3.2.2奇偶性（题型专练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数奇偶性从概念辨析到综合应用的全维度训练，以分层题型构建“概念-性质-应用”逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数奇偶性辨析|5题|判断奇偶性及性质综合选择|从定义辨析到奇偶函数运算性质| |函数奇偶性求解析式|5题|利用奇偶性求对称区间解析式|定义域与解析式的对称关系推导| |函数奇偶性的应用|5题|结合单调性、周期性求值|奇偶性与函数其他性质的综合应用| |抽象函数奇偶性|5题|抽象函数奇偶性证明与判断|从具体到抽象的性质迁移推理| |函数奇偶性求参数|5题|含参数函数奇偶性的参数求解|定义域与解析式参数的关联分析| |函数奇偶性求不等式|10题|结合单调性解抽象不等式|奇偶性与单调性的不等式转化| |奇偶函数对称性|13题|奇偶性与对称性、周期性综合|对称性与奇偶性的关系推导应用|

3.2.2奇偶性（题型专练）答案版 A组 巩固过关 1.(2526高二下山西期末)若定义域均为R的函数儿冈与8)分别为奇函数与隅西数， 则一定有() A.=fd8(为偶西数 B.=)+8(因)为偶两数 C.y=了(8（四为奇函数 D.=)g(因为奇函数 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【详解】因为定文域均为R的函数()与8四分别为奇函数与偶两数。 则f✉=-f()8()=g(-) 对于A:因为f()8()=-f()g() 可知’=儿8（冈为奇函数，放A错误： 对于B:例如儿)=，8()，则=+1为非奇非偶函数，故B错误 对于C:因为(8()=[-f(g()=fP()g()】 可知=∫（四）8（因为偶居数，放C错误， 对于D:因为(8(=-f)g2() 可知=fg(四为奇函数，故D正骑 2.(2526高二下广东期末)已知西数)同时具有下列两个性质： ①（是隅函数： 试卷第1页，共3页 ②因在0切)上单调道指，测（冈的解折式可以为。 【答案】f()=x (答案不唯一)· 【知识点】函数基本性质的综合应用、根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的 定义与判断 【详解)取 ，函数定义域为R 因为个4=（←==，所以西数儿四是有面数 f(x)=x 对称轴为轴且开口向上，所以因在Q,)上单调递增。 符合题设条件。 3.(25-26高一上河北唐山期中)下列函数中是奇函数且是增函数的是() 1 A.y- B.y=x3 C.y=x D.y=√R 【答案】B 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【详解】yx是奇函数，但不是增函数，故A错误： y=x 是奇函数，且在R上是增函数，故B正确； y=冈是偶函数，故C错误： y=Vx定义域为 0,+0) 是非奇非偶函数，故D错误 1,x为有理数 4.(25-26高三上·四川广安·阶段检测) (多选)已知()= 0,x为无理数，下列关于 f(x) 的说法正确的是() A,f的值城为 B.f四的定义域为R C.函数f(f(x》是偶函数 D.任意一个非零有理数T,f(x+T)=f) 试卷第2页，共3页 对任意x∈R恒成立 【答案】BCD 【知识点】判断证明抽象函数的周期性、分段函数的值域或最值、分段函数的定义域、函 数奇偶性的定义与判断 1,x为有理数 【详解】因为函数f()= 0,x为无理数，所以f)的定义域为R,值域为{0，， 故选项B正确，选项A不正确： 若自变量x是有理数，则一x也是有理数， f[f-]=f0=山f[f(]=f0=1,所以 f[f(-x)]=f[f(x)] 若自变量x是无理数，则x也是无理数， f[f(-]=fo)=h[f(]-fo)1,所以 [f(-]=f[f(x)] 所以f(f(x》是偶函数，选项C正确： 对于任意一个非零有理数T,若x是有理数，则x+T是有理数：若x是无理数，则x+T是 无理数， 根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T,都有f(x+T)=f()对任意x∈R恒成立， 故选项D正确 5.(25-26高二下山东青岛期末)函数 (x) 是奇函数，且在R上单调递减， g(x)=xf(x) 则() A.8(3)<g(4) B.8(-2)>g(3) c8-21>8 【答案】B 试卷第3页，共3页 【知识点】比较函数值的大小关系、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用、 函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用函数奇偶性与单调性分析即可 【详解】因为函数f因是R上的奇函数，所以0)=0且()-()， 由8(((（儿-(（国，且定义城为R关于原点对称 所以西数8（闪是R上的偶函数，即8(）8（因 又f四在R上单调莲减，当x>0时，f)kf0)=0, 设>西>0，则8()8(6)=()-f)】 因为5>5>0，所以)小Kf)k0即)>-f)>0, 所以f()>-f)>0→fx)<f) 即对>与>0，有)Kg）,所以当>0时，西数8（在0，+）上单调递减。 对于A,因为4>3>0，所以84g(B)户8(3》8④，故A错误 对于B,由题意8(-2)82)，因为3>2>0， 所以8(6以g(2)>8(2)(3)98(-2>g3),放B正确： 对+c,由(2e0)).网620 所2=8(2小( 故C错误： 试卷第4页，共3页 而4g4(户》国 故D错误 6.(2526商=下吉林长春期末)己知”=/儿因是定义在R上的奇函数，当x20时， fx)=-x2+4x ，则s0 f() ， 的解析式为 f(x)=x2+4x 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【分析】利用函数的奇偶性求解即可， 【详解】已知=f儿冈是定义在R上的奇蹈数，则冈=-f 当x≥0时，f(=-2+4r 则x<0时，有x>0,则f)=-+4x(←x)=-2-4x 因此f四=-f(-)小=-(2-4x)=x2+4x 7.(25-26高二下陕西汉中·期末)已知奇函数f(的定义域为R,且当x≤0时， f)=x2+2x+3-m,则f0=() A.-2 B.-1 C.2 D.1 【答案】D 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】由题意， f(0)=0 0,求出m=3,再利用奇函数性质代值计算即可： 【详解】因)是定义在R上的奇函数，则0)=0， 即f0)=3-m=0 解得m=3 则当x≤0时，f(=+2x 试卷第5页，共3页 放f0=-/(-)=-(1-2)=1 8.(2526高二下河北沧州期末)已知函数8()是R上的奇函数，且当x>0时， 2x,x20 8()=2+2x,函数f(冈= g(x),x<0,若f(x)>f(2-x2),则实数x的取值范围是 () A.（o-2u1+w） B.(2,) c.(42) D.（o,l1U(2,+w) 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求函数解析式 【分析】根据条件，利用奇函数的性质求出x<0时， g(x) 的解折式，进而求出（的解 析式，再利用()的单调性，即可求解 【详解】因为两数8是R上的奇函数，且当x>0时，8()=+2x 当x<0时，-x>0,所以()=-2x,得到8)+2x,所以x<0时， g(x)=-x2+2x 则fy= 2x,x20 -x2+2x,x<0,其图象如图， 由图知（闪在R上单调递增，由(>f2-), 得x>2-x2, 即x2+x-2>0,解得x>1或x<-2, 所以实数的取值范围是∞，-2小U1,+o) 试卷第6页，共3页 y=f(x) 9.(2526高二下黑龙江期末)若奇面数（④的定义域为R,当xG(0,四）时， f网=-2x-1,则当xe(,0叭时，f 【答案】x3+2x2+1 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【分析】设x<0则-x>0,将-x代入已知正区间函数式求出f(-x),再利用奇函数 f(四)=-f(刊化简，得到<0时闲的表达式。 【详解】当e(,0)时，x(0, f(-x)=(x)3-2(-x2-1=-x23-2x2-1 所以)-(-=-（x-22-)-+2+1 即xe(,0)时，f=r+2r+1 10.(25-26高二下河北承德·期末)已知函数 是定义在3,3)上的奇函数，满足 f-)=-1,当-3<≤0时，)-rt x+3· (1)求实数a,b的值： ②求函数（因的解析式： 6)若fBm-2+/2m-)>0,求实数m的取值范围. 试卷第7页，共3页 【答案】(1)a=2,b=0 +3-3<xs0 2x (2)f(x)= 2x,0<x<3 3-x s居引 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】(1)根据条件可得f(0)=0.f(-)=-1 ,解方程组即可： (2)先由（4)求得3<x≤0时)的解析式，再利用 (是奇函数，有 即可得 f(x)=-f(-x) 的解析式： (3)先判断 儿刊的单调胜，再结合儿例的定义这，列出关于”的不等式求解不等式 组即可 【详解】(1)由题意得 f(-)=60.-1'解得 2 a=2b=0 2)由1可.当-3<x≤0时，f-2 +3 当0<x<3时，3-<0所以()-22 -x+3x-3 因为因是定义在3,3)上的奇两数。 所以0<3时，儿)-( 2x ,-3<x≤0 所以f(x)= x+3 2x ,0<x<3 3-x 3)因为当-3<x50时，f)=2=2-6 x+3 +3, 试卷第8页，共3页 6 反比例函数y=一x在(0，+0)上单调递增， 所以西数（在3,0上单调递。 因为四是定义在3,3)上的奇西数，所以（在3,3引上单调道增。 由题意， 得不等式fBm-2+f2m-)小>0mf63m-2>f0-2m】 所以-3<1-2m<3m-2<3 3 5 35 解得5下m 3,即实数m的取值范围是53 1。（26-27高三上山东临沂期未)函数”=/()× 是奇函数.若函数 g()=f()+5,f4)-9.则84) 【答案】28 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】由函数奇偶性建立等式，代入④，求得)，代入8()，求得3(4) 【详解1由思意可知-(=[/)]，所以(+(-2， 因为A=9.且+)-2x4=”,商=2” 所以8(4)=f(-4)+5=28 12.(第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值（复习讲义）（全国 通用)1)已知（因是定义在R上的奇函数，当、5(0+四）且≠时，都有 xf)-f(>0 xx2(x-x2) 成立，f(2027)=2027,则不等式f(x)-x>0的解集为() A.（-∞，-2027U(2027,+0) 试卷第9页，共3页 B.（-2027,0U(2027,+0） c.（-2027,2027) 11 D 2027'2027 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、由函数奇偶性 解不等式、函数奇偶性的应用 f(x)f(x2) 分由盟意符，之0，得出函数g因的单通性，用利用函致g的 的单调性和奇偶性解不等式 f(x)f(x2) 【详解】由 )f0,可得=>0， x2(x-x2) X1-x2 设函数8()（四 x,x∈(0，+∞)小则g(x)在(0，+o)上单调递增， 又因为问为定义在R的奇函数。8--八-g(。所以g问为偶正数 8()在（∞，0）上单调递减，而不等式()x>0台 g(x)>1(x>0) g(x)<I(x<0), 又因为f2027)=2027.所以82027)=8(-2027)-=1 所以不等式的解集为-2027,0U(2027,+w) 13. (2526高二下广东汕头期末)已知(+)-是定义在R上的奇函数且 对=p-.1ss时.a=9-2xg引() 试卷第10页，共3页 A.2 B.3 3 D. 【答案】A 【知识点】求函数值、函数对称性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】利用(+)-是定义在R上的奇函数且f2+)=f2-,可得到 -2-.呵引2-).南-32x可得 即可得 别 【详解1因为c+-1是定文在R上的奇函数，所以(x+)-1=-+少-刊.即 fx+)=2-fx+0=2--)所以()=2-f2- 又因为f2+=f2-刘，所以)=2-f(+2 》2-2-图 当1s2,3-2，得)3-2 14.(2526高二下山东青岛期末)已知f儿因是定义在R上的奇厨数，f八)=/2-为. 当3到床=+6.) A.a=-4,b=0 B.a=-2,b=8 试卷第11页，共3页 C.a=-6,b=-8 D.a=-6,b=8 【答案】D 【知识点】函数对称性的应用、由奇偶性求参数、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】利用奇函数性质、f)=f2-x)推导函数的对称性和周期性，结合区间4上 的函数表达式列方程求解参数a,b. 【详解】己知f)是R上的奇函数，故f(-)=-f)且f(0)=0； 结合f)=f(2-),将x替换为-x得f-)=f(2+),可得f)=f(x+2), 则f(x+4)=f(x+2)+2)=-f(x+2)=f(x). 即f田的一个周期为4，故f(4)=f(0)=0: 由)=f2-)可知f关于直线x=1对称，因此f兮=f2-孕=1。 结合+2=-树得=兮+2)=-孕，=f店2)=-、 数=时 当xe号到时，f网=r+ar+b,代入x=4得华+4如+b=0,即16+4a+b=0 代入x和由=/得+a+b=孕+a+6, 5 7 7 化简解得a=6:将a=-6代入16+4a+b=0,解得b=8: 综上a=-6,b=8 15.(25-26高一下陕西威阳期末)《多选)设()是定义在R上的偶函数，且 f)+x-)=0,当2≤x≤3时，)-5-2x ,则() B.f(-I)=-1 试卷第12页，共3页 c.f(x)=f(x+1) D.15)=-1 【答案】ABD 【知识点】由函数的周期性求函数值、求函数值、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】由条件可得函数周期，再结合偶函数的性质，逐个选项判断即可， 【详解】因为④是定义在R上的偶函数。 所以)小f) 又+f-1)=0,即f因=-f- 将替换为-1，可得x-)=-f(x-2) 所)=f-2引，f因的周期为2。 即f6=/+2),c错， 当2≤x≤3时，f冈-5-2x 则0≤x≤1时，f=f6+2)=5-2(x+2)=1-2x 由)f四，得1≤x≤0时，f=f（)=1-2=l+2x (引得任小付×-，上 且()=1+2(-)-1，B正确， 男外，f0)-1*0=-小，也可得到c结， 对于D,f5)=/2x7+)=f0=-1,D正晚 16,(2526高二下全国明末)《多选)已知（闲g(闪为奇画数，）8（闭为偶西数， 试卷第13页，共3页 且f),g(x)均为非零函数，则() f(x) A.g(x)为奇函数 B.f(x)g(x)为偶函数 C. (①为奇函数 D g(冈)为偶函数 【答案】ACD 【知识点】函数奇偶性的应用、抽象函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断 f(x) 【分析】由奇偶性的定义确定g(x)为奇函数，由此得f(x)与g(x)奇偶性相异，结合“同 偶异奇”分情况讨论即可 【详解】设F国=f()8(y.G)=f()g() 由题意得F(-)=-F四，即g()=-g因O, G-0=G),即f(8(-=f(8(@. f-=_f田 f(x) ②除以①得g(-x)g),即g(x)为奇函数，A正确： 由上并结合“同偶异奇”知(x)与8()奇偶性相异，故B错误， 当四为奇函数，8为偶函数时， (x) 为偶函数， 82(x) 为偶函数， 满足)g(冈为奇函数，子（四8（四为偶函数。 当为偶函数，8的为奇函数时， 闪为偶函数， g(x) 为偶函数， 不满足)g(四为奇函数，故C,D正确 17,(25:26高一上海南期末)已知函数f) 对于任意实数xy∈R,都有 fx+)f(+/)2,且f2)=4 试卷第14页，共3页 求0的值 @今8()=f国)-2.求证：西数8（因为奇函数 (6)求f-202o)+/-2025)++f(-)+f0)+f0++f(2025)+f(2026 的值， 【答案】①f(0=3 (2) 当x=y=0时，f0+o)=fo+/o)-2.则o)=2. 设y=-x,则fo)=f-刘=f)+-2=2,则+（四=4， 所以8()=)-2=4-f()-2=-[/x)-2]=-g() 即8()=-8冈，所以函数89)为奇函数 (3)8106. 【知识点】由函数对称性求函数值或参数、求函数值、函数奇偶性的定义与判断 【分析】(1)利用恒等式赋值，即可求解： (2)利用恒等式赋值，结合奇函数恒等式即可证明： (3)利用()+/儿)4，群利用如法交换律和结合律即可求和 【详解】()当=y=1时，+=f0+f0-2=4.则0=3。 (2)略 (3)由(2)知， fx)+f()=4,f0)=2,则 f(-2026)+f(-2025)++f(-1)+f(0)+f(四)++f(2025)+f(2026) =[f(-2026)+f(2026)]+[f(-2025)+f(2025)]+…+[f(-)+f(0)]+f(0) =4×2026+2=8106. 18,(25-26商-上天津红桥期中)定义在R上的距数”=f(对任意×、)eR祁有 试卷第15页，共3页 f(x+y)=f(x)+f(y) 0)求f(0的值， (2)判断函数) 的奇偶性，并证明. 【答案】(1)0 (2) 函数的定义域为R， 令'=-t,则o)=f(+f-) 因为0)=0 所以f()+f()=0即(-)=-f( 所以函数闪为奇函数 【知识点】求函数值、抽象函数的奇偶性 【分析】()今=0可求(0)的值 (②)令y=-可判断函数儿冈的奇偶性 【详解】1)令)=0，则四=f+f0)与f0)=0 (2)略 19.(2026广西河池三模)（多选）己知定义在R上的函数 满足 f(x+2)+f()=0,且=f(2-)为偶函数，则下列结论正确的是() A函数因)为奇商数 B.函数f(x+川为奇函数 c.函数)是偶函数 D.函数 (x+2) 是偶函数 【答案】BCD 【知识点】函数对称性的应用、抽象函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据抽象函数的对称性、周期性，结合函数奇偶性的定义逐项分析判断即可. 试卷第16页，共3页 【详解1由’=f2-为偶函数，得-（刃=f2-,即f2+)=f2- 所以/因的图象关于直线=2对称 由+2)=-f(因&2+f2-刘，相2-刘=-f倒 令1=2-x,则x=2-4,所以f0=-f(2-) 又f2+=-f(,所以2+（月=-0，即2-）=-f(-) 所以f0=-f2-)=-(f-》=f）,因t(似是偶函数，故A错误，c正确 由+2)-f倒，符x+=-f-), 又f四是偶函数，所以f-1)=f(x-月-f0- 所以f+)=--,故+为奇函数，故B正确 由f+2)=-因，得x+2)=-f(,又f是偶函数，所以f(=因 所以f+2列-=(x+2）,即儿x+2)是锅路数，放D正确 20.(2026陕西检林模拟预测)（多选)已知函数f(的定义域为R,且 +)=f)+f)-2w-1,则() A点(2(-2》与点2f2》关于原点对称 B.函数'f)+2-1 是奇函数 c.当f0<5时.f2)K5 D.当f10)-=1时，f0=10 【答案】BD 试卷第17页，共3页 【知识点】函数对称性的应用、抽象函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断 【详解1取=y=0得，0)1，取=得o)=f+(+2x-1 所以)+f（=2-2x.f2)+f-2)=6 ,故A错误： 因为f(+(-1+f+r-1=f()+f(-x+2x2-2=(2-22)+2x2-2=0 所以函数'=f(+r-1 是奇函数，故B正确： 取y=l得x+-f(x)=f)-2x-1 所以f2)-f0-/0-2x1-lf3)-f2)=f0-2×2-1 f(n)-f(n-1)=f()-2(n-)-1 所以f)-f0=(a-f⑩-n(n-)-(n-少fm）=f0-+1 若f0)=4,则)=20-3=5故c销误： f(100)=100f(1)-1002+1-1,f()=100 ,故D正确 21.(25.26高=下-天津洋南阶段检测)已知函数（是定义在-2a,可上的函数，且 满起(-f因.，西e0d,当5≠5时，名-汇/)广小<0，则不等式 f2x-)≤f(3)的解集为() A(0,- 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】利用偶函数的定义求出参数Q的值，再根据函数单调性列出不等式组求解即可 【详解】由题意知，函数f八闪是定文在-2ad上的偶函数。 试卷第18页，共3页 1-2a<a 则1-2a+a=0,解得a=1, 因为 ∈0，a,当≠时，有)-f小-)小k0 -1≤2x-1≤1 -1≤3x≤1 所以函数在区间 0,1 上单调递减，则由 /2x-sB树得2x-23对 0≤x≤1 1 1 解得 ≤x 3 3,即 ,所以不等式 的解集是 -15x55 0sxs 5 f(2x-1)sf(3x) [ 22. (25-26高二下河南商丘期末)已知函数f(y) ax-b x2+4是定义域为(-2,2)的奇函数， 满足0号 (1)求实数a,b的值； ②)求关于*的不等式f(2x-+f()<0 的解集。 【答案】(1)a=2,b=0. (11Y (22'3 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 x2+4则f(-x)=-b 【详解】(1)因为f()=-6 x2+4, 心-b+二少-0，解得b=0 由函数f(x)为奇函数得f(x)+f(-x)=0,即x2+4++4 又10-号，则a2 即a=2,b=0 2击1)知144 试卷第19页，共3页 x(-2,2),且4<。 f)f5)=25,25-2x5+4-2x(G+42-54-45) 子+4号+4(+4)（号+4） (+4号+4 因为 2<<6<2,所-6<0.<4,4-5>0 又+4>0，+4>0，所以)f)k0,即)Kf() 所以冈在区同2,2)上是增西数. 所以f2x-1+(<0,即f2x-<-f)=f() -2<2x-1<2 -2<-x<2, 则有 2x-1<-x, 解得-x<兮 7玩B-片f0务) (aER 23.(25-26高一下·浙江杭州·期末)（多选）已知函数 )=-a+ x-a 为奇函数， 则() A.a=0 B.f(x)≥2 C.f闪的图象关于原点对称 D.f在区问,1)上单调递减 【答案】ACD 【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的定义与判断 【详解对于A,函数)-：ae x-a 的定义域为xx≠a, 因为函数了)-m+(口eR)为奇函数，所以定义域关于原点对称， x-a 试卷第20页，共3页 0.,小生-，定奇多大 对于B,()+1 .当x0时.272 1 =x+ 因为函数（为奇西数，所以当<0时，）5-2， 所以f(2或s-2, ,B错误； 对于C,奇函数图像关于原点对称，故C正确： 0<x<x3<1 对于D,任取 1,则5-<0 所))+5各-北5-》0 所以儿因在区间Q)上单调递减，放D正稀 24.(2026全国二卷高考真题)已知f(0是定义域为R的偶函数， f(x)+f(x-2)=0 则() A.a=-2,b=-3 B.a=-2,b=3 C.a=-4,b=-3 D.a=-4,b=3 【答案】D 【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】根据f四+fx-2)=0推出周期性T=4,分析可得f1.5)=f(2.5),得到a,再由 f(-1)=0 b 可得· 【详解】fx)+fx-2)=0,则f(x+2)+f(x)=0, 试卷第21页，共3页 fx+4)=-fx+2)=f(x)f(x) ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故f1.5)=f-2.5)=f(2.5). 在1.5,3引上清足0)=f2,说明)=r+a+ 的对称轴为=2」 则分2，解得a=4 又根据f)+fx-2)=0知f0)+f(-)=0,而f()=f(-), 则f-)=0,于是f3)=f-)=0, 即f3)=9+3a+b=9-12+b=0,解得b=3 5(25-26高一下湖南长沙阶段检测函数冈=r是定义在1)上的奇函五 1)求f儿闪的解新折式，并用函数单调性的定义证明因在区间-山上为增质数： (2)解不等式f-)+f)<0 【答案】)f()=1+文， 证明见解析 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求函数解析式、定义法判断或证明函数 的单调性、由奇偶性求参数 【分析】(1)根据奇函数的定义可求得b,根据 2 5可求得a,进而根据函数单调 性的定义判断 (x)-f(x2)0<x<x2<1) 的符号即可： 试卷第22页，共3页 (2)根据函数的奇偶性将已知不等式等价转化，再利用单调性列不等式求解即可· 【详解】)：函数（闪在山上是奇西数。 -ax+b__ax+b f(-x)=-f(x),即1+x 年的60 a=1 “)的解析式为) 函数儿四在区间)上为增函数，证明如下： 证明：任取e,且1<<5< 小点房， :1<x<6<1,-<0,1+>0.1+g>0 kK1,1<<1,故5>0， :f)f)k0.即ff) :西数因在区同山)上为指函数 (2):函数f四在-上是奇函数， :不等式武-)+f@<0等价于f0<f-) 又因在上是淄函数。 [1<1-t {-1<t<1 日111解得10) 试卷第23页，共3页 ,+oo) 26.(25-26高二下·辽宁期末)已知 ()是定义在R上的偶函数，且在 上单调递 增，则不等式f小>f(2)】 的解集为() A.(0,2) B.(2,+o∞) c.(22) D.（-0,-2U(2,+o) 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】将原不等式转化为)>②)，再结合单调性即可得解 【详解】因为)是定义在R上的偶函数，故✉>②)可转化为()>f(2) 又因为f四在0+切)上单调递增，故2，解得x<-2或>2， 即解集为 -∞，-2)U(2,+o) 27.(25-26高二下·辽宁大连期末) 设儿是定义在，)上的数，且在0，) 上单调递减，则不等式/(x+2)<f(- 的解集为() A.(3-) B.（-0,-3) C.(-1+) D.（0-3U(-1,+o) 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【详解】因为f+2)),且f(因是定义在，+)上的函数，所以 f(x+2)<f-0 又因为f八闪在A+回)上单调道减，所以x+2门口 所以x+2<-1或x+2>1,解得x<-3或x>-1, 试卷第24页，共3页 所以不等式儿x+2)<-)的解笑为，-3引U(1+w) 28. (25-26高二下安微宿州期末)已知f)为R上的奇函数， f0)1,若对 则不等式 (x+)(x+>1的解集为() A(-2,0) B.（-2-lu(l,0)c.（w,-u(-,）D.(←，-3ul+w) 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、由函数奇偶性 解不等式 【分析】由条件确定8(=儿因的单调性和奇性，进而可求解 因为>06>0，所以)()K0.则)Kf(s) 设8（四=因，则8(）在0，+o)上单调递减， 而8(+)=(+/+>1=80，则0<x+1<1,解得-1<x<0。 因为因为R上的奇函数，所以8)=-(=()=g), 则8（因为R上的稠西数，故8（因在m,0)上单调递增， 而8(+)=(+/+)>1=8(-)，则1<x+1<0,解得2<x<, 当x=-时，(x+)/(x+)=0<1 故该点不在解集内： 综上，原不等式的解集为 -2,-1U(-1,0) 试卷第25页，共3页 29,(25.26高三全国一轮复习)已知函数儿因是定义在R上的例的数，且在®+网)上 单调递增，若2)=0 则不等式x-)>0的解集为() A.(43) B.（0,-u(3,+o)c.（,-3U(1,+o）D.（-3,) 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据偶函数的性质得出儿因)在-，0)上单调道减，再根据单调性及奇偶性解不 等式即可 【详解】因为儿冈是函数，即关于直线=0对称，因在®+)上单调递指 所以因在，0上单调道诚， 又fx->0=f2),所以x->2 x-1>2或x-1<-2,解得x>3或x<-1. 30.(25-26高一上福建泉州期中)若奇函数 定义域为 -o,0U(0,+oo) ,在区间 (-o,0)上单调递增日f(2)=0,则不等式x-1/(因)<0 解集为() A.（-2,0u1,2) B.（-2,0u(2,+w) c.（0-2u1,2) D.（0,-2u0,2) 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 x-1>0「x-1<0 【分析】原不等式等价于f(x)<0或f(x)>0,然后由函数单调性，奇偶性结合题设可 得答案 【详解】因为奇函数 刊在区同←®，0)上单调递谐 f(x) ,f(2)= ,所以函数 在区间 试卷第26页，共3页 (a+)上单调递指n2)=-/2)=0 因此，当2<x<0政x>2时，)>0，当<-2或0<x<2时 +f(x)<0 x-1>0x-1<0 不等式(x-1)f(x)<0等价于f()<0或f(x)>0,解得1<x<2或-2<x<0, 所以不等式x-/< 的解集为(-2,0u1,2) 31.(2526高二下河北沧州阶段检测)已知是定义在R上的奇西数，对任意 (-m0)且≠，都有[/()f小(-)<0，且-5)=0，则不等式 f(x)<0 的解集是() A.（-0-5U(0,5) B.（-0,-5u(5,+) c.（-5,0U5,+o) D.(55) 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数的奇偶性，结合己知条件判断函数的单调性，再分类讨论解不等式即可 【详解】因为对任意，占∈(-心，0)。占≠与 且 都有[)f:,小：-)k0,则f(冈在，0)上单调道减。 又（冈是定义在R上的奇面数，则因在Q+回）上单调递减， 又f(-5)=0,则f(-5)=-f⑤)=0，即f(⑤)=0， 当5<x<0或x>5时，f)k0,当0<x<5或x<-5时，f》0, 对于不等式<0，当<0时，则/>0，即x<-5, 试卷第27页，共3页 当x>0时，则<0 即x>5 所以不等式()大0。 的解集是 （-∞，-5U(5,+o） 32.(25-26高一-下江顶九江期中)若定义在R上的偶函数)在区间 [0,+0)上单调递 减，且-5)=0，则关于的不等武2x->0 的解集为() A.（-2,0U(3,+) B.（-2,0u(0,3) c.（∞-2u(3,+∞) D.（-0,-2U(0,3) 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的应用 【分析】根据给定条件，将不等式转化为不等式组，再结合偶函数及函数单调性求解. 【详解1由R上的函数（满足(5）=0.得5)=0， x<0 x>0 不等式f(2x-)>0台xf(2x-0>0,化为f(2x-0<f(5)或f(2x-)>f⑤)， 「x<0 x>0 而函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递减，则2x-1>5或2x-1<5, 解得*<-2或0<x<3,所以原不等式的解失为0，-2小U(0,3) 33. (2026重庆沙坪坝模拟预测)已知 f(x 是定义在【44 上的偶函数，且在 [-4,0] 上为增函数，则f2x+)≤f0 的解集为() 3 g[3-小ae.n 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 试卷第28页，共3页 【分析】利用偶函数的对称性得到函数在0,4]上单调递减，将不等式转化为含自变量绝对 值的不等式，结合定义域求解即可 【详解】因f~是定义在-4,4]上的偶函数，且在4,0]上为增函数，则f()在[0,4]上单 调递减 12x+1K4① 则f2x+)≤f⑩等价于f02x+1)sf四，可得42x+1P1,即2x+11②， 由①得21 ≤2；由②得x≤-1或x≥0 故f(2x+)sf() 小引 34.(25-26高一下黑龙江佳木斯开学考试)函数f()-中 9-x是定义在(-3,3)上的奇函 数，且f0=4 0)证明f(在3,3刃上的单调性： ②四解关于的不等式f1-)+050 【答案】0E明：因为员数()是定义在(3)上的奇医数，所以0)--0，解得 b=0: 又10-日，则0-g子，解得g2: 函数)，2角定义设为3动，定义媛关原点对。 ,g2 -2x 所以还黄国，2为青西数所，2 试卷第29页，共3页 -3<x<x2<3 设 6÷,是-4g.0 (9-)9-) (9-2)9-x号) 3×<6<3,则56<0,9+5>0.9->0,9-g>0, 又 则f)-fs)<0,即fks) 则函数/在3,3 上为增函数 o; 【知识点】根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参 数、由函数奇偶性解不等式 【分析】(1)根据函数的奇偶性求出 (x) 的解析式，利用函数单调性的定义证明即可 (2)根据函数的奇偶性及单调性解不等式即可 【详解1)西数因在33)上为增爵数，证明略： (2)白（山知f冈为奇函数且在3,3）上为格面数。 所以-)+f0k0,即-k-f0,也f-f(), -3<1-1<3 -3<-t<3 所以 t-1<-t ,解得-2<1<2 故不等式的解集为) 22 35.(2526高一上山东素安期末)已知西数)-=4xe(2,2), (1)根据定义研究()的单调性； 试卷第30页，共3页 考fRm-2)+/(m-1小>0，求实数m的取值范围， 【答案】0函数四在区间2,2刃上单调递减，理由如下： 设(2,2列，且<5 点音 =-4x-+45=5(-)+4(-x)_（3-x)x52+4) (x2-4)(号-4） (-4(-4)(-4-4), 因为(2,2列，且<6， 所以-4<0，号-4<05->0，x5+4>0 所以f)-f)>0,即fG)>f)】 所以函数因在区间2,2刃上单湖道减。 2(0) 【知识点】根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、由函数奇偶性 解不等式 【分析】(1)根据函数单调性的定义结合作差法即可判断： (2)根据函数单调性及定义域结合函数奇偶性列不等式计算即可求解. 【详解】(1)略 (2)因为函数f田定义域为 -2,2) 关于原点对称， 网-44 -x 所以西数四是定义在22刊上的奇西数。 所以f2m-2)+f(m-小>0，得f(2m-2>-fm-刂=f-m) 试卷第31页，共3页 2m-2<1-m2 -3<m<1 由(1)可得 -2<2m-2<2 0<m<2 ，解得 -5<m<3' 即 -2<1-m2<2 0<m<1 所以实数m的取值范围是 0,1) 36。(（25-26高一上甘甫兰州期未)已知函数f)为奇离数，当x>0时，f=+ 则f-)=() A.2 B.-2 C.1 D.3 【答案】B 【知识点】奇偶函数对称性的应用、求函数值、函数奇偶性的定义与判断 【分析】本恩利用奇函数的定义)-/()，先求出0，然后代入计算即可得出正确答 案 【详解】由恩可得0=2，又因为)为奇函数，所以(=-儿，因此 f(-1)=-f(0)=-2 故选：B 37. (25-26高一上海南省直锆县级单位阶段检测)若)=3+ x2+2(a为实数且a≠0 )在其定义域上有最大值为M,最小值为N则M+N=() A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】B 【知识点】奇偶函数对称性的应用 【分析】解法一：根据关于Q,3 对称即可求解； 解法二：特值法，令a=1即可求解. 【详解】解法一：由于f)+f(-)=6,可得)=3+ x+2关于点(0,3)对称，故 M+N=6 试卷第32页，共3页 0,(x=0) 1 解法二：特殊值法：可令 ’x2+2 2(x≠0)， x a=1 曾0时，由基本不等武x+22当且仅当=5时取等号)·可有 x 1 24, √2 同理可得当x<0时，x2+2的最小值为4。故当a=1时，f()的最大 M=3+2 ,最 W-32 小值 4, 故M+N=6 故选：B. 38. (25-26高二下重庆期末)己知)是定义在R上的奇函数 f(x+2)是偶函数，且 f0-=3,则6)=() A.-3 B.0 C.3 D.5 【答案】A 【知识点】奇偶函数对称性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】根据恩点，得到f()=x+),结合f0=3 即可求解 【详解】由函数 因是定义在R上的奇函数，可相()- 又由函数(：+2)是偶西数，其图象关子'轴对称，可得的图象关于=2对称， 即f)=4-用，所以f)=f4-用，即f国=x+0 因为0=3.可得5)=-f0=-3 试卷第33页，共3页 39,(25-26高三上·安徽淮北期中)已知(x+)- 是定义在R的奇函数，当>1时， f四=，则2)=) A.-25 B.-16 C.-14 D.16 【答案】C 【知识点】奇偶函数对称性的应用、由函数对称性求函数值或参数 【详解】由x+)-是奇函数，则八x+)-1=-[(x+)- 所以1-+/(+)=2=f2-x)+x)=2 所以的图象关于对称，则-2)+f(4=2, .f(-2)=2-f(4)=2-42=-14 40,(25-26高一上山东潍坊期未)已知西数因=+m+6 ①喏不等式f)<0的解集为L2）, ,求a,b 2若f0)-=3,且（在区间2上有两个零点，求a的取值范国： )考函数8)=（忙-国的图象关于直线=2对称，求8（闪的最小值。 【答案】(1)a=-3,b=2 (3)-16 【知识点】奇偶函数对称性的应用、根据二次函数零点的分布求参数的范围、由一元二次 不等式的解确定参数、求二次函数的值域或最值 【分析】(1)根据一元二次不等式解集结合韦达定理计算求解参数： (2)根据二次函数零点分布列式计算求解参数： (5)=g(3)=0 (3)根据对称性得出 进而得出0=8b=15 再构造二次函数 试卷第34页，共3页 F(0=(-9)(-1) 结合单调性求解最值 [1+2=-a 【详解】(1)由题意得， 1×2=b,即a=-3,b=2, 所以a=-3,b=2」 (2)因为/0)-=3，所以b=3,所以f间++3 要使函数f(在2 上有两个零点，则需满足 [f(@)>0 f(2)>0 1+a+3>0 1<-a<2 4+2a+3>0 2 ,即-4<a<-2 a d+3<0 4 7 解得2a<-25 所以a的取值范围是( (3)由题意知8()=(r-r+w+b) 因为8)=80=0，且8四的图象关于=2对称， (5)=g(3)=0 所以 [(25-1)(25+5a+b)=0 所以(9-1)(9+3a+b)=0 解得a=-8,b=15, 所以3（国-(r-e-8r+15) =(x+1)(x-)(x-3)(x-5) =[(x+10(x-5][（(x-0(x-3] 试卷第35页，共3页 =(x2-4x-5x2-4x+3) 设=-4红+4=(k-2引≥0 则8（转化为函数F0-=--)小=1-10+9.1≥0， 因为少=F) 的对称轴为1=5 所以FO在D]上单调递减，在5，+切)上单调递， (n=F(5)=25-50+9=-16 所以 所以8的最小值为16 B组 能力进阶 1.(25-26高=下河北邪台期末)已知奇函数( 的图象关于直线x=2对称，且 f0=1,期-)() A.0 B.1 C.-1 D.-3 【答案】C 【知识点】函数对称性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】由奇函数性质以及图象关于直线x=2对称将f(-3)转化为己知f(四来求解 【详解】因为f田是奇函数，所以f-3)=-f3). 又因为f()的图象关于直线x=2对称， 所以f3)=f4-3)=f0). 试卷第36页，共3页 己知f0=1,故f3)=1, 所以f(-3)=-f3)=-1. 2。(2026商三全国专腿练习)已知代发 是定义在R上的函数， f(x)=f(x+2) 恒成立. 当(2，时，= ,则当∈(2,3 时，函数 的解析式为() A.2-4 B.x2+4 C.x+42 D.r-42 【答案】D 【知识点】函数周期性的应用 【分折】根据函数的周期性得到在(23)时，f因的解析式. 【详解1因为因=f儿x+2),则函数冈的周期为2， 当xe(2,3)时，则-4(-2，-c(-2,0),放f(x-4)=x-4 由周期性可知fx-4)=fx,故当x∈(2,3)时，f(=(x-4 3.(2526高一下广东期末)已知奇西数因在R上单调递减，则《) A.f0+f(-2)>0 B.f(-)+f2)>0 c.f0-f(-2)>0 D.f-)小-f(2)<0 【答案】A 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用 【详解】已知奇函数儿因在R上单调递减， 对于A,1<2,f0>f(2).f0+f(-2)=f-f2)>0 A正确： 对于B,f-)+f2)=-f0+f2)k0,B错误： 试卷第37页，共3页 对Tc,12,f0<f2列，f0-f(2)<0,c错误： 对于D,-1<2,f)>f2).f)-f(2)>0 D错误。 4.(25-26高二下广东深圳期末)已知定义在R上的函数 (满足(x+)是偶函数， f4-)-4-f6冈，则f2o260=() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【知识点】由函数的周期性求函数值、求函数值、函数对称性的应用、函数奇偶性的应用、 函数周期性的应用 【分析】先由(x+)是偶函数得到函数对称轴，再结合给出的对称关系式推导函数周期， 最后利用周期性和对称关系计算f(2026)的值. 【详解】：fx+)是偶函数，f+x)=f0-),即fm)=f(2-). 又：f4-)=4-f),将f)=f(2-)代入上式得f4-)=4-f2-). 令1=2-x,则x=2-1,代入得f(2+0=4-f0, :f0+9=f(+2)+2)=4-fu+2)=4-(4-f0)=f0 “.函数()的周期为4. :2026=4×506+2,.f(2026)=f(2) 在f(4-x)=4-f)中令x=2,得f(4-2)=4-f2),即f(2)=4-f2), 解得f(2)=2,即f(2026)=2. 5.(25-26高二下西藏昌都期末)设/()是定义在R上的偶函数，且满足 试卷第38页，共3页 -0-..-2,) 11 2 A 3 B.3 D.3 【答案】C 【知识点】由函数的周期性求函数值、判断证明抽象函数的周期性、函数对称性的应用 2027 【分析】利用函数的性质求出函数的周期，进而求出函数值 3 【详解】因为f(x)=f(2-x),所以函数f(x)的对称轴为x= 0+2=1 2 又因为函数 冈是偶函数，所以'轴为其一条对称轴 所以函数冈的最小正周期为 =2×1-0=2 g2-g”）引目 f2-到f6)=2×对1-月 6.(2526高-下四川泸州期末)已知函数（因）对任意‘满足)f2-,若 所c+w,(:-)-fs》>0.则关于m的不等式(m+<f2m+4的 解集为() A.（3) B.（-0,-U(3,+o) c.(-l,3) D.（0,-3U(1,+w) 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式、函数对称性的应 用 【分析】结合函数对称性和单调性，将函数不等式转化为一元二次不等式，进而求解， 试卷第39页，共3页 【详解】因为间2-列所以因)关于=1辅对称， 因为，x∈+如).（名-fx)-f>0 所以在)上单调遥指。 所以在0，)上单调递减， 由f(m+f(2m+4) 可得m+1-小<2m+4- m2<2m+3 m2<-2m-3 即2m+3≥0或2m-3<0, 解得-1<m<3. 7。(25:26高二下河北承德期末)（多选）已知函数是定义在R上的奇函数，西数 8(是定义在R上的偶两散。且（在A四）单满道减，8()在A)单调道特。则 下列说法正确的是() A.f[f(o)]=0 B.f(g(刘为奇函数 c.g[f(-1]>g[f(2)] p.s 【答案】AB 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用定义在R上的奇函数过坐标原点，判断A;由奇偶性的定义判断B,根据 冈的单调性比较0与②)，再利用8)的奇偶性与单调性判断C,先利用8（的 奇偶性与单调性比较80与8) 再根据f()的单调性判断D, 试卷第40页，共3页 【详解】因为（④是定义在R上的奇函数，所以(O)=0,所以[/o]=fo)=0,故 A正确： 令(=f((川归-f四(，则（定义该为R, VxER,-xER h(-x)=-f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=-h(x) 所以()为R上的奇两数，放B正确。 函数因是定义在R上的奇函数，且)在D,+o）单调道波， 所以f冈在，0上单调诺减 又f0)=0,所yf(是减两数 所以f)小>0>f0>f2) 函数8（是定义在R上的偶函数，&（冈在Q+w)单调道啦， 所以8（冈在←心0上单调递减 所以[/0]<[f(2,所以8[-]<8[(.即8[/(-]<[f(2). 故C错误； 由8（无®+树年河诺招.雨0小>8到 由是藏数，和儿(-明-儿水（别 故D错误。 8,(2526高二下内蒙古通辽期末)《多选)已知函数儿)是完义在R上的偶函数，且 对任意xeR,均有+2列=-（因当时.-1，测下列结论正确的是 () 试卷第41页，共3页 A.f(2026)=0 B.函数f(因的一个周期为4 c.当xc,时.f-x-3 D.f0+f2)+f3)++f(2026)=-1 【答案】BD 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由函数的周期性求函数值、求函数值、函数奇偶性的 应用、函数周期性的应用 【分折】对于A,利用/（因是定义在R上的偶函数和f+2列-f四，将/(2026）转化 至0x间内求解对于B,由x+2列=-/（符到-f八+4），得到函数的 个周期为4对于C,利用eQ的西数解析武，结合任+2)=-f国可以得到，到 的函数解析式对于D,利用函数的周期性得到 f(0)+f(2)+f(3)+…+f(2026)=f()+f(2)=-1 【详解1当xc,时，)=I-x,则(o)=lf0=0, 对于B选项，由+2)=-f因可知()--2)， 所以f-2)=fx+2).即)-/x+4, 放函数(：的一个周期为4枚B选项正确 对干A选项，因为函数④的一个周期为4， 所以f(2026)=f4×506+2)=f2 又因为+2)=-f四，所以2)=-0)=-1-0)-，枚A选项错误 试卷第42页，共3页 对于c选顶，设*c2.,则-2叫 所以(x-2到=1-(x-2)=3-x=-f四 所以fy)=x-3,x∈2,3引所以C选项错误 对于D选项，由函数儿因)的一个周期为4，且)是定义在R上的偶函数可知 f0)=f(-)=f3)=0 由f)=x-3,x∈[2,3]可知，f(2)=2-3=-1 由则时，)1-且西数因的-个周期为4可知。 f0)=f(4)=1-0=1 所以f0)+f(2)+f3)+f(4)=0. 又因为函数四的一个周期为4，所以 f(I)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1+4k)+f(2+4k)+f(3+4k)+f(4+4k) =0,k∈Z, 所以f0+/2)+/（3)++f(2026)=f(2025)+f2026 =f()+f(2)=0+(-1)=-1 故D选项正确 9.(25-26高二下·安徽合肥期末)己知函数f()满足对xeR都有f)+f(-)=0成立. 当0时际、九=42.别不学tU+4 时， 的解集为 【答案】(-∞，-) 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用 试卷第43页，共3页 【分析】根据)+/()= 0得到函数（是R上的奇函数，维而求出x<0时，(） 的解折式并判断儿因在R上的单调性，利用奇函数和单调性结合分段西数可得两个不等式 组，求解即得， 【详解】因为对x∈R都有f,+f(-)=0,所以f)是R上的奇函数， 又20时，因-+2=(+-年然1因在0 时， 在 )上单调递增， 故函数f()在R上单调递增， 当*s 0时-x>0,则0=-2x,即)=-f0=-+2, 由ff)+f(x+4)<0,可得ffx)<-fx+4)=f(-x-4), 故得f(x)<-x-4, x≥0 x<0 则有x2+2x<-x-4或-x2+2x<-x-4, 解得：x<l, 所以不等式ff(x》+fx+4)<0的解集为(-0，-) 10.(25-26高二下辽宁沈阳期末)已知定义在R上的偶函数 (因满是：对任意xeR 有x+2)=f)+f),则f202o) 【答案】0 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解 【分析】根据己知等量关系及偶函数的性质得到()是周期为2的周期函数，再应用周期 性求函数值 【详解】对任意x∈R,f(x+2)=f(x)+f(2) 试卷第44页，共3页 令x=0,得f(2)=f0)+f(2),化简得f(0)=0, 因为f)是偶函数，所以f(-2)=f(2), 令x=-2,得f（-2+2)=f(-2)+f(2),即f(0)=2f(2), 综上，f(2)=0, 所以f(x+2)=f(),即f()是周期为2的周期函数， 因此(2026)=f2x1013+0)=f0)=0 1,(25-26高二下河北沧州期末)已知定义在R上的西数儿闪满足：对任忘的， yeR,f)-f）,且当≠0时，f)k0 求0.f-) (②正明：f是偶函数： )考因在[0+)上单调递减，求不等式/（女+4到>f1B3)的解集 【答案14/0=-1f-1)=- a冷'=，则-f)(-)-f) 即对任意的xeR,f()=f(似，所yf(因是偶函数。 8(33) 【知识点】根据函数的单调性解不等式、求函数值、函数奇偶性的定义与判断 【详解11)令=y=1,则0=-f0f0,又0<0，所以0- 令x=y=-,则f0=-f),即[f(-订=1， 试卷第45页，共3页 又f-)<0,所以)=-1 (2)略 3)由（②知13）=f13) 因为因在0四)上单调递减，。+4>0,13>0， 所以由f女+4)小>f-13)=f),得+4<13，解得3<a<3, 即不等式口+4)>f(13)的解集为3) 12.(第11讲函数的奇偶性（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版)已知定义域为 R的函数f()是偶函数，定义域为R的函数g()是奇函数，且f)+g)=+4 4+x2,求 )和（④的解析式 【容类1f-48() 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数方程组法求解析式 【分析】利用奇偶性及方程组法求函数解析式 【详解】因为函数代因是R上的偶西数，函数8()是R上的奇函数。 所以)=f四8(-)=g) 由国+-0.则- 4+(-x24+x2,即 ()-( 0-8--4 ①-®得：2g-,则4 试卷第46页，共3页 所以)=8=4经 4x 13.(25-26高一上福建泉州期中)己知函数 I(x)=ax+b a 1+x2是定义在L 2上的奇函数. (1)求函数 f(x) 的解析式： ②)判断函数 在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： f(x-I)+f(x2-1)>0 【等案10- ②闪在川上单调递指 证明如下：任取c且<名， )f)+1+30++)· 2x-2x2-2(x-5)1-xx2) 5川，且<，-<0,1->0 所以)-f)k0.即f)kf)】 所以因在川上单调运塔 aV2] 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求函数解析式、定义法判断或证明函数 的单调性、由函数奇偶性解不等式 【分析】(1)利用奇函数的性质即可求出函 f() 的解析式： (2)利用函数单调性的定义证明即可： 试卷第47页，共3页 x-1>1-x2 -1≤x-1≤1 (3)结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为 -1≤1-x2≤1' 解不等式即可求 解。 【详解】(1) .f(x)=a+b [- Γ1+x2是定义在L 2上的奇函数， =1,则a=2 :2 又0)=0.则b=0 器 (2)略 (3):(在川上是奇函数且单调递增， 由fx-l+(-小>0得fx-小>-f-)=f-x), x-1>1-x2 -1≤x-1≤1 1s1-x2s1'解得： 1<xs2, 不等式f(x-+/(:-小>0的解集为，5] 试卷第48页，共3页 3.2.2奇偶性（题型专练）答案版 函数奇偶性辨析知识点01 1．（25-26高二下·山西·期末）若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 2．（25-26高二下·广东·期末）已知函数同时具有下列两个性质：是偶函数；②在上单调递增，则的解析式可以为___________ 3．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）（多选）已知，下列关于的说法正确的是（    ） A．的值域为 B．的定义域为 C．函数是偶函数 D．任意一个非零有理数，对任意恒成立 5．（25-26高二下·山东青岛·期末）函数是奇函数，且在上单调递减，，则（     ） A． B． C． D． 函数奇偶性求解析式知识点02 6．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 7．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 8．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知函数是上的奇函数，且当时，，函数,若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·黑龙江·期末）若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 10．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 函数奇偶性的应用知识点03 11．（26-27高三上·山东临沂·期末）函数是奇函数．若函数，则___________． 12．（第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值（复习讲义）（全国通用）-1）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二下·广东汕头·期末）已知是定义在R上的奇函数且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知是定义在上的奇函数，，当时，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 15．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）（多选）设是定义在上的偶函数，且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 抽象函数奇偶性知识点04 16．（25-26高二下·全国·期末）（多选）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 17．（25-26高一上·海南·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 18．（25-26高一上·天津红桥·期中）定义在上的函数对任意、都有． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并证明． 19．（2026·广西河池·三模）（多选）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 20．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，且，则（   ） A．点与点关于原点对称 B．函数是奇函数 C．当时， D．当时， 函数奇偶性求参数知识点05 21．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 23．（25-26高一下·浙江杭州·期末）（多选）已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 24．（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 25．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式，并用函数单调性的定义证明在区间上为增函数； (2)解不等式． 函数奇偶性求不等式知识点06 26．（25-26高二下·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高二下·辽宁大连·期末）设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知为上的奇函数，，若对，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·福建泉州·期中）若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 31．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高一下·江西九江·期中）若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 33．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）函数是定义在上的奇函数，且. (1)证明在上的单调性； (2)解关于的不等式. 35．（25-26高一上·山东泰安·期末）已知函数. (1)根据定义研究的单调性； (2)若，求实数的取值范围. 奇偶函数对称性知识点07 36．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知函数为奇函数，当时，，则（   ） A．2 B． C．1 D．3 37．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 38．（25-26高二下·重庆·期末）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 39．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 40．（25-26高一上·山东潍坊·期末）已知函数 (1)若不等式的解集为，求a，b； (2)若，且在区间上有两个零点，求a的取值范围； (3)若函数的图象关于直线对称，求的最小值. 1．（25-26高二下·河北邢台·期末）已知奇函数的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知是定义在上的函数，且恒成立．当时，，则当时，函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东·期末）已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知定义在R上的函数满足是偶函数，，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高二下·西藏昌都·期末）设是定义在R上的偶函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·四川泸州·期末）已知函数对任意满足，若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河北承德·期末）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，函数是定义在上的偶函数，且在单调递减，在单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 8．（25-26高二下·内蒙古通辽·期末）（多选）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，均有.当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的一个周期为4 C．当时， D． 9．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为______________． 10．（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）已知定义在上的偶函数满足：对任意，有，则__________. 11．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知定义在上的函数满足：对任意的，，，且当时，． (1)求，； (2)证明：是偶函数； (3)若在上单调递减，求不等式的解集． 12．（第11讲函数的奇偶性（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 13．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $