第五章 平面向量与复数（综合训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 平面向量与复数综合训练，整合基础概念、几何应用与创新题型，覆盖高频考点与跨模块联系，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数|6题（含3道区模拟题）|考查模、运算、复平面象限，结合方程与几何意义|复数概念→运算性质→几何表示的逻辑链| |平面向量|11题（含4道校考题）|涉及线性运算、数量积、夹角，结合三角形和平行四边形动态问题|向量定义→线性运算→数量积→几何应用的递进关系| |综合应用|4题（含2道创新题）|新定义“凸子集”“1向量”，融合向量与解析几何|向量与复数的工具性作用，体现模型意识与推理能力|

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第五章平面向量与复数（综合训练） 参考答案 第一部分（选择题共40分) 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1 2 3 4 5 6 8 9 10 C C B C B A D 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11.1 12.13 13.-5 14.2 15.①④ 四、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(13分) AC=AB+AD=a+b (1)解：根据向量加法的平行四边形法则，可得 DE=DA+AE=-AD+2AB=2a-b .(5分) ②明：由)如，0E2i-6:所以F-证-号a,分y 所以-而+0=6+-五-a+6例-号 所以，AFAC 共线.(10分) 又直线AF,直线AC有公共点A, 所以，A,F,C三点共线.(13分) 17.(13分) 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：1)（1-i0z=0-i(a+4)=(a+4)+(4-ai 4分) [a+4=0 因为是纯虚数，所以4-a≠0，解得a=-4,(3分) 所以z=-4+4i.(4分) (2)因为2=a+,所以2=a-,(6分 同=V日+16=5，解得a=3.(8分) (3)因为2=a+4i,所以2子=(a+4=(a2-16)+8ai 则z在复平面上对应的点为 d-16,8a）,(10分) a2-16<0 因为位于第二象限，所以8a>0，解得0<a<4, 所以“的取值范围为 0,4).43分) 18.(14分) 解：=-2六，五=3+i,六3+1-23+-4+a-22分 3+2=V16+(a-2)}2≥4 故日+的最小值为4.(4分) (2由题设知0Z=0,-2》).0Z,=(6, 3 0Z10Z,0,-2)-(3,4=3-2a=0,解得a=2,(6分) 43.)2 所以-3+=9+9-}2 +91.(8分) 44 五=3+ai_(3+ai1+21_3+ail+21_3-2a+6+ai (3)z11-2i(1-2i)1+2i)） 5 5+51,10分 2/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =3-2a6+a: 因为35 5是方程x2+bx+5=0的根， 3-2a6+ai 所以55也是方程x2+bx+5=0的根， 3-2a6+a;3-2a_6+ai=6-40=-b 所以55+55 5 所以a=4,6=2或a=4b=-22 ·(14分) 19.(15分) 解：(1)：等边△ABC的顶点坐标为A(0,0),B(2,0),点C在第一象限 ÷点C的坐标为CL同)2分) 又：若A,B,C,D四点能构成一个平行四边形 ∴.AC=BD或者AC=DB或者BC=AD 段D(x),则4C=-L5,BC-(1）4分 由4C=BD可得v5)=(-2,少即=3，y=5:D3,5) 由4C=DB可得，3)=(2-x-y)即x=l,y=5:D(-5) 由C=D可得1，v3=(,)即x=-1,y=5:D(l) D的坐标为D,v)或D,-)或D)c8分) (2②)“点E为BC边上一动点（包含R,C点），BC-(,5) 3/7 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 可设B距=ABc=1V5)2e0,则 ,E(2-元，5，AE=(2-元，32) :亚=22-2)+0=4-221分 ∴.当=0时，AB·AE的最大值为4， 当元=1时，AB·AE的最小值为2. ÷店正的取值范围是4c15分 20.(15分) 解：山因为a=2,5=(a,-2),又a16,则2-2-2， 解得1=-2，(2分) 此时5=(-2)，6=-2石，清是题意，所以2=-2(4分 (2)因为a=(2).6=(a,-2),则2a+6=(+2元+2），2a-6=(2-,6-). 又(2a+6)1(2a-b),则（2a+)(2a-b)=0,7分y 所以2+2-2)+(2+2)6-A)=0 整理得到22-2入-8=0，解得元=4或2=-2，所以元的值为4或-2.(10分) 1+21-4V5 >0 3)因为a6-65x2±a-25整理得到72-20+12=02分> 解得2=2或-号，当2-号时，3认-44<0，所以4-号不合腿意。 6 所以2的值为2.(15分) 21.(15分) 解：（由题意4=(x+1),a=(2x+2).G=B,x+3) 4/7 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .S3-4=(3,2x+3) 2分) a≥s-4, 9+x+329+(2x+3),化简得：+2x≤0， x的范国是2.0(4分) (2)法1： -(n受omr}-.0）,五-(xw）-0-) G-(m经m-(10）,a-6c2n）=a,a=4-L0y,(5分 “向量组4,4，a4以4为周期 S43=a+a2+.+a4+3=(0,-l) S-a-(-1-=5>回，a不是该向量组的1向量”： S-网=0,0=0>同网.∴4是该向量组的“1向量”： S-a-(,-1川=5>回，：4不是该向量组的“1向量”： S-d-0,2以=2>可，a不是该向量组的“1向量”： 六a,aa3存在“1向量”，“1向量”为22.(9分) 法2，由题在可利问可-m空+c如心受1 2 g为云mamr受m-6 所以向量组4,4,4，…，a以4为周期，(6分) 5/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若存在“1向量”4，只需使瓦-可小51， 又4+a+g+a=0 所以=4+4+a++a=G+6+4=(0,-） 故只背使反-可-m受+(+m） =6m%+ms2+2as+1=2+2css1,即1scos≤-). 2 2 2 2 2 29 当p=2,6,…,4i+2时，符合要求， 故存在1向量”，且1向量”为工ae）,9分) (3)由题意，问+a.即≥+af, a2≥G+2aa+a, 同理吗≥+2a4+g,6≥日+244+a. 上述三式相加，得：G+a+g+2aa+2a4+2a4<0 →(a+a+as0,1分) 又(++20,4+4+a=0 .'.a;=-(a+az)=(-sinx-2cosx,-cosx-2sinx) (k4H2H)=2(G,)-(x,2) 设P(化，y),则依题意得(x+2,y2+2)=2(x,2)-(xk+21), 得)=26)-(6】+) (x2+2,2+2)=2k[(x,y2)-(,y]+(x,y2) 617 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (）=2k[(,）-(G,⅓】+(3），13分) 所以BB=22-）=4[,)-(G,月=4P9 .=(-sinx-2cosx)+(-cosx-2sinx)=5+8sinxcosx=5+4sin2x 当2x=+2,即x=+mkeZ)时，P阳=9，F阳-3， PxP=4x1012x3=12144.（15分) 7/7 第五章 平面向量与复数（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．（2026. 北京市东城区.高三上期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D．5 2．已知向量，，则（   ） A． B．1 C．3 D． 3．（2026. 北京市顺义区.高三上期末）在复平面内，复数 对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为，则（   ） A． B． C． D． 5．在中，，若，则（   ） A． B． C．1 D． 6．（2026. 北京市广渠门中学.高三上12月月考）在复平面内，复数对应的点分别是，，则（    ） A． B． C． D． 7.（2026. 北京市丰台区.高三下4月质检）已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．【新考法】(2026. 北京市人大附中.高三上12月月考)已知 ，则使得数对 唯一的条件是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，D是AB的中点，O是CD上一点，且，其中所有正确结论的序号是（    ） ①； ②； ③过点O作一条直线与边AC，BC分别相交于点E，F，若，则； ④若是边长为1的正三角形，M是边AC上的动点，则的取值范围是 A．①④ B．②③ C．②④ D．①③④ 10．【创新题】（2026. 北京密云区.高三下阶段练习）已知直线与 相交于点，直线与圆交于两点，且，则的最大值为（    ） 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11.已知向量，若，则实数__________. 12．已知，，，，，则_________. 13．（2026. 北京市第三十五中.高三上10月月考）已知复数满足，则的虚部为______. 14．（2026. 北京市人大附中高三下5月热身练）已知平面内四个点满足：，，则的最小值为______． 15． 【创新题】（2026. 北京市顺义牛栏山.高三上10月月考）定义，集合是 的非空子集.若集合满足：对于任意均有，则称集合为的“凸子集”.对于下列命题： ①集合是的“凸子集”； ②集合是的“凸子集”； ③若集合、均为的“凸子集”，则集合也是的“凸子集”： ④若集合、均为的“凸子集”，且，则集合也是的“凸子集”； 其中正确结论的序号是______. 【答案】①④ 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分） 如图，在平行四边形ABCD中，，．设，． (1)用，表示，； (2)用向量的方法证明：A，F，C三点共线． 17．（13分） 已知复数（为虚数单位）． (1)若是纯虚数，求； (2)若，求的值； (3)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围． 18.（14分） 【原创题】在复平面内，是坐标原点，向量，对应的复数分别为，． (1)求的最小值； (2)若，求； (3)若是方程的根，求的值． 19．（15分） 已知平面直角坐标系中，等边的顶点坐标为，点在第一象限，点是平面内任意一点． (1)若四点能构成一个平行四边形，求点的坐标；（写出所有满足条件的情况） (2)若点为线段边上一动点（包含点），求的取值范围． 20．（15分） 已知. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若与的夹角余弦值等于，求的值. 21．（15分） 对于一组向量（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“1向量”. (1)设，若是向量组的“1向量”，求实数的取值范围； (2)若，则向量组是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由； (3)已知均是向量组的“1向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列且）满足：为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最大值. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 平面向量与复数（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．（2026. 北京市东城区.高三上期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【解析】因为，所以.故选C. 2．已知向量，，则（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【解析】由，得，所以. 3．（2026. 北京市顺义区.高三上期末）在复平面内，复数 对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】。则复数在复平面内对应的点为，该点在复平面内位于第二象限.故选B. 4．已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设船实际航行的速度为，则，又，所以，解得（负值舍去），故C正确. 5．在中，，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由，得，整理为，即，，即. 6．（2026. 北京市广渠门中学.高三12月月考）在复平面内，复数对应的点分别是，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】复数对应的点分别是，，则， 可知.故选B。 7.（2026. 北京市丰台区.高三下4月质检）已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则，则，解得，则，， 则与的夹角的余弦值为. 8．【新考法】(2026. 北京市人大附中.高三上12月月考)已知 ，则使得数对 唯一的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则点是直线上的点，同理可得点是直线上的点.由，则，可得原点到直线的距离，原点到直线的距离.由题意可得，当且仅当等号同时成立时唯一即唯一取值，此时，，由，则.对于A，当时，存在两个取值，由，则，此时也存在两个取值，故A错误.对于B，，当且仅当等号成立时唯一即唯一取值，故B正确；对于C，由，，则，令，即，令，可得，化简可得，由，则存在两个根，故C错误；对于D，由，则，即，可得，解得，故D错误.故选B. 9．如图，在中，D是AB的中点，O是CD上一点，且，其中所有正确结论的序号是（    ） ①； ②； ③过点O作一条直线与边AC，BC分别相交于点E，F，若，则； ④若是边长为1的正三角形，M是边AC上的动点，则的取值范围是 A．①④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【解析】对于①，由题意，，，， 故，正确；对于②，，错误；对于③，， ， ， 因为E，O，F三点共线，所以，即，解得，，错误； 对于④，以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，因为， ， 所以，， 所以当时，有最小值为；当时，有最大值为， 即的取值范围是，正确；故选A。 10．【创新题】（2026. 北京密云区.高三下阶段练习）已知直线与 相交于点，直线与圆交于两点，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【解析】直线：，所以直线过定点；直线：，所以直线过定点.又，所以.所以点的轨迹是以线段为直径的圆.因为的中点为，，所以点的轨迹方程为：.因为直线与圆交于两点，且，所以圆心到直线的距离为1，设的中点为，则.如图： ，且,所以，即的最大值为. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11.已知向量，若，则实数__________. 【答案】 【解析】因为，，所以，解得. 12．已知，，，，，则_________. 【答案】13 【解析】由题意是直角三角形，。 13．（2026. 北京市第三十五中.高三上10月月考）已知复数满足，则的虚部为______. 【答案】 【解析】由，得，所以的虚部为. 14．（2026. 北京市人大附中.高三下5月热身练）已知平面内四个点满足：，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】设，则，设，如图，则： ，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为． 15． 【创新题】（2026. 北京市顺义牛栏山.高三上10月月考）定义，集合是 的非空子集.若集合满足：对于任意均有，则称集合为的“凸子集”.对于下列命题： ①集合是的“凸子集”； ②集合是的“凸子集”； ③若集合、均为的“凸子集”，则集合也是的“凸子集”： ④若集合、均为的“凸子集”，且，则集合也是的“凸子集”； 其中正确结论的序号是______. 【答案】①④ 【解析】设，，， 则，，即，，则点在线段上， 由题意得，若对于任意，线段上一点，都有，则集合为的“凸子集”， 对于命题①，集合， 设，， 如图，在的区域上，显然线段上任一点均在的区域上， 即，所以集合是的“凸子集”，故命题①正确， 对于命题②，因为，取，显然， 取，则，又，而， 又，所以，则集合不是的“凸子集”，故命题②错误； 对于命题③，取，， 若对于任意的满足，，则， 函数的图象如下图，显然线段上任意一点，都有，即， 故为的“凸子集”，同理可得为的“凸子集”， 如图所示，对于任意的满足，，则， 但线段上存在点，不满足，也不满足，即， 所以集合不是的“凸子集”，故命题③错误； 对命题④，若都是的“凸子集”，对于任意的，任意， 则，，故， 故也是的“凸子集”，所以命题④正确；故答案为①④. 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分） 如图，在平行四边形ABCD中，，．设，． (1)用，表示，； (2)用向量的方法证明：A，F，C三点共线． 16.（1）解：根据向量加法的平行四边形法则，可得. .（5分） (2)证明：由（1）知，，所以，（7分） 所以， 所以，，共线.（10分） 又直线，直线有公共点， 所以，，，三点共线.（13分） 17．（13分） 已知复数（为虚数单位）． (1)若是纯虚数，求； (2)若，求的值； (3)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围． 17.解：（1），（1分） 因为是纯虚数，所以，解得，（3分） 所以.（4分） （2）因为，所以，（6分） ，解得.（8分） （3）因为，所以， 则在复平面上对应的点为，（10分） 因为位于第二象限，所以，解得， 所以的取值范围为.（13分） 18.（14分） 【原创题】在复平面内，是坐标原点，向量，对应的复数分别为，． (1)求的最小值； (2)若，求； (3)若是方程的根，求的值． 解：（1），，.(2分) 故的最小值为.（4分） （2）由题设知， ，，解得，（6分） 所以.（8分） （3）,（10分） 因为是方程的根， 所以也是方程的根， 所以，，（12分） 所以+， 所以或.（14分） 19．（15分） 已知平面直角坐标系中，等边的顶点坐标为，点在第一象限，点是平面内任意一点． (1)若四点能构成一个平行四边形，求点的坐标；（写出所有满足条件的情况） (2)若点为线段边上一动点（包含点），求的取值范围． 解：（1）∵等边的顶点坐标为，点在第一象限 ∴点的坐标为（2分） 又∵若四点能构成一个平行四边形 ∴或者或者 设，则（4分） 由可得即∴ 由可得即∴ 由可得即∴ ∴D的坐标为或或（8分） （2）∵点为边上一动点（包含点）， ∴可设 ∴ ∴（11分） ∴当时，的最大值为4， 当时，的最小值为2． ∴的取值范围是（15分） 20．（15分） 已知. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若与的夹角余弦值等于，求的值. 解：（1）因为，又，则， 解得，（2分） 此时，，满足题意，所以.（4分） （2）因为，则，， 又，则，（7分） 所以， 整理得到，解得或，所以的值为或.（10分） （3）因为，整理得到，（12分） 解得或，当时，，所以不合题意， 所以的值为.(15分) 21．（15分） 对于一组向量（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“1向量”. (1)设，若是向量组的“1向量”，求实数的取值范围； (2)若，则向量组是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由； (3)已知均是向量组的“1向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列且）满足：为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最大值. 解：（1）由题意，，. ，（2分） ， ，化简得：, 的范围是.（4分） （2）法1： ，， ，，，…（5分） 向量组以4为周期. ， ，不是该向量组的“1向量”； ，是该向量组的“1向量”； ，不是该向量组的“1向量”； ，不是该向量组的“1向量”； 存在“1向量”，“1向量”为.（9分） 法2：由题意可得， 因为， 所以向量组以4为周期，（6分） 若存在“1向量”，只需使， 又， 所以， 故只需使 ，即， 当时，符合要求， 故存在“1向量”，且“1向量”为；（9分） （3）由题意，，即， ， 同理，， 上述三式相加，得：， ，（11分） 又. ， 设，则依题意得， 得， 故， ，（13分） 所以， ， 当，即时，，， .（15分） 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $