第1章 §1 1.1 一次函数的图象与直线的方程&1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第一章　直线与圆 §1　直线与直线的方程 1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 情境导入 课程标准 　　交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点, 在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值为负实数,)∠BAD=α,则坡度k==。k>0表示上坡,k<0表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小。那么坡度与道路的倾斜程度有什么关系? 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念。 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式。 自主预习明新知 1.直线的倾斜角 (1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角,称为直线l的倾斜角。通常倾斜角用α表示。 (2)特例:若直线与x轴平行或重合,则规定这条直线的倾斜角为0。 (3)范围:[0,π)(或0°≤α<180°)。 2.经过不同两点的直线的斜率公式 经过不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率k=。 3.直线的斜率与倾斜角的关系 倾斜角不是的直线,它的斜率k和它的倾斜角α满足k=tan α。 (1)当α∈时,斜率k≥0,且k随倾斜角α的增大而增大。 (2)当α∈时,斜率k<0,且k随倾斜角α的增大而增大。 (3)α=时,直线l与x轴垂直,此时直线l的斜率不存在。 4.直线的斜率与方向向量的关系 若k是直线l的斜率,则v=(1,k)是它的一个方向向量;若直线l的一个方向向量的坐标为(x,y),其中x≠0,则它的斜率k=。 微思考 1.每一条直线都有一个确定的倾斜角吗?每一条直线都有斜率吗? 提示:每一条直线都有一个确定的倾斜角,但不一定都有斜率,当直线的倾斜角是90°时,没有斜率。 2.当k>0时,直线的倾斜角是什么角?k<0呢? 提示:当k>0时,直线的倾斜角是锐角;当k<0时,直线的倾斜角是钝角。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　直线倾斜角的概念 　　【例1】　(1)(多选)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为 (BC) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析　如图,直线l有两种情况,故l的倾斜角为60°或120°。 (2)(多选)设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为 (AC) A.α+45° B.45°-α C.α-135° D.135°-α 解析　如图①所示,当0°≤α<135°时,l1的倾斜角是α+45°;如图②所示,当135°≤α<180°时,结合图形和倾斜角的概念,即可得到l1的倾斜角为α-135°。 　　求直线倾斜角的关键及两点注意:(1)关键:依据平面几何的知识判断直线向上的方向与x轴正向之间所成的角。(2)注意:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°;当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°。②直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°。 【变式训练】　已知直线l1的倾斜角α1=15°,直线l1与l2的交点为A,直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°,则直线l2的倾斜角为 135° 。  解析　如图,直线l2的倾斜角为α2,结合图形及三角形外角与内角的关系可得α2=120°+α1=120°+15°=135°,故直线l2的倾斜角为135°。 类型二　求直线的斜率 　　命题方向1:根据倾斜角求斜率 　　【例2】　在平面直角坐标系内,正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0,则边AC,AB所在直线的斜率之和为 (B) A.-2 B.0 C. D.2 解析　由题意知,△ABC的另外两边所在直线的倾斜角分别为60°,120°,所以另外两边所在直线的斜率之和为tan 60°+tan 120°=+(-)=0。 　　根据倾斜角求斜率就是采用定义法k=tan α求直线的斜率,因此需要熟记0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值。 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 - -1 - 【变式训练】　已知斜率为2的直线l与x轴交于点A,直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l',则直线l'的斜率为 - 。  解析　设直线l,l'的倾斜角分别为α,β,则tan α=2,因为直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l',所以β=α+60°,所以直线l'的斜率为k=tan(α+60°)===-。 　　命题方向2:根据公式求斜率 　　【例3】　经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在,求其斜率,并确定直线的倾斜角α。 (1)A(2,3),B(4,5); (2)C(-2,3),D(2,-1); (3)P(-3,1),Q(-3,10)。 解　(1)斜率存在。直线AB的斜率kAB==1,即tan α=1,又0°≤α<180°,所以倾斜角α=45°。 (2)斜率存在。直线CD的斜率kCD==-1,即tan α=-1,又0°≤α<180°,所以倾斜角α=135°。 (3)斜率不存在。因为xP=xQ=-3,所以直线PQ的斜率不存在,倾斜角α=90°。 　　利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项:(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不与x轴垂直,因为当直线与x轴垂直时,斜率是不存在的。(2)斜率公式与两点P1,P2的先后顺序无关,也就是说公式中的x1与x2,y1与y2可以同时交换位置 。 【变式训练】　(1)直线经过点P(3,2),Q(-3,3),则k= - ,直线PQ的倾斜角为 钝 角(填“钝”或“锐”)。  解析　k==-<0,所以直线PQ的倾斜角为钝角。 (2)过P(-2,m),Q(m,4)两点的直线的方向向量为(1,2),则m的值为 0 。  解析　由斜率公式k==2,得m=0。 类型三　斜率公式的应用 　　【例4】　(1)已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1),且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是 (A) A.k≥或k≤-4 B.k≥或k≤- C.-4≤k≤ D.≤k≤4 解析　画出图象如图所示,由图可知,斜率k的取值范围是[kPB,+∞)∪(-∞,kPA],根据已知两点的斜率公式,有kPA=-4,kPB=,所以k的取值范围是k≥或k≤-4。 (2)若三点A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一条直线上,则实数k= 6 。  解析　因为A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一条直线上,所以kAB=kAC,又kAB==3,kAC==,所以3=,即k=6。 　　1.用斜率公式解决三点共线的方法 　　2.直线的斜率与倾斜角的函数关系 直线的斜率k=tan α, 0°≤α<180°且α≠90°。 【变式训练】　(1)若三点A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直线上,则实数b等于 (D) A.2 B.3 C.9 D.-9 解析　因为kAB=kBC,所以=,b=-9。 (2)已知点P(-1,-1),另有两点A(1,0),B(0,1),若过点P的直线l与线段AB有交点,则直线l的斜率的取值范围为 ,2 。  解析　因为A(1,0),B(0,1),又过点P的直线l与线段AB有交点,所以直线l的斜率的取值范围为,2。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.若直线l经过第二、第四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是 (C) A.0°≤α<90° B.90°≤α<180° C.90°<α<180° D.0°<α<180° 解析　由直线倾斜角的定义知C正确。 2.过点A(-,)与点B(-,)的直线的倾斜角为 (A) A.45° B.135° C.45°或135° D.60° 解析　kAB===1。故直线的倾斜角为45°。 3.过点P(-3,m),Q(m,4)的直线的斜率为1,那么m的值为 (D) A.1或2 B.2 C.1或 D. 解析　由题意知=1,得m=。 4.光线从点A(-2,)射到x轴上的点B后,被x轴反射,这时反射光线恰好过点C(1,2),则光线BC所在直线的倾斜角为 60° 。  解析　点A(-2,)关于x轴的对称点为A'(-2,-),由物理知识知kBC=kA'C==,所以所求倾斜角为60°。 5.一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,通过点B(5,7),求点P的坐标。 解　由光的反射原理,知kAP=-kBP,设P(x,0),则=-,解得x=,即点P的坐标是,0。 学科网（北京）股份有限公司 $$