1.5-1.6　第一课时　两直线的交点坐标与两点间的距离公式课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件核心内容为两直线的交点坐标与两点间的距离公式，课堂导入从平面几何中两直线平行、重合、相交的几何特征出发，通过问题引导学生思考解析几何中的代数特征，搭建从几何到代数的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于情境导入体现数学抽象，知识点用表格对比方程组解与直线位置关系，公式结合文字叙述及特殊情况提醒帮助理解，例题提供多种解法并设置变式训练提升数学运算和逻辑推理能力，通性通法总结助力学生形成解题策略。学生能提升抽象思维与运算能力，教师可获得系统的教学资源与方法参考。

第一课时　两直线的交点坐标与两点间的距离公式 新课程标准解读 核心素养 1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 数学抽象 2.探索并掌握两点间的距离公式 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　在平面几何中研究了两直线的位置关系，有且只有以下三种几何 特征：①平行；②重合；③相交. 【问题】　（1）在解析几何中，具有上述三种位置关系的直线，它 们的代数特征各是什么？ （2）如何求两直线相交时的交点坐标？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点一　两条直线的交点坐标 　直线 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0和直线 l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0的位置关 系如表所示： 一组 无数组 无解 直线 l1与 l2的公共点个数 一个 ⁠ 零个 直线 l1与 l2的位置关系 ⁠ 重合 ⁠ 无数个　 相交　 平行　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【想一想】 1. 仅用直线的斜率能判断两条直线的位置关系吗？ 提示：不能. 2. 两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解是这两条直线的交点 坐标吗？ 提示：是. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点二　两点间的距离公式   2. 文字叙述：平面内两点的距离等于这两点间的横坐标之差与纵坐标 之差的平方和的算术平方根. 提醒　（1）两点间的距离公式与两点的先后顺序无关；（2）当直 线 P1 P2平行于 x 轴时，｜ P1 P2｜＝｜ x2－ x1｜；当直线 P1 P2平行于 y 轴时，｜ P1 P2｜＝｜ y2－ y1｜；当点 P1， P2中有一个是原点 时，｜ P1 P2｜＝ . 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 直线 x ＝1和直线 y ＝2的交点坐标是（　　） A. （2，2） B. （1，1） C. （1，2） D. （2，1） 解析：　由得交点坐标为（1，2），故选C. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 已知 A （3，7）， B （2，5），则 A ， B 两点间的距离为（　　） A. 5 C. 3 解析：　由平面内两点间的距离公式可知｜ AB ｜＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 已知 A （1，2）， B （ a ，6），且｜ AB ｜＝5，则 a 的值为 ⁠ ⁠. 解析：由｜ AB ｜＝ ＝5，解得 a ＝4 或－2. －2或 4　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 　　 题型一 两条直线的交点问题 角度1　两条直线相交的判定和求交点坐标 【例1】　判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的 坐标： （1） l1：5 x ＋4 y －2＝0， l2：2 x ＋ y ＋2＝0； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：方程组得 所以 l1与 l2相交，且交点坐标为（－ ， ）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2） l1：2 x －6 y ＋3＝0， l2： y ＝ x ＋ ； 解：联立直线 l1与 l2的方程得方程组 ②×6，整理得2 x －6 y ＋3＝0，即方程②可以化为方程①，所以 l1与 l2重合. （3） l1： x ＋ y ＋2＝0， l2：2 x ＋2 y ＋3＝0. 解：联立直线 l1与 l2的方程得方程组 由①×2－②，可知该方程组无解.所以 l1与 l2无公共点，即 l1∥ l2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交； 方法二：两直线斜率都存在且不相等或两直线中一条斜率存在另一条 斜率不存在. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 角度2　求过两直线交点的直线方程 【例2】　已知直线 l 经过直线2 x － y －3＝0和4 x －3 y －5＝0的交点 P ，且垂直于直线 x ＋ y －2＝0，则直线 l 的方程为 ⁠. 解析：法一　由得即点 P 的坐标为（2， 1），因为直线 l 与直线 x ＋ y －2＝0垂直，所以直线 l 的斜率为1，由 点斜式得直线 l 的方程为 y －1＝1×（ x －2），即 x － y －1＝0. x － y －1＝0　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　由得即点 P 的坐标为（2，1），因 为直线 l 与直线 x ＋ y －2＝0垂直，所以可设直线 l 的方程为 x － y ＋ C ＝0，把点 P 的坐标代入得2－1＋ C ＝0，解得 C ＝－1.故直线 l 的方程 为 x － y －1＝0. 法三　直线 l 的方程可设为2 x － y －3＋λ（4 x －3 y －5）＝0（其中λ为 常数），即（2＋4λ） x －（1＋3λ） y －5λ－3＝0，因为直线 l 与直线 x ＋ y －2＝0垂直，所以 ·（－1）＝－1，解得λ＝－1.故直线 l 的方 程为 x － y －1＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 过两条直线交点的直线方程的求法 （1）常规解法（方程组法）：一般是先解方程组求出交点坐标，再 结合其他条件写出直线方程； （2）特殊解法（直线系法）：先设出过两直线交点的直线方程，再 结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： （1） l1：2 x ＋ y ＋3＝0， l2： x －2 y －1＝0； 解：解方程组得所以直线 l1与 l2相交，交点坐标为（－1，－1）. 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2） l1：2 x ＋ y ＋1＝0， l2：4 x ＋2 y ＋3＝0. 解：解方程组 ①×2－②，得－1＝0，矛盾，方程组无解.所以直线 l1与 l2无 公共点，即 l1∥ l2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 求过两直线 l1： x －3 y ＋4＝0和 l2：2 x ＋ y ＋5＝0的交点和原点的直 线方程. 解：设过两直线交点的直线系方程为 x －3 y ＋4＋λ（2 x ＋ y ＋5）＝ 0（λ为常数），代入原点坐标，求得λ＝－ ，故所求直线方程为 x －3 y ＋4－ （2 x ＋ y ＋5）＝0，即3 x ＋19 y ＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 两点间的距离公式 【例3】　已知△ ABC 的三个顶点分别为 A （－3，1）， B （3，－ 3）， C （1，7），试判断△ ABC 的形状. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：法一　根据两点间的距离公式得， ｜ AB ｜＝ ＝2 ， ｜ AC ｜＝ ＝2 ， ｜ BC ｜＝ ＝2 ， ∴｜ AB ｜2＋｜ AC ｜2＝｜ BC ｜2，且｜ AB ｜＝｜ AC ｜， ∴△ ABC 是等腰直角三角形. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　∵ kAC ＝ ＝ ， kAB ＝ ＝－ ， 则 kAC · kAB ＝－1，∴ AC ⊥ AB . 又∵｜ AC ｜＝ ＝2 ， ｜ AB ｜＝ ＝2 ， ∴｜ AC ｜＝｜ AB ｜，∴△ ABC 是等腰直角三角形. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. （变设问）本例条件不变，求 BC 边上的中线 AM 的长. 解：设点 M 的坐标为（ x ， y ），因为点 M 为 BC 的中点，所以 x ＝ ＝2， y ＝ ＝2，即点 M 的坐标为（2，2）.由两点间的距离 公式得｜ AM ｜＝ ＝ ，所以 BC 边上 的中线 AM 的长为 . 【母题探究】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. （变条件）若本例中的条件变为“ A （－2，－1）， B （－4，－ 3）， C （0，－5）”其结论又如何？ 解：根据两点间的距离公式得， ｜ AB ｜＝ ＝2 ， ｜ AC ｜＝ ＝2 ， ｜ BC ｜＝ ＝2 ， ∴｜ AC ｜＝｜ BC ｜. 又∵ A ， B ， C 三点不共线，∴△ ABC 是等腰三角形. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 平面上两点间距离公式的应用 （1）已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时， 设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立关于所求点坐 标的方程或方程组求解； （2）已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离 公式求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能 是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 已知点 A （－3，4）， B （2， ），在 x 轴上找一点 P ，使｜ PA ｜＝｜ PB ｜，并求｜ PA ｜的值. 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：设点 P 的坐标为（ x ，0），则有 ｜ PA ｜＝ ＝ ， ｜ PB ｜＝ ＝ . 由｜ PA ｜＝｜ PB ｜，得 x2＋6 x ＋25＝ x2－4 x ＋7，解得 x ＝－ . 故所求点 P 的坐标为 . ｜ PA ｜＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 已知点 M （ x ，－4）与点 N （2，3）间的距离为7 ，求 x 的值. 解：由｜ MN ｜＝7 ，得｜ MN ｜＝ ＝ 7 ，即 x2－4 x －45＝0，解得 x1＝9或 x2＝－5. 故所求 x 的值为9或－5. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 直线恒过定点问题 【例4】　求证：不论λ为何实数，直线（λ＋2） x －（λ－1） y ＝－6λ －3都恒过一定点. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 证明：法一（特殊值法）　取λ＝0，得到直线 l1：2 x ＋ y ＋3＝0，取λ ＝1，得到直线 l2： x ＝－3， 故 l1与 l2的交点为 P （－3，3）. 将点 P （－3，3）代入方程左边， 得（λ＋2）×（－3）－（λ－1）×3＝－6λ－3，等于右边， ∴点（－3，3）在直线（λ＋2） x －（λ－1） y ＝－6λ－3上. ∴直线（λ＋2） x －（λ－1） y ＝－6λ－3恒过定点（－3，3）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二（分离参数法）　由（λ＋2） x －（λ－1） y ＝－6λ－3， 整理得（2 x ＋ y ＋3）＋λ（ x － y ＋6）＝0. 则直线（λ＋2） x －（λ－1） y ＝－6λ－3恒过直线2 x ＋ y ＋3＝0与 x － y ＋6＝0的交点. 由方程组得 ∴直线（λ＋2） x －（λ－1） y ＝－6λ－3恒过定点（－3，3）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 解直线（直线方程中含有参数）过定点问题的方法 （1）任给直线方程中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直 线，然后验证这两条直线的交点就是直线（直线方程中含有参 数）所过的定点，从而问题得解； （2）分项整理，将直线方程化为 f （ x ， y ）＋λ g （ x ， y ）＝0的形 式，则方程组的解即所求定点的坐标. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 平面直角坐标系 xOy 中，直线 l ：（2 k －1） x ＋（ k －1） y －7 k ＋4＝0（ k ∈R）.求证：直线 l 经过第一象限. 证明：方程（2 k －1） x ＋（ k －1） y －7 k ＋4＝0可化为 k （2 x ＋ y －7）－ x － y ＋4＝0， 由解得 所以直线 l 过定点 M （3，1）. 因为 M （3，1）在第一象限，所以直线 l 经过第一象限. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 两条直线 l1：2 x － y －1＝0与 l2： x ＋3 y －11＝0的交点坐标为 （　　） A. （3，2） B. （2，3） C. （－2，－3） D. （－3，－2） 解析：　解方程组得 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 直线 y ＝ x 上的两点 P ， Q 的横坐标分别是1，5，则｜ PQ ｜＝ （　　） A. 4 C. 2 解析：　∵ P （1，1）， Q （5，5），∴｜ PQ ｜＝ ＝4 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. （多选）直线 x ＋ y －1＝0上与点 P （－2，3）的距离等于 的点 的坐标可能是（　　） A. （－4，5） B. （－3，4） C. （－1，2） D. （0，1） 解析：　设所求点的坐标为（ x0， y0），有 x0＋ y0－1＝0，且 ＝ ，两式联立解得或 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. 设点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上， AB 的中点是 P （2，－1），则｜ AB ｜＝ ⁠. 解析：设点 A 的坐标为（ a ，0），点 B 的坐标为（0， b ），则 ＝ 2， ＝－1，解得 a ＝4， b ＝－2，∴｜ AB ｜＝ ＝2 . 2 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD）   解析：解方程组得又该点（－1，－ 2）也在直线 x ＋ ky ＝0上，∴－1－2 k ＝0，∴ k ＝－ . － 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $