1.1.5 两直线的交点坐标+1.1.6 平面直角坐标系中的距离公式 讲义-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学中两直线的交点坐标、平面直角坐标系中的距离公式（含两点间、点到直线及平行线间距离）及对称问题（点与直线的对称），构建从基础计算到综合应用的递进式学习支架，帮助学生系统梳理知识脉络。 资料通过例题与变式训练结合，覆盖选择、填空、解答题，注重基础巩固与综合提升。以三角形形状判断、光线反射等问题为载体，培养学生运算能力与推理意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用与数学语言表达。

1.5-两直线的交点坐标 BS 1.6-平面直角坐标系中的距离公式 BS 考点一 直线的交点坐标 【例1】如果直线经过直线与直线的交点，那么b的值等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】由，解得，所以，．故选：D． 【例2】直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．且 【答案】D 【详解】由直线与直线相交，得， 即，解得且， 所以实数k的值为且. 故选：D 变式训练： 1．直线经过原点，且经过另两条直线，的交点，则直线的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立方程，解得： 所以两直线的交点为，所以直线的斜率为， 则直线的方程为：，即.故选：B 2．直线和的交点在y轴上，则k的值为( ) A．-24 B．6 C． D．-6 【答案】C 【解析】因为两条直线和的交点在轴上，所以设交点为， 所以，消去，可得．故选：． 3．经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为( ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】设直线方程为，即 令，得，令，得.由，得或. 所以直线方程为或.故选：C. 4．过两直线：，：的交点且与平行的直线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】两直线：，：的交点为 解得，即； 设与平行的直线方程为则解得 所求的直线方程为.故选：D 5.已知两条直线，则下列结论不正确的是（    ） A．当时， B．若，则或 C．当时，与相交于点 D．直线过定点 【答案】B 【详解】因为， 对于A：当时，，则、， 所以，所以，故A正确； 对于B：若，则，解得或，当时，满足题意， 当时，，与重合，故舍去， 所以，故B错误； 对于C：当时，， 则，解得，即两直线的交点为，故C正确； 对于D：，即， 令，即，即直线过定点，故D正确. 故选：B. 6．经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知：，解得：，交点. 直线的斜率为，所求直线斜率为. 所求直线为：，即. 故选：B. 7．已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． (1)求直线的方程； (2)已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由直线的方程为，，可得直线的斜率为， 又在轴上的截距为， 所以直线的方程为. （2）联立，解得， 因为直线在轴上截距是在轴上的截距的2倍，且过点， 当直线过原点时，方程为：， 当直线不过原点时，设方程为，， 则，解得， 故方程为，即； 综上所述：的方程为或. 考点二 坐标系中的距离公式应用 【例1】(1)已知点，的距离是17 ，则a的值是( ) A．8 B．6 C．±8 D．±6 (2)原点到直线的距离为( ) A． B． C． D． (3)直线与直线平行，则它们的距离为( ) A． B． C． D． 【答案】(1)C(2)D(3)B 【解析】(1)，即，.故选：C (2)由点到直线距离可知所求距离.故选：. (3)直线，即，与直线平行， ，根据两条平行直线之间的距离公式 得.故选：B. 【例2】已知直线：，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【详解】直线：，即， 由，得到，所以直线过定点， 当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为， 故选：B. 典例： 1．（多选）已知点，到直线的距离相等，且过点，则的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由已知直线与平行或经过的中点． 当直线与AB平行时，由，可得直线的斜率为：， 所以由点斜式直线的方程为：，整理得； 由，可知其中点坐标为， 当直线经过的中点和点时， 由两点式可得直线方程：，整理得直线方程为． 故选：BD． 2．曲线：上到直线距离最短的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设曲线：上的点的坐标为，， 则点到直线的距离， 当且仅当，即时，等号成立，此时点的坐标为. 故选：B. 3．直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设与的交点坐标为，与的交点坐标为， ，即，， 由中点坐标公式得，， 即，解得，所以，， 则直线的方程为，即. 故选：C 变式训练： 1.求下列两点之间的距离 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）4 （2） （3）5 （4） 2．已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为（    ） A． B． C．或 D．1或 【答案】C 【详解】因为点与点之间的距离为5， 可得， 整理得，即，解得或．故选：C. 3．过点和的直线与直线平行，则的值为_______． 【答案】 【解析】直线的斜率为1，过点和的直线与直线平行 所以，即所以故答案为： 4.已知点，则△ABC的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 所以，即， 所以的面积为. 故选：A. 5.已知△ABC三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断△ABC的形状； (2)求△ABC边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1)是以为直角的等腰直角三角形 (2) 【详解】（1）因为，，， 所以的斜率，， 的斜率，， 则， 所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形； （2）易求中点坐标，所以直线的斜率， 边上的中线为，化为一般式为． 6.点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 7.点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 8.点到直线的距离为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 ，答案为B 9、点到直线l：的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点到直线l：的距离为. 故选：A 10、若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 【答案】或 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以解得：或 故答案为：或 11．若点在直线上，为坐标原点，则的最小值是（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】∵点在直线上，O为坐标原点， 的最小值是点O到直线的距离．故选：B． 12.若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：把直线的方程化为， 由方程组 解得 所以直线恒过定点， 其中直线不包括直线． 又， 且当与直线垂直时，点到直线的距离为， 所以点到直线的距离满足， 故答案为：． 13.两平行直线与的距离是______. 【答案】 【解析】方程化为，所以所求距离为． 故答案为：． 14.已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为和互相平行， 所以，解得. 直线可以转化为， 由两条平行直线间的距离公式可得. 故选：D 15.两平行直线之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】直线可化为， 直线可化为， 所以两平行直线之间的距离为. 故选：A. 16．若两条平行直线与之间的距离是，则m+n=( ) A．0 B．1 C．-2 D．-1 【答案】C 【解析】由，得，解得，即直线， 两直线之间的距离为，解得 (舍去)，所以故答案选C. 17.已知直线和互相平行，则它们之间的距离是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵直线和互相平行，则， 将直线的方程化为， 则两条平行直线之间的距离，＝＝＝.故选：D． 18.到直线的距离等于的直线方程为(　　) A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】因为所求与直线的距离为，所以可得所求直线与已知直线平行， 设所求直线方程为，，解得或， 故所求直线方程为或.故选：D. 19.（多选）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 【答案】AD 【详解】两条直线，的方程分别为与，它们不重合， 若，则，得，检验符合，故A选项正确； 若，由A选项可知，：，直线的方程可化为， 故两条平行直线之间的距离为，故B选项不正确； 若，则，得，故C选项不正确； 由A选项知，当时，，所以若，则直线，一定相交，故D选项正确. 故选：AD. 考点三 对称问题 【例1】(1)若点P(3，4)和点Q(a，b)关于直线对称，则( ) A．， B．， C．， D．， (2)直线y＝4x﹣5关于点P(2，1)对称的直线方程是( ) A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9 【答案】(1)A(2)C 【解析】(1)由，解得，故选A． (2)设直线上的点关于点的对称点的坐标为， 所以，，所以，， 将其代入直线中，得到，化简得，故选：C． 【例2】求直线关于直线对称的直线的方程． 【答案】 【详解】解法一：由，得两直线的交点， 在直线上取一点，设点M关于直线l的对称点为， 则，解得，由题意知经过此点， 则由两点式得，即， 所以的方程为． 典例： 1．若直线与直线关于直线对称，则直线一定过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知直线恒过点，所以可得直线一定过关于直线的对称点； 设对称点坐标为，可得，解得， 即直线一定过定点. 故选：C 2．已知直线．若直线与关于l对称，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：若直线与关于l对称，则直线，l的交点在直线上， 即，解得： 在直线上任取一点关于直线l对称的点为，则点B在直线上， 由A,B两点可知，直线的斜率为，则直线的方程为： 即 故选：C 3．（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 4．的顶点，边上的中线所在的直线为，的平分线所在直线方程为，求边所在直线的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由，得，所以点的坐标为， 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以， 因为点在直线上， 所以直线的方程为，即， 设点的坐标为，则的中点坐标为， 所以，解得， 所以点的坐标为， 所以，所以边所在直线的方程为，即，故选：B 变式训练： 1．已知点与点关于直线对称，则点的坐标为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设,则，选D. 2．点关于直线对称的点´的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点，则线段的中点为， 又点在直线上， 所以 因为直线，，所以 .联立，解得，.故选C. 3．如果关于直线的对称点为，则直线的方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为已知点关于直线的对称点为，故直线为线段的中垂线， 求得的中点坐标为，的斜率为，故直线的斜率为， 故直线的方程为，即.故选：A. 4.一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得反射光线所在直线经过点， 设点关于x轴的对称点为， 则根据反射定律，点在反射光线所在直线上， 故反射光线所在直线的方程为 ，即， 故选：A． 5.已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（    ） A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 【答案】B 【详解】对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确； 对于B，直线的斜率为，故B错误； 对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3    ，故C正确； 对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确. 故选：B. 6.一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 【答案】 【详解】设关于的对称点， 则有，解得，即， 反射光线所在直线为：， 整理得：. 故答案为： 7．直线关于直线对称的直线方程是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，直线与直线的交点为，直线的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数．直线的斜率为2，故所求直线的斜率为，所以所求直线方程是，即．选C. 8．已知直线l：x＋2y－2＝0. (1)求直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程； (2)求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程． 【答案】(1)7x－y－14＝0；(2)x＋2y－4＝0. 【解析】(1)由解得交点P(2,0)． 在l1上取点M(0，－2)， M关于l的对称点设为N(a，b)， 则, 解得，所以， 又直线l2过点P(2,0)， 所以直线l2的方程为7x－y－14＝0. (2)直线l关于点A(1,1)对称的直线和直线l平行， 所以设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0. 在l上取点B(0,1)，则点B(0,1)关于点A(1,1)的对称点C(2,1)必在所求的直线上， 所以,所以m＝－4， 即所求的直线方程为x＋2y－4＝0. 9.已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 10.已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 11．若直线与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2). 12．（多选）已知直线：，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．点到直线的最大距离为 D．直线一定经过第四象限 【答案】ABC 【详解】对于A，由直线，可得， 联立方程组，解得，所以直线过定点，所以A正确； 对于B，当时，直线， 在直线上取两点，则点关于轴对称的点， 点关于轴对称的点， 所以关于轴对称直线为，即，所以B正确； 对于C，由A项知直线过定点， 则当直线时，点到直线的距离最大， 最大距离为，所以C正确； 对于D， 直线不一定经过第四象限，比如：当时，直线：不经过第四象限，所以D错误.   故选：ABC. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5-两直线的交点坐标 BS 1.6-平面直角坐标系中的距离公式 BS 目录 考点一 直线的交点坐标 2 考点二 坐标系中的距离公式应用 4 考点三 对称问题 8 考点一 直线的交点坐标 【例1】如果直线经过直线与直线的交点，那么b的值等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．且 变式训练： 1．直线经过原点，且经过另两条直线，的交点，则直线的方程为( ) A． B． C． D． 2．直线和的交点在y轴上，则k的值为( ) A．-24 B．6 C． D．-6 3．经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为( ) A． B． C．或 D．或 4．过两直线：，：的交点且与平行的直线方程为( ) A． B． C． D． 5.已知两条直线，则下列结论不正确的是（    ） A．当时， B．若，则或 C．当时，与相交于点 D．直线过定点 6．经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． (1)求直线的方程； (2)已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 考点二 坐标系中的距离公式应用 【例1】(1)已知点，的距离是17 ，则a的值是( ) A．8 B．6 C．±8 D．±6 (2)原点到直线的距离为( ) A． B． C． D． (3)直线与直线平行，则它们的距离为( ) A． B． C． D． 【例2】已知直线：，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 典例： 1．（多选）已知点，到直线的距离相等，且过点，则的方程可能是（   ） A． B． C． D． 2．曲线：上到直线距离最短的点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 变式训练： 1.求下列两点之间的距离 （1） （2） （3） （4） 2．已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为（    ） A． B． C．或 D．1或 3．过点和的直线与直线平行，则的值为_______． 4.已知点，则△ABC的面积为（ ） A． B． C． D． 5.已知△ABC三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断△ABC的形状； (2)求△ABC边上的中线所在直线的方程. 6.点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 7.点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 8.点到直线的距离为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 9、点到直线l：的距离为（    ） A． B． C． D． 10、若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 11．若点在直线上，为坐标原点，则的最小值是（　　） A． B． C． D．2 12.若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 13.两平行直线与的距离是______. 14.已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（    ） A．4 B． C． D． 15.两平行直线之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 16．若两条平行直线与之间的距离是，则m+n=( ) A．0 B．1 C．-2 D．-1 17.已知直线和互相平行，则它们之间的距离是( ) A． B． C． D． 18.到直线的距离等于的直线方程为(　　) A． B． C．或 D．或 19.（多选）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 考点三 对称问题 【例1】(1)若点P(3，4)和点Q(a，b)关于直线对称，则( ) A．， B．， C．， D．， (2)直线y＝4x﹣5关于点P(2，1)对称的直线方程是( ) A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9 【例2】求直线关于直线对称的直线的方程． 典例： 1．若直线与直线关于直线对称，则直线一定过定点（   ） A． B． C． D． 2．已知直线．若直线与关于l对称，则的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 4．的顶点，边上的中线所在的直线为，的平分线所在直线方程为，求边所在直线的方程（    ） A． B． C． D． 变式训练： 1．已知点与点关于直线对称，则点的坐标为( ) A． B． C． D． 2．点关于直线对称的点´的坐标是（ ） A． B． C． D． 3．如果关于直线的对称点为，则直线的方程是(　　) A． B． C． D． 4.一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 5.已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（    ） A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 6.一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 7．直线关于直线对称的直线方程是( ) A． B． C． D． 8．已知直线l：x＋2y－2＝0. (1)求直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程； (2)求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程． 9.已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 10.已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 11．若直线与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点( ) A． B． C． D． 12．（多选）已知直线：，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．点到直线的最大距离为 D．直线一定经过第四象限 1 学科网（北京）股份有限公司 $