平面向量及其应用专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量概念、运算及解三角形综合应用，通过基础辨析与梯度题型，系统覆盖向量共线、数量积、正余弦定理等核心方法，逻辑链从概念到运算再到几何应用，培养数学抽象与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题（如第3题命题判断）|向量定义、相等向量、共线向量的本质辨析|从向量基本属性出发，构建概念认知框架| |向量运算|6题（如第2题夹角计算、第7题共线坐标表示）|数量积公式、模长公式、坐标运算规则|运算公式推导→坐标化应用→几何意义理解| |解三角形应用|5题（如第8题边角互化、第17题条件选择）|正余弦定理、面积公式、边角关系转化|三角形性质→定理应用→综合条件处理|

人教A版必修第二册第六章平面向量及其应用单元检测卷 一、单选题 1．已知向量，，若与共线，则（    ） A． B．4 C． D．或4 2．设与为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．下列命题： ①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若，则； ③若，则四边形ABCD是平行四边形； ④若，，则； ⑤若，，； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段； ⑦任何一个非零向量都可以平行移动． 其中，假命题的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．在四边形中，，则“”是“四边形是正方形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知向量，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，满足，，，则，的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 8．在锐角三角形分别为内角所对的边长，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 9．下列说法错误的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 10．已知向量，，，则（    ） A． B． C．若，∥，则 D．在上的投影向量的坐标为 11．在中，AB=6，AC=10，，D为BC的中点，E为的垂心，则（   ） A． B． C． D．点E到直线AB的距离为 三、填空题 12．已知向量、为单位向量，且，则______. 13．已知向量，若，则的值为___________. 14．中，D是边上的点，满足，，.则______. 四、解答题 15．已知向量与的夹角，且，． (1)求； (2)求． 16．（1）已知点，点是直线上一点，且，求点的坐标； （2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_________． (1)求角C的大小； (2)若，，求的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．设两个向量满足，. (1)若，求的夹角； (2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 19．在中，角A，B，C所对的边分别为． (1)求角； (2)点在边AC上，且，若______（从以下三个条件中任选一个），求的最小值． ①BD是边AC上的高；②BD是边AC上的中线；③BD是角的平分线． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教A版必修第二册第六章平面向量及其应用单元检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C B C D A B ABC BCD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】利用向量平行的坐标表示，再解方程即可. 【详解】由两向量共线可知，即，解得或. 故选：D. 2．D 【分析】由数量积公式结合向量夹角公式即可求解. 【详解】，， . 故选：D. 3．C 【分析】根据向量的定义，相等向量的定义，向量的模，向量共线依次判断各命题即可. 【详解】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确； 对于②，若，方向不确定，则不一定相同，∴②错误； 对于③，若，、不一定相等，∴四边形不一定是平行四边形，③错误； 对于④，若，，则，④正确； 对于⑤，若，，，当时，不一定成立，∴⑤错误； 对于⑥，向量没有固定的起点，所以向量不是有向线段，但向量可以用有向线段表示，∴⑥错误； 对于⑦，任何一个非零向量都可以平行移动，∴⑦正确； 综上，假命题是②③⑤⑥，共4个， 故选：C. 4．B 【分析】首先可得四边形为平行四边形，由得到，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在四边形中，，所以四边形为平行四边形， 若，则， 所以，则， 所以，则四边形是矩形， 所以由“”推不出“四边形是正方形”，故充分性不成立； 由“四边形是正方形”推得出“”，故必要性成立； 所以“”是“四边形是正方形”必要不充分条件. 故选：B 5．C 【分析】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，则， 所以，解得. 故选：C. 6．D 【分析】把平方求出，再由数量积定义求得夹角的余弦值，得夹角． 【详解】，， 因为， 所以与的夹角为. 故选：D 7．A 【分析】由向量共线的坐标表示建立方程，即可求得. 【详解】因为， 所以，， 又， 所以，解得. 故选：A. 8．B 【分析】对已知等式利用余弦定理统一成边的形式，化简可得，然后同角三角函数的关系和正余弦定理化简可得结果. 【详解】因为， 所以由余弦定理可得，即， 所以 故选：B 9．ABC 【分析】根据共线向量、单位向量的相关概念与性质判断各项的正误. 【详解】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误； 选项B：，不一定有，故B错误； 选项C：直线与可能重合，故C错误； 选项D：若向量，共线，则与可能平行，此时A，B，C，D四点不共线，故D正确. 故选：ABC. 10．BCD 【分析】先由，得，从而可求出的坐标，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为，，， 所以，得， 所以，，所以A错误， 对于B，因为，，所以， 因为，所以，所以B正确， 对于C，因为，∥，，所以，所以， 所以，所以C正确， 对于D，因为，，所以在上的投影向量的坐标为，所以D正确， 故选：BCD 11．ABD 【分析】以A为原点，AB所在直线为x轴，建系，计算出各点的坐标以及向量的坐标，再逐一判断. 【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系， 则，，，， 所以，，，， ，A正确； ，B正确； ，C错误； 设，则，所以，得， 所以点E到直线AB的距离为，D正确． 故选：ABD 12． 【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 又因为向量、为单位向量， 所以， 故答案为： 13． 【分析】根据平面向量的坐标运算先计算，最后根据共线向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有，由有， 故答案为：. 14． 【分析】直接利用三角形的面积建立等量关系，进一步利用正弦定理的应用求出结果． 【详解】解：中，D是边上的点， 满足，，， 所以， 又因为，则， 则. 故答案为：. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形面积计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．(1)3 (2) 【分析】（1）由数量积的定义及运算律直接计算； （2）由模长的计算求出结果即可； 【详解】（1）因为向量与的夹角，且，， 所以, ； （2） ． 16．（1）的坐标为或；（2） 【分析】（1）设点的坐标，由向量的坐标运算求得，由转化得或，解方程可求点的坐标； （2）向量与夹角为锐角等价于且不平行于，解方程和不等式可求的取值范围． 【详解】（1）设点的坐标，由， 得， 因为点是直线上一点，且， 所以或， 即 或， 解得或，所以点的坐标为或； （2）因为与的夹角为， 所以， ， 因为与的夹角为锐角，所以，即， 解得，又当与共线时有，解得，所以， 综上，实数的取值范围是． 17．(1)； (2). 【分析】（1）根据所选条件，应用正弦定理边角关系、和角正弦公式、三角形内角性质化简条件得到关于角C的三角函数值，即可得结果； （2）由已知及正弦定理可得，再由余弦定理有，进而求得，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】（1）选①：由正弦定理得：，而， 所以， 整理得：，又，可得， 而，则. 选②：由正弦定理得：，而， 所以， 则，而，可得， 而，则. 选③：由正弦定理得：，而且， 则，又， 所以，则，即. （2）由，则，故， 而，则，可得， 又，整理得， 则，可得， 所以的面积为. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的运算律求出，再求出，即可得解； （2）由向量与的夹角为钝角，可得，注意排除相反向量这一情况. 【详解】（1）解：由 ，得 , 又 , 所以， 所以， 又因为 , 所以的夹角为 ； （2）解：由已知得， 则， 因为向量与的夹角为钝角, 所以, 解得， 设, 则, 无解, 故两个向量的夹角不可能为 , 所以向量与的夹角为钝角时, 的取值范围为. 19．(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理化简计算即得. （2）选①，利用三角形面积公式得，再利用（1）的结论结合基本不等式求解即得.选②，利用中点向量公式、数量积运算律，结合基本不等式求得，再由（1）的结论求解即得.选③，利用三角形面积公式可得，再由（1）的结论，结合基本不等式求解即得. 【详解】（1）在中，由及余弦定理，得， 整理得，于是，而， 所以. （2）选①，BD是边AC上的高，由三角形面积公式得， 即，由（1）知，，当且仅当时取等号， 因此，解得， 所以当时，取得最小值. 选②，BD是边AC上的中线，则， 两边平方得，即， 当且仅当时取等号，于是，由（1）知，，解得， 所以当时，取得最小值. 选③，BD是角的平分线，由三角形面积公式，得， 即，整理得， 当且仅当时取等号，，由（1）知，，解得， 所以当时，取得最小值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $