2.2.1 双曲线及其标准方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学双曲线及其标准方程，通过类比椭圆知识引入，系统梳理双曲线的定义（平面内到两定点距离之差的绝对值为常数）、标准方程（焦点在x轴和y轴的形式）及a、b、c的关系，构建从椭圆到双曲线的知识支架。 资料以工程建筑等实际背景激发兴趣，通过“想一想”“提醒”等环节强化数学抽象与直观想象，设置轨迹、焦点三角形等题型及护航编队等实际应用案例，培养数学建模能力。课中助力教师分层教学，课后练习题帮助学生巩固知识、查漏补缺。

2.1　双曲线及其标准方程 课标 要求 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（数学抽象）. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程（直观想象）. 　　双曲线是一种很优美的曲线，就好像人的身形一样婉转婀娜.在实际生活中，双曲线也有着广泛的应用，例如很多工程建筑就是仿照双曲线的外形特点而设计，在兼具美学的情况下又保证了建筑物的坚实程度. 【问题】　我们已经学习过椭圆的相关知识，那么双曲线又有着怎样的定义、方程与几何性质呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的　距离之差的绝对值　等于常数（大于零且小于｜F1F2｜）的点的集合（或轨迹）叫作双曲线.这　两个定点F1，F2　叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离　｜F1F2｜　叫作双曲线的焦距. 提醒：（1）当常数等于｜F1F2｜时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线（包括端点）；（2）当常数大于｜F1F2｜时，动点的轨迹不存在；（3）当常数等于0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 【想一想】 如果定义中“距离之差”没有加绝对值，点的轨迹表示什么曲线？ 提示：双曲线的一支. 知识点二　双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 　－＝1　（a＞0，b＞0） 　－＝1　（a＞0，b＞0） 图形 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点坐标 　F1（－c，0），F2（c，0）　 　F1（0，－c），F2（0，c）　 a，b，c 的关系 c2＝　a2＋b2　 提醒：巧记双曲线焦点位置与方程的关系：焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）方程－＝1表示双曲线.（　×　） （2）双曲线两焦点之间的距离称为焦距.（　√　） （3）若焦点在x轴上的双曲线方程为－＝1，则a2＞b2.（　×　） （4）双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为定值.（　√　） 2.平面内动点P到两定点F1（－2，0），F2（2，0）的距离之差为m，若动点P的轨迹是双曲线，则m的取值范围是（　　） A.（－4，＋∞） B.（4，＋∞） C.（－4，4） D.（－4，0）∪（0，4） 解析：D　由双曲线的定义可得，｜m｜＜4且m≠0，解得m∈（－4，0）∪（0，4）. 3.已知双曲线－＝1，则双曲线的焦点坐标为（　B　） A.（－，0），（，0）　　B.（－5，0），（5，0） C.（0，－5），（0，5） D.（0，－），（0，） 4.双曲线的两焦点坐标是F1（0，3），F2（0，－3），b＝2，则双曲线的标准方程是　－＝1　. 题型一　双曲线标准方程的识别 已知－＝－1，当k为何值时： （1）方程表示双曲线？ （2）方程表示焦点在x轴上的双曲线？ 解：（1）原方程可变形为－＝1. 要使方程表示双曲线，必须满足（｜k｜－3）（1－k）＞0. 即或解得k＜－3或1＜k＜3. （2）若方程表示焦点在x轴上的双曲线， 则解得1＜k＜3. 通性通法 双曲线方程的辨识方法 　　将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn＜0时，方程表示双曲线.若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线. 1.已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a＝（　　） A.　　　　　　　　　　B.5 C.7 D. 解析：D　根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝. 2.在方程mx2－my2＝n中，若mn＜0，则方程所表示的曲线是（　　） A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线 C.焦点在y轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的椭圆 解析：C　方程mx2－my2＝n可化为－＝1.由mn＜0知＜0，故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线. 题型二　求双曲线的标准方程 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）经过点（，0），（3，2）； （2）焦点为（0，－5），（0，5），经过点； （3）a＝b，经过点（3，－1）； （4）经过（3，－4）和两点. 解：（1）根据题意，双曲线经过点（，0），则双曲线的焦点在x轴上，且a＝， 设双曲线的标准方程为－＝1（b＞0）， 双曲线经过点（3，2），则有－＝1，解得b2＝8， 则双曲线的标准方程为－＝1. （2）根据题意，焦点为（0，－5），（0，5），则双曲线的焦点在y轴上，且c＝5， 因为双曲线过点，故根据双曲线的定义可知2a＝｜－｜＝6， 则a＝3，则b2＝c2－a2＝16， 所以双曲线的标准方程为－＝1. （3）根据题意，双曲线中a＝b，设双曲线的方程为x2－y2＝t， 又由双曲线经过点（3，－1），则有t＝32－（－1）2＝8， 则双曲线的方程为x2－y2＝8， 所以双曲线的标准方程为－＝1. （4）根据题意，设双曲线的方程为mx2－ny2＝1（mn＞0）， 双曲线经过（3，－4）和两点，则有 解得m＝－，n＝－， 则双曲线的标准方程为－＝1. 通性通法 1.求双曲线标准方程的两个关注点 （1）定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，即在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； （2）定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程（组）求解. 2.求双曲线的标准方程的步骤 （1）根据已知条件设出双曲线的标准方程； （2）利用已知条件确定a，b或a2，b2，注意双曲线定义的应用； （3）确定双曲线的标准方程. 特别地，若已知双曲线上两点的坐标，则双曲线的标准方程可能有两个，需分类讨论.也可直接设双曲线方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0），把所给点的坐标代入方程，解方程组求出A，B的值，此种方法计算过程简单，也避免了分类讨论. 1.（2026·聊城月考）椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a＝　1　. 解析：由双曲线方程知，焦点在x轴上，且c2＝a＋2（a＞0）.由椭圆方程知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2（舍去）.所以a＝1. 2.（2026·常州质检）若圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为　－＝1　. 解析：将x＝0代入x2＋y2－4x－9＝0，得y2＝9，即y＝±3.所以点A，B的坐标分别为（0，－3），（0，3）.因为A，B两点都在双曲线上，且将此双曲线的焦距三等分，所以双曲线焦点在y轴上且解得所以双曲线方程为－＝1. 题型三　双曲线的定义及应用 角度1　与双曲线有关的动点的轨迹问题 如图，已知圆E：（x＋2）2＋y2＝4，F（2，0），动圆P过点F，且与圆E内切于点M，求动圆P的圆心P的轨迹方程. 解：由已知条件，得圆E的半径r＝2. 设圆P的半径为R，则｜PF｜＝｜PM｜＝R， 所以｜PE｜＝｜PM｜－｜ME｜＝R－2， 所以｜PF｜－｜PE｜＝2＜｜EF｜＝4. 由双曲线的定义知，点P的轨迹为双曲线的左支，其中a＝1，c＝2，所以b＝＝. 所以所求轨迹方程为x2－＝1（x≤－1）. 通性通法 与双曲线有关轨迹问题的解题思路及注意点 （1）求解与双曲线有关点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程. （2）特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支. 角度2　焦点三角形问题 （1）已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（　B　） A.2 B.4 C.6 D.8 （2）设点P在双曲线－＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且｜PF1｜∶｜PF2｜＝1∶3，则△F1PF2的周长等于　22　. 解析：（1）设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n， 则 ∴∴mn＝4，即｜PF1｜·｜PF2｜＝4.故选B. （2）由题意知｜F1F2｜＝2＝10，｜｜PF2｜－｜PF1｜｜＝6，又｜PF1｜∶｜PF2｜＝1∶3，∴｜PF1｜＝3，｜PF2｜＝9，故△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22. 通性通法 　　在解与焦点三角形（△PF1F2）有关的问题时，一般地，可由双曲线的定义，得｜PF1｜，｜PF2｜的关系式，或利用正弦定理、余弦定理，得｜PF1｜，｜PF2｜的关系式，从而求出｜PF1｜，｜PF2｜.但是，一般我们不直接求解出｜PF1｜，｜PF2｜，而是根据需要，把｜PF1｜＋｜PF2｜，｜PF1｜－｜PF2｜，｜PF1｜·｜PF2｜看作一个整体来处理. 角度3　与双曲线有关的最值问题 （1）已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P（3，1）为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则｜AP｜＋｜AF2｜的最小值为（　C　） A.＋4 B.－4 C.－2 D.＋2 （2）P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆（x＋4）2＋y2＝4和（x－4）2＋y2＝1上的点，则｜PM｜－｜PN｜的最大值为　5　. 解析：（1）因为｜AP｜＋｜AF2｜＝｜AP｜＋｜AF1｜－2，所以要求｜AP｜＋｜AF2｜的最小值，只需求｜AP｜＋｜AF1｜的最小值.如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时，｜AP｜＋｜AF1｜最小，最小值为｜PF1｜＝＝.故｜AP｜＋｜AF2｜的最小值为－2.故选C. （2）双曲线的两个焦点F1（－4，0），F2（4，0）分别为两圆的圆心，且两圆的半径分别为r1＝2，r2＝1，易知｜PM｜max＝｜PF1｜＋2，｜PN｜min＝｜PF2｜－1，故｜PM｜－｜PN｜的最大值为｜PF1｜＋2－（｜PF2｜－1）＝｜PF1｜－｜PF2｜＋3＝2＋3＝5. 通性通法 　　设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，Q（x0，y0）为平面上一定点，M为双曲线右支上任意一点. （1）若定点Q（x0，y0）与双曲线右焦点F2在双曲线右支的同侧，则｜MQ｜＋｜MF2｜的最小值是｜QF1｜－2a，最大值不存在； （2）若定点Q（x0，y0）与双曲线右焦点F2在双曲线右支的异侧，则｜MQ｜＋｜MF2｜的最小值是｜QF2｜，最大值不存在. 1.若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝120°，则△F1PF2的面积为（　　） A. B. C.8 D.16 解析：A　由双曲线的定义和余弦定理得，｜PF1｜－｜PF2｜＝±6，｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜cos 120°＝（｜PF1｜－｜PF2｜）2＋3｜PF1｜·｜PF2｜，即100＝36＋3｜PF1｜·｜PF2｜，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝，则＝｜PF1｜·｜PF2｜sin∠F1PF2＝××＝. 2.已知双曲线C：x2－＝1的右焦点为F，P是双曲线C左支上一点，M（0，2），则△PFM的周长的最小值为　2＋4　. 解析：设双曲线C的左焦点为F1，则｜PF｜－｜PF1｜＝2a，由题可知a＝1，c＝2，所以｜PF｜＝2＋｜PF1｜，F1（－2，0），F（2，0），所以｜MF｜＝2，△PFM的周长为｜MF｜＋｜MP｜＋｜PF｜＝2＋2＋｜MP｜＋｜PF1｜.当M，P，F1三点共线时，｜MP｜＋｜PF1｜取最小值，最小值为｜MF1｜＝2，所以△PFM的周长的最小值为2＋4. 题型四　双曲线的实际应用 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？ 解：设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（－3，0），C（－5，2）. ∵｜PB｜＝｜PC｜，∴点P在线段BC的垂直平分线上， 又易知kBC＝－，线段BC的中点D（－4，）， ∴直线PD的方程为y－＝（x＋4），　① 又｜PB｜－｜PA｜＝4＜6＝｜AB｜， ∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，∴b2＝c2－a2＝5， ∴商船的轨迹方程为－＝1（x≥2），　② 联立①②，得点P坐标为（8，5）， ∴kPA＝＝，因此甲舰行进的方向角为北偏东30°. 通性通法 　　双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题. 某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处（如图），｜AP｜＝100 m，｜BP｜＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工. 解：如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设M是分界线上的点，则｜MA｜＋｜AP｜＝｜MB｜＋｜BP｜，即｜MA｜－｜MB｜＝｜BP｜－｜AP｜＝150－100＝50（m），这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝25. 在△APB中，｜AB｜2＝｜AP｜2＋｜BP｜2－2｜AP｜·｜BP｜·cos 60°＝17 500， 从而c2＝＝4 375，b2＝3 750， 故所求分界线的方程为－＝1（x≥25）. 即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工. 1.已知平面内两定点F1（－3，0），F2（3，0），下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是（　　） A.｜PF1｜－｜PF2｜＝±7 B.｜PF1｜－｜PF2｜＝±6 C.｜PF1｜－｜PF2｜＝±4 D.｜PF1｜2－｜PF2｜2＝±6 解析：C　｜F1F2｜＝6，由双曲线的定义知，当0＜｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＜6时，动点P的轨迹为双曲线，故选C. 2.方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是（　　） A.－2＜m＜2 B.m＞0 C.m≥0 D.｜m｜≥2 解析：A　∵已知方程表示双曲线，∴（2＋m）·（2－m）＞0.∴－2＜m＜2. 3.椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是（　　） A.　　　　　　　 　B.1或－2 C.1或 D.1 解析：D　依题意知解得a＝1. 4.半焦距为，经过点（－5，2），且焦点在x轴上双曲线的标准方程为　－y2＝1　. 解析：因为半焦距为，且焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1（a2＜6）.因为双曲线经过点（－5，2），所以－＝1，解得a2＝5或a2＝30（舍去）.所以双曲线的标准方程为－y2＝1. 5.已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，O为坐标原点，则｜ON｜＝　1或9　. 解析：设双曲线的另一个焦点为F2，连接PF2（图略）.易得ON是△PF1F2的中位线，所以｜ON｜＝｜PF2｜.因为｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝8，｜PF1｜＝10，所以｜PF2｜＝2或｜PF2｜＝18，故｜ON｜＝1或｜ON｜＝9. 1.设动点P到A（－5，0）的距离与它到B（5，0）距离的差等于6，则P点的轨迹方程是（　　） A.－＝1　　 　　B.－＝1 C.－＝1（x≤－3） D.－＝1（x≥3） 解析：D　由题意知，P点的轨迹应为以A（－5，0），B（5，0）为焦点的双曲线的右支.由c＝5，a＝3，知b2＝16，∴P点的轨迹方程为－＝1（x≥3）. 2.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为（　　） A. B. C. D.（，0） 解析：B　将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，∴c＝，故右焦点的坐标为. 3.已知F1，F2是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，点P在C上，且PF2⊥x轴，则∠PF1F2＝（　　） A.　　　B. C.　　　D. 解析：A　由题意得a＝1，b＝，c＝，当x＝时，y＝±2，故｜PF2｜＝2.｜F1F2｜＝2，所以tan∠PF1F2＝＝，又∠PF1F2∈（0，），所以∠PF1F2＝.故选A. 4.已知两定点F1（－3，0），F2（3，0），在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中，是双曲线的是（　　） A.｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝5 B.｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝6 C.｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝7 D.｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝0 解析：A　对于选项A，因为｜F1F2｜＝6，所以｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝5＜｜F1F2｜，故动点P的轨迹是双曲线；对于选项B，因为｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝6＝｜F1F2｜，所以动点P的轨迹是以F1为端点向左延伸和以F2为端点向右延伸的两条射线；对于选项C，因为｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝7＞｜F1F2｜，所以动点P的轨迹不存在；对于选项D，因为｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝0，所以｜PF1｜＝｜PF2｜，根据线段垂直平分线的性质可知，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 5.〔多选〕已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断正确的是（　　） A.当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆 B.当t＞4或t＜1时， 曲线C表示双曲线 C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜ D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4 解析：BCD　A错误，当t＝时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则（4－t）（t－1）＜0，∴t＜1或t＞4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t＞t－1＞0，∴1＜t＜；D正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则∴t＞4. 6.〔多选〕已知A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒，若声速为340米/秒，则下列说法正确的是（　　） A.爆炸点在以A，B为焦点的椭圆上 B.爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上 C.若B监测点的声强是A监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到B监测点的距离为米 D.若B监测点的声强是A监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到B监测点的距离为680米 解析：BD　依题意，A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒，设爆炸点为C，则｜CA｜－｜CB｜＝340×2＝680＜800，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上，所以A选项错误，B选项正确；若B监测点的声强是A监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），所以＝4，即｜CA｜＝2｜CB｜，结合｜CA｜－｜CB｜＝680，可得｜CB｜＝680.所以C选项错误，D选项正确.故选B、D. 7.若曲线C：mx2＋（2－m）y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为　（2，＋∞）　. 解析：由曲线C：mx2＋（2－m）y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，可得－＝1，即有m＞0，且m－2＞0，解得m＞2. 8.已知动点M与两定点A（－1，0），B（1，0）构成△MAB，且直线MA，MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C，则轨迹C的方程为　x2－＝1（y≠0）　. 解析：设点M的坐标为（x，y），当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；当x＝1时，直线MB的斜率不存在.于是x≠1且x≠－1.此时，直线MA的斜率为，直线MB的斜率为.由题意有·＝4，化简得x2－＝1，因为x≠1且x≠－1，即y≠0，所以轨迹C的方程为x2－＝1（y≠0）. 9.双曲线－＝1（a＞0）的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8，M是双曲线上的一点，且｜MF1｜＝5，则｜MF2｜＝　9　. 解析：由题意得，2c＝8，可得c＝4，所以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解得a＝2，｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a＝4，所以｜5－｜MF2｜｜＝4，解得｜MF2｜＝1或｜MF2｜＝9，当｜MF2｜＝1时，｜MF1｜＋｜MF2｜＝6＜8，不满足题意，故舍去；当｜MF2｜＝9时，｜MF1｜＋｜MF2｜＝14＞8，满足题意，所以｜MF2｜＝9. 10.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点坐标为F1（－，0），F2（，0），且经过点P（5，2）； （2）焦点在坐标轴上，经过点（－2，），（－2，2）. 解：（1）因为双曲线的焦点坐标为F1（－，0），F2（，0），且经过点P（5，2），则有2a＝｜PF1｜－｜PF2｜＝－ ＝－ ＝－＝2，解得a＝，又c＝， 则b2＝c2－a2＝1，所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1. （2）依题意，设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0）， 于是得解得m＝，n＝－， 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 11.若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点F1，F2的距离之比为2∶1，且存在△PF1F2，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.x2－＝1 D.x2－y2＝1 解析：D　假设｜PF1｜＝2｜PF2｜，若曲线是椭圆，则｜PF1｜＋｜PF2｜＝2｜PF2｜＋｜PF2｜＝3｜PF2｜＝2a，即｜PF1｜＝，｜PF2｜＝；若曲线是双曲线，则｜PF1｜－｜PF2｜＝2｜PF2｜－｜PF2｜＝｜PF2｜＝2a，即｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a.可以验证，对于选项A、B、C，满足上述数量关系的｜PF1｜，｜PF2｜，｜F1F2｜不能构成△PF1F2，只有选项D，由于a＝1，c＝，所以｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，｜F1F2｜＝2，可以构成三角形，即存在“Ω点”的曲线是x2－y2＝1. 12.〔多选〕已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的一点，∠PF1F2＝30°，I是△PF1F2的内心，则下列结论正确的是（　　） A.△PF1F2是直角三角形 B.点I的横坐标为1 C.｜PI｜＝2－2 D.△PF1F2的内切圆的面积为π 解析：ABC　由已知可得，｜PF1｜－｜PF2｜＝2，｜F1F2｜＝2，设｜PF2｜＝x，｜PF1｜＝x＋2，则cos∠PF1F2＝＝，得x＝2，所以｜PF2｜＝2，｜PF1｜＝4，即｜PF2｜2＋｜F1F2｜2＝｜PF1｜2，所以PF2⊥F1F2，所以A正确；设内切圆半径为r，则·（｜PF1｜＋｜PF2｜＋｜F1F2｜）·r＝·｜PF2｜·｜F1F2｜，得r＝－1，所以点I的横坐标为－（－1）＝1，内切圆的面积为S＝π·（－1）2＝（4－2）π，所以B正确，D错误；不妨设点P在第一象限，则P（，2），I（1，－1），所以｜PI｜＝＝2（－1）＝2－2，所以C正确.故选A、B、C. 13.〔一题多解〕与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点（3，2）的双曲线的标准方程是　－＝1　. 解析：法一　∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20，①.∵双曲线经过点（3，2），∴－＝1，②.由①②得a2＝12，b2＝8，故双曲线的标准方程为－＝1. 法二　设所求双曲线的方程为－＝1（－4＜λ＜16）.∵双曲线过点（3，2），∴－＝1，解得λ＝4.故双曲线的标准方程为－＝1. 14.（2026·南京质检）在一次军事演习中，某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵（此时舰艇可视作静止的点），如图中的点A，B，C，且OA＝OB＝OC＝3，假设敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒（注：v0为信号传播速度），C处舰艇保持静默. （1）建立适当的坐标系，并求敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程； （2）在A，B两处的舰艇对敌舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到敌舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的最小距离是多少？ 解：（1）如图，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设敌舰艇的位置为P（x，y），由题意可知｜PB｜－｜PA｜＝v0·＝4＜｜AB｜＝6. 由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支， 且2a＝4，c＝3，所以b＝.所以敌舰艇的轨迹方程为－＝1（x≤－2）. （2）设方程－＝1（x≤－2）上一点M（x0，y0）， 由题意知－＝1（x0≤－2）， 即＝4＋，又C（0，3）， 所以｜MC｜＝ ＝ ＝ ＝（y0∈R）， 所以当y0＝时，｜MC｜min＝2，即无人机飞行的最小距离是2. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $