2026-2027学年高三上学期开学考数学模拟卷03（安徽省适用）

**基本信息** 高三开学数学练习卷，以悬链线工程应用、乒乓球比赛概率等真实情境为载体，梯度覆盖集合、导数、圆锥曲线等知识，体现数学眼光观察、思维推理与语言表达的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量|第4题等差数列结合前n项和性质，基础巩固| |多选题|3/18|三角函数、圆与直线|第10题直线与两圆位置关系，分层考查推理能力| |填空题|3/15|排列组合、等比数列|第14题圆锥抛物线融入古希腊数学史，文化传承| |解答题|5/77|解三角形、概率、双曲函数|第19题悬链线模型探究，第17题比赛概率设计，创新应用与实际问题结合|

2026-2027学年高三数学上学期开学练习卷（3） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题 1．如图，全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（     ）    A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】，或， 图中阴影部分所表示的集合为， 其中， 故. 2．已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以的虚部为1. 3．已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【详解】由已知可得，， 因为A，C，D三点共线，所以，共线，则，使得， 即，整理可得 因为，不共线，所以有，解得. 4．已知等差数列的公差为，其前项和为，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．中最大 D． 【答案】D 【详解】等差数列的公差为d，其前n项和为， 由，得，由，得， 则有，即，B正确；，A正确； 因，且，，则是递减等差数列，其前6项均为正，从第7项起为负数，因此，中最大，C正确； ，，，即，D不正确. 5．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【详解】设球的半径为，因， 则的面积， 而，且面积为定值， 则当点到平面的距离最大时，最大， 于是，当是与球的大圆面垂直的直径的端点时，三棱锥体积最大， 最大值为，解得， 所以球的表面积为. 6．已知函数，若在上的最大值为，最小值为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意， 由，得，因此. 当时，取最大值，故； 当时，取最小值，故. 因此. 7．已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图， 设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形， 所以，， 所以，所以. 又，所以. 在中，由余弦定理得：， 即. 所以椭圆的离心率为. 8．记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，构造函数，所以， 因为，且恒成立，因此，即是在上的严格单调递增函数， 因为，因此，对原不等式两边同时除以， 可得，即，等价于，即， 因为在上恒成立，因为，不等式可变形为， 因为是单调递减函数，最小值在处取得，为，因为是对上恒成立， 所以，即，所以的取值范围为. 二、多选题 9．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是的一条对称轴 D．对任意的，都存在，使得 【答案】ACD 【详解】对于A，根据题意得，， 因为的图象与的图象关于轴对称，所以， 即， 可得或， 因,则得，又因，所以，故A正确； 对于B，由A得，所以，故B错误； 对于C，由，可得，当时，，故C正确； 对于D，当时，，此时， 而当时，，此时 所以，故D正确. 10．在平面直角坐标系中，圆，．直线与两个圆均有公共点．记直线被，截得的弦长分别为，．则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．若，则或 D．存在直线，使得 【答案】ABD 【分析】由题意可将，到直线的距离分别表示出来，从而得到弦长，，再逐一分析四个选项即可. 【详解】圆的圆心为，圆的圆心为．直线化为． 两个圆心到直线的距离分别为，． 两圆的半径均为1，故弦长满足． 对于A，当时，，所以．故A正确； 对于B，当时，，所以．故B正确； 对于C，若，则，即，化简得． 所以或．故C不正确； 对于D，若取直线，则该直线经过两个圆的圆心，此时， 故．故D正确． 11．已知函数的定义域为，且对于任意实数，恒有，当时，有，函数满足，则（ ） A． B．是 的充分不必要条件 C． D．任意， 【答案】ACD 【详解】对于A，令，得， 因为时，有，所以，所以，故A正确； 对于B，设，则，所以， ， 因为 ，且，所以， 所以，所以在上是单调递增函数， 由，得，解得， 因为是的真子集，则是 的必要不充分条件，故B错误； 对于C，令，得 ，所以， 代入得， 可得 ，即， 因为，所以 ， 则 ， ，即 ，故C正确； 对于D，任意， ， ， 而 ， 因 ，所以 ， 所以，故D正确. 三、填空题 12．三名老师和四名学生去北京半程马拉松比赛的3个补给站参加志愿活动，每个人去一个补给站，每个补给站至少一名老师和一名学生，且老师甲和同学乙必须去同一个补给站，则不同的安排方法有______种.（用数字作答） 【答案】72 【详解】根据题意，老师甲和同学乙必须去同一个补给站，分为两种情况： ①老师甲和同学乙所在的站只有乙一位同学， 先分配教师，由于有3名教师和3个补给站，且每个补给站至少1名教师，因此每个补给站恰好分配1名教师，有种情况； 再分配学生，除了乙之外的3名学生分成两组“2,1” ，分配到2个补给站，有种情况； 按照乘法原理有种安排方法， ②老师甲和同学乙所在的站还有一位同学， 先分配教师，由于有3名教师和3个补给站，且每个补给站至少1名教师，因此每个补给站恰好分配1名教师，有种情况； 再分配学生，除了乙之外的3名学生，先选1人到老师甲和同学乙所在的站，余下2人分配到2个补给站，有种情况； 则有种安排方法， 所以老师甲和同学乙必须去同一个补给站不同的安排方法有种安排方法. 13．已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 【答案】64 【详解】由题可得，解得或， 当，时，则， 所以，，而此时无最大值，舍去； 当，时，则，， 因为二次函数的对称轴为，所以当或4时，有最大值， 且的最大值为. 14．用一个平面去截圆锥，则截面交线为圆锥曲线．2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果．当平面倾斜到“与且仅与”圆锥的一条母线平行时，可以得到抛物线．已知圆锥的轴截面为正三角形（），其底面圆上存在两点，满足，点P，Q分别在，上，且，则过点P，Q的平面截圆锥得到的抛物线的焦点和准线之间的距离为________．    【答案】 【详解】如图1，设截面平行于母线，连接并延长交圆于，交抛物线于点， 则点为抛物线的顶点，设截面与交于点，过点分别作平行于圆锥底面的截面得圆，圆， 作圆锥的轴截面（如图2），连接交于点，圆与抛物线交于点，    圆与交于点，由，得，由平面平面， 平面平面，平面平面，得， 同理，而，于是，由对称性可得是中点， 则，， ，以点为原点，向量的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则且，令抛物线方程为，由点在抛物线上，得， 所以抛物线的焦点和准线之间的距离为. 四、解答题 15．记的内角的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，，求的面积． 【详解】（1）依题意，， ∵，∴， ∴，∴. （2）∵，∴， ∴ ， 由正弦定理，得， ∴的面积为. 16．如图，在中，，，，，分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使，点在线段上．    (1)求证：平面； (2)已知与平面所成角的大小为，求． 【详解】（1）(1)因为，，所以， 又因为，则，所以，翻折后， 又因为，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. （2）由（1）知，建立如下所示空间直角坐标系，由几何关系知， 所以，则， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为在线段上，所以设，则， 有， 因为与平面所成角的大小为，所以， 所以，则，即.    17．甲、乙两名选手进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． (1)若比赛最多进行5局（若打5局，第5局胜者赢得比赛），求比赛结束时比赛局数的分布列及期望； (2)若不限比赛局数，每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，记“甲赢得比赛”为事件，证明：． 【答案】(1)（1）由题意得的所有可能取值为2，4，5，则， ， ， 所以的分布列为 2 4 5 ． (2)设事件，分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”， 由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数， 由题设可知前两局比赛结果可能是，，，，其中事件表示“甲赢得比赛”， 事件表示“乙赢得比赛”，事件，表示“甲、乙各得1分”， 当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同， 所以 ， 因此，得， 而，所以． 18．在平面直角坐标系xOy中，设m为实数，若双曲线的右焦点为，离心率为，点F到双曲线的一条渐近线的距离为1，直线交双曲线于A，B两点. (1)求此双曲线的方程. (2)若A，B两点都在双曲线的右支上. （ⅰ）求面积的最小值. （ⅱ）在x轴上是否存在一点P，使得为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 【详解】（1）由离心率，得，又，得， 焦点到渐近线的距离为，解得，，， 所以双曲线方程为. （2）（ⅰ）由消去得，设， 且，，， 因此的面积 ， 令，函数在上递减，当时，， 因此当时，取得最大值1， 所以面积的最小值为. （ⅱ）假设在x轴上存在一点P，使得为定值，设， 则， ，要为定值，当且仅当，即， 所以在x轴上存在一点P，使得为定值，点的坐标为. 19．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：；②两角和公式： ，③导数：定义双曲正弦函数． (1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质(不需要证明)； (2)当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，求直线斜率的取值范围； (3)无穷数列满足，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【详解】（1）理由如下： 平方关系，； 和角公式：， 故； 导数：； （2）构造函数， 由(1)可知， ①当时，由，又因为，故，等号不成立， ，故为严格增函数， 此时，故对任意恒成立，满足题意； ②时，令，则，可知是严格增函数， 由与可知，存在唯一，使得， 故当时，，则在上为严格减函数， 故对任意，，即，矛盾； 综上所述，实数的取值范围为． （3）当时，存在，使得， 由数学归纳法证明：， 证明如下：①当时，成立， ②假设当(为正整数)时，，则 成立． 综上：． 所以，有，即． 当时，， 而函数的值域为， 则对于任意大于1的实数，存在不为0的实数，使得， 类比余弦二倍角公式，猜测． 证明如下： 类比时的数学归纳法，设， 易证， 所以若， 设，则，解得：或，即， 所以，于是． 综上：存在实数，使得成立． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三数学上学期开学练习卷（3） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题。本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（     ） A． B． C． D．或 2．已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（    ） A． B．2 C．4 D． 4．已知等差数列的公差为，其前项和为，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．中最大 D． 5．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（    ） A．6 B． C． D． 6．已知函数，若在上的最大值为，最小值为，则（     ） A． B． C． D． 7．已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题。本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是的一条对称轴 D．对任意的，都存在，使得 10．在平面直角坐标系中，圆，．直线与两个圆均有公共点．记直线被，截得的弦长分别为，．则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．若，则或 D．存在直线，使得 11．已知函数的定义域为，且对于任意实数，恒有，当时，有，函数满足，则（ ） A． B．是 的充分不必要条件 C． D．任意， 三、填空题。本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．三名老师和四名学生去北京半程马拉松比赛的3个补给站参加志愿活动，每个人去一个补给站，每个补给站至少一名老师和一名学生，且老师甲和同学乙必须去同一个补给站，则不同的安排方法有______种.（用数字作答） 13．已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 14．用一个平面去截圆锥，则截面交线为圆锥曲线．2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果．当平面倾斜到“与且仅与”圆锥的一条母线平行时，可以得到抛物线．已知圆锥的轴截面为正三角形（），其底面圆上存在两点，满足，点P，Q分别在，上，且，则过点P，Q的平面截圆锥得到的抛物线的焦点和准线之间的距离为________．   四、解答题。本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）记的内角的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，，求的面积． 16．（本小题15分）如图，在中，，，，，分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使，点在线段上．    (1)求证：平面； (2)已知与平面所成角的大小为，求． 17．（本小题15分）甲、乙两名选手进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． (1)若比赛最多进行5局（若打5局，第5局胜者赢得比赛），求比赛结束时比赛局数的分布列及期望； (2)若不限比赛局数，每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，记“甲赢得比赛”为事件，证明：． 18．（本小题17分）在平面直角坐标系xOy中，设m为实数，若双曲线的右焦点为，离心率为，点F到双曲线的一条渐近线的距离为1，直线交双曲线于A，B两点. (1)求此双曲线的方程. (2)若A，B两点都在双曲线的右支上. （ⅰ）求面积的最小值. （ⅱ）在x轴上是否存在一点P，使得为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 19．（本小题17分）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：；②两角和公式： ，③导数：定义双曲正弦函数． (1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质(不需要证明)； (2)当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，求直线斜率的取值范围； (3)无穷数列满足，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $