1.1.5&1.1.6 第1课时 两直线的交点坐标与两点间的距离公式(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦两直线交点坐标与两点间距离公式，通过解方程组判断直线位置关系（相交、平行、重合），推导两点间距离公式及特殊情况，衔接直线方程的代数表示，为后续距离问题构建学习支架。 资料以公交站点选址情境引入，通过“想一想”引导数学抽象与推理，题型设计一题多解、母题探究，培养数学运算能力。课中助教师引导学生从具体到抽象，课后练习题与变式题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第一课时　两直线的交点坐标与两点间的距离公式 课标 要求 1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标（数学抽象）. 2.探索并掌握两点间的距离公式（数学运算）. 　　在平面几何中，我们对直线作了定性研究.引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式.这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等. 【问题】　在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区的住户出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　两条直线的交点坐标 　直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点个数 一个 　无数个　 零个 直线l1与l2的位置关系 　相交　 重合 　平行　 【想一想】 1.仅用直线的斜率能判断两条直线的位置关系吗？ 提示：不能. 2.两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解是这两条直线的交点坐标吗？ 提示：是. 知识点二　两点间的距离公式 1.公式：点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式｜AB｜＝　　. 2.文字叙述：平面内两点的距离等于这两点间的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根. 提醒：（1）两点间的距离公式与两点的先后顺序无关；（2）当直线P1P2平行于x轴时，｜P1P2｜＝｜x2－x1｜；当直线P1P2平行于y轴时，｜P1P2｜＝｜y2－y1｜；当点P1，P2中有一个是原点时，｜P1P2｜＝. 【想一想】 1.如何用向量法求平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离？ 提示：因为＝（x2－x1，y2－y1），所以｜｜＝. 2.你能利用P1（x1，y1），P2（x2，y2）构造直角三角形，再用勾股定理求P1，P2两点间的距离吗？ 提示：如图，在Rt△P1QP2中，｜P1P2｜2＝｜P1Q｜2＋｜QP2｜2，所以｜P1P2｜＝. 1.直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是（　　） A.（2，2） B.（1，1） C.（1，2） D.（2，1） 解析：C　由得交点坐标为（1，2），故选C. 2.已知A（3，7），B（2，5），则A，B两点间的距离为（　　） A.5 B. C.3 D. 解析：B　由平面内两点间的距离公式可知｜AB｜＝＝. 3.已知A（1，2），B（a，6），且｜AB｜＝5，则a的值为　－2或4　. 解析：由｜AB｜＝＝5，解得a＝4或－2. 4.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为　（2，3）　. 解析：联立解得∴两条直线的交点坐标为（2，3）. 题型一　两条直线的交点问题 角度1　两条直线相交的判定和求交点坐标 判断下列各对直线的位置关系.如果直线相交，求出交点的坐标： （1）l1：2x－y＝7和l2：3x－4y＝18； （2）l1：2x－3y＋6＝0和l2：4x－6y＋1＝0； （3）l1：2x＋3y－3＝0和l2：y＝1－x. 解：（1）解方程组得 所以直线l1和l2相交，交点坐标为（2，－3）. （2）解方程组无解，所以直线l1和l2没有公共点，即l1∥l2. （3）l1：2x＋3y－3＝0即l1：y＝－x＋1， 与l2：y＝1－x为同一个方程，即l1与l2表示同一条直线，所以l1与l2重合. 通性通法 两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交； 方法二：两条直线斜率都存在且不相等或两条直线中一条斜率存在另一条斜率不存在. 角度2　求过两直线交点的直线方程 〔一题多解〕已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点P，且垂直于直线x＋y－2＝0，则直线l的方程为　x－y－1＝0　. 解析：法一　由得即点P的坐标为（2，1），因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，所以直线l的斜率为1，由点斜式得直线l的方程为y－1＝1×（x－2），即x－y－1＝0. 法二　由得即点P的坐标为（2，1），因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，所以可设直线l的方程为x－y＋C＝0，把点P的坐标代入得2－1＋C＝0，解得C＝－1.故直线l的方程为x－y－1＝0. 法三　直线l的方程可设为2x－y－3＋λ（4x－3y－5）＝0（其中λ为常数），即（2＋4λ）x－（1＋3λ）y－5λ－3＝0，因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，所以·（－1）＝－1，解得λ＝－1.故直线l的方程为x－y－1＝0. 通性通法 过两条直线交点的直线方程的求法 （1）常规解法（方程组法）：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程； （2）特殊解法（直线系法）：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程. 1.若直线l1：x＋ay－4＝0与直线l2：bx－y＋5＝0的交点坐标是P（2，1），则a＝　2　，b＝　－2　. 解析：将P（2，1）分别代入直线l1：x＋ay－4＝0与l2：bx－y＋5＝0的方程可得a＝2，b＝－2. 2.已知三条直线mx＋2y＋7＝0，y＝14－4x和2x－3y＝14相交于一点，则m的值为　－　. 解析：解方程组得所以这两条直线的交点坐标为（4，－2）.由题意知点（4，－2）在直线mx＋2y＋7＝0上，将（4，－2）代入，得4m＋2×（－2）＋7＝0，解得m＝－. 题型二　两点间的距离公式 〔一题多解〕已知△ABC的三个顶点分别为A（－3，1），B（3，－3），C（1，7），试判断△ABC的形状. 解：法一　根据两点间的距离公式得， ｜AB｜＝＝2， ｜AC｜＝＝2， ｜BC｜＝＝2， ∴｜AB｜2＋｜AC｜2＝｜BC｜2，且｜AB｜＝｜AC｜， ∴△ABC是等腰直角三角形. 法二　∵kAC＝＝，kAB＝＝－， 则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又∵｜AC｜＝＝2， ｜AB｜＝＝2， ∴｜AC｜＝｜AB｜，∴△ABC是等腰直角三角形. 【母题探究】 1.（变设问）本例条件不变，求BC边上的中线AM的长. 解：设点M的坐标为（x，y），因为点M为BC的中点，所以x＝＝2，y＝＝2，即点M的坐标为（2，2）.由两点间的距离公式得｜AM｜＝＝，所以BC边上的中线AM的长为. 2.（变条件）若本例中的条件变为“A（－2，－1），B（－4，－3），C（0，－5）”其结论又如何？ 解：根据两点间的距离公式得， ｜AB｜＝＝2， ｜AC｜＝＝2， ｜BC｜＝＝2， ∴｜AC｜＝｜BC｜. 又∵A，B，C三点不共线，∴△ABC是等腰三角形. 通性通法 平面上两点间距离公式的应用 （1）已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解； （2）已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形. 1.已知点A（－3，4），B（2，），在x轴上找一点P，使｜PA｜＝｜PB｜，并求｜PA｜的值. 解：设点P的坐标为（x，0），则有 ｜PA｜＝＝， ｜PB｜＝＝. 由｜PA｜＝｜PB｜，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－. 故所求点P的坐标为. ｜PA｜＝＝. 2.在已知直线2x－y＝0上存在一点P，使它到点M（5，8）的距离为5，则直线PM的方程为　4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0　. 解析：∵点P在直线2x－y＝0上，∴可设P点坐标为（a，2a），∴＝5，即5a2－42a＋64＝0，解得a＝2或a＝，∴点P的坐标为（2，4）或（，）.∴直线PM的方程为＝或＝，即4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0. 题型三　直线恒过定点问题 〔一题多解〕求证：不论λ为何实数，直线（λ＋2）x－（λ－1）y＝－6λ－3都恒过一定点. 证明：法一（特殊值法）　取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，取λ＝1，得到直线l2：x＝－3， 故l1与l2的交点为P（－3，3）. 将点P（－3，3）代入方程左边， 得（λ＋2）×（－3）－（λ－1）×3＝－6λ－3，等于右边， ∴点（－3，3）在直线（λ＋2）x－（λ－1）y＝－6λ－3上. ∴直线（λ＋2）x－（λ－1）y＝－6λ－3恒过定点（－3，3）. 法二（分离参数法）　由（λ＋2）x－（λ－1）y＝－6λ－3， 整理得（2x＋y＋3）＋λ（x－y＋6）＝0. 则直线（λ＋2）x－（λ－1）y＝－6λ－3恒过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点. 由方程组得 ∴直线（λ＋2）x－（λ－1）y＝－6λ－3恒过定点（－3，3）. 通性通法 解直线（直线方程中含有参数）过定点问题的方法 （1）任给直线方程中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是直线（直线方程中含有参数）所过的定点，从而问题得解； （2）分项整理，将直线方程化为f（x，y）＋λg（x，y）＝0的形式，则方程组的解即所求定点的坐标. 若a＋b＋c＝0，且a，b不同时为0，求证：直线ax＋by＋c＝0必过一个定点. 证明：因为a＋b＋c＝0，且a，b不同时为0， 不妨设b≠0，则a＝－（b＋c）. 代入直线方程ax＋by＋c＝0，得－（b＋c）x＋by＋c＝0，即（x－y）＋（x－1）＝0， 此方程可视为过直线x－y＝0与x－1＝0的交点的直线系方程（不包括直线x－1＝0）. 解方程组得即两条直线的交点的坐标为（1，1）. 故直线ax＋by＋c＝0必过定点（1，1）. 1.直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k＝（　　） A.－24 B.24 C.6 D.±6 解析：A　因为直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，可设交点坐标为（a，0），所以解得故选A. 2.已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），若A，B，C是△ABC的三个顶点，则△ABC是（　　） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析：B　因为｜AB｜＝＝2，｜AC｜＝＝2，｜BC｜＝＝2，所以｜AC｜＝｜BC｜＞｜AB｜，△ABC为等腰三角形. 3.〔多选〕直线x＋y－1＝0上与点P（－2，3）的距离等于的点的坐标可能是（　　） A.（－4，5）　B.（－3，4） C.（－1，2）　D.（0，1） 解析：BC　设所求点的坐标为（x0，y0），有x0＋y0－1＝0，且＝，两式联立解得或 4.若a＋2b＋3c＝0，且a，b不同时为0，则直线ax＋by＋c＝0必过定点　（，）　. 解析：由a＋2b＋3c＝0得，a＋b＋c＝0，所以点（，）满足方程ax＋by＋c＝0，所以直线ax＋by＋c＝0过点（，）. 1.已知直线l1：x＋2y－5＝0，直线l2：3x－y－1＝0的交点为A，O为坐标原点，则点A到原点的距离为（　　） A.1 B.2 C. D. 解析：C　解方程组得即A（1，2），而O为坐标原点，则｜AO｜＝＝，所以点A到原点的距离为. 2.直线y＝kx－k＋e恒过定点A，则A点的坐标为（　　） A.（1，2） B.（2，2） C.（1，e） D.（e，1） 解析：C　直线y＝kx－k＋e＝k（x－1）＋e，令x＝1，则y＝e，则直线y＝kx－k＋e恒过定点A（1，e）.故选C. 3.过点A（4，a）和点B（5，b）的直线与y＝x＋m平行，则｜AB｜＝（　　） A.6 B. C.2 D.不能确定 解析：B　由kAB＝1，得＝1，∴b－a＝1.∴｜AB｜＝ ＝＝. 4.已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点为（－2，－3），则点P（x，y）到原点的距离是（　　） A.2 B.4 C.5 D. 解析：D　根据中点坐标公式得到＝1且＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为（4，1），则点P（x，y）到原点的距离d＝＝. 5.已知直线l：2x＋y－2＝0，直线m：x＋ky＋1＝0.若直线l与m的交点在第一象限，则实数k的取值范围为（　　） A.（－∞，－） B.（0，2） C.（－，0） D.（－∞，－）∪（0，＋∞） 解析：A　∵直线l：2x＋y－2＝0，直线m：x＋ky＋1＝0相交，∴2k－1≠0，即k≠.联立解得又直线l与m的交点在第一象限，∴解得k＜－.故选A. 6.〔多选〕对于，下列说法正确的是（　　） A.可看作点（x，0）与点（1，2）的距离 B.可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离 C.可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离 D.可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离 解析：BCD　＝＝＝，可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离，也可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离，或者可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离，故B、C、D正确. 7.〔多选〕已知直线l1：3x＋y－1＝0与l2：x＋2y－7＝0，则下列说法正确的是（　　） A.l1的倾斜角是锐角 B.l1与l2的交点坐标是（－1，4） C.l1，l2与x轴围成的三角形的面积是 D.过l1与l2的交点与l1垂直的直线方程为x－3y＋13＝0 解析：BCD　直线l1的斜率k1＝－3＜0，所以l1的倾斜角是钝角，所以A错误；联立3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0解得交点坐标为（－1，4），所以B正确；结合图形（图略）得直线l1，l2与x轴围成的三角形的面积S＝×（7－）×4＝，所以C正确；因为所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，所以所求直线的斜率为，由点斜式得y－4＝（x＋1），即x－3y＋13＝0，所以D正确.故选B、C、D. 8.已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为　　. 解析：设点A（a，2a－1），点B（b，2b－1），因为｜a－b｜＝，所以｜AB｜＝＝｜a－b｜＝. 9.已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P（2，3），则过两点Q（a1，b1），P（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程为　2x＋3y＋1＝0　. 解析：因为两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P（2，3），所以2a1＋3b1＋1＝0且2a2＋3b2＋1＝0，所以Q（a1，b1），P（a2，b2）（a1≠a2）在直线2x＋3y＋1＝0上，所以过两点Q（a1，b1），P（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程为2x＋3y＋1＝0. 10.已知直线l：（m－2）x－（m＋1）y＋3m＝0（m∈R），直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0. （1）求证：直线l恒过定点； （2）设（1）中的定点为P，l与l1，l2的交点分别为A，B，若P恰为AB的中点，求m. 解：（1）证明：（m－2）x－（m＋1）y＋3m＝0可化为m（x－y＋3）－（2x＋y）＝0， 由于m∈R，则解得 即直线l恒过定点（－1，2）. 所以直线l恒过定点. （2）由（1）知P（－1，2），不妨设A（x0，y0）， 因为P恰为AB的中点，所以B（－2－x0，4－y0）. 因为A，B分别在直线l1和直线l2上， 所以 解得所以A（－2，5）. 将A（－2，5）代入直线l的方程，解得m＝－. 所以m的值为－. 11.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、垂心、重心在一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A（2，0），B（1，2），且｜AC｜＝｜BC｜，则△ABC的欧拉线的方程为（　　） A.x－2y－4＝0 B.2x＋y－4＝0 C.4x＋2y＋1＝0 D.2x－4y＋1＝0 解析：D　由题设，可得kAB＝＝－2，且AB的中点为，所以AB垂直平分线的斜率k＝－＝，故AB边上的垂直平分线方程为y＝＋1＝＋，因为｜AC｜＝｜BC｜，则△ABC的外心、重心、垂心都在线段AB的垂直平分线上，所以△ABC的欧拉线的方程为2x－4y＋1＝0.故选D. 12.〔多选〕平面上三条直线x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0，若这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k的值为（　　） A.－2　　　B.－1 C.0　　　D.1 解析：ABC　因为平面上三条直线x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0将平面划分为六个部分，所以直线x＋ky＝0与直线x－2y＋1＝0平行或直线x＋ky＝0与直线x－1＝0平行或直线x＋ky＝0经过直线x－2y＋1＝0与直线x－1＝0的交点（1，1）.当直线x＋ky＝0与直线x－2y＋1＝0平行时，可得k＝－2.当直线x＋ky＝0与直线x－1＝0平行时，可得k＝0.当直线x＋ky＝0经过直线x－2y＋1＝0与直线x－1＝0的交点（1，1）时，1＋k＝0，解得k＝－1.所以k＝－2或k＝0或k＝－1.故选A、B、C. 13.（2026·周口月考）已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能构成三角形，则满足条件的实数a＝　－1或或－2　. 解析：由题意可得，①当l3∥l1时，不能构成三角形，此时a×（－2）＝1×2，且a×4≠1×（－6），解得a＝－1；②当l3∥l2时，不能构成三角形，此时a×3＝4×2，且a×5≠4×（－6），解得a＝；③当l3过l1与l2的交点时，不能构成三角形，此时联立l1与l2的方程，得解得所以l1与l2过点（－2，1），将（－2，1）代入ax＋2y－6＝0得a×（－2）＋2×1－6＝0，解得a＝－2.综上，当a＝－1，，－2时，不能构成三角形. 14.已知△ABC的顶点B（3，4），AB边上的高所在的直线方程为x＋y－3＝0，E为BC的中点，且AE所在的直线方程为x＋3y－7＝0. （1）求顶点A的坐标； （2）求过点E且在x轴，y轴上的截距相等的直线l的方程. 解：（1）由已知得kAB＝1，∴直线AB的方程为y－4＝x－3，即x－y＋1＝0. 由解得 ∴顶点A的坐标为（1，2）. （2）设E（x0，y0），则C（2x0－3，2y0－4）， 则 解得∴E（4，1）. ∵直线l在x轴，y轴上的截距相等， ∴当直线l经过原点时，设直线l的方程为y＝kx，把点E（4，1）代入，得1＝4k，解得k＝，此时直线l的方程为x－4y＝0； 当直线l不经过原点时，设直线l的方程为＋＝1，把点E（4，1）代入，得＋＝1，解得a＝5，此时直线l的方程为x＋y－5＝0. ∴直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $