（c，－），则＝（c，），＝（c，－），所以·＝c2－＝0，则b2＝ac，由B可知，双曲线C是黄金双曲线，故D正确.故选B、D. 13.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2，B（0，b）的直线与双曲线右支在第一象限相交于点P，若＝3，则双曲线C的渐近线方程为　y＝±x　. 解析：设P（x0，y0），x0＞0，y0＞0，因为B（0，b），F2（c，0），所以直线BF2的方程为＋＝1，又＝3，＝×2c·b＝bc，＝×2c·y0＝cy0，则bc＝3cy0，解得y0＝，将y0＝代入＋＝1中，得x0＝，则P（，），所以－＝1，又a2＋b2＝c2，解得＝，故双曲线C的渐近线方程为y＝±x. 14.若点O和点F（－2，0）分别为双曲线－y2＝1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，求·的取值范围. 解：因为 F（－2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3， 所以双曲线方程为－y2＝1. 设点P（x0，y0）（x0≥），则－＝1（x0≥），可得＝－1（x0≥），易知＝（x0＋2，y0），＝（x0，y0）， 所以·＝x0（x0＋2）＋＝x0（x0＋2）＋－1＝＋2x0－1， 此二次函数对应的图象的对称轴方程为x0＝－. 因为x0≥，所以当x0＝时，·取得最小值×3＋2－1＝3＋2， 故·的取值范围是[3＋2，＋∞）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $